Геометрическая вероятность · урок 2 из 4

Случайный выбор точки из фигуры, отрезка и дуги окружности

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS9-010

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Геометрическая вероятность» (4 ч), урок 2/4, единица R03.2 «Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности». Тип урока — Н (новый материал). Опора — VIS9-009 (вероятность через площадь и длину), геометрия 8–9: длина окружности и дуги, центральный и вписанный углы.
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (три модели выбора точки) 3 · 5 (точка на окружности) 3 · 7 (условие на расстояние → фигура) 3 · 10 (демонстрационный пример: хорда) 2,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 8, 9, 11) по 2,5 · задача из жизни (сл. 12) 3 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — 36 случайных точек на окружности; розовые попали на дугу 108°. Вопрос в конце урока: какая доля точек «должна» попасть на дугу? (108/360 = 0,3; здесь попало около трети — случайность.)
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать меру

видеть, что выбирают — точку фигуры, отрезка или дуги, — и чем мерить: площадью, длиной, углом (ПР-5)

Точка на окружности

находить вероятность попасть на дугу через её градусную меру (ПР-5)

Условие → фигура

переводить условие «ближе / дальше / больше» в отрезок, квадрат, круг или дугу на чертеже (ПР-5, ПР-1)

Хорды и углы

решать задачи о хорде, вписанном угле и колесе обозрения; проверять $0 \leq P \leq 1$

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах…». ПР-1 (= REQ-5.1): «Извлекать и преобразовывать информацию, представленную… в виде таблиц, диаграмм, графиков» — здесь: перевод словесного условия в чертёж. Элемент содержания EL-5.5: «Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка и из дуги окружности».
Деятельность по ФРП (R03): «Решать задачи на нахождение вероятностей в опытах, представимых как выбор точек из многоугольника, круга, отрезка или дуги окружности, числового промежутка».

повторение: VIS9-009, геометрия 8–9

Разминка · устно

Окружность, дуги, вероятность

Окружность

длина окружности, $R = 5$ $10 π$
какая доля окружности — дуга $9 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{4}$
треть окружности — дуга в … градусов $12 0^{\circ}$
вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ $5 0^{\circ}$

Вероятность

длина окружности $30$ ; дуга $6 0^{\circ}$ имеет длину $5$
хорда стягивает дугу $6 0^{\circ}$ , $R = 5$ : длина хорды $5$
$x \in [0; 10]$ : $P (x < 3)$ $0, 3$
квадрат $4 \times 4$ , внутри квадрат $2 \times 2$ : $P$ $0, 25$

R03.2

Теория · три модели выбора точки

Что выбираем — тем и мерим

Точка фигуры

P = \frac{S ( A )}{S ( Ω )}

мишень, газон, клетчатая бумага

Точка отрезка

P = \frac{L ( A )}{L ( MN )}

случайное число, момент времени, место на дороге

Точка дуги

P = \frac{α}{36 0 ^{\circ}}

стрелка часов, колесо, рулетка

3 мин · теория
Общий принцип: точку выбирают «наугад» — равные по мере части равновозможны, поэтому вероятность равна доле меры. Мера зависит от того, откуда выбирают: из плоской фигуры — площадь, из отрезка — длина, из окружности или её дуги — длина дуги (или угол).
Первые две формулы — с прошлого урока (VIS9-009). Третья — новая; её выводим на следующем слайде.
Вопрос классу: стрелка рулетки останавливается в случайном положении — это выбор точки из чего? (Из окружности: конец стрелки — точка окружности.) Случайный момент между 8:00 и 8:20? (Точка отрезка [0; 20].)
Важно: если выбирают точку из дуги, а не из всей окружности, $Ω$ — эта дуга, и в знаменателе её градусная мера (задача 3 сл. 16).

R03.2

Теория · точка на окружности

Вероятность попасть на дугу — доля угла

Точку $M$ выбирают на окружности случайно. Событие $A$ : $M$ на дуге $K L$ с центральным углом $α$ .

$L (Ω) = 2 π R$ длина окружности

$L (A) = 2 π R \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ длина дуги

P (A) = \frac{L ( A )}{2 π R} = \frac{α}{36 0 ^{\circ}}

Радиус сократился: ответ зависит только от угла.

3 мин · теория
Вывод: выбор точки на окружности — выбор точки на «согнутом отрезке» длины 2πR. Длина дуги с центральным углом α равна 2πR · α/360°. Делим: P = α/360°. Если длина дуги дана в сантиметрах — делим на длину окружности: P = ℓ/C.
Вопрос: какова вероятность того, что точка попадёт на полуокружность? (180/360 = 1/2.) На дугу 0°, то есть в одну точку? (0.)
Если на окружности отмечены несколько точек, делящих её на дуги, — сумма вероятностей всех дуг равна 1 (дуги в сумме 360°).

R03.2

Образец → сам · точка на окружности

Точку выбирают на окружности случайно

Образец: дуга $A B = 10 8^{\circ}$ . $P (M \in A B)$ ?

$Ω$ — вся окружность, $36 0^{\circ}$ мера — угол

$A$ — дуга $10 8^{\circ}$ благоприятная часть

$P (A) = \frac{108}{360}$ = $0, 3$

Сам

дуга $4 5^{\circ}$ $0, 125$
окружность длины $40$ см, дуга $12$ см $0, 3$

3) Минутная стрелка остановилась: она между «2» и «5» $0, 25$

обратная $P = 0, 35$ . Градусная мера дуги? $12 6^{\circ}$

R03.2

Теория · условие на расстояние → фигура

Сначала нарисуйте, где лежат «хорошие» точки

до каждого конца отрезка больше $d$ — середина без двух кусков по $d$

до каждой стороны квадрата больше $d$ — квадрат со стороной $a - 2 d$

до центра меньше $r$ — круг радиуса $r$ ; до края меньше $d$ — кольцо

Алгоритм:

Ω

→ граница, где условие становится равенством → часть

A

→

P = \frac{мера A}{мера Ω}

.

3 мин · теория
Ключевой навык урока — перевести условие на расстояния в фигуру. Граница фигуры A — точки, где неравенство превращается в равенство: «расстояние до A равно 3», «до стороны равно d», «до центра равно r».
Отрезок AB: точки, удалённые от обоих концов больше чем на d, — отрезок длины AB − 2d (отрезаем по d с каждой стороны). Квадрат со стороной a: точки, удалённые от всех сторон больше чем на d, — квадрат со стороной a − 2d (отступ с двух сторон!). Круг радиуса R: до центра меньше r — круг радиуса r; до окружности меньше d — кольцо между радиусами R − d и R.
Вопрос: какие точки квадрата удалены от вершины меньше чем на d? (Четверть круга радиуса d.)

R03.2

Образец → сам · точка на отрезке и расстояния

На отрезке $A B$ случайно выбирают точку $C$

Образец: $A B = 10$ . $P (до каждого конца больше 3)$

$A C > 3$ и $CB = 10 - A C > 3$ оба условия

$3 < A C < 7$ , $L (A) = 4$ середина отрезка

$P (A) = \frac{4}{10}$ = $0, 4$

Сам

$A B = 20$ : до ближайшего конца меньше $4$ $0, 4$
$A B = 12$ : $A C < 2 \cdot CB$ $\frac{2}{3}$
комбин. $A B = 10$ : $A C$ и $CB$ различаются больше чем на $4$ $0, 6$

R03.2

Образец → сам · точка в фигуре и расстояния

Точку выбирают внутри фигуры случайно

Образец: квадрат $6 \times 6$ . $P (до каждой стороны больше 1)$

отступ $1$ от всех четырёх сторон граница — квадрат

сторона $6 - 2 \cdot 1 = 4$ , $S (A) = 16$ отступ с двух сторон

$P (A) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ ≈ $0, 44$

Сам

квадрат $10 \times 10$ : до каждой стороны больше $2$ $0, 36$
круг $R = 5$ : до окружности меньше $1$ $0, 36$
квадрат со стороной $2$ : до центра больше $1$ $1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$

R03.2

Теория · демонстрационный пример · хорда окружности

$A$ на окружности, точку $C$ выбирают случайно. $P (A C > R)$ ?

$A C = R ⟺ △ A OC$ равносторонний $⟺ ∠ A OC = 6 0^{\circ}$

$A C \leq R$ — дуга $C_{1} A C_{2}$ : $2 \cdot 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$

$A C > R$ — остальная дуга: $36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$

P = \frac{24 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{2}{3}

Хорду переводим в центральный угол — и считаем долю дуги.

2,5 мин · теория (решает учитель)
Шаг 1 (фиолетовый треугольник): OA = OC = R; если ещё AC = R, треугольник равносторонний и ∠AOC = 60°. Такие точки две — C₁ и C₂, по обе стороны от A.
Шаг 2 (бирюзовая дуга): чем ближе C к A, тем короче хорда, поэтому AC ≤ R на дуге C₁AC₂ с центральным углом 120°. Шаг 3 (розовая дуга): остальные 240°; P = 240/360 = 2/3.
Ответ не зависит от R. Аналогично: AC = R√2 ⇔ ∠AOC = 90° (прямоугольный равнобедренный треугольник); AC = R√3 ⇔ ∠AOC = 120° — понадобится на сл. 11 и 16.

R03.2

Образец → сам · хорды и вписанный угол

$A$ и $B$ на окружности, точку $C$ выбирают случайно

Образец: дуга $A B = 10 0^{\circ}$ . $P (∠ A CB тупой)$

$C$ на большой дуге: $∠ A CB = 5 0^{\circ}$ половина дуги $A B$

$C^{'}$ на малой дуге: $∠ A C^{'} B = \frac{26 0 ^{\circ}}{2} = 13 0^{\circ}$ тупой

$P = \frac{100}{360} = \frac{5}{18}$ ≈ $0, 28$

Сам

$A$ на окружности: $P (A C < R)$ $\frac{1}{3}$
$A$ на окружности: $P (A C > R 2)$ $0, 5$
дуга $A B = 6 0^{\circ}$ : $P (∠ A CB = 3 0^{\circ})$ $\frac{5}{6}$

2,5 мин · практика
Образец: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается (дуги, не содержащей вершину). Если C на большой дуге (260°), угол опирается на дугу 100°: 50°. Если C на малой дуге AB (100°), угол опирается на дугу 260°: 130° — тупой. Значит, благоприятна малая дуга: 100/360 = 5/18 = 0,277… ≈ 0,28.
1) Противоположно демонстрационному примеру: 120/360 = 1/3. 2) AC > R√2 ⇔ ∠AOC > 90°: вне дуги 2·90° = 180°, остаётся 180°; P = 0,5. 3) ∠ACB = 30° (половина 60°), когда C на большой дуге 300°: 300/360 = 5/6; на малой дуге угол 150°.

R03.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: колесо обозрения

Колесо радиуса $30$ м, ось на высоте $32$ м

Образец: колесо остановилось. $P (кабина выше 47 м)$

$47 - 32 = 15 = \frac{R}{2}$ над осью

катет $\frac{R}{2}$ против угла $3 0^{\circ}$ → дуга $2 \cdot 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$

$P = \frac{120}{360}$ = $\frac{1}{3}$

Сам

кабина ниже $17$ м $\frac{1}{3}$
кабина выше оси колеса $0, 5$
кабина на высоте от $17$ до $47$ м $\frac{1}{3}$

3 мин · практика
Модель: кабин много, колесо останавливается в случайном положении — наша кабина в случайной точке окружности.
Образец: граница — точки окружности на высоте 47 м, то есть на 15 м выше оси. Прямоугольный треугольник: гипотенуза — радиус 30, вертикальный катет 15 = половина гипотенузы, значит, угол между радиусом и горизонталью 30°, а между радиусом и вертикалью 60°. Выше 47 м — дуга 2·60° = 120° вокруг верхней точки: 120/360 = 1/3.
1) 17 = 32 − 15 — симметрично, дуга 120° внизу: 1/3. 2) Верхняя полуокружность: 0,5. 3) Противоположное к «выше 47 или ниже 17»: 1 − 1/3 − 1/3 = 1/3 (две боковые дуги по 60°).

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
делят угол дуги на $18 0^{\circ}$ или на $100$ : дуга $7 2^{\circ}$	$P = \frac{72}{180} = 0, 4$	$P = \frac{72}{360} = 0, 2$
квадрат $6 \times 6$ , до сторон больше $1$ : отступили с одной стороны	$P = \frac{5 ^{2}}{36}$	$P = \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{36} = \frac{4}{9}$
$A B = 10$ , «до ближайшего конца меньше $2$ »: взяли один кусок	$P = \frac{2}{10}$	$P = \frac{2 + 2}{10} = 0, 4$
длину хорды делят на длину окружности	$P = \frac{A C}{2 π R}$	хорда → центральный угол → доля дуги

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Квадрат $8 \times 8$ . $P (до каждой стороны больше 2)$ ?

$S (A) = (8 - 2)^{2} = 36$ , $P = \frac{36}{64}$

отступ $2$ — с обеих сторон: сторона $8 - 4 = 4$

$P = \frac{16}{64} = 0, 25$

б) $A B = 12$ . $P (A C > 2 \cdot CB)$ ?

$A C > 2 \cdot CB$ — « $A C$ больше вдвое»: $P = \frac{2}{3}$

$x > 2 (12 - x) ⟺ x > 8$ : $L (A) = 4$

$P = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

в) Минутная стрелка остановилась. $P (между «1» и «4»)$ ?

$3$ деления из $60$ минутных: $P = \frac{3}{60} = 0, 05$

от «1» до «4» — $3$ часовых деления $= 9 0^{\circ}$

$P = \frac{90}{360} = 0, 25$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Отступили только с одной стороны: верно (8 − 2·2)² = 16, P = 16/64 = 0,25.
б) Ответ угадан «по смыслу слова вдвое», без неравенства. x = AC: x > 24 − 2x ⇔ x > 8, это кусок (8; 12] длины 4; P = 1/3. (2/3 — ответ для AC < 2·CB.)
в) Цифры на циферблате — часовые деления (их 12, по 30°), а не минутные. От 1 до 4 — 3 часовых деления = 15 минутных из 60: 90°/360° = 0,25.

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Окружность и отрезок

Точка на окружности; дуга $A B = 6 0^{\circ}$ . $P (на дуге A B)$ $\frac{1}{6}$
Окружность длины $36$ , дуга длины $9$ $0, 25$
$A B = 15$ : $P (A C < 6)$ $0, 4$

Расстояния

$A B = 8$ : до каждого конца больше $1$ $0, 75$
Квадрат $5 \times 5$ : до каждой стороны больше $1$ $0, 36$
Круг $R = 10$ : до центра меньше $4$ $0, 16$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A$ на окружности радиуса $R$ , точку $C$ выбирают случайно. $P (A C > R 3)$ $\frac{1}{3}$
повыш.Точку выбирают в круге радиуса $4$ . $P (она ближе к центру, чем к окружности)$ $0, 25$
повыш.Точку выбирают на полуокружности. $P (она на дуге 4 5^{\circ})$ $0, 25$
из жизниКабель между столбами $50$ м порвался в случайном месте. $P (обрыв дальше 10 м от каждого столба)$ $0, 6$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. На окружности случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она лежит на дуге $A B$ , градусная мера которой $5 4^{\circ}$ .

Ответ: $0, 15$

2. На отрезке $A B$ длины $25$ случайно выбирают точку $C$ . Найдите вероятность того, что $C$ удалена от каждого конца больше чем на $5$ .

Ответ: $0, 6$

3. В квадрате со стороной $10$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она удалена от каждой стороны больше чем на $1$ .

Ответ: $0, 64$

В бланк — десятичная дробь без единиц измерения:

0, 15

.

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Точка на окружности; дуга $3 6^{\circ}$ . $P (на дуге)$ $0, 1$
$A B = 20$ : $P (A C < 5)$ $0, 25$
$A B = 10$ : до каждого конца больше $2$ $0, 6$
Квадрат $10 \times 10$ : до каждой стороны больше $2$ $0, 36$

Вариант 2

Точка на окружности; дуга $16 2^{\circ}$ . $P (на дуге)$ $0, 45$
$A B = 40$ : $P (A C > 30)$ $0, 25$
$A B = 20$ : до ближайшего конца меньше $3$ $0, 3$
Квадрат $5 \times 5$ : до каждой стороны больше $0, 5$ $0, 64$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем мерить, если точку выбирают на окружности?
Почему в квадрате отступ вычитают дважды?
Как перейти от длины хорды к дуге?

Домашнее задание

Дуга $12 6^{\circ}$ : $P (на дуге)$ ; $A B = 18$ : $P (A C < 2 \cdot CB)$
Квадрат $6 \times 6$ : $P (до центра меньше 3)$ — до сотых
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_geometricheskaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-010 · Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R03 «Геометрическая вероятность», 4 ч · урок 2/4 · тип Н
Единицы → слайды	R03.2 «Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности» → 2, 4–19 · опора на R03.1 (VIS9-009) → 3, 4 · геометрия окружности (центральный и вписанный углы, хорда) → 3, 10, 11
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности случайных событий в изученных опытах) → 4–18 · ПР-1 / REQ-5.1 (перевод условия в чертёж) → 7–9, 12 · EL-5.5
Вне урока	пара случайных чисел как точка квадрата — VIS9-011; практикум по R03.2 — VIS9-012; испытания Бернулли — VIS9-013 и далее
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Случайный выбор точки из фигуры, отрезка и дуги окружности

Сегодня вы научитесь

Выбирать меру

Точка на окружности

Условие → фигура

Хорды и углы

Окружность, дуги, вероятность

Окружность

Вероятность

Что выбираем — тем и мерим

Точка фигуры

Точка отрезка

Точка дуги

Вероятность попасть на дугу — доля угла

Точку выбирают на окружности случайно

Образец: дуга AB=108∘. P(M∈AB)?

Сам

Сначала нарисуйте, где лежат «хорошие» точки

На отрезке AB случайно выбирают точку C

Образец: AB=10. P(до каждого конца больше 3)

Сам

Точку выбирают внутри фигуры случайно

Образец: квадрат 6×6. P(до каждой стороны больше 1)

Сам

A на окружности, точку C выбирают случайно. P(AC>R)?

A и B на окружности, точку C выбирают случайно

Образец: дуга AB=100∘. P(∠ACB тупой)

Сам

Колесо радиуса 30 м, ось на высоте 32 м

Образец: колесо остановилось. P(кабина выше 47 м)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Квадрат 8×8. P(до каждой стороны больше 2)?

б) AB=12. P(AC>2⋅CB)?

в) Минутная стрелка остановилась. P(между «1» и «4»)?

Решите и проверьте

Окружность и отрезок

Расстояния

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-010 · Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности

Образец: дуга $A B = 10 8^{\circ}$ . $P (M \in A B)$ ?

На отрезке $A B$ случайно выбирают точку $C$

Образец: $A B = 10$ . $P (до каждого конца больше 3)$

Образец: квадрат $6 \times 6$ . $P (до каждой стороны больше 1)$

$A$ на окружности, точку $C$ выбирают случайно. $P (A C > R)$ ?

$A$ и $B$ на окружности, точку $C$ выбирают случайно

Образец: дуга $A B = 10 0^{\circ}$ . $P (∠ A CB тупой)$

Колесо радиуса $30$ м, ось на высоте $32$ м

Образец: колесо остановилось. $P (кабина выше 47 м)$

а) Квадрат $8 \times 8$ . $P (до каждой стороны больше 2)$ ?

б) $A B = 12$ . $P (A C > 2 \cdot CB)$ ?

в) Минутная стрелка остановилась. $P (между «1» и «4»)$ ?