Элементы комбинаторики · урок 4 из 4 · практикум

Практикум: перестановки и факториал

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9-008

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (4 ч), урок 4/4, единицы R02.1 «Перестановки», R02.2 «Факториал». Тип урока — П (практикум): теория — короткими сводками и одним демонстрационным примером, остальное время решают ученики. Опора — VIS9-005 (перестановки, факториал), VIS9-006 (сочетания), VIS9-007 (практическая работа в электронных таблицах, функция ФАКТР).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: перестановки и факториал) 3 · 6 (сводка: схема задач с условием) 2,5 · 9 (демонстрационный пример: перестановки по алфавиту) 2,5 · 11 (сводка: вероятность и перестановки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5) 3, (сл. 7, 8, 10, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 5 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — все 3! = 6 перестановок букв А, Б, В. Вопрос для начала урока: сколько строк было бы для четырёх букв? (24.)
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 3 сл. 10 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R02.1 · R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать с факториалом

сокращать дроби, решать уравнения с $n!$ (ПР-2)

Учитывать условия

заданные места, «рядом», «не рядом», чередование (ПР-2)

Перебирать по порядку

находить номер перестановки в алфавитном списке (ПР-2)

Находить вероятности

случайный порядок: $P (A) = \frac{m}{n !}$ (ПР-5)

повторение: VIS9-005, VIS9-007

Разминка · устно

Факториалы и расстановки

Вычислите

$4!$ $24$
$\frac{6 !}{5 !}$ $6$
$0! + 1!$ $2$
$\frac{7 !}{7}$ $6! = 720$

Ответьте

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ — запишите короче $5!$
$3$ человека встают в очередь: способов $6$
Двузначных чисел из $1, 2, 3$ без повторов $6$
$P (A) = 0, 15$ ; $P (\overline{A})$ $0, 85$

R02.1 · R02.2

Теория · сводка · перестановки и факториал

Заполняем $n$ мест по очереди

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$n!$	$1$	$1$	$2$	$6$	$24$	$120$	$720$	$5040$

P_{n} = n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

Перестановка — все $n$ объектов в некотором порядке; каждый — ровно один раз.

n! = n \cdot (n - 1)!

, например

\frac{7 !}{5 !} = 6 \cdot 7 = 42

0! = 1

— по договорённости

3 мин · теория
Сводка урока VIS9-005. На первое место — любой из n объектов, на второе — любой из оставшихся n − 1, …, на последнее — единственный оставшийся. По правилу умножения P_n = n · (n − 1) · … · 1 = n!.
Свойство n! = n · (n − 1)! — главный приём сокращения дробей: 7!/5! = 5! · 6 · 7 / 5! = 42. При n = 1 оно даёт 1! = 1 · 0!, поэтому договорились, что 0! = 1.
Вопрос классу: в электронной таблице на прошлом уроке =ФАКТР(10) дала 3 628 800. Сколько нулей в конце 10! и почему? (Два: множители 2 · 5 и 10.)

R02.2

Образец → сам · уравнения с факториалом

Сначала сократите — потом считайте

Образец: решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 42$

$(n + 1)! = (n - 1)! \cdot n \cdot (n + 1)$ раскрыли

$n (n + 1) = 42$ сократили на $(n - 1)!$

$n^{2} + n - 42 = 0$ , $n = 6$ $n = - 7$ не натуральное

Проверка: $\frac{7 !}{5 !} = 6 \cdot 7 = 42$ ✓

Сам

$\frac{8 !}{6 ! \cdot 2 !}$ $28$
$\frac{1}{4 !} - \frac{1}{5 !}$ $\frac{1}{30}$
Решите $\frac{n !}{( n - 1 )!} = 12$ $n = 12$
Решите $\frac{( n + 2 )!}{n !} = 30$ $n = 4$

R02.1

Теория · сводка · перестановки с условием

Три приёма, когда есть условие

2,5 мин · теория
Ключевой вопрос перед любой задачей: «Все ли объекты расставляются и важен ли порядок?» — если да, это перестановки. Если выбирают только часть объектов и порядок не важен — это сочетания (VIS9-006), не путать.
Место задано: например, цифра 1 стоит первой — остальные n − 1 цифр переставляются: (n − 1)!.
Блок: k объектов, которые должны стоять рядом, считаем одним объектом. Объектов становится n − k + 1, их перестановок (n − k + 1)!; внутри блока k! порядков. Если порядок внутри блока задан — множителя k! нет.
«Не рядом» — противоположное к «рядом»: n! − (n − 1)! · 2! для двух объектов. Тот же приём, что P(Ā) = 1 − P(A).

R02.1

Образец → сам · заданные места

Кто на каких местах может стоять?

Образец: $3$ мальчика и $3$ девочки в ряд, чередуясь

$2$ схемы: начать с М или с Д

мальчики: $3! = 6$ , девочки: $3! = 6$

$2 \cdot 6 \cdot 6$ = $72$ правило умножения

Сам: сколько способов?

Цифры $1$ – $6$ переставляют; чётные цифры — на чётных местах $36$
$7$ бегунов на $7$ дорожек; чемпион — на $4$ -й $720$
«Слова» из всех букв слова КОМПАС: первая и последняя буквы — гласные $48$

R02.1

Образец → сам · блок «рядом» и «не рядом»

Склеиваем тех, кто должен стоять рядом

Образец: $6$ книг; $3$ тома собрания — рядом

блок + $3$ книги: $4! = 24$ $4$ объекта

внутри блока: $3! = 6$ тома между собой

$24 \cdot 6$ = $144$

Сам: сколько способов?

Те же $6$ книг; тома — рядом и по порядку $1, 2, 3$ слева направо $24$
$7$ человек в ряд; Аня и Боря рядом $1440$
$6$ человек в ряд; Аня и Боря не рядом $480$

R02.1

Теория · демонстрационный пример · перебор по порядку

Перестановки букв А, Б, В, Г — по алфавиту

На каждую первую букву —

3! = 6

слов; на каждые две первые —

2! = 2

слова

2,5 мин · теория (учитель показывает и комментирует)
Организованный перебор: фиксируем первую букву (по алфавиту), затем вторую и т. д. — так ни одно слово не пропущено и не повторено. Всего 4! = 24 слова, 4 блока по 3! = 6.
Вопросы классу по таблице: какое слово 13-е? (ВАБГ — первое на В, потому что до него 2 блока по 6.) Какое последнее? (ГВБА — буквы по убыванию.) На каком месте БВГА? (Блок Б: № 7–12; БА — 7, 8; БВ — 9, 10; БВАГ — 9, БВГА — 10.)
Приём для следующего слайда: номер слова = (сколько слов стоит раньше) + 1; «раньше» считаем блоками по факториалам.

R02.1

Образец → сам · номер перестановки

Буквы А, Б, В, Г, Д: все $5! = 120$ слов по алфавиту

Образец: на каком месте слово ВАДБГ?

на А и на Б: $2 \cdot 4! = 48$ все раньше

ВАБ…, ВАГ…: $2 \cdot 2! = 4$ раньше ВАД

ВАДБГ, ВАДГБ — наше первое

место $48 + 4 + 1$ = $53$

Сам

На каком месте слово БАВГД? $25$
Какое слово стоит $100$ -м? ДАВГБ
На каком месте слово ДГВБА? $120$

2,5 мин · практика
Образец: на каждую первую букву 4! = 24 слова; блоки А (1–24), Б (25–48), В (49–72). Внутри «ВА…»: ВАБ (2 слова), ВАГ (2 слова), ВАД: ВАДБГ, ВАДГБ. Значит, 48 + 4 + 1 = 53. Проверено программой.
1) БАВГД — первое слово блока Б: 24 + 1 = 25. 2) Блоки А, Б, В, Г занимают № 1–96; слова на Д: 97 ДАБВГ, 98 ДАБГВ, 99 ДАВБГ, 100 ДАВГБ. 3) ДГВБА — буквы по убыванию, последнее слово: 5! = 120. Все ответы проверены программой.
Задание 3 — устно: последнее слово всегда записано в обратном алфавитном порядке, его номер n!.

R02.1 · ПР-5

Теория · сводка · вероятность и перестановки

Случайный порядок: все $n!$ исходов равновозможны

P (A) = \frac{m}{n !}

$m$ — число перестановок, где событие $A$ наступило; считаем приёмами со сл. 6.

«А стоит раньше Б»:

P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

— по симметрии так при любом

n

Любой объект на заданном месте:

P = \frac{( n - 1 )!}{n !} = \frac{1}{n}

2 мин · теория
«Случайный порядок» (жребий, перемешали карточки) означает: все n! перестановок равновозможны, каждая с вероятностью 1/n!.
Чертёж: 6 перестановок букв А, Б, В; зелёным — те, где А левее Б: АБВ, АВБ, ВАБ — 3 из 6. Симметрия: поменяв в любой перестановке А и Б местами, получаем пару «да — нет», поэтому «да» ровно половина при любом n.
«Объект на заданном месте»: на этом месте с равными шансами любой из n объектов, P = 1/n — короче, чем (n − 1)!/n!.

R02.1 · ПР-5

Образец → сам · вероятность через перестановки

Карточки выкладывают в случайном порядке

Образец: цифры $1$ – $6$ в ряд; $P (по краям — чётные)$

все исходы: $n = 6! = 720$

края: $3 \cdot 2 = 6$ чётные $2, 4, 6$

середина: $4! = 24$ , $m = 6 \cdot 24 = 144$

$P = \frac{144}{720}$ = $0, 2$

Сам: найдите вероятность

$5$ человек в очередь случайно: Аня первая, Боря последний $0, 05$
$7$ человек в ряд случайно: Вася левее Пети $0, 5$
Цифры $1$ – $5$ в случайном порядке: число делится на $4$ $0, 2$

2,5 мин · практика
Образец: на первое место — любая из 3 чётных, на последнее — любая из 2 оставшихся чётных: 3 · 2 = 6; остальные 4 цифры — 4! = 24. m = 144, P = 144/720 = 1/5 = 0,2. Проверено перебором.
1) Аня и Боря зафиксированы, остальные 3 — 3! = 6: P = 6/120 = 1/20 = 0,05. 2) По симметрии (сл. 11) 1/2 = 0,5. 3) Делится на 4 ⇔ две последние цифры образуют число, кратное 4: из цифр 1–5 без повторов — 12, 24, 32, 52 (4 окончания); первые три цифры — 3! = 6; m = 24, P = 24/120 = 0,2. Проверено перебором.

R02.1 · R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
считают, что $0! = 0$	$\frac{3 !}{0 !}$ — делить нельзя	$0! = 1$ , $\frac{3 !}{0 !} = 6$
делят факториалы «как числа»	$\frac{8 !}{4 !} = 2!$	$\frac{8 !}{4 !} = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680$
чередование $3$ М и $3$ Д: забыли вторую схему	$3! \cdot 3! = 36$	$2 \cdot 3! \cdot 3! = 72$
поделили «наоборот» — вероятность больше $1$	$P = \frac{5 !}{4 !} = 5$	$P = \frac{4 !}{5 !} = 0, 2 \leq 1$

R02.1 · R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 20$

$\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = n + 1$

$n + 1 = 20$ , $n = 19$

сокращаются не $n$ множителей: остаётся $n (n + 1)$

$n (n + 1) = 20$ , $n = 4$

б) $6$ книг на полке; $2$ определённые книги — рядом. Сколько способов?

блок + $4$ книги — $5$ объектов: $5! = 120$

забыт порядок внутри блока: $2! = 2$

$5! \cdot 2! = 240$

в) $5$ томов ставят в случайном порядке. $P (по порядку 1, 2, 3, 4, 5)$ ?

$P = \frac{1}{5} = 0, 2$

исходов $5! = 120$ , благоприятный — один

$P = \frac{1}{120}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) (n + 1)! = (n − 1)! · n · (n + 1) — после сокращения остаются два множителя. n² + n − 20 = 0, n = 4 (n = −5 не подходит). Проверка: 5!/3! = 4 · 5 = 20. При n = 19 было бы 20!/18! = 380.
б) Две книги внутри блока стоят в двух порядках: 120 · 2 = 240 (проверено перебором).
в) 1/5 — вероятность, что на первом месте том 1; а нужен ровно один порядок из 5! = 120. Ответ 1/120 ≈ 0,0083 — в ОГЭ такой ответ не встретится, его записывают дробью.

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$7!$ $5040$
$\frac{15 !}{13 !}$ $210$
$\frac{9 !}{7 ! \cdot 2 !}$ $36$

Сколько способов? Вероятность?

«Слова» из всех букв слова ПЛОВ $24$
$8$ команд занимают места с $1$ -го по $8$ -е $40320$
Цифры $1$ – $5$ без повторов; число начинается с $5$ $24$
Буквы слова ЛИСТ в случайном порядке: первая — гласная. $P$ $0, 25$

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Решите уравнение $(n + 1)! = 30 \cdot (n - 1)!$ $n = 5$
повыш.Цифры $1$ – $6$ переставляют так, что все чётные стоят подряд и все нечётные — подряд. Сколько способов? $72$
из жизниКод замка — $5$ разных известных цифр, порядок забыт. Одна попытка — $6$ с. Сколько минут в худшем случае? $12$ мин
из жизниРасписание из $6$ разных уроков; математика — не первым и не последним уроком. Сколько вариантов? $480$

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — десятичную дробь

1. Перед забегом $8$ спортсменов жребием распределяют по дорожкам $1$ – $8$ . Найдите вероятность того, что Иванов окажется на крайней дорожке.

Ответ: $0, 25$

2. Карточки с цифрами $1, 2, 3, 4, 5$ выложили в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что получилось чётное число.

Ответ: $0, 4$

3. Пятеро друзей, среди них Маша и Даша, случайно садятся в ряд из $5$ кресел. Найдите вероятность того, что Маша и Даша сядут на крайние кресла.

Ответ: $0, 1$

R02.1 · R02.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$\frac{6 !}{4 !}$ $30$
«Слова» из всех букв слова ЗАМОК $120$
$5$ книг в ряд; $2$ определённые — рядом $48$
Цифры $1$ – $4$ в случайном порядке: $P (первая цифра чётная)$ $0, 5$

Вариант 2

$\frac{7 !}{5 !}$ $42$
«Слова» из всех букв слова ПЕНАЛ $120$
$6$ книг в ряд; $2$ определённые — рядом $240$
Цифры $1$ – $5$ в случайном порядке: $P (первая цифра нечётная)$ $0, 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как сократить $\frac{n !}{( n - 2 )!}$ ?
Как считать «рядом» и «не рядом»?
Что стоит в знаменателе вероятности?

Домашнее задание

Решите $\frac{( n + 2 )!}{n !} = 56$
Буквы К, Л, М, Н по алфавиту: номер слова МКНЛ
$7$ человек в ряд случайно: $P (трое друзей рядом)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_perestanovki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-008 · Практикум: перестановки

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 4 ч · урок 4/4 · тип П
Единицы → слайды	R02.1 «Перестановки» → 2, 4, 6–19 · R02.2 «Факториал» → 2–5, 13–15, 18, 19
Результаты	ПР-2 / REQ-5.2 (перебор вариантов, комбинаторные правила) → 3–10, 13–16, 18 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 11, 12, 14, 15, 17, 18 · EL-5.2
Вне урока	перестановки с повторяющимися элементами, размещения — не в ФРП 9 класса; сочетания — VIS9-006; геометрическая вероятность — VIS9-009
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: перестановки и факториал

Сегодня вы научитесь

Считать с факториалом

Учитывать условия

Перебирать по порядку

Находить вероятности

Факториалы и расстановки

Вычислите

Ответьте

Заполняем n мест по очереди

Сначала сократите — потом считайте

Образец: решите (n−1)!(n+1)!​=42

Сам

Три приёма, когда есть условие

Кто на каких местах может стоять?

Образец: 3 мальчика и 3 девочки в ряд, чередуясь

Сам: сколько способов?

Склеиваем тех, кто должен стоять рядом

Образец: 6 книг; 3 тома собрания — рядом

Сам: сколько способов?

Перестановки букв А, Б, В, Г — по алфавиту

Буквы А, Б, В, Г, Д: все 5!=120 слов по алфавиту

Образец: на каком месте слово ВАДБГ?

Сам

Случайный порядок: все n! исходов равновозможны

Карточки выкладывают в случайном порядке

Образец: цифры 1–6 в ряд; P(по краям — чётные)

Сам: найдите вероятность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Решите (n−1)!(n+1)!​=20

б) 6 книг на полке; 2 определённые книги — рядом. Сколько способов?

в) 5 томов ставят в случайном порядке. P(по порядку 1,2,3,4,5)?

Решите и проверьте

Вычислите

Сколько способов? Вероятность?

Подумайте и решите

Запишите ответ — десятичную дробь

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-008 · Практикум: перестановки

Заполняем $n$ мест по очереди

Образец: решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 42$

Образец: $3$ мальчика и $3$ девочки в ряд, чередуясь

Образец: $6$ книг; $3$ тома собрания — рядом

Буквы А, Б, В, Г, Д: все $5! = 120$ слов по алфавиту

Случайный порядок: все $n!$ исходов равновозможны

Образец: цифры $1$ – $6$ в ряд; $P (по краям — чётные)$

а) Решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 20$

б) $6$ книг на полке; $2$ определённые книги — рядом. Сколько способов?

в) $5$ томов ставят в случайном порядке. $P (по порядку 1, 2, 3, 4, 5)$ ?