Элементы комбинаторики · урок 1 из 4

Перестановки. Факториал

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9-005

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (4 ч), урок 1/4, единицы R02.1 «Перестановки», R02.2 «Факториал». Тип урока — Н. Опора: правило умножения и перебор вариантов (7–8 класс), классическая вероятность, операции над событиями (VIS9-001…004).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (правило умножения) 2 · 6 (перестановки, дерево) 2 · 7 (вывод формулы числа перестановок) 1,5 · 9 (факториал) 2,5 · 11 (перестановки с условием, учитель решает сам) 2 · 13 (вероятность и перестановки, учитель решает сам) 2. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 8, 10, 12, 14) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3 · повышенный уровень и задачи из жизни (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная работа (сл. 20) 4 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.1 · R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать варианты

по комбинаторному правилу умножения — пары и тройки (ПР-2)

Находить число перестановок

$P_{n} = n!$ — и строить дерево перестановок (ПР-2)

Вычислять факториалы

и упрощать дроби вида $\frac{n !}{( n - 2 )!}$

Находить вероятности

в опытах со случайным порядком, $P (A) = \frac{m}{n}$ (ПР-5)

повторение: 8 класс, VIS9-001…004

Разминка · устно

Варианты и вероятности

Сколько вариантов?

$3$ рубашки, $4$ брюк: комплектов $12$
$2 \cdot 3 \cdot 4$ $24$
$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ $120$
Монету бросили $2$ раза: исходов $4$

Числа и вероятности

Двузначные из $1, 2, 3$ , повторы можно $9$
…без повторения цифр $6$
Кубик: $P (выпало 6)$ $\frac{1}{6}$
$P (A) = 0, 3$ ; $P (\overline{A})$ $0, 7$

R02.1

Теория · комбинаторное правило умножения

Выбор в два шага: $3 \cdot 2 = 6$

Если первый элемент можно выбрать $m$ способами, а после этого второй — $n$ способами, то пару — $m \cdot n$ способами.

Завтрак: $3 \cdot 2 = 6$ напиток, потом выпечка

Тройка: $m \cdot n \cdot k$ шагов сколько угодно

Пара

(a; b)

— упорядоченная: важно, что выбрано первым, что вторым.

2 мин · теория
Дерево: из корня 3 ветки (напиток), из каждой — 2 (выпечка); листьев 3 · 2 = 6 — столько пар. Правило умножения — это подсчёт листьев дерева без рисования.
Вопрос классу: сколько вариантов, если добавить 4 вида каши? (3 · 2 · 4 = 24 тройки.) Почему «после этого»: число вариантов на втором шаге не зависит от того, что выбрано на первом.
Упорядоченная пара: (Аня — капитан; Боря — заместитель) и (Боря — капитан; Аня — заместитель) — разные пары.

R02.1

Образец → сам · правило умножения

Считаем по шагам выбора

Образец: трёхзначные числа из цифр $1, 2, 3, 4, 5$ без повторения

сотни: $5$ способов любая из пяти цифр

десятки: $4$ одна цифра уже занята

единицы: $3$ заняты две

$5 \cdot 4 \cdot 3$ = $60$ правило умножения

Сам: сколько способов?

Код: $2$ буквы из A–E, повторы можно $25$
Флаг: $3$ полосы разных цветов из $5$ $60$
Капитан и заместитель из $10$ игроков $90$

R02.1

Новое понятие · перестановки

Все элементы — в разном порядке

Перестановка из $n$ элементов — любой упорядоченный ряд из всех этих $n$ элементов.

Число перестановок — $P_{n}$

$P_{3} = 3 \cdot 2 \cdot 1$ = $6$

Перестановки отличаются только порядком: ABC и CBA — разные.

R02.1 · R02.2

Теория · число перестановок из n элементов

Заполняем $n$ мест по очереди

P_{n} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1

Произведение всех натуральных чисел от

1

до

n

обозначают

n!

(«эн факториал»): $P_{n} = n!$

R02.1

Образец → сам · число перестановок

Сколькими способами расставить?

Образец: $5$ разных книг на полке

ставим все $5$ книг в ряд это перестановка

$P_{5} = 5!$ формула числа перестановок

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ определение

Ответ: $120$ способов

Сам

$4$ человека встают в очередь $24$
«Слова» из всех букв слова ВЕКТОР $720$
Порядок выступлений $7$ участников $5040$

R02.2

Новое понятие · факториал

Факториал: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Факториал натурального $n$ — произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$ .

$n! = n \cdot (n - 1)!$ $6! = 6 \cdot 5! = 720$

$1! = 1$ , $0! = 1$ договорились

\frac{8 !}{6 !} = \frac{6 ! \cdot 7 \cdot 8}{6 !} = 56

— сокращаем, не вычисляя

8!

R02.2

Образец → сам · дроби с факториалами

Сначала сократите

Образец: $\frac{7 !}{5 ! \cdot 2 !}$

$7! = 5! \cdot 6 \cdot 7$ $n! = n \cdot (n - 1)!$ дважды

$\frac{5 ! \cdot 6 \cdot 7}{5 ! \cdot 2 !} = \frac{6 \cdot 7}{2}$ сократили $5!$

$= \frac{42}{2}$ = $21$ $2! = 2$

Сам: вычислите

$\frac{10 !}{8 !}$ $90$
$\frac{6 ! - 5 !}{4 !}$ $25$
$\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!}$ $n (n + 1)$

R02.1

Теория · перестановки с условием

Аня и Боря хотят стоять рядом

$5$ друзей фотографируются в ряд

$4! \cdot 2! = 24 \cdot 2$ = $48$

«рядом» — склеить в блок, учесть порядок внутри

«на своём месте» — поставить, переставлять остальных

«не рядом» — все минус «рядом»

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Блок «АБ» считаем одним объектом: объекты [АБ], В, Г, Д — их 4!, = 24 расстановки. Внутри блока Аня и Боря могут стоять как АБ или БА — 2! = 2. По правилу умножения 24 · 2 = 48.
«На своём месте»: Аня строго слева с краю — остальные 4 человека переставляются: 4! = 24.
«Не рядом»: всех расстановок 5! = 120, «рядом» — 48, значит, «не рядом» — 120 − 48 = 72 (противоположное событие, как P(не A) = 1 − P(A)). Проверено перебором.

R02.1

Образец → сам · перестановки с ограничением

Ноль не может стоять первым

Образец: четырёхзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3$ (все цифры, без повторов)

все перестановки: $4! = 24$ порядок цифр

с нулём впереди: $3! = 6$ это не четырёхзначные

$24 - 6$ = $18$ все минус лишние

проверка: $3 \cdot 3! = 18$ первая — не $0$

Сам

Пятизначные из цифр $1$ – $5$ без повторов, оканчиваются на $5$ $24$
Пятизначные из цифр $0, 1, 2, 3, 4$ без повторов $96$
$5$ человек в ряд, Аня и Боря не рядом $72$

R02.1 · ПР-5

Теория · вероятность и перестановки

Три тома ставят на полку случайно

$n = 3! = 6$ равновозможных исходов

$A$ = «по порядку $1, 2, 3$ »: $P (A) = \frac{1}{6}$

$B$ = «том $1$ слева»: $P (B) = \frac{2 !}{3 !} = \frac{1}{3}$

P = \frac{m}{n}

:

n

— число всех перестановок,

m

— благоприятных.

R02.1 · ПР-5

Образец → сам · вероятность через перестановки

Все перестановки — в знаменатель

Образец: $4$ ученика встают в очередь случайно. $P (Аня первая)$ ?

$n = 4! = 24$ все очереди

$m = 3! = 6$ Аня первая, трое — как угодно

$P = \frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4} = 0, 25$

Сам: найдите вероятность

Карточки К, Н, И, Г, А в ряд случайно — вышло «КНИГА» $\frac{1}{120}$
$4$ человека в ряд — Петя и Вася рядом $\frac{1}{2}$
Цифры $1, 2, 3$ в случайном порядке — число чётное $\frac{1}{3}$

R02.1 · R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«ноль множителей — ноль»	$0! = 0$	$0! = 1$ , так как $1! = 1 \cdot 0!$
делят числа под знаком $!$	$\frac{6 !}{3 !} = 2!$	$\frac{6 !}{3 !} = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$
складывают числа под знаком $!$	$2! + 3! = 5!$	$2! + 3! = 2 + 6 = 8$
вероятность больше $1$	$P = \frac{4 !}{3 !} = 4$	$P = \frac{3 !}{4 !} = \frac{1}{4}$

R02.1 · R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Четырёхзначные из цифр $0, 3, 5, 7$ без повторов

$P_{4} = 4! = 24$ числа

с нулём впереди — $3! = 6$ , они не четырёхзначные

$24 - 6 = 18$

б) Вычислите $\frac{9 !}{7 !}$

$\frac{9 !}{7 !} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$

$9! = 7! \cdot 8 \cdot 9$ , множитель $7$ сократился

$\frac{9 !}{7 !} = 8 \cdot 9 = 72$

в) $5$ человек в ряд, Аня и Боря рядом

блок + $3$ человека: $4! = 24$

забыт порядок внутри блока: АБ или БА

$4! \cdot 2! = 48$

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$6!$ $720$
$\frac{12 !}{10 !}$ $132$
$\frac{5 !}{3 ! \cdot 2 !}$ $10$

Сосчитайте

«Слова» из всех букв слова МИР $6$
Расписание из $5$ разных уроков на день $120$
$6$ бегунов по $6$ дорожкам $720$
Буквы М, И, Р в случайном порядке — вышло «МИР» $\frac{1}{6}$

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Решите уравнение $\frac{n !}{( n - 2 )!} = 30$ $n = 6$
повыш.Сколько шестизначных чисел из цифр $1$ – $6$ без повторов, в которых $1$ и $2$ стоят рядом? $240$
из жизниЗамок открывается кодом из цифр $1, 2, 3, 4$ , каждая по разу. Одна попытка — $10$ с. За сколько минут точно откроете? за $4$ мин
из жизниКаждый день $10$ учеников садятся по-новому на $10$ стульев. Хватит ли $100$ лет, чтобы перебрать все рассадки? нет, $10! = 3628800$ дней

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) n!/(n − 2)! = n(n − 1) = 30, n ≥ 2 натуральное: n² − n − 30 = 0, n = 6 (корень −5 не подходит). Проверка: 6 · 5 = 30.
2) Блок «12» + цифры 3, 4, 5, 6 — 5 объектов: 5! = 120; внутри блока 2 порядка: 240 (проверено перебором).
3) 4! = 24 кода, 24 · 10 = 240 с = 4 мин (в худшем случае).
4) 10! = 3 628 800 дней ≈ 9942 года — намного больше 100 лет (100 лет ≈ 36 525 дней). Так быстро растёт факториал.

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Четыре спортсмена — А, Б, В и Г — выступают в случайном порядке. Найдите вероятность того, что Б выступит первым.

$0, 25$

2. Карточки с цифрами $1, 2, 3, 4, 5$ выкладывают в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что получится число, кратное $5$ .

$0, 2$

3. Пять друзей, среди них Аня и Боря, встают в очередь в случайном порядке. Найдите вероятность того, что Аня и Боря окажутся рядом.

$0, 4$

В бланк — число без единиц:

0, 25

записывают как 0,25.

R02.1 · R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$5!$ $120$
$\frac{9 !}{7 !}$ $72$
Сколькими способами $6$ бегунов встанут на $6$ дорожек? $720$
Цифры $1, 2, 3, 4$ — в случайном порядке. $P (число начинается с 4)$ $\frac{1}{4}$

Вариант 2

$4!$ $24$
$\frac{10 !}{8 !}$ $90$
Сколькими способами $5$ гостей сядут на $5$ стульев в ряд? $120$
Цифры $1, 2, 3, 4, 5$ — в случайном порядке. $P (число оканчивается на 1)$ $\frac{1}{5}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что называют перестановкой?
Чему равно $P_{n}$ и почему?
Чему равно $0!$ ?
Как считать расстановки, где двое «рядом»?

Домашнее задание

Вычислите: $7!$ ; $\frac{11 !}{9 !}$ . «Слова» из букв слова ПЕСНЯ
$5$ томов на полке случайно: $P (тома 1 и 2 рядом)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_perestanovki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-005 · Перестановки. Факториал

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 4 ч · урок 1/4 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Перестановки» → 2, 4–8, 11–21 · R02.2 «Факториал» → 2, 7, 9–10, 15–21 · повторение (правило умножения, классическая вероятность, противоположное событие) → 3
Результаты	ПР-2 / REQ-5.2 (перебор вариантов, комбинаторные правила) → 3–12, 15–18, 20 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 13–14, 17, 19–20
Вне урока	сочетания и треугольник Паскаля — VIS9-006; практическая работа в электронных таблицах — VIS9-007; практикум по перестановкам — VIS9-008
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Перестановки. Факториал

Сегодня вы научитесь

Считать варианты

Находить число перестановок

Вычислять факториалы

Находить вероятности

Варианты и вероятности

Сколько вариантов?

Числа и вероятности

Выбор в два шага: 3⋅2=6

Считаем по шагам выбора

Образец: трёхзначные числа из цифр 1,2,3,4,5 без повторения

Сам: сколько способов?

Все элементы — в разном порядке

Заполняем n мест по очереди

Сколькими способами расставить?

Образец: 5 разных книг на полке

Сам

Факториал: n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n

Сначала сократите

Образец: 5!⋅2!7!​

Сам: вычислите

Аня и Боря хотят стоять рядом

Ноль не может стоять первым

Образец: четырёхзначные числа из цифр 0,1,2,3 (все цифры, без повторов)

Сам

Три тома ставят на полку случайно

Все перестановки — в знаменатель

Образец: 4 ученика встают в очередь случайно. P(Аня первая)?

Сам: найдите вероятность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Четырёхзначные из цифр 0,3,5,7 без повторов

б) Вычислите 7!9!​

в) 5 человек в ряд, Аня и Боря рядом

Решите и проверьте

Вычислите

Сосчитайте

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-005 · Перестановки. Факториал

Выбор в два шага: $3 \cdot 2 = 6$

Образец: трёхзначные числа из цифр $1, 2, 3, 4, 5$ без повторения

Заполняем $n$ мест по очереди

Образец: $5$ разных книг на полке

Факториал: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Образец: $\frac{7 !}{5 ! \cdot 2 !}$

Образец: четырёхзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3$ (все цифры, без повторов)

Образец: $4$ ученика встают в очередь случайно. $P (Аня первая)$ ?

а) Четырёхзначные из цифр $0, 3, 5, 7$ без повторов

б) Вычислите $\frac{9 !}{7 !}$

в) $5$ человек в ряд, Аня и Боря рядом