Испытания Бернулли · урок 1 из 6

Испытание. Успех и неудача

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9-013

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 1/6, единицы R04.1 «Испытание», R04.2 «Успех и неудача». Тип урока — Н (новый материал). Опора — классическая вероятность, противоположное событие и независимые события (8 класс, R01.3), геометрическая вероятность (VIS9-009 … VIS9-012).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (что такое испытание) 3,5 · 5 (успех и неудача, p и q) 3 · 9 (два испытания подряд, дерево) 3 · 12 (сводка правил) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6, 7, 10, 11) по 2,5 · две кости (сл. 8) 3 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — дерево двух испытаний: на рёбрах p (успех) и q (неудача), у листьев — вероятности цепочек. Розовым выделен путь «успех, затем неудача»: его вероятность p·q. К этой картинке вернёмся на слайде 9.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R04.1 · R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Испытание

видеть в случайном опыте испытание с двумя исходами: успех и неудача (ПР-5)

$p$ и $q$

находить вероятность успеха $p$ и неудачи $q = 1 - p$ , в том числе по условию на $p$ и $q$ (ПР-5)

Два испытания

строить дерево и находить вероятность цепочки «успех — неудача» (ПР-5, ПР-2)

Хотя бы один успех

считать через противоположное событие: «ни одного успеха» (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли» — сегодня первый шаг: одно испытание и два-три испытания подряд. ПР-2 (= REQ-5.2): организованный перебор вариантов — дерево исходов и таблица двух костей. Элемент содержания EL-5.6: «Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха» (серия до первого успеха — следующий урок VIS9-014).

повторение: R01.3, VIS9-009 … VIS9-012

Разминка · устно

Вероятность, противоположное событие, умножение

Одно событие

Кубик: $P (выпало 5 или 6)$ $\frac{1}{3}$
$P (A) = 0, 3$ ; $P (\overline{A})$ $0, 7$
$20$ билетов, $3$ выигрышных: $P (выигрыш)$ $0, 15$
$x \in [0; 10]$ : $P (x < 3)$ $0, 3$

Два события

Монету бросают дважды: $P (два орла)$ $\frac{1}{4}$
$A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ : $P (A \cap B)$ $0, 2$
$0, 8 \cdot 0, 8$ $0, 64$
Сколько исходов у трёх бросков монеты? $8$

R04.1

Новое понятие · испытание

Важно одно: наступило событие $A$ или нет

Испытание — случайный опыт, в котором следят за одним событием $A$ .

Опыт	Успех	$p$
бросок монеты	орёл	$\frac{1}{2}$
бросок кубика	шестёрка	$\frac{1}{6}$
выстрел	попадание	$0, 8$
проверка детали	брак	$0, 05$

3,5 мин · теория
Определение (учебник Высоцкого–Ященко): испытание — случайный опыт, у которого нас интересуют только два исхода: событие A наступило (успех) или не наступило (неудача). Остальные подробности опыта отбрасываем: у кубика шесть граней, но для события «шестёрка» исходов всего два — «шестёрка» и «не шестёрка».
Вопрос классу: сколько исходов у броска кубика? (6.) А у испытания «выпала шестёрка»? (2 — успех и неудача.) Равновозможны ли они? (Нет: 1/6 и 5/6.)
Таблица открывается по клику; спросить, кто приведёт свой пример испытания: штрафной бросок, ответ наугад на тестовый вопрос, всхожесть семени, «звонок дозвонился».
Слово «успех» не оценочное: в контроле качества успехом удобно назвать брак — событие, за которым следим (вероятность 0,05 — для примера).

R04.2

Теория · успех и неудача

Вероятность успеха $p$ , неудачи $q$

Успех и неудача — противоположные события: наступает ровно одно из них.

q = 1 - p

0 \leq p \leq 1

,

0 \leq q \leq 1

; если

p = 1

, опыт не случайный.

Что назвать успехом — решаем сами; поменяли —

p

и

q

меняются местами.

3 мин · теория
Обозначения учебника: P(У) = p, P(Н) = q. Неудача — событие, противоположное успеху (Н = Ā), поэтому q = P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − p, т. е. p + q = 1.
Рисунок: все исходы опыта (Ω) делятся на две части: благоприятные для A (успех) и все остальные (неудача). Части не пересекаются и вместе дают всё Ω.
Вопрос: стрелок попадает с вероятностью 0,8. Что будет успехом, если нас интересуют промахи? (Промах; тогда p = 0,2, q = 0,8.) Важно в задаче явно записать: «успех — …, p = …».

R04.1 · R04.2

Образец → сам · успех, $p$ и $q$

Назовите успех и найдите $p$ и $q$

Образец: бросают кубик, успех — «выпало больше $4$ »

исходов $6$ , равновозможны грани $1, 2, \dots, 6$

успех: $5$ или $6$ — $2$ исхода больше $4$

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ классическая формула

$q = 1 - \frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ неудача: $1, 2, 3, 4$

Сам: найдите $p$ и $q$

Монета, успех — решка $0, 5$ ; $0, 5$
Карточки $1$ – $20$ , успех — номер кратен $5$ $0, 2$ ; $0, 8$
Лотерея: $1000$ билетов, $50$ выигрышных; успех — выигрыш $0, 05$ ; $0, 95$
Кубик, успех — «не шестёрка» $\frac{5}{6}$ ; $\frac{1}{6}$

R04.2

Образец → сам · обратная задача: условие на $p$ и $q$

Помогает равенство $p + q = 1$

Образец: успех в $4$ раза вероятнее неудачи. Найдите $p$

$p = 4 q$ условие задачи

$4 q + q = 1$ $p + q = 1$

$q = 0, 2$ $5 q = 1$

$p = 4 \cdot 0, 2$ = $0, 8$ проверка: $0, 8 + 0, 2 = 1$

Сам: найдите $p$

$q = 0, 85$ $0, 15$
$p$ на $0, 4$ больше, чем $q$ $0, 7$
$p : q = 3 : 2$ $0, 6$
обратнаяВ урне $12$ шаров, успех — белый, $p = 0, 25$ . Сколько белых? $3$

R04.1 · R04.2

Образец → сам · сложный опыт как одно испытание

Бросают две кости — это тоже одно испытание

Образец: успех — «в сумме $8$ очков»

исходов $6 \cdot 6 = 36$ таблица: строка — 1-я кость, столбец — 2-я

успех: $(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)$ $5$ клеток

$p = \frac{5}{36}$ , $q$ = $\frac{31}{36}$

Сам: найдите $p$

успех — «дубль» (одинаковые очки) $\frac{1}{6}$
успех — «сумма больше $9$ » $\frac{1}{6}$
успех — «произведение чётное» (подсказка: найдите $q$ ) $\frac{3}{4}$

3 мин · практика
Образец: 36 равновозможных пар; сумма 8 — 5 пар (на таблице — розовая диагональ): p = 5/36, q = 31/36. Порядок важен: (2; 6) и (6; 2) — разные исходы.
1) Дубли (1;1) … (6;6) — 6 клеток: 6/36 = 1/6. 2) Сумма 10 — 3 пары, 11 — 2, 12 — 1: всего 6, p = 1/6. 3) Неудача — «произведение нечётное», обе кости нечётные: 3·3 = 9 клеток, q = 9/36 = 1/4, p = 3/4 = 0,75.
Вывод: опыт может быть сложным (две кости, выбор нескольких предметов), но как испытание у него два исхода — наступило событие или нет.

R04.1 · R04.2 · повторение R01.3

Теория · два независимых испытания подряд

Дерево: вероятности перемножаются вдоль пути

Испытание повторяют в тех же условиях: исход первого не влияет на второе — независимые испытания.

Цепочка «У, затем Н»:

P (УН) = p \cdot q

.

Ровно один успех:

УН

или

НУ

— складываем:

2 pq

.

Проверка:

p^{2} + 2 pq + q^{2} = (p + q)^{2} = 1

.

3 мин · теория
Два испытания подряд дают 4 элементарных события: УУ, УН, НУ, НН. Испытания независимы, поэтому вероятность цепочки — произведение вероятностей (правило умножения для независимых событий, 8 класс): P(УУ) = p², P(УН) = pq, P(НУ) = qp, P(НН) = q².
Цепочки несовместны (на дереве — разные пути), поэтому для события «ровно один успех» их вероятности складываем: pq + qp = 2pq.
Сумма по всем листьям равна (p + q)² = 1 — хорошая самопроверка. Для монеты p = q = 1/2 все 4 цепочки равновозможны (по 1/4) — так и было в разминке.
Серия испытаний до первого успеха — VIS9-014; серия из n испытаний и число успехов (формула Бернулли) — VIS9-015.

R04.2

Образец → сам · цепочка из двух-трёх испытаний

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ , два выстрела

Образец: ровно одно попадание

$P (УН) = 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 16$ попал, промахнулся

$P (НУ) = 0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$ наоборот

$P = 0, 16 + 0, 16$ = $0, 32$ пути несовместны

Сам

Монету бросают $3$ раза: $P (орёл, орёл, решка)$ $0, 125$
Баскетболист попадает с $p = 0, 7$ ; два броска: $P (оба мимо)$ $0, 09$
Тот же баскетболист: $P (ровно одно попадание)$ $0, 42$

R04.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: «хотя бы один»

Контроль качества: брак — с вероятностью $0, 1$

Образец: проверяют $3$ детали. $P (хотя бы одна с браком)$

успех — брак: $p = 0, 1$ , $q = 0, 9$

противоположное: ни одного брака — $ННН$

$P (ННН) = 0, 9^{3} = 0, 729$ детали независимы

$P = 1 - 0, 729$ = $0, 271$

Сам: хотя бы один успех

Монету бросают $4$ раза, хотя бы один орёл $0, 9375$
Кубик бросают $2$ раза, хотя бы одна шестёрка $\frac{11}{36}$
Вратарь отбивает пенальти с вероятностью $0, 3$ . Два пенальти: отбит хотя бы один $0, 51$

R04.1 · R04.2

Теория · сводка правил

Что нужно помнить

Ситуация	Формула	Как проверить
испытание: следим за событием $A$	успех $= A$ , $P = p$	успех назван явно
неудача	$q = 1 - p$	$p + q = 1$
цепочка независимых испытаний	$P (УНУ) = p q p$	сумма по всем путям $= 1$
ровно один успех из двух	$pq + qp = 2 pq$	пути складываем
хотя бы один успех из $n$	$1 - q^{n}$	ответ в $[0; 1]$

R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«успех или неудача — два исхода»: кубик, успех — шестёрка	$p = \frac{1}{2}$	$p = \frac{1}{6}$ — исходы не равновозможны
складывают вместо умножения: $p = 0, 8$ , оба выстрела в цель	$0, 8 + 0, 8 = 1, 6$	$0, 8 \cdot 0, 8 = 0, 64$ ; $P \leq 1$
«хотя бы один»: вычли одну неудачу, а не все: монета $3$ раза	$1 - 0, 5 = 0, 5$	$1 - 0, 5^{3} = 0, 875$
«ровно один» — только один путь: $p = 0, 8$ , два выстрела	$0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 16$	$2 \cdot 0, 16 = 0, 32$

R04.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стрелок, $p = 0, 7$ , три выстрела. $P (все мимо)$ ?

$q = 0, 3$ ; $P = 3 \cdot 0, 3 = 0, 9$

вдоль пути умножают: $ННН$

$P = 0, 3^{3} = 0, 027$

б) Кубик дважды. $P (ровно одна шестёрка)$ ?

$P = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$

шестёрка — первой или второй: два пути

$P = 2 \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{18}$

в) Монета дважды. $P (хотя бы один орёл)$ ?

исходы: $0$ , $1$ или $2$ орла; благоприятны $2$ из $3$ : $P = \frac{2}{3}$

исходы не равновозможны: $ОО, ОР, РО, РР$

$P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Одно испытание

Кубик, успех — простое число очков. Найдите $q$ $0, 5$
В классе $25$ учеников, $10$ девочек; вызывают одного наугад, успех — девочка. Найдите $q$ $0, 6$
$p$ в $3$ раза меньше $q$ . Найдите $p$ $0, 25$
Две кости, успех — «сумма $5$ ». Найдите $p$ $\frac{1}{9}$

Несколько испытаний

Монета $3$ раза: $P (три решки)$ $0, 125$
Стрелок, $p = 0, 6$ , два выстрела: $P (оба в цель)$ $0, 36$
Тот же стрелок: $P (хотя бы одно попадание)$ $0, 84$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стрелок стреляет дважды; $P (оба промаха) = 0, 04$ . Найдите вероятность попадания при одном выстреле $0, 8$
повыш.Монету бросают $3$ раза. $P (орёл выпал ровно 2 раза)$ $0, 375$
повыш.Какое наименьшее число раз нужно бросить монету, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 95$ ? $5$
из жизниВ тесте $3$ вопроса, у каждого $4$ варианта ответа, верный — один. Ученик отвечает наугад. $P (все ответы верны)$ $\frac{1}{64}$

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Вероятность того, что новый фонарик неисправен, равна $0, 08$ . Покупатель берёт один фонарик. Найдите вероятность того, что он исправен.

Ответ: $0, 92$

2. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: $0, 14$

3. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 9$ . Он стреляет два раза. Найдите вероятность того, что первый раз он попал, а второй — промахнулся.

Ответ: $0, 09$

В бланк — десятичная дробь:

0, 09

. Сначала запишите: успех — …,

p = \dots

R04.1 · R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик, успех — «меньше $3$ ». Найдите $q$ $\frac{2}{3}$
$p$ в $3$ раза больше $q$ . Найдите $p$ $0, 75$
Стрелок, $p = 0, 9$ , два выстрела: $P (оба в цель)$ $0, 81$
Монета $3$ раза: $P (хотя бы одна решка)$ $0, 875$

Вариант 2

Карточки $1$ – $10$ , успех — номер кратен $3$ . Найдите $q$ $0, 7$
$p$ на $0, 6$ больше $q$ . Найдите $p$ $0, 8$
Баскетболист, $p = 0, 8$ , два броска: $P (оба мимо)$ $0, 04$
Кубик $2$ раза: $P (хотя бы одна единица)$ $\frac{11}{36}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое испытание, успех и неудача?
Почему $p + q = 1$ ?
Когда вероятности умножают, а когда складывают?

Домашнее задание

Две кости, успех — «сумма больше $10$ »: найдите $p$ и $q$
Стрелок, $p = 0, 75$ , три выстрела: $P (УУН)$ и $P (хотя бы одно попадание)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-013 · Испытание. Успех и неудача

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 1/6 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Испытание» → 2, 4, 6, 8, 9, 12, 15–18 · R04.2 «Успех и неудача» → 2, 5–7, 9–18 · повторение R01.3 (противоположное событие, независимость) → 3, 9, 11 · разминка по VIS9-009 … VIS9-012 → 3
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности случайных событий в изученных опытах, серии испытаний) → 4–18 · ПР-2 / REQ-5.2 (перебор вариантов: дерево, таблица двух костей) → 8–10, 14 · EL-5.6
Вне урока	серия испытаний до первого успеха — VIS9-014; испытания Бернулли и формула $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — VIS9-015; практическая работа «Испытания Бернулли» — VIS9-016
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Испытание. Успех и неудача

Сегодня вы научитесь

Испытание

p и q

Два испытания

Хотя бы один успех

Вероятность, противоположное событие, умножение

Одно событие

Два события

Важно одно: наступило событие A или нет

Вероятность успеха p, неудачи q

Назовите успех и найдите p и q

Образец: бросают кубик, успех — «выпало больше 4»

Сам: найдите p и q

Помогает равенство p+q=1

Образец: успех в 4 раза вероятнее неудачи. Найдите p

Сам: найдите p

Бросают две кости — это тоже одно испытание

Образец: успех — «в сумме 8 очков»

Сам: найдите p

Дерево: вероятности перемножаются вдоль пути

Стрелок попадает с вероятностью 0,8, два выстрела

Образец: ровно одно попадание

Сам

Контроль качества: брак — с вероятностью 0,1

Образец: проверяют 3 детали. P(хотя бы одна с браком)

Сам: хотя бы один успех

Что нужно помнить

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Стрелок, p=0,7, три выстрела. P(все мимо)?

б) Кубик дважды. P(ровно одна шестёрка)?

в) Монета дважды. P(хотя бы один орёл)?

Решите и проверьте

Одно испытание

Несколько испытаний

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-013 · Испытание. Успех и неудача

$p$ и $q$

Важно одно: наступило событие $A$ или нет

Вероятность успеха $p$ , неудачи $q$

Назовите успех и найдите $p$ и $q$

Образец: бросают кубик, успех — «выпало больше $4$ »

Сам: найдите $p$ и $q$

Помогает равенство $p + q = 1$

Образец: успех в $4$ раза вероятнее неудачи. Найдите $p$

Сам: найдите $p$

Образец: успех — «в сумме $8$ очков»

Сам: найдите $p$

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ , два выстрела

Контроль качества: брак — с вероятностью $0, 1$

Образец: проверяют $3$ детали. $P (хотя бы одна с браком)$

а) Стрелок, $p = 0, 7$ , три выстрела. $P (все мимо)$ ?

б) Кубик дважды. $P (ровно одна шестёрка)$ ?

в) Монета дважды. $P (хотя бы один орёл)$ ?