Испытания Бернулли · урок 2 из 6

Серия испытаний до первого успеха

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 2/6, единица R04.3 «Серия испытаний до первого успеха». Тип урока — Н (новый материал). Опора — урок VIS9-013 «Испытание; успех и неудача» и формула суммы геометрической прогрессии (алгебра 9).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (понятие серии) 2 · 5 (дерево, формула q^(k−1)·p) 2,5 · 7 (неудачи подряд, противоположное событие) 2 · 9 (сумма прогрессии, диаграмма) 2,5 · 11 (пример учителя: ограниченная серия) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 17) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2,5 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — все исходы серии до первого успеха: У, НУ, ННУ, НННУ, … и их вероятности p, qp, q²p, q³p. К концу урока ученики должны уметь объяснить каждую строчку.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и сл. 17 «сам» — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Описывать серию

испытания до первого успеха: исходы У, НУ, ННУ, … и дерево (ПР-5)

Считать по формуле

вероятность первого успеха на $k$ -м испытании: $q^{k - 1} p$ (ПР-5)

Переходить к противоположному

«успех не позже $n$ -го» $= 1 - q^{n}$ (ПР-5)

Применять прогрессию

складывать вероятности серии через сумму геометрической прогрессии (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе… в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли». Элемент содержания EL-5.6: «Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха».
Деятельность по ФРП (R04): «решать задачи на нахождение вероятностей событий в серии испытаний до первого успеха, в том числе с применением формулы суммы геометрической прогрессии».

повторение: VIS9-013, алгебра 9

Разминка · устно

Успех, неудача, степени

Найдите $q = 1 - p$

монета, успех — орёл $q = \frac{1}{2}$
кубик, успех — «шестёрка» $q = \frac{5}{6}$
стрелок, $p = 0, 8$ $q = 0, 2$
две монеты: $P (обе — решки)$ $\frac{1}{4}$

Вычислите

$0, 5^{3}$ $0, 125$
$0, 9^{2}$ $0, 81$
$1 + 2 + 4 + 8 + 16$ $31$
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ $\frac{7}{4}$

3 мин · практика
Ответы: 1) 1/2; 2) 1 − 1/6 = 5/6; 3) 1 − 0,8 = 0,2; 4) решка и решка в независимых бросках: ½·½ = 1/4 (правило умножения — главный инструмент урока); 5) 0,125; 6) 0,81; 7) 31 = 2⁵ − 1 — сумма геометрической прогрессии (b₁ = 1, q = 2, n = 5): (2⁵ − 1)/(2 − 1); 8) 7/4 = (1 − (1/2)³)/(1 − 1/2).
Вопрос классу к 7–8: какой формулой можно было не складывать? S_n = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Напомнить: здесь q — знаменатель прогрессии; на уроке q — ещё и вероятность неудачи, и это удобно совпадёт.

R04.3

Новое понятие · серия испытаний до первого успеха

Повторяем испытание, пока не будет успеха

Испытания проводят одно за другим, пока впервые не наступит успех; тогда серия заканчивается.

Условия:

испытания независимы;
в каждом $P (У) = p$ , $P (Н) = q = 1 - p$ .

Монету бросают до первого орла; стрелок стреляет до первого попадания.

2 мин · теория
Элементарные исходы серии: У (успех сразу), НУ, ННУ, НННУ, … — каждый исход заканчивается первым успехом; k — номер испытания, на котором он наступил (число испытаний в серии).
Вопрос классу: сколько всего исходов? (Бесконечно много — серия может быть сколь угодно длинной.) Можно ли заранее сказать, сколько будет бросков? (Нет — это случайная величина, к ней вернёмся в R05.)
Важно: результат прошлых испытаний не влияет на следующее (независимость) — к этому вернёмся в разборе ошибок.

R04.3

Теория · первый успех на k-м испытании

Путь по дереву — произведение вероятностей

путь ННУ: $q \cdot q \cdot p = q^{2} p$ умножаем

перед первым успехом — $k - 1$ неудач

P_{k} = q^{k - 1} p

Каждый следующий исход в

q

раз менее вероятен.

2,5 мин · теория
Дерево «гусеница»: из каждого узла Н два ребра — p (успех, серия закончилась, лист) и q (неудача, идём дальше). Подсвечен путь к исходу ННУ — первый успех на 3-м испытании: q·q·p = q²p.
Вывод: первый успех на k-м испытании ⇔ первые k − 1 испытаний — неудачи, а k-е — успех. Испытания независимы, поэтому вероятности перемножаются: P_k = q^(k−1)·p.
Вопрос классу: почему P_1 = p? (k − 1 = 0, q⁰ = 1.) Последовательность p, qp, q²p, … — геометрическая прогрессия со знаменателем q.

R04.3

Образец → сам · первый успех на k-м испытании

Считаем по формуле $P_{k} = q^{k - 1} p$

Образец

Монету бросают до первого орла. Найдите вероятность, что орёл впервые выпадет при 4-м броске.

$p = q = \frac{1}{2}$ успех — орёл

исход РРРО: $k = 4$ три неудачи, потом успех

$P_{4} = (\frac{1}{2})^{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ формула

Ответ: $0, 0625$

Сам

Кубик бросают до первой «шестёрки». $P (она впервые при 3- м броске)$ $\frac{25}{216}$
Стрелок, $p = 0, 8$ . $P (первое попадание при 2- м выстреле)$ $0, 16$
Баскетболист, $p = 0, 6$ . $P (первое попадание при 3- м броске)$ $0, 096$

R04.3

Теория · n неудач подряд и противоположное событие

«Успеха не было» и «успех был не позже $n$ -го»

$A$ — первые $n$ испытаний — неудачи (понадобится больше $n$ испытаний)

P (A) = q^{n}

$\overline{A}$ — успех наступит не позже $n$ -го испытания (хотя бы один успех среди первых $n$ )

P (\overline{A}) = 1 - q^{n}

Монета:

P (орёл не позже 3- го броска) = 1 - (\frac{1}{2})^{3} = \frac{7}{8}

R04.3

Образец → сам · через противоположное событие

«Не позже $n$ -го» $= 1 - q^{n}$

Образец

Стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ и стреляет до первого попадания. Найдите вероятность, что ему хватит трёх выстрелов.

«хватит трёх» — успех не позже 3-го

противоположное: три промаха, $0, 3^{3} = 0, 027$

$P = 1 - 0, 027$ = $0, 973$

Сам

Монету бросают до первого орла. $P (орёл выпадет не позже 4- го броска)$ $\frac{15}{16}$
Кубик бросают до первой «шестёрки». $P (понадобится больше 2 бросков)$ $\frac{25}{36}$
$p = 0, 4$ . $P (успех не позже 2- го испытания)$ $0, 64$

R04.3

Теория · сумма геометрической прогрессии

Складываем вероятности первых $n$ исходов

$P_{1} + \dots + P_{n} = p + qp + \dots + q^{n - 1} p$

$= p \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ прогрессия: $b_{1} = p$ , знаменатель $q$

$= p \cdot \frac{1 - q ^{n}}{p} = 1 - q^{n}$ так как $1 - q = p$

Совпало с ответом через противоположное событие. С ростом

n

число

q^{n} \to 0

: успех рано или поздно наступит.

2,5 мин · теория
Вывод: исходы «первый успех на 1-м», «на 2-м», …, «на n-м» несовместимы, их вероятности складываются. Это геометрическая прогрессия с первым членом p и знаменателем q; по формуле S_n = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) и 1 − q = p получаем 1 − qⁿ.
Диаграмма — распределение номера первого успеха при p = 1/2: столбики 1/2, 1/4, 1/8, …; розовые (k ≤ 3) в сумме дают 7/8 = 1 − 1/8.
Следствие для задач: P(первый успех с номером от m + 1 до n) = q^m − q^n (разность двух «хвостов»). Покажем на образце следующего слайда.

R04.3

Образец → сам · несколько номеров — сумма

Первый успех — на одном из нескольких испытаний

Образец

$p = 0, 2$ . Найдите вероятность, что первый успех наступит при 2-м, 3-м или 4-м испытании.

$q = 0, 8$ ; НУ, ННУ, НННУ несовместны

$qp + q^{2} p + q^{3} p = qp (1 + q + q^{2})$

$= 0, 16 \cdot 2, 44$ = $0, 3904$

$q - q^{4} = 0, 3904$ проверка

Сам

Монета: первый орёл при 2-м или 3-м броске $\frac{3}{8}$
$p = \frac{1}{2}$ : первый успех при 3-м, 4-м или 5-м испытании $\frac{7}{32}$
Кубик: первая «шестёрка» при 2-м или 3-м броске $\frac{55}{216}$

R04.3

Теория · пример учителя · ограниченное число попыток

У стрелка 3 патрона, $p = 0, 6$

1 патрон: $0, 6$

2 патрона: $0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24$

3 патрона: первые два — промахи, $0, 4^{2} = 0, 16$ третий выстрел — при любом исходе

проверка: $0, 6 + 0, 24 + 0, 16 = 1$

Серия обрывается: последний шаг — и успех, и неудача.

R04.3

Образец → сам · не больше n попыток

Попыток ограниченное число

Образец

Автомат принимает купюру с вероятностью $0, 9$ . Покупатель пробует не больше 3 раз.

не примут совсем: $0, 1^{3} = 0, 001$ три отказа

ровно 2 попытки: $0, 1 \cdot 0, 9 = 0, 09$ НУ

ровно 3 попытки: $0, 1^{2}$ = $0, 01$ ННУ или ННН

Сам: 4 патрона, $p = 0, 5$

$P (израсходует все 4 патрона)$ $0, 125$
$P (попадёт в мишень)$ $0, 9375$
$P (израсходует ровно 2 патрона)$ $0, 25$

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
лишняя неудача: первый успех при 3-м, $p = 0, 5$	$q^{3} p = \frac{1}{16}$	$q^{2} p = \frac{1}{8}$
сложили $p$ : успех не позже 3-го, $p = 0, 4$	$3 \cdot 0, 4 = 1, 2 > 1$	$1 - 0, 6^{3} = 0, 784$
перепутали событие: больше 3 бросков монеты	$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$	$(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$
«после 5 решек орёл вероятнее»	$P (О) > \frac{1}{2}$	$P (О) = \frac{1}{2}$ — броски независимы

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Перед первым успехом при k-м испытании k − 1 неудач, а не k: (1/2)²·(1/2) = 1/8. 2) Вероятности 0,4 относятся к совместным событиям «успех в 1-м», «успех во 2-м», … — складывать нельзя; ответ больше 1 — сигнал ошибки. Верно: 1 − 0,216 = 0,784 (проверка: 0,4 + 0,24 + 0,144 = 0,784 ✓). 3) «Больше трёх бросков» — первые три без орла: (1/2)³; 7/8 — вероятность противоположного события. 4) Монета «не помнит» прошлых бросков: вероятность орла в каждом броске 1/2 (ошибка игрока).

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик до первой «шестёрки». $P (впервые при 4- м броске)$ ?

$(\frac{1}{6})^{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{1296}$

перепутаны $p$ и $q$ : успех — «шестёрка»

$(\frac{5}{6})^{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \approx 0, 096$

б) $p = 0, 3$ . $P (успех не позже 3- го)$ ?

$0, 3 + 0, 3 + 0, 3 = 0, 9$

сложены совместные события

$1 - 0, 7^{3} = 0, 657$

в) 3 патрона, $p = 0, 8$ . $P (израсходует все)$ ?

$0, 2 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 032$

третий выстрел — при любом его исходе

$0, 2^{2} = 0, 04$

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Монета до первого орла

$P (понадобится ровно 2 броска)$ $0, 25$
$P (понадобится ровно 5 бросков)$ $\frac{1}{32}$
$P (орёл не позже 3- го броска)$ $0, 875$

Другие серии

$p = 0, 9$ : первый успех при 2-м испытании $0, 09$
кубик: первая «шестёрка» при 2-м броске $\frac{5}{36}$
$p = 0, 2$ : первые 3 испытания — неудачи $0, 512$
$p = 0, 6$ : понадобится больше 2 испытаний $0, 16$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Кубик бросают до первой «шестёрки». $P (понадобится не больше 3 бросков)$ $\frac{91}{216} \approx 0, 42$
повыш.Вероятность того, что в двух первых испытаниях успеха не будет, равна $0, 49$ . Найдите $p$ . $0, 3$
повыш.Какое наименьшее число бросков монеты нужно разрешить, чтобы орёл появился с вероятностью больше $0, 99$ ? $7$
из жизниДвое по очереди бросают монету; выигрывает тот, у кого первым выпадет орёл. $P (выиграет начинающий)$ $\frac{2}{3}$

R04.3

Образец → сам · задача из жизни

Дозвон в службу поддержки

Образец

Линия свободна с вероятностью $0, 4$ . Клиент звонит, пока не дозвонится. Найдите вероятность дозвониться не позже 3-го звонка.

успех — линия свободна: $p = 0, 4$ , $q = 0, 6$

три неудачи подряд: $0, 6^{3} = 0, 216$

$P = 1 - 0, 216$ = $0, 784$

Сам

Тот же клиент: $P (ровно 2 звонка)$ $0, 24$
Тот же клиент: $P (больше 3 звонков)$ $0, 216$
Брак — $10 %$ деталей; проверяют по одной. $P (первая бракованная — 3- я)$ $0, 081$

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0, 7$ . Найдите вероятность того, что стрелку понадобится ровно два выстрела.

Ответ: $0, 21$

2. Игральный кубик бросают до первого появления шести очков. Найдите вероятность того, что понадобится ровно два броска. Ответ округлите до сотых.

Ответ: $0, 14$

3. Монету бросают до первого появления орла, но не более четырёх раз. Найдите вероятность того, что монету бросят ровно четыре раза.

Ответ: $0, 125$

В бланк — десятичная дробь:

0, 21

, а не

\frac{21}{100}

.

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Монета до первого орла: $P (ровно 3 броска)$ $0, 125$
$p = 0, 7$ : первый успех при 2-м испытании $0, 21$
$p = 0, 5$ : успех не позже 3-го испытания $0, 875$
3 патрона, $p = 0, 9$ : $P (израсходует все)$ $0, 01$

Вариант 2

Монета до первого орла: $P (ровно 4 броска)$ $0, 0625$
$p = 0, 6$ : первый успех при 2-м испытании $0, 24$
$p = 0, 8$ : успех не позже 2-го испытания $0, 96$
3 патрона, $p = 0, 7$ : $P (израсходует все)$ $0, 09$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда в $q^{k - 1} p$ показатель $k - 1$ ?
Как найти «успех не позже $n$ -го»?
Где здесь геометрическая прогрессия?

Домашнее задание

Кубик до первой «шестёрки»: $P (ровно 3 броска)$
$p = 0, 3$ : $P (больше 4 испытаний)$
* Двое по очереди бросают кубик; выигрывает тот, у кого первым выпадет «шестёрка». $P (выиграет начинающий)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-014 · Серия испытаний до первого успеха

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 2/6 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Серия испытаний до первого успеха» → 2, 4–20 · опора на R04.1–R04.2 (испытание, успех и неудача; VIS9-013) → 3, 4
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в сериях испытаний до первого успеха) → 4–19 · EL-5.6 · деятельность R04: сумма геометрической прогрессии → 3, 9, 10
Вне урока	серия Бернулли с заданным числом испытаний, формула $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — VIS9-015; практическая работа — VIS9-016; число испытаний как случайная величина и её мат. ожидание — R05
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Серия испытаний до первого успеха

Сегодня вы научитесь

Описывать серию

Считать по формуле

Переходить к противоположному

Применять прогрессию

Успех, неудача, степени

Найдите q=1−p

Вычислите

Повторяем испытание, пока не будет успеха

Путь по дереву — произведение вероятностей

Считаем по формуле Pk​=qk−1p

Образец

Сам

«Успеха не было» и «успех был не позже n-го»

«Не позже n-го» =1−qn

Образец

Сам

Складываем вероятности первых n исходов

Первый успех — на одном из нескольких испытаний

Образец

Сам

У стрелка 3 патрона, p=0,6

Попыток ограниченное число

Образец

Сам: 4 патрона, p=0,5

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик до первой «шестёрки». P(впервые при 4-м броске)?

б) p=0,3. P(успех не позже 3-го)?

в) 3 патрона, p=0,8. P(израсходует все)?

Решите и проверьте

Монета до первого орла

Другие серии

Подумайте и решите

Дозвон в службу поддержки

Образец

Сам

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-014 · Серия испытаний до первого успеха

Найдите $q = 1 - p$

Считаем по формуле $P_{k} = q^{k - 1} p$

«Успеха не было» и «успех был не позже $n$ -го»

«Не позже $n$ -го» $= 1 - q^{n}$

Складываем вероятности первых $n$ исходов

У стрелка 3 патрона, $p = 0, 6$

Сам: 4 патрона, $p = 0, 5$

а) Кубик до первой «шестёрки». $P (впервые при 4- м броске)$ ?

б) $p = 0, 3$ . $P (успех не позже 3- го)$ ?

в) 3 патрона, $p = 0, 8$ . $P (израсходует все)$ ?