Элементы комбинаторики · урок 3 из 4 · практическая работа

Вероятности с помощью комбинаторных функций электронных таблиц

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9-007

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (4 ч), урок 3/4, единица R02.5 «Практическая работа „Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций электронных таблиц“». Тип урока — И (практическая работа). Опора: перестановки и факториал (VIS9-005), сочетания и треугольник Паскаля (VIS9-006).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (комбинаторные функции) 2,5 · 6 (ссылки и копирование) 2 · 7 (план практической работы) 1,5 · 9 (вероятность через число сочетаний, учитель решает сам) 2,5 · 13 («хотя бы один», учитель решает сам) 2,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 10, 11, 14) по 2 · исследования в таблице (сл. 8, 12 — по 3; сл. 15 — 2) · типичные ошибки (сл. 16) 1,5 · найди ошибку (сл. 17) 2 · самопроверка, база (сл. 18) 2,5 · повышенный уровень (сл. 19) 2 · ОГЭ (сл. 20) 2 · самостоятельная работа (сл. 21) 3 · итог (сл. 22) 1.
Нужен компьютерный класс (Excel, «Р7-Офис», LibreOffice Calc или Google Таблицы) — по компьютеру на пару. Без компьютеров: формулы записывают в тетрадь, значения считают вручную, слайд 15 показывает учитель.
Если не успеваете: сл. 15 (эксперимент) и задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать в таблице

ФАКТР, ЧИСЛКОМБ, ПЕРЕСТ вместо ручного счёта (ПР-2)

Строить треугольник Паскаля

одной формулой с закреплёнными ссылками (ПР-2)

Находить вероятности

выбора без порядка: $P = \frac{C _{6}^{3}}{C _{10}^{3}}$ и «хотя бы один» (ПР-5)

Сравнивать частоту и вероятность

в случайном эксперименте с СЛЧИС (ПР-4)

1 мин · теория
ПР-2 (= REQ-5.2): «Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов». ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями…». ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами проведенных измерений и наблюдений».
Единица ФРП: R02.5; элементы содержания EL-5.3 «Сочетания и число сочетаний», EL-5.4 «Треугольник Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики».

повторение: VIS9-005, VIS9-006

Разминка · устно

Перестановки и сочетания

Вычислите

$4!$ $24$
$C_{5}^{2}$ $10$
$C_{7}^{0}$ и $C_{8}^{1}$ $1$ и $8$
$C_{6}^{4}$ $C_{6}^{2} = 15$

Ответьте

Строка $n = 4$ треугольника Паскаля $14641$
Сумма чисел строки $n = 5$ $2^{5} = 32$
Капитан и заместитель из $5$ $5 \cdot 4 = 20$
$2$ дежурных из $5$ $C_{5}^{2} = 10$

R02.5

Теория · комбинаторные функции электронных таблиц

Таблица считает за нас

Функция	Что считает	Формула	Ответ	Англ.
ФАКТР(n)	$n!$ — перестановки	=ФАКТР(5)	$120$	FACT
ЧИСЛКОМБ(n;k)	$C_{n}^{k}$ — порядок не важен	=ЧИСЛКОМБ(5;2)	$10$	COMBIN
ПЕРЕСТ(n;k)	$k$ из $n$ , порядок важен	=ПЕРЕСТ(5;2)	$20$	PERMUT
СЛЧИС()	случайное число от $0$ до $1$	=СЛЧИС()	$0, 73 \dots$	RAND

Формула начинается со знака =, аргументы — через ; сначала

n

(всего), потом

k

(выбираем).

2,5 мин · теория
ФАКТР(5) = 5! = 120. ЧИСЛКОМБ(5;2) = C₅² = 10. ПЕРЕСТ(5;2) = 5 · 4 = 20 — упорядоченные пары из 5 элементов; ПЕРЕСТ(n;n) = n!. СЛЧИС() — равномерно случайное число из [0; 1), пересчитывается при каждом изменении листа (F9).
Связь: ЧИСЛКОМБ(5;2) = ПЕРЕСТ(5;2) / ФАКТР(2) = 20 / 2 = 10 — у каждой неупорядоченной пары 2! порядков.
В английской версии и в Google Таблицах с английскими функциями — FACT, COMBIN, PERMUT, RAND; в английской локали аргументы через запятую. В «Р7-Офис» и LibreOffice — русские названия, как в Excel.

R02.5

Образец → сам · какую функцию выбрать

Сначала — важен ли порядок?

Образец: из $25$ учеников выбирают $3$ дежурных

дежурные равноправны порядок не важен

сочетания: $C_{25}^{3}$ $n = 25, k = 3$

=ЧИСЛКОМБ(25;3) сначала $n$

Ответ: $2300$ способов

Сам: формула и ответ

Капитан и заместитель из $12$ =ПЕРЕСТ(12;2) $132$
$8$ книг на полке в ряд =ФАКТР(8) $40320$
$4$ задачи из $10$ на контрольную =ЧИСЛКОМБ(10;4) $210$

R02.5

Теория · ссылки и копирование формулы

Знак $ закрепляет столбец или строку

$A4 — столбец A не меняется: оттуда берём $n$

D$1 — строка 1 не меняется: оттуда берём $k$

В D4: $C_{3}^{2}$ = $3$

Одну формулу из B2 протягиваем вправо и вниз — таблица заполняется сама.

2 мин · теория
Обычная ссылка A4 при копировании сдвигается вместе с формулой. Знак $ перед буквой закрепляет столбец, перед номером — строку. Смешанные ссылки $A4 и D$1 нужны, чтобы каждая ячейка брала n из своей строки (столбец A) и k из своего столбца (строка 1).
В B2 вводят =ЧИСЛКОМБ($A2;B$1); после копирования в D4 получается =ЧИСЛКОМБ($A4;D$1) = C₃² = 3. Пустые клетки справа сверху: при k > n ЧИСЛКОМБ даёт ошибку #ЧИСЛО!; аккуратный вариант — =ЕСЛИ(B$1>$A2;"";ЧИСЛКОМБ($A2;B$1)).
Клавиша F4 в Excel переключает виды ссылки: A4 → $A$4 → A$4 → $A4.

R02.5

Практическая работа · инструкция

Три листа — три задания

Лист 1 «Паскаль»

$n = 0 \dots 10$ в столбце A, $k$ — в строке 1.

Одна формула ЧИСЛКОМБ → весь треугольник.

Лист 2 «Вероятности»

Задачи урока: $P = \frac{m}{n}$ формулой.

Таблица распределения и «хотя бы один».

Лист 3 «Опыт»

$100$ бросков кубика через СЛУЧМЕЖДУ.

Частота шестёрки против $\frac{1}{6}$ .

В тетрадь: формулу каждой ответной ячейки и её значение.

R02.4 · R02.5

Исследование · треугольник Паскаля в таблице

Лист 1: что видно в таблице?

Сумма строки 8: =СУММ(B8:H8) $64 = 2^{6}$
E8 из двух чисел над ним $10 + 10 = 20$
Продлите до $n = 10$ : $C_{10}^{5}$ $252$
Какая строка симметрична? каждая: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

R02.5 · ПР-5

Теория · вероятность через число сочетаний

Наугад берут $3$ карандаша. $P (все синие)$ ?

все исходы: $n = C_{10}^{3} = 120$ порядок не важен

благоприятные: $m = C_{6}^{3} = 20$

$P = \frac{20}{120}$ = $\frac{1}{6}$

=ЧИСЛКОМБ(6;3)/ЧИСЛКОМБ(10;3) →

0, 1666 \dots

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Исход опыта — любая тройка карандашей из 10, порядок не важен; все тройки равновозможны, их C₁₀³ = 120. Благоприятные — тройки из 6 синих: C₆³ = 20. P = 20/120 = 1/6 ≈ 0,17. Проверено перебором (python).
Общее правило: если из N предметов, среди которых N₁ «особых», берут k, то вероятность «все k особые» равна C_{N₁}^k / C_N^k. В числителе и знаменателе — одно и то же k.
Таблица выводит 0,1666667 — в ответ записываем дробь 1/6; формат ячейки «Дробный» показывает 1/6.

R02.3 · R02.5

Образец → сам · выбор из двух групп

Сочетания перемножаем

Образец: в кружке $5$ мальчиков и $4$ девочки. Выбрать $2$ мальчиков и $1$ девочку

мальчики: $C_{5}^{2} = 10$ порядок не важен

девочка: $C_{4}^{1} = 4$

$10 \cdot 4$ = $40$ правило умножения

=ЧИСЛКОМБ(5;2)*ЧИСЛКОМБ(4;1)

Сам: сколько способов?

Из тех же $9$ : $3$ мальчика и $2$ девочки $60$
$2$ гласные из $3$ и $2$ согласные из $5$ $30$
Команда из $4$ : ровно $2$ девочки из $5$ , остальные — из $6$ мальчиков $150$

R02.5 · ПР-5

Образец → сам · вероятность одной формулой

Благоприятные — в числитель, все — в знаменатель

Образец: из $5$ мальчиков и $4$ девочек жребием выбирают $3$ . $P (2 мальчика и 1 девочка)$

$m = C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 40$ сл. 10

$n = C_{9}^{3} = 84$ любые $3$ из $9$

$P = \frac{40}{84}$ = $\frac{10}{21}$ $\approx 0, 48$

Сам: найдите вероятность

Там же: все трое — девочки $\frac{1}{21}$
Там же: все трое — мальчики $\frac{5}{42}$
Из колоды $36$ карт берут $2$ — обе тузы $\frac{1}{105}$

R02.5 · ПР-5

Исследование · сколько бракованных в выборке

$10$ деталей, $3$ из них бракованные; наугад берут $4$

Лист 2, ячейка B2, протянуть до B5:

=ЧИСЛКОМБ(3;A2)*ЧИСЛКОМБ(7;4-A2)
/ЧИСЛКОМБ(10;4)

Какое $k$ вероятнее всего? $k = 1$
Сумма столбца B $1$
$P (k \geq 2)$ $\frac{1}{3}$

3 мин · практика (исследование)
В A2:A5 — k = 0, 1, 2, 3. Всего выборок C₁₀⁴ = 210. P(0) = C₇⁴/210 = 35/210 = 1/6; P(1) = C₃¹ · C₇³/210 = 105/210 = 1/2; P(2) = C₃² · C₇²/210 = 63/210 = 3/10; P(3) = C₃³ · C₇¹/210 = 7/210 = 1/30. Столбики появляются по клику.
1) k = 1 (половина всех выборок). 2) 1/6 + 1/2 + 3/10 + 1/30 = 1 — так и должно быть: события «k = 0», …, «k = 3» несовместны и исчерпывают все исходы. 3) 3/10 + 1/30 = 10/30 = 1/3.
Можно построить в таблице столбчатую диаграмму по B2:B5 — это распределение вероятностей (тема R05).

R02.5 · ПР-5

Теория · «хотя бы один» через противоположное событие

$P (хотя бы одна бракованная)$ — там же

Напрямую: $\frac{1}{2} + \frac{3}{10} + \frac{1}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$

Короче: $1 - P (ни одной) = 1 - \frac{C _{7}^{4}}{C _{10}^{4}} = \frac{5}{6}$

=1-ЧИСЛКОМБ(7;4)/ЧИСЛКОМБ(10;4) «хотя бы один»

=

1 -

«ни одного»

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Событие «хотя бы одна бракованная» противоположно событию «ни одной бракованной» (все 4 детали исправные). P(ни одной) = C₇⁴ / C₁₀⁴ = 35/210 = 1/6, значит P(хотя бы одна) = 1 − 1/6 = 5/6.
Сверка с распределением сл. 12: 105/210 + 63/210 + 7/210 = 175/210 = 5/6 ✓. Вывод: когда «хотя бы один» складывается из многих случаев, считаем один противоположный.
Вопрос: какое событие противоположно «все бракованные»? (Не «все исправные», а «хотя бы одна исправная».)

R02.5 · ПР-5

Образец → сам · противоположное событие

Хотя бы один — через «ни одного»

Образец: из $10$ билетов $4$ выигрышных, купили $2$ . $P (хотя бы один выигрышный)$

«ни одного»: $\frac{C _{6}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ оба из $6$ пустых

$P = 1 - \frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ противоположное

Сам

Из $8$ ламп $2$ неисправны, берут $3$ . $P (хотя бы одна неисправна)$ $\frac{9}{14}$
$5$ мальчиков и $5$ девочек, жребием $3$ . $P (хотя бы одна девочка)$ $\frac{11}{12}$
Знает $4$ вопроса из $6$ , достаются $2$ . $P (знает хотя бы один)$ $\frac{14}{15}$

R02.5 · ПР-4

Исследование · случайный эксперимент в таблице

Лист 3: частота шестёрки

C2: =СЧЁТЕСЛИ(A2:A101;6)/100

Какое число ждёте в C2? около $\frac{1}{6} \approx 0, 17$
Нажмите F9 $5$ раз. Что меняется? частота; вероятность — нет
Сделайте $1000$ бросков. Что заметили? частоты ближе к $0, 17$

2 мин · практика (исследование)
СЛУЧМЕЖДУ(1;6) — случайное целое от 1 до 6; то же даёт =ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6)+1. Значения в столбце A на рисунке — пример одного запуска, у каждого будут свои.
1) Ожидаем около 1/6 ≈ 0,17. 2) При каждом пересчёте частота другая (0,12; 0,19; 0,15 …) — частота случайна, а вероятность 1/6 — число постоянное. 3) Для 1000 бросков (A2:A1001, деление на 1000) частоты от запуска к запуску разбросаны меньше и ближе к 0,167 — это проявление закона больших чисел (подробно — тема R06).
Если компьютеров нет — учитель показывает на своём экране, класс записывает 5 частот на доске.

R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
порядок аргументов	=ЧИСЛКОМБ(3;25) → #ЧИСЛО!	=ЧИСЛКОМБ(25;3) — сначала $n$
порядок не важен, а взяли ПЕРЕСТ	$3$ дежурных из $25$ : =ПЕРЕСТ(25;3) $= 13800$	$C_{25}^{3} = 2300$
две группы — сложили	$C_{5}^{2} + C_{4}^{1} = 14$	$C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 40$
вероятность больше $1$	$P = \frac{C _{10}^{3}}{C _{6}^{3}} = 6$	$P = \frac{C _{6}^{3}}{C _{10}^{3}} = \frac{1}{6}$

R02.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Треугольник Паскаля: в B2 формула протянута на весь лист

=ЧИСЛКОМБ(A2;B1)

ссылки «уезжают»: в C2 уже B2;C1

=ЧИСЛКОМБ($A2;B$1)

б) $10$ деталей, $3$ бракованные, берут $2$ . $P (обе исправны)$

=ЧИСЛКОМБ(7;2)/ЧИСЛКОМБ(10;3)

берут $2$ , а не $3$ : $k$ одинаковое

$\frac{C _{7}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

в) Там же: $P (хотя бы одна бракованная)$

$1 - \frac{C _{3}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{14}{15}$

противоположное — «обе исправны», а не «обе бракованные»

$1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Без $ при копировании вправо сдвигается и ссылка на n (A2 → B2), при копировании вниз — ссылка на k (B1 → B2). Верно — смешанные ссылки $A2 и B$1 (сл. 6).
б) C₇² = 21, C₁₀² = 45, P = 7/15 ≈ 0,47; у ученика 21/120 = 0,175 — знаменатель для троек. в) Противоположное событию «хотя бы одна бракованная» — «ни одной бракованной», то есть обе исправные: 1 − 7/15 = 8/15. Проверено python.

R02.5

Задания с самопроверкой · база

Формула в ячейке — и ответ

Что выдаст таблица?

=ФАКТР(6) $720$
=ЧИСЛКОМБ(8;3) $56$
=ПЕРЕСТ(6;2) $30$
Формула для $C_{9}^{4}$ =ЧИСЛКОМБ(9;4) $126$

Решите

$2$ книги из $7$ взять с собой $21$
$2$ яблока из $5$ и $1$ грушу из $3$ $30$
$6$ билетов, $2$ выигрышных, берут $2$ . $P (оба выигрышные)$ $\frac{1}{15}$

R02.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.=ЧИСЛКОМБ(n;2) выдала $45$ . Найдите $n$ $n = 10$
повыш.В B2 формула =ЧИСЛКОМБ($A2;B$1). Что окажется в D5 после копирования? =ЧИСЛКОМБ($A5;D$1)
из жизниВ партии $20$ деталей, $2$ бракованные. Контролёр проверяет $3$ . $P (найдёт хотя бы одну)$ $\frac{27}{95} \approx 0, 28$
из жизниЛотерея « $5$ из $20$ »: сколько разных карточек? $P (угадать все 5)$ $15504$ ; $\frac{1}{15 504}$

R02.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В билете $5$ вопросов. Экзаменатор случайно выбирает $2$ из них. Найдите вероятность того, что выбраны вопросы $1$ и $2$ .

$0, 1$

2. В коробке $6$ батареек, $2$ из них разряжены. Наугад берут $3$ . Найдите вероятность того, что все три исправны.

$0, 2$

3. В урне $3$ белых и $2$ чёрных шара. Наугад достают $2$ . Найдите вероятность того, что среди них есть хотя бы один белый.

$0, 9$

В бланк — число без единиц:

0, 1

записывают как 0,1.

R02.5

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

=ЧИСЛКОМБ(7;3) $35$
$2$ мальчика из $6$ и $1$ девочка из $5$ : сколько способов? $75$
Из $8$ ламп $3$ неисправны, берут $2$ . $P (обе исправны)$ $\frac{5}{14}$

Вариант 2

=ЧИСЛКОМБ(9;2) $36$
$2$ девочки из $5$ и $1$ мальчик из $7$ : сколько способов? $70$
Из $7$ ламп $2$ неисправны, берут $2$ . $P (обе исправны)$ $\frac{10}{21}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда ЧИСЛКОМБ, а когда ПЕРЕСТ?
Зачем знак $ в ссылке?
Как найти $P (хотя бы один)$ ?
Чем частота отличается от вероятности?

Домашнее задание

Достройте лист 1 до $n = 12$ , найдите $C_{12}^{6}$
Выучено $9$ вопросов из $12$ , достаются $3$ . $P (знает все три)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_kombinatornye-zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-007 · Элементы комбинаторики: практическая работа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 4 ч · урок 3/4 · тип И
Единицы → слайды	R02.5 «Практическая работа „Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций электронных таблиц“» → 2, 4–22 · повторение R02.1–R02.4 (перестановки, факториал, сочетания, треугольник Паскаля) → 3, 5, 8, 10
Результаты	ПР-2 / REQ-5.2 (перебор вариантов, комбинаторные правила) → 3–8, 10, 16–19, 21 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 9, 11–14, 17–21 · ПР-4 / REQ-5.4 (частоты по результатам эксперимента) → 15
Вне урока	практикум по перестановкам — VIS9-008; распределение и закон больших чисел подробно — строки R05, R06
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вероятности с помощью комбинаторных функций электронных таблиц

Сегодня вы научитесь

Считать в таблице

Строить треугольник Паскаля

Находить вероятности

Сравнивать частоту и вероятность

Перестановки и сочетания

Вычислите

Ответьте

Таблица считает за нас

Сначала — важен ли порядок?

Образец: из 25 учеников выбирают 3 дежурных

Сам: формула и ответ

Знак $ закрепляет столбец или строку

Три листа — три задания

Лист 1 «Паскаль»

Лист 2 «Вероятности»

Лист 3 «Опыт»

Лист 1: что видно в таблице?

Наугад берут 3 карандаша. P(все синие)?

Сочетания перемножаем

Образец: в кружке 5 мальчиков и 4 девочки. Выбрать 2 мальчиков и 1 девочку

Сам: сколько способов?

Благоприятные — в числитель, все — в знаменатель

Образец: из 5 мальчиков и 4 девочек жребием выбирают 3. P(2 мальчика и 1 девочка)

Сам: найдите вероятность

10 деталей, 3 из них бракованные; наугад берут 4

P(хотя бы одна бракованная) — там же

Хотя бы один — через «ни одного»

Образец: из 10 билетов 4 выигрышных, купили 2. P(хотя бы один выигрышный)

Сам

Лист 3: частота шестёрки

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Треугольник Паскаля: в B2 формула протянута на весь лист

б) 10 деталей, 3 бракованные, берут 2. P(обе исправны)

в) Там же: P(хотя бы одна бракованная)

Формула в ячейке — и ответ

Что выдаст таблица?

Решите

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-007 · Элементы комбинаторики: практическая работа

Образец: из $25$ учеников выбирают $3$ дежурных

Наугад берут $3$ карандаша. $P (все синие)$ ?

Образец: в кружке $5$ мальчиков и $4$ девочки. Выбрать $2$ мальчиков и $1$ девочку

Образец: из $5$ мальчиков и $4$ девочек жребием выбирают $3$ . $P (2 мальчика и 1 девочка)$

$10$ деталей, $3$ из них бракованные; наугад берут $4$

$P (хотя бы одна бракованная)$ — там же

Образец: из $10$ билетов $4$ выигрышных, купили $2$ . $P (хотя бы один выигрышный)$

б) $10$ деталей, $3$ бракованные, берут $2$ . $P (обе исправны)$

в) Там же: $P (хотя бы одна бракованная)$