Геометрическая вероятность · урок 4 из 4 · практикум

Практикум: случайная точка из фигуры, отрезка, дуги окружности

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS9-012

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Геометрическая вероятность» (4 ч), урок 4/4, единица R03.2 «Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности». Тип урока — П (практикум, заключительный в строке): теория — короткими сводками и одним демонстрационным примером, остальное время решают ученики. Опора — VIS9-010 (тот же материал, урок Н) и VIS9-011 (площади, промежутки, время, пара чисел). Новое по сравнению с VIS9-011: деление отрезка точкой, дуга и вписанный угол, длина хорды, колесо обозрения, расстояние до вершины/стороны, точка в треугольнике и подобие.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: три модели) 3 · 6 (сводка: дуга, центральный угол, хорда) 2 · 10 (сводка: составные фигуры) 2 · 13 (демонстрационный пример учителя: точка в треугольнике) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14) по 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3 · повышенный уровень (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная работа (сл. 20) 4 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Картинка на титуле — ответ задачи сл. 8: точку C выбирают на окружности; хорда AC длиннее радиуса, если C лежит на розовой дуге 240°, P = 2/3.
Если не успеваете: задание 3 сл. 9, задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Точка на отрезке

находить вероятность условий на части отрезка: « $A C > 2 CB$ », «обе части длиннее …» (ПР-5)

Точка на дуге

через центральный и вписанный угол, длину хорды; колесо обозрения (ПР-5)

Точка в фигуре

расстояние до вершины и стороны, полукруг, сектор, треугольник (ПР-5, ПР-1)

Строить чертёж

переводить условие на рисунок и проверять $0 \leq P \leq 1$

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями…». ПР-1 (= REQ-5.1): «Извлекать и преобразовывать информацию, представленную… в виде таблиц, диаграмм, графиков» — здесь: перевод условия на чертёж. Элемент содержания EL-5.5: «Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка и из дуги окружности».
Урок завершает строку R03 — после него ученики должны решать любую задачу на выбор точки из фигуры, отрезка или дуги из учебника и тренировочных вариантов ОГЭ.

повторение: VIS9-010, VIS9-011, геометрия 8–9

Разминка · устно

Углы, дуги, площади

Найдите

длину окружности радиуса $5$ $10 π$
какая часть окружности — дуга $6 0^{\circ}$ $\frac{1}{6}$
площадь сектора $9 0^{\circ}$ круга радиуса $4$ $4 π$
дугу, на которую опирается вписанный угол $4 0^{\circ}$ $8 0^{\circ}$

Подумайте

Треугольники подобны, $k = \frac{1}{2}$ . Отношение площадей? $\frac{1}{4}$
Хорда стягивает дугу $6 0^{\circ}$ , радиус $R$ . Длина хорды? $R$
На сколько градусов повернётся минутная стрелка за $20$ мин? $12 0^{\circ}$
Отрезок $[0; 10]$ : длина точек ближе $2$ к концу $4$

R03.2

Теория · сводка · три модели выбора точки

Вероятность — доля меры благоприятной части

Точку выбирают …	Мера	Формула
из фигуры на плоскости	площадь $S$	$P (A) = \frac{S ( A )}{S ( Ω )}$
из отрезка (числового промежутка)	длина $L$	$P (A) = \frac{L ( A )}{L ( Ω )}$
из дуги окружности	длина дуги ∼ угол	$P (A) = \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$

Алгоритм: что выбирают (

Ω

) → где событие

A

на чертеже → мера

A

: мера

Ω

→ проверка

0 \leq P \leq 1

.

3 мин · теория
Сводка уроков VIS9-010/011 — одной таблицей. «Случайно» — равномерно: ни одна часть фигуры/отрезка/дуги не имеет преимуществ, вероятность пропорциональна мере (площади, длине).
Для дуги: длина дуги $l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}$ , длина окружности $2 π R$ ; отношение равно $α /36 0^{\circ}$ — радиус и π сокращаются, считаем по градусам.
Вопрос классу: что выбрать за Ω в задаче «кабина колеса обозрения остановилась в случайной точке»? (Окружность — дугу 360°.)

R03.2

Образец → сам · точка делит отрезок

На отрезке $A B = 12$ случайно выбрали точку $C$

Образец: $P (A C > 2 CB)$

$A C = x \in [0; 12]$ , $CB = 12 - x$ обозначили

$x > 2 (12 - x) ⟺ x > 8$ неравенство

$L (A) = 12 - 8 = 4$ , $P = \frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$

Сам: $A B = 12$

$P (обе части длиннее 3)$ $0, 5$
$P (C ближе к A, чем к середине A B)$ $0, 25$
$P (меньшая часть короче 2)$ $\frac{1}{3}$

R03.2

Теория · сводка · дуга, центральный угол, хорда

Точка $C$ на окружности: угол $∠ A OC$ и хорда $A C$

$P (C \in дуге α) = \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ ; дуга по вписанному углу: $α = 2∠ A CB$ .

$6 0^{\circ}$ : $A C = R$ (треугольник $A OC$ равносторонний)

$9 0^{\circ}$ : $A C = R 2$ · $12 0^{\circ}$ : $A C = R 3$

$18 0^{\circ}$ : $A C = 2 R$ (диаметр)

Больше угол

∠ A OC

(до

18 0^{\circ}

) — длиннее хорда. Угол откладывают в обе стороны от

A

.

2 мин · теория
Факты из геометрии 8–9: центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги. Хорда AC — основание равнобедренного треугольника AOC с боковыми сторонами R: при 60° он равносторонний (AC = R); при 90° — прямоугольный, AC = R√2 (теорема Пифагора); при 120° AC = R√3 (теорема косинусов: AC² = R² + R² − 2R²·cos120° = 3R², или высота равностороннего треугольника); при 180° AC — диаметр.
Главное для задач: точка C может лежать по обе стороны от A — одному значению длины хорды соответствуют ДВЕ точки окружности, поэтому дуги удваиваются (сл. 8).

R03.2

Образец → сам · дуга и вписанный угол

Точку $M$ выбирают на окружности случайно

Образец: $∠ A CB = 5 0^{\circ}$ ; $P (M на дуге A B без C)$

дуга $A B = 2 \cdot 5 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ вписанный угол — половина дуги

$P = \frac{10 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}}$ = $\frac{5}{18}$ доля окружности

Сам

$∠ A OB = 7 2^{\circ}$ : $P (M на меньшей дуге A B)$ $0, 2$
$∠ A CB = 3 0^{\circ}$ : $P (M на дуге A B без C)$ $\frac{1}{6}$
Три точки делят окружность на дуги $1 : 2 : 3$ . $P (M на наибольшей)$ $0, 5$

R03.2

Образец → сам · длина хорды

$A$ — точка окружности радиуса $R$ , точку $C$ выбирают на ней случайно

Образец: $P (A C > R)$

$A C = R ⟺ ∠ A OC = 6 0^{\circ}$ равносторонний $△ A OC$

$A C > R$ : вне дуг $6 0^{\circ}$ по обе стороны от $A$

$P = \frac{36 0 ^{\circ} - 2 \cdot 6 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}}$ = $\frac{2}{3}$

Сам

$P (A C < R 2)$ $0, 5$
$P (A C > R 3)$ $\frac{1}{3}$
$R = 4$ : $P (A C < 4)$ $\frac{1}{3}$

R03.2

Образец → сам · задача из жизни: колесо обозрения

Колесо радиуса $20$ м, центр на высоте $22$ м. Кабина остановилась в случайной точке

Образец: $P (кабина выше 32 м)$

$32 - 22 = 10 = \frac{R}{2}$ над центром

катет $\frac{R}{2}$ — угол от вертикали $6 0^{\circ}$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

дуга $2 \cdot 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , $P$ = $\frac{1}{3}$

Сам: $P (кабина \dots)$

выше $22$ м $0, 5$
ниже $12$ м $\frac{1}{3}$
на высоте от $12$ до $32$ м $\frac{1}{3}$

2 мин · практика
Образец: кабина выше 32 м, если она выше горизонтальной прямой на 10 м над центром. В прямоугольном треугольнике «радиус 20 — вертикальный катет 10» угол между радиусом и вертикалью 60° (катет вдвое меньше гипотенузы — против него угол 30°, значит, при центре 60°). Дуга над прямой — 2·60° = 120°, P = 120/360 = 1/3.
1) Выше центра — верхняя полуокружность: 0,5. 2) 12 м — на 10 м ниже центра, симметрично: нижняя дуга 120°, 1/3. 3) Оставшаяся часть: 1 − 1/3 − 1/3 = 1/3.
Ловушка: делить высоты (10 из 40 м диаметра = 0,25) — неверно: точка выбирается на окружности, а не на вертикальном отрезке (сл. 16, б).

R03.2

Теория · сводка · расстояния и составные фигуры

Как выглядит событие внутри фигуры

«до вершины $A$ меньше $r$ » — четверть круга (угол квадрата $9 0^{\circ}$ )

«до центра $O$ меньше $r$ » — круг; «больше $r$ » — фигура без круга

«до каждой стороны больше $d$ » — квадрат со стороной $a - 2 d$

Подобные фигуры:

k

— отношение сторон, площадей — $k^{2}$ .

2 мин · теория
Множество точек на расстоянии меньше r от точки — круг радиуса r. Внутри квадрата от вершины видна только четверть этого круга (если r не больше стороны), от середины стороны — полукруг, от центра — весь круг (если r не больше половины стороны).
Точки на расстоянии больше d от всех сторон квадрата со стороной a — внутренний квадрат со стороной a − 2d (с каждой стороны отняли по d). Сложные фигуры — сумма или разность простых: площадь «квадрат без круга» = a² − πr².
Вопрос: при каком r четверти кругов у соседних вершин квадрата со стороной a начинают перекрываться? (r > a/2.)

R03.2

Образец → сам · расстояние до вершины и стороны

Точку $M$ выбирают в квадрате $A BC D$ со стороной $6$

Образец: $P (до ближайшей вершины меньше 2)$

$4$ четверти круга $r = 2$ — один круг не перекрываются: $2 + 2 \leq 6$

$S (A) = π \cdot 2^{2} = 4 π$ , $S (Ω) = 36$

$P = \frac{4 π}{36} = \frac{π}{9}$ ≈ $0, 35$

Сам: $P (\dots)$

до вершины $A$ меньше $6$ $\frac{π}{4} \approx 0, 79$
до каждой стороны больше $2$ $\frac{1}{9}$
до центра больше $3$ $1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$
до стороны $A B$ меньше $1$ $\frac{1}{6}$

R03.2

Образец → сам · полукруг и сектор

Часть круга внутри фигуры

Образец: квадрат $4 \times 4$ , на стороне $A D$ внутрь — полукруг. $P (в полукруг)$

$r = \frac{A D}{2} = 2$ , $S (A) = \frac{1}{2} π \cdot 2^{2} = 2 π$

$P = \frac{2 π}{16} = \frac{π}{8}$ ≈ $0, 39$

Сам

Круг $r = 5$ , сектор $7 2^{\circ}$ . $P (в сектор)$ $0, 2$
Квадрат $4 \times 4$ , полукруги внутрь на двух противоположных сторонах. $P (в полукруги)$ $\frac{π}{4} \approx 0, 79$
Сектор $9 0^{\circ}$ радиуса $4$ . $P (до центра меньше 2)$ $0, 25$

R03.2

Теория · демонстрационный пример · точка в треугольнике

$M$ — случайная точка $△ A BC$ : $P (S_{A BM} > \frac{1}{2} S_{A BC})$

$S_{A BM} = \frac{1}{2} A B \cdot d$ , $S_{A BC} = \frac{1}{2} A B \cdot h$

$S_{A BM} > \frac{1}{2} S_{A BC} ⟺ d > \frac{h}{2}$

$M$ выше средней линии $A_{1} B_{1}$

$△ A_{1} B_{1} C \sim △ A BC$ , $k = \frac{1}{2}$

$P = k^{2} =$ $\frac{1}{4}$

«Площадь

A BM

» — это условие на расстояние до

A B

: граница — прямая

∥ A B

.

3 мин · теория (решает учитель, класс подсказывает)
У треугольников ABM и ABC общее основание AB, поэтому их площади относятся как высоты d : h. Условие d > h/2 выполняется выше прямой, параллельной AB на расстоянии h/2, — это средняя линия A₁B₁ (A₁, B₁ — середины AC и BC).
Благоприятная область — треугольник A₁B₁C, подобный ABC с k = 1/2, площадь в k² = 1/4 от S(ABC). P = 1/4. Ответ не зависит от формы треугольника. Проверено моделированием: 0,250.
Вопрос классу перед последним шагом: «Средняя линия делит треугольник пополам?» — нет: на 1/4 (треугольник) и 3/4 (трапеция).

R03.2

Образец → сам · площадь треугольника $A BM$

$M$ — случайная точка треугольника $A BC$

Образец: $P (S_{A BM} < \frac{1}{3} S_{A BC})$

$d < \frac{h}{3}$ : трапеция у $A B$ как на сл. 13

сверху $△ \sim A BC$ , $k = \frac{2}{3}$ , доля $\frac{4}{9}$

$P = 1 - \frac{4}{9}$ = $\frac{5}{9}$ противоположное

Сам: $P (\dots)$

$S_{A BM} > \frac{2}{3} S_{A BC}$ $\frac{1}{9}$
$S_{A BM} > \frac{1}{4} S_{A BC}$ $\frac{9}{16}$
$M$ — в треугольнике, вершины которого — середины сторон $A BC$ $\frac{1}{4}$

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
взяли вписанный угол вместо дуги: $∠ A CB = 5 0^{\circ}$	$P = \frac{50}{360}$	$P = \frac{2 \cdot 50}{360} = \frac{5}{18}$
хорда $A C > R$ : дугу $6 0^{\circ}$ отложили в одну сторону	$P = \frac{300}{360}$	$P = \frac{360 - 2 \cdot 60}{360} = \frac{2}{3}$
средняя линия «делит площадь пополам»	$P = \frac{1}{2}$	$k = \frac{1}{2}$ , $P = k^{2} = \frac{1}{4}$
четыре четверти круга $r = 2$ сочли кругами (квадрат $6$ )	$\frac{16 π}{36} \approx 1, 4 > 1$	$\frac{4 π}{36} = \frac{π}{9} \approx 0, 35$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Вероятность на окружности — доля дуги; вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. 2) Точек C, для которых ∠AOC = 60°, две — по обе стороны от A; запрещённая дуга около A — 120°, а не 60°. 3) Средняя линия отсекает подобный треугольник с k = 1/2 — его площадь 1/4, а не 1/2 (k вместо k²). 4) Внутри квадрата у вершины помещается только четверть круга; вероятность больше 1 — сигнал ошибки.

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) На отрезке $A B = 10$ точка $C$ . $P (A C > 3 CB)$ ?

«больше в $3$ раза — значит, в последней трети»: $P = \frac{1}{3}$

$x > 3 (10 - x)$ , $x > 7, 5$

$L = 2, 5$ , $P = \frac{2 , 5}{10} = 0, 25$

б) Колесо $R = 20$ м, центр на $22$ м. $P (выше 32 м)$ ?

выше $32$ м — верхние $10$ м из $40$ м: $P = \frac{10}{40} = 0, 25$

точка — на окружности, а не на высоте: нужна дуга

дуга $12 0^{\circ}$ , $P = \frac{1}{3}$

в) Квадрат со стороной $4$ . $P (до вершины A меньше 4)$ ?

круг $r = 4$ : $S = 16 π$ , $P = \frac{16 π}{16} = π$

$P > 1$ ! В квадрате — четверть круга: $S = 4 π$

$P = \frac{4 π}{16} = \frac{π}{4} \approx 0, 79$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) «В 3 раза больше» не означает «в последней трети»: AC > 3CB ⇔ x > 30 − 3x ⇔ 4x > 30 ⇔ x > 7,5; последняя четверть отрезка, P = 0,25.
б) Высоты распределены неравномерно: кабина проходит верх колеса «по дуге», а равновероятны точки окружности. Верхняя дуга над прямой 32 м — 120° (сл. 9): 1/3.
в) Ответ π > 1 — явная ошибка. Угол квадрата 90°, поэтому внутри квадрата лежит только четверть круга: 16π/4 = 4π; P = π/4 ≈ 0,785.

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Отрезок и дуга

$A B = 20$ , точка $C$ на $A B$ . $P (обе части длиннее 6)$ $0, 4$
$∠ A OB = 4 5^{\circ}$ . $P (M на меньшей дуге A B)$ $0, 125$
$∠ A CB = 3 6^{\circ}$ . $P (M на дуге A B без C)$ $0, 2$
Круг $r = 10$ , сектор $1 8^{\circ}$ . $P (в сектор)$ $0, 05$

Фигуры

Квадрат $10$ : $P (до каждой стороны больше 2)$ $0, 36$
Квадрат $8$ : $P (до стороны A B меньше 2)$ $0, 25$
Треугольник $A BC$ : $P (S_{A BM} < \frac{1}{2} S_{A BC})$ $0, 75$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A$ — точка окружности радиуса $R$ , $C$ — случайная точка окружности. $P (R < A C < R 3)$ $\frac{1}{3}$
повыш. $M$ — случайная точка треугольника $A BC$ . $P (\frac{1}{4} S_{A BC} < S_{A BM} < \frac{1}{2} S_{A BC})$ $\frac{5}{16}$
повыш.Квадрат $6 \times 6$ : $P (до каждой вершины больше 3)$ $1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$
из жизниЛуч маяка вращается равномерно; снимок сделан в случайный момент. Корабль освещён, если луч отклонён от направления на него не больше чем на $1 5^{\circ}$ . $P (освещён)$ $\frac{1}{12}$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) R < AC < R√3 ⇔ 60° < ∠AOC < 120° — по обе стороны от A: две дуги по 60°, всего 120°: P = 1/3. (Можно: 1 − P(AC < R) − P(AC > R√3) = 1 − 1/3 − 1/3.)
2) h/4 < d < h/2: полоса между прямыми ∥ AB. Выше h/4 — треугольник с k = 3/4 (9/16), выше h/2 — с k = 1/2 (4/16); P = 9/16 − 4/16 = 5/16 = 0,3125.
3) Четверти кругов радиуса 3 у вершин касаются в серединах сторон, вместе — круг 9π; вне них: (36 − 9π)/36 = 1 − π/4 ≈ 0,215. 4) Благоприятны 15° в обе стороны — 30° из 360°: 1/12 ≈ 0,083.

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. В круге радиуса $10$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она находится на расстоянии не больше $6$ от центра.

Ответ: $0, 36$

2. Часы с двенадцатичасовым циферблатом остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $10$ , но не дойдя до отметки $1$ .

Ответ: $0, 25$

3. На отрезке $A B$ длины $8$ случайно выбирают точку $C$ . Найдите вероятность того, что расстояние от $C$ до середины $A B$ меньше $1, 5$ .

Ответ: $0, 375$

В бланк — десятичная дробь без единиц измерения:

0, 375

.

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A B = 10$ , точка $C$ на $A B$ . $P (A C > 4 CB)$ $0, 2$
$∠ A OB = 10 8^{\circ}$ . $P (M на меньшей дуге A B)$ $0, 3$
Квадрат $10$ : $P (до каждой стороны больше 1)$ $0, 64$
Треугольник $A BC$ : $P (S_{A BM} < \frac{2}{3} S_{A BC})$ $\frac{8}{9}$

Вариант 2

$A B = 10$ , точка $C$ на $A B$ . $P (A C > 1, 5 CB)$ $0, 4$
$∠ A CB = 2 7^{\circ}$ . $P (M на дуге A B без C)$ $0, 15$
Квадрат $10$ : $P (до стороны A B меньше 3)$ $0, 3$
Треугольник $A BC$ : $P (S_{A BM} > \frac{1}{3} S_{A BC})$ $\frac{4}{9}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем мерить событие: площадью, длиной или углом?
Почему дуги для хорды удваивают?
Что отсекает средняя линия — какую долю?

Домашнее задание

$A B = 15$ : $P (обе части длиннее 4)$ ; колесо $R = 30$ м, центр на $32$ м: $P (ниже 17 м)$
* Квадрат $A BC D$ : $P (∠ A MB > 9 0^{\circ})$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_geometricheskaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-012 · Практикум: случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R03 «Геометрическая вероятность», 4 ч · урок 4/4 · тип П
Единицы → слайды	R03.2 «Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности» → 2–21 (отрезок → 5, 16, 17, 20; дуга → 6–9, 15–20; фигура → 10–14, 17–20) · опора на R03.1 → 4
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности случайных событий в изученных опытах) → 4–20 · ПР-1 / REQ-5.1 (информация на чертежах) → 6, 9, 10, 13 · EL-5.5
Вне урока	испытания Бернулли — VIS9-013 и далее; метод Монте-Карло и закон больших чисел — R05; парадокс Бертрана (разные модели «случайной хорды») — не изучается
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: случайная точка из фигуры, отрезка, дуги окружности

Сегодня вы научитесь

Точка на отрезке

Точка на дуге

Точка в фигуре

Строить чертёж

Углы, дуги, площади

Найдите

Подумайте

Вероятность — доля меры благоприятной части

На отрезке AB=12 случайно выбрали точку C

Образец: P(AC>2CB)

Сам: AB=12

Точка C на окружности: угол ∠AOC и хорда AC

Точку M выбирают на окружности случайно

Образец: ∠ACB=50∘; P(M на дуге AB без C)

Сам

A — точка окружности радиуса R, точку C выбирают на ней случайно

Образец: P(AC>R)

Сам

Колесо радиуса 20 м, центр на высоте 22 м. Кабина остановилась в случайной точке

Образец: P(кабина выше 32 м)

Сам: P(кабина …)

Как выглядит событие внутри фигуры

Точку M выбирают в квадрате ABCD со стороной 6

Образец: P(до ближайшей вершины меньше 2)

Сам: P(…)

Часть круга внутри фигуры

Образец: квадрат 4×4, на стороне AD внутрь — полукруг. P(в полукруг)

Сам

M — случайная точка △ABC: P(SABM​>21​SABC​)

M — случайная точка треугольника ABC

Образец: P(SABM​<31​SABC​)

Сам: P(…)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) На отрезке AB=10 точка C. P(AC>3CB)?

б) Колесо R=20 м, центр на 22 м. P(выше 32 м)?

в) Квадрат со стороной 4. P(до вершины A меньше 4)?

Решите и проверьте

Отрезок и дуга

Фигуры

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-012 · Практикум: случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности

На отрезке $A B = 12$ случайно выбрали точку $C$

Образец: $P (A C > 2 CB)$

Сам: $A B = 12$

Точка $C$ на окружности: угол $∠ A OC$ и хорда $A C$

Точку $M$ выбирают на окружности случайно

Образец: $∠ A CB = 5 0^{\circ}$ ; $P (M на дуге A B без C)$

$A$ — точка окружности радиуса $R$ , точку $C$ выбирают на ней случайно

Образец: $P (A C > R)$

Колесо радиуса $20$ м, центр на высоте $22$ м. Кабина остановилась в случайной точке

Образец: $P (кабина выше 32 м)$

Сам: $P (кабина \dots)$

Точку $M$ выбирают в квадрате $A BC D$ со стороной $6$

Образец: $P (до ближайшей вершины меньше 2)$

Сам: $P (\dots)$

Образец: квадрат $4 \times 4$ , на стороне $A D$ внутрь — полукруг. $P (в полукруг)$

$M$ — случайная точка $△ A BC$ : $P (S_{A BM} > \frac{1}{2} S_{A BC})$

$M$ — случайная точка треугольника $A BC$

Образец: $P (S_{A BM} < \frac{1}{3} S_{A BC})$

Сам: $P (\dots)$

а) На отрезке $A B = 10$ точка $C$ . $P (A C > 3 CB)$ ?

б) Колесо $R = 20$ м, центр на $22$ м. $P (выше 32 м)$ ?

в) Квадрат со стороной $4$ . $P (до вершины A меньше 4)$ ?