Геометрическая вероятность · урок 3 из 4 · практикум

Практикум: геометрическая вероятность

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS9-011

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Геометрическая вероятность» (4 ч), урок 3/4, единица R03.1 «Геометрическая вероятность». Тип урока — П (практикум): теория — короткими сводками и одним демонстрационным примером, остальное время решают ученики. Опора — уроки VIS9-009 и VIS9-010.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: вероятность через площадь) 3 · 7 (сводка: отрезок и числовой промежуток) 2 · 10 (противоположное и несовместимые события) 2 · 12 (демонстрационный пример учителя: два случайных числа) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 13) по 2,5 и сл. 11 — 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — метод Монте-Карло: 120 случайных точек в квадрате; доля розовых (внутри четверти круга) ≈ π/4. Можно спросить в конце урока: почему?
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 4 сл. 13 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Через площади

находить вероятность попасть в часть фигуры: клетки, мишень (ПР-5)

Через длины

случайное число из отрезка, ожидание автобуса, светофор (ПР-5)

Строить модель

пара случайных чисел — точка квадрата (ПР-5, ПР-1)

Проверять ответ

$0 \leq P \leq 1$ , противоположное событие $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

повторение: VIS9-009, VIS9-010, геометрия

Разминка · устно

Площади, длины, доли

Найдите

площадь прямоугольника $3 \times 5$ $15$
площадь треугольника с катетами $4$ и $6$ $12$
площадь круга радиуса $3$ $9 π$
длину отрезка $[- 2; 5]$ $7$

Какая доля?

$12$ от $48$ $\frac{1}{4} = 0, 25$
$\frac{9 π}{36 π}$ $\frac{1}{4}$
$P (A) = 0, 3$ ; $P (\overline{A})$ $0, 7$
Во сколько раз круг $r = 2$ больше круга $r = 1$ по площади? в $4$

R03.1

Теория · сводка · вероятность через площадь

Точку выбирают в фигуре $Ω$ случайно

P (A) = \frac{S ( A )}{S ( Ω )}

«Случайно» — ни одна часть фигуры не имеет преимуществ: вероятность попасть в часть пропорциональна её площади.

Форма и место не важны:

S (A_{1}) = S (A_{2}) = 4

,

P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

для обеих.

Проверка:

A \subset Ω

, поэтому

0 \leq P (A) \leq 1

.

3 мин · теория
Сводка уроков VIS9-009/010. Ω — фигура, из которой выбирают точку (её площадь — «все исходы»), A — часть фигуры (событие «точка попала в A»). Вероятность равна доле площади.
Чертёж: квадрат 6×6 = 36 клеток; A₁ — квадрат 2×2, A₂ — прямоугольный треугольник с катетами 4 и 2, S = ½·4·2 = 4. Площади равны — вероятности равны: 4/36 = 1/9.
Вопрос классу: чему равна вероятность попасть в одну точку или на линию? (0 — площадь точки и отрезка равна нулю; поэтому границы фигуры можно не учитывать.)

R03.1

Образец → сам · фигура на клетчатой бумаге

Точку выбирают в прямоугольнике $8 \times 5$

Образец: попасть в трапецию

$S (Ω) = 8 \cdot 5 = 40$ весь прямоугольник

$S (A) = \frac{3 + 5}{2} \cdot 4 = 16$ трапеция

$P (A) = \frac{16}{40}$ = $0, 4$

Сам: вероятность попасть в фигуру

1) $\frac{10}{40} = 0, 25$

2) $\frac{12}{40} = 0, 3$

3) $\frac{20}{40} = 0, 5$

R03.1

Образец → сам · мишень из колец

Стрелок попал в мишень радиуса $3$ в случайную точку

Образец: попасть в розовое кольцо

$S (Ω) = π \cdot 3^{2} = 9 π$ вся мишень

$S (A) = π \cdot 2^{2} - π \cdot 1^{2} = 3 π$ круг минус круг

$P (A) = \frac{3 π}{9 π}$ = $\frac{1}{3}$ $π$ сократилось

Сам: попасть …

в центр $r \leq 1$ $\frac{1}{9}$
во внешнее кольцо $\frac{5}{9}$
не в центр $\frac{8}{9}$
в круг, вписанный в квадрат (точка в квадрате) $\frac{π}{4} \approx 0, 79$

R03.1

Теория · сводка · отрезок и числовой промежуток

Случайное число из отрезка — точка на прямой

P (A) = \frac{L ( A )}{L ( Ω )} = \frac{5 - 2}{10 - 0} = 0, 3

$L$ — длина. Число $x$ выбирают из $[0; 10]$ случайно: $P (2 \leq x \leq 5)$ — доля длины.

Так же для дуги окружности и для отрезка времени.

P (x = 5) = 0

, поэтому

P (x < 5) = P (x \leq 5)

2 мин · теория
Числовой отрезок Ω = [0; 10], событие A = [2; 5] (розовым). L(A) = 3, L(Ω) = 10, P = 0,3.
Дуга: вероятность того, что случайная точка окружности попадёт на дугу, равна (длина дуги)/(длина окружности) = (градусная мера)/360°. Время: момент прихода на остановку — случайная точка отрезка времени (сл. 9).
Одна точка имеет длину 0 — поэтому строгие и нестрогие неравенства дают одну и ту же вероятность. Вопрос: «Значит, событие x = 5 невозможно?» — нет, оно возможно, но его вероятность 0 (обсудить кратко).

R03.1

Образец → сам · случайное число из отрезка

Сначала решите неравенство, потом пересеките с $Ω$

Образец: $x \in [- 2; 6]$ , найдите $P (x^{2} < 9)$

$x^{2} < 9 ⟺ - 3 < x < 3$ пунктир

с $[- 2; 6]$ общая часть $[- 2; 3)$ , $L = 5$

$P = \frac{5}{8}$ = $0, 625$ $L (Ω) = 8$

Сам

$x \in [0; 5]$ : $P (x > 3, 5)$ $0, 3$
$x \in [0; 5]$ : $P (1 \leq x \leq 2)$ $0, 2$
$x \in [0; 5]$ : $P (2 x - 3 > 0)$ $0, 7$
$x \in [- 4; 4]$ : $P (x^{2} > 1)$ $0, 75$

R03.1

Образец → сам · задача из жизни: ожидание

Автобус ходит каждые $12$ минут

Образец: $P (ждать не больше 3 мин)$

момент прихода $t \in [0; 12]$ случайная точка

ждать $12 - t \leq 3 ⟺ t \geq 9$ последние 3 мин

$P = \frac{3}{12}$ = $0, 25$

Сам

Интервал $20$ мин: $P (ждать больше 15 мин)$ $0, 25$

Светофор: цикл $60$ с

подъехать на зелёный $\frac{5}{12} \approx 0, 42$
не на красный $0, 5$

2,5 мин · практика
Образец: прошлый автобус ушёл в момент 0, следующий — в 12. Пассажир приходит в случайный момент t; ждать 12 − t минут. Ждать ≤ 3 ⇔ прийти в последние 3 минуты: [9; 12]. P = 3/12 = 0,25.
1) Ждать > 15 ⇔ прийти в первые 5 минут: 5/20 = 0,25. 2) Зелёный 25 с из 60: 25/60 = 5/12 ≈ 0,42. 3) Не красный = зелёный или жёлтый: 30/60 = 0,5 (или 1 − 30/60).
Модель предполагает, что момент прихода «никак не связан» с расписанием — так и есть, если человек не смотрит расписание.

R03.1 · повторение R01.3

Теория · свойства · противоположное и несовместимые события

Операции над событиями — операции над фигурами

$P (\overline{A}) = \frac{S ( Ω ) - S ( A )}{S ( Ω )} = 1 - P (A)$

$A \cap B = \emptyset$ : $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Если фигуры пересекаются:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

— общую часть не считаем дважды.

R03.1

Образец → сам · противоположное событие

Мяч упал в случайную точку площадки $10 \times 10$ м

Образец: не на клумбу и не в песочницу

$S (К \cup П) = π \cdot 2^{2} + 3 \cdot 4 \approx 24, 57$ не пересекаются

$P (К \cup П) \approx \frac{24 , 57}{100} \approx 0, 246$

$P = 1 - 0, 246 \approx$ $0, 75$ противоположное

Сам

в песочницу $0, 12$
не в песочницу $0, 88$
точка квадрата $4 \times 4$ не в вписанном круге $1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$

R03.1

Теория · демонстрационный пример · два случайных числа

$x$ и $y$ выбирают случайно из $[0; 1]$ . Найдите $P (x + y \leq 1, 2)$

1) пара $(x; y)$ — точка квадрата, $S (Ω) = 1$ модель

2) $x + y \leq 1, 2 ⟺ y \leq 1, 2 - x$ ниже прямой

3) над прямой — треугольник с катетами $0, 8$ :

$S = \frac{1}{2} \cdot 0, 8 \cdot 0, 8 = 0, 32$ розовый

4) $P = 1 - 0, 32$ = $0, 68$ противоположное

3 мин · теория (учитель решает сам, класс следит по чертежу)
Главная идея: два случайных числа из [0; 1] — это одна случайная точка единичного квадрата (x — абсцисса, y — ордината). Событие задаётся неравенством — областью квадрата.
Прямая x + y = 1,2 проходит через (0,2; 1) и (1; 0,2). Область «ниже прямой» — пятиугольник; проще найти площадь треугольника над прямой: катеты 1 − 0,2 = 0,8; S = 0,32. Ответ 0,68.
Вопрос: какая вероятность у события x + y ≤ 1? (Половина квадрата — 0,5.) x + y ≤ 2? (1 — достоверное.)

R03.1

Образец → сам · пара случайных чисел

$x, y \in [0; 1]$ — точка единичного квадрата

Образец: $P (y > 2 x)$

прямая $y = 2 x$ : точки $(0; 0)$ и $(0, 5; 1)$

выше неё — треугольник катеты $1$ и $0, 5$

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0, 5 = 0, 25$

$P = \frac{0 , 25}{1}$ = $0, 25$

Сам

$P (x + y < 0, 5)$ $0, 125$
$P (x > 0, 5 и y > 0, 5)$ $0, 25$
$P (y < x)$ $0, 5$
$P (x + y > 1, 5)$ $0, 125$

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
делят радиусы, а не площади (мишень $r = 3$ , центр $r = 1$ )	$P = \frac{1}{3}$	$P = \frac{π \cdot 1 ^{2}}{π \cdot 3 ^{2}} = \frac{1}{9}$
площадь кольца $1 < r < 2$	$π \cdot (2 - 1)^{2} = π$	$π \cdot 2^{2} - π \cdot 1^{2} = 3 π$
поделили «наоборот» — вышло больше $1$	$P = \frac{36}{12} = 3$	$P = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \leq 1$
не пересекли с $Ω$ : $x \in [- 2; 6]$ , $x^{2} < 9$	$L = 6$ , $P = \frac{6}{8}$	$L ([- 2; 3)) = 5$ , $P = \frac{5}{8}$

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Квадрат со стороной $4$ , внутри круг $r = 1$ . $P (в круг)$ ?

$S = 2 π \cdot 1 = 2 π$ , $P = \frac{2 π}{16} = \frac{π}{8}$

$2 π r$ — длина окружности; $S = π r^{2} = π$

$P = \frac{π}{16} \approx 0, 20$

б) Автобус каждые $10$ мин. $P (ждать не меньше 4 мин)$ ?

$P = \frac{4}{10} = 0, 4$

ждать $\geq 4$ — прийти в первые $6$ минут

$P = \frac{6}{10} = 0, 6$

в) $x, y \in [0; 1]$ . $P (x + y < 0, 4)$ ?

$x + y < 0, 4$ — это $0, 4$ от всего, $P = 0, 4$

треугольник с катетами $0, 4$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 0, 4^{2} = 0, 08$

$P = 0, 08$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны формулы длины окружности и площади круга. S = π, P = π/16 = 0,196… ≈ 0,20.
б) Ученик нашёл вероятность ждать НЕ БОЛЬШЕ 4 минут (прийти в последние 4 минуты). Ждать не меньше 4 мин ⇔ 10 − t ≥ 4 ⇔ t ≤ 6: P = 0,6. Проверка: 0,4 + 0,6 = 1 — события противоположны.
в) Событие задаётся не длиной, а площадью треугольника под прямой x + y = 0,4: ½·0,4·0,4 = 0,08.

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Фигуры

Прямоугольник $5 \times 8$ , внутри квадрат $2 \times 2$ . $P (в квадрат)$ $0, 1$
Мишень $r = 5$ , «яблочко» $r = 1$ . $P (в яблочко)$ $0, 04$
Квадрат $10 \times 10$ , внутри треугольник: основание $6$ , высота $5$ . $P (вне треугольника)$ $0, 85$

Отрезки и время

$x \in [0; 20]$ : $P (x < 5)$ $0, 25$
$x \in [- 5; 5]$ : $P (∣ x ∣ < 2)$ $0, 4$
$x \in [0; 3]$ : $P (x^{2} < 4)$ $\frac{2}{3}$
Поезда метро — каждые $4$ мин. $P (ждать меньше 1 мин)$ $0, 25$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Монету диаметром $2$ см бросили на квадратную плитку $6 \times 6$ см (центр монеты — случайная точка плитки). $P (монета не задела швы)$ $\frac{4}{9} \approx 0, 44$
повыш. $x, y \in [0; 2]$ : $P (x + y \leq 1)$ $0, 125$
повыш.В круг радиуса $2$ вписан квадрат. $P (точка круга попала в квадрат)$ $\frac{2}{π} \approx 0, 64$
из жизниКабель длиной $40$ км оборвался в случайном месте. $P (обрыв ближе 5 км к одному из концов)$ $0, 25$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Монета не задевает шов, если центр отстоит от каждой стороны больше чем на радиус 1 см: центр — во внутреннем квадрате 4×4. P = 16/36 = 4/9 ≈ 0,44.
2) Ω — квадрат 2×2, S = 4; x + y ≤ 1 — треугольник с катетами 1, S = 0,5; P = 0,5/4 = 0,125.
3) Диагональ квадрата = диаметру 4, площадь квадрата = d²/2 = 8; S(круга) = 4π; P = 8/(4π) = 2/π ≈ 0,637 ≈ 0,64.
4) Благоприятны отрезки [0; 5] и [35; 40], суммарно 10 км: 10/40 = 0,25.

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Точку выбирают случайно в квадрате со стороной $10$ . В его центре — круг радиуса $4$ . Найдите вероятность попасть в круг. Округлите до сотых.

Ответ: $0, 50$

2. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась между $1$ и $4$ часами.

Ответ: $0, 25$

3. Из отрезка $[1; 11]$ случайно выбирают число $x$ . Найдите вероятность того, что $x \leq 4$ .

Ответ: $0, 3$

В бланк — десятичная дробь без единиц измерения:

0, 25

.

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Прямоугольник $6 \times 10$ , внутри квадрат $3 \times 3$ . $P (в квадрат)$ $0, 15$
$x \in [0; 8]$ : $P (x > 6)$ $0, 25$
Мишень $r = 4$ , центр $r = 2$ . $P (не в центр)$ $0, 75$
$x, y \in [0; 1]$ : $P (x + y < 1)$ $0, 5$

Вариант 2

Прямоугольник $4 \times 10$ , внутри квадрат $2 \times 2$ . $P (в квадрат)$ $0, 1$
$x \in [0; 5]$ : $P (x < 4)$ $0, 8$
Мишень $r = 5$ , центр $r = 3$ . $P (не в центр)$ $0, 64$
$x, y \in [0; 1]$ : $P (x + y > 1)$ $0, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти геометрическую вероятность?
Почему нельзя делить радиусы?
Как два случайных числа превратить в точку?

Домашнее задание

Монета диаметром $1$ см на плитке $5 \times 5$ см: $P (не задела швы)$
$x \in [- 3; 3]$ : $P (x^{2} < 1)$ ; * $x, y \in [0; 1]$ : $P (∣ x - y ∣ < 0, 5)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_geometricheskaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-011 · Практикум: геометрическая вероятность

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R03 «Геометрическая вероятность», 4 ч · урок 3/4 · тип П
Единицы → слайды	R03.1 «Геометрическая вероятность» → 2, 4–20 · опора на R03.2 (выбор точки из фигуры, отрезка, дуги; VIS9-010) → 5–9, 18 · повторение R01.3 (операции над событиями) → 10, 11
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности случайных событий в изученных опытах) → 4–19 · ПР-1 / REQ-5.1 (информация на чертежах и диаграммах) → 5, 9, 12, 13 · EL-5.5
Вне урока	дуга окружности и комбинированные фигуры — VIS9-012; испытания Бернулли — VIS9-013 и далее; метод Монте-Карло и закон больших чисел — R05
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: геометрическая вероятность

Сегодня вы научитесь

Через площади

Через длины

Строить модель

Проверять ответ

Площади, длины, доли

Найдите

Какая доля?

Точку выбирают в фигуре Ω случайно

Точку выбирают в прямоугольнике 8×5

Образец: попасть в трапецию

Сам: вероятность попасть в фигуру

Стрелок попал в мишень радиуса 3 в случайную точку

Образец: попасть в розовое кольцо

Сам: попасть …

Случайное число из отрезка — точка на прямой

Сначала решите неравенство, потом пересеките с Ω

Образец: x∈[−2;6], найдите P(x2<9)

Сам

Автобус ходит каждые 12 минут

Образец: P(ждать не больше 3 мин)

Сам

Операции над событиями — операции над фигурами

Мяч упал в случайную точку площадки 10×10 м

Образец: не на клумбу и не в песочницу

Сам

x и y выбирают случайно из [0;1]. Найдите P(x+y≤1,2)

x, y∈[0;1] — точка единичного квадрата

Образец: P(y>2x)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Квадрат со стороной 4, внутри круг r=1. P(в круг)?

б) Автобус каждые 10 мин. P(ждать не меньше 4 мин)?

в) x, y∈[0;1]. P(x+y<0,4)?

Решите и проверьте

Фигуры

Отрезки и время

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-011 · Практикум: геометрическая вероятность

Точку выбирают в фигуре $Ω$ случайно

Точку выбирают в прямоугольнике $8 \times 5$

Стрелок попал в мишень радиуса $3$ в случайную точку

Сначала решите неравенство, потом пересеките с $Ω$

Образец: $x \in [- 2; 6]$ , найдите $P (x^{2} < 9)$

Автобус ходит каждые $12$ минут

Образец: $P (ждать не больше 3 мин)$

Мяч упал в случайную точку площадки $10 \times 10$ м

$x$ и $y$ выбирают случайно из $[0; 1]$ . Найдите $P (x + y \leq 1, 2)$

$x, y \in [0; 1]$ — точка единичного квадрата

Образец: $P (y > 2 x)$

а) Квадрат со стороной $4$ , внутри круг $r = 1$ . $P (в круг)$ ?

б) Автобус каждые $10$ мин. $P (ждать не меньше 4 мин)$ ?

в) $x, y \in [0; 1]$ . $P (x + y < 0, 4)$ ?