Повторение курса 8 класса · урок 3 из 4

Операции над событиями

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS9-003

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 8 класса» (4 ч), урок 3/4, единица R01.3 «Операции над событиями». Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория — только сводка правил, основное время — задачи. Уроки 1–2 строки — представление данных и описательная статистика; урок 4 (VIS9-004) — итоговое обобщение и комбинаторика в вероятностных задачах.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (операции над событиями, круги Эйлера) 3 · 5 (сводка формул) 2,5 · 8 (таблица исходов двух кубиков, учитель решает сам) 2,5 · 10 (дерево случайного опыта, независимость) 2,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 13) по 2,5, сл. 12 — 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; сводку правил не сокращать.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Различать операции

$A \cup B$ , $A \cap B$ , $\overline{A}$ — на кругах Эйлера и в таблице исходов

Применять формулу сложения

для совместных и несовместных событий (ПР-5)

Умножать вероятности

независимых событий и считать по дереву случайного опыта (ПР-5)

Решать задачи ОГЭ

«хотя бы один» — через противоположное событие (линия 10)

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Вспоминаем вероятность

Найдите вероятность

Кубик: выпало чётное число $\frac{1}{2}$
$P (A) = 0, 35$ ; $P (\overline{A})$ $0, 65$
Монета дважды: два орла $\frac{1}{4}$
$25$ учеников, $10$ — в секции. Случайный — не в секции $0, 6$

Кубик и вычисления

«Выпало $1$ » и «выпало $6$ » — могут наступить вместе? нет
Кубик: выпало $1$ или $6$ $\frac{1}{3}$
$0, 5 \cdot 0, 4$ $0, 2$
$1 - 0, 2^{2}$ $0, 96$

R01.3

Сводка · операции над событиями

Объединение, пересечение, противоположное

Ω

— все элементарные исходы опыта; событие — часть

Ω

. Закрашено то, что благоприятствует новому событию.

3 мин · теория
Объединение A ∪ B («A или B») — наступило хотя бы одно из событий: закрашены оба круга целиком. Пересечение A ∩ B («A и B») — наступили оба: закрашена общая часть. Противоположное событие (не A) — все исходы вне A. Несовместные события не имеют общих исходов: A ∩ B — пустое множество.
Пример на кубике (спросить класс): A = «выпало чётное» {2, 4, 6}, B = «выпало больше 3» {4, 5, 6}. A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, A ∩ B = {4, 6}, не A = {1, 3, 5}. Совместны ли A и B? (Да, есть общие исходы 4 и 6.)
Связь со словами задач: «хотя бы один», «или» → объединение; «и», «оба», «одновременно» → пересечение; «ни одного», «не» → противоположное.

R01.3

Сводка · правила вычисления вероятностей

Четыре формулы, которые нужны сегодня

Противоположное: $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

Сложение: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Несовместные: $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Независимые: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

2,5 мин · теория
Формула сложения — по кругам Эйлера: в сумму P(A) + P(B) исходы общей части вошли два раза, поэтому вычитаем P(A ∩ B) один раз. Для несовместных событий общей части нет — формула превращается в простое сложение.
Противоположное событие: A и не A несовместны и вместе дают всё Ω, поэтому P(A) + P(не A) = 1.
Независимые события: наступление одного не меняет вероятность другого (два броска монеты, выстрелы разных стрелков). Тогда вероятность «и того, и другого» — произведение. Вопрос: независимы ли события «первый шар красный» и «второй шар красный», если шары вынимают без возвращения? (Нет — состав урны изменился.)

R01.3

Образец → сам · противоположное событие

Иногда проще посчитать «не»

Образец: из $40$ билетов Оля не выучила $6$ . Какова вероятность, что ей попадётся выученный?

$A$ = «невыученный»: $P (A) = \frac{6}{40} = 0, 15$

нужно событие $\overline{A}$ «выученный» = «не невыученный»

$P (\overline{A}) = 1 - 0, 15$ = $0, 85$ формула

Сам

Ручка пишет плохо с вероятностью $0, 08$ . $P (пишет хорошо)$ $0, 92$
В такси $50$ машин, $18$ жёлтых. $P (приедет не жёлтая)$ $0, 64$
$P (\overline{A})$ в $4$ раза больше $P (A)$ . Найдите $P (A)$ $0, 2$

R01.3

Образец → сам · формула сложения

«Или» для совместных событий

Образец: из чисел $1$ – $30$ случайно выбирают одно. $P (кратно 2 или 3)$ ?

$P (A) = \frac{15}{30}$ , $P (B) = \frac{10}{30}$ кратных 2 и 3

$A \cap B$ — кратно $6$ : $\frac{5}{30}$ 6, 12, …, 30

$P (A \cup B) = \frac{15 + 10 - 5}{30}$ = $\frac{2}{3}$

Сам

Числа $1$ – $20$ : кратно $2$ или $5$ $0, 6$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 3$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cup B) = 0, 6$ . $P (A \cap B)$ $0, 1$

R01.3

Сводка · таблица исходов

Два кубика: $36$ равновозможных исходов

$A$ = «сумма $8$ »: $P (A) = \frac{5}{36}$

$B$ = «дубль»: $P (B) = \frac{6}{36}$

$A \cap B$ = ${(4; 4)}$ : $\frac{1}{36}$

$P (A \cup B) = \frac{5 + 6 - 1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Столбец — очки на первом кубике, строка — на втором, в клетке — сумма. Всего 6 · 6 = 36 исходов, все равновозможны (пара (2; 6) и (6; 2) — разные исходы).
A — сумма 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) — 5 клеток (розовые). B — дубль: 6 клеток на диагонали (бирюзовые). Общая клетка — (4; 4). По формуле сложения P(A ∪ B) = 10/36 = 5/18. Проверено перебором всех 36 исходов.
Вопрос: какие события на этой таблице несовместны с дублем? (Например, «сумма 7» — на диагонали нет семёрок.)

R01.3

Образец → сам · два кубика

Таблица исходов + противоположное событие

Образец: бросают два кубика. $P (хотя бы на одном выпала 6)$ ?

$\overline{A}$ = «шестёрки нет»: $5 \cdot 5 = 25$ без 6

$P (\overline{A}) = \frac{25}{36}$ $n = 36$

$P (A) = 1 - \frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$ противоположное

Сам: два кубика

Сумма равна $7$ $\frac{1}{6}$
На обоих — чётные числа $\frac{1}{4}$
Сумма $7$ или дубль $\frac{1}{3}$

R01.3

Сводка · дерево случайного опыта

Стрелок стреляет дважды, $P (попадание) = 0, 8$

Вдоль пути — умножаем: $0, 8 \cdot 0, 8 = 0, 64$

Разные пути — складываем: ровно одно попадание $0, 16 + 0, 16 = 0, 32$

Сумма по всем листьям:

0, 64 + 0, 16 + 0, 16 + 0, 04 = 1

2,5 мин · теория
П — попадание, Н — промах; P(Н) = 1 − 0,8 = 0,2. Выстрелы независимы, поэтому на втором уровне те же вероятности 0,8 и 0,2. Вероятность исхода (листа) — произведение вероятностей на рёбрах пути: ПП 0,64, ПН 0,16, НП 0,16, НН 0,04.
Событие «ровно одно попадание» = {ПН, НП} — два несовместных пути (подсвечены розовым): 0,16 + 0,16 = 0,32. Сумма всех листьев 1 — проверка дерева.
Вопрос: P(хотя бы одно попадание)? (1 − 0,04 = 0,96 — это 8-е задание разминки.)

R01.3

Образец → сам · независимые события

«И то, и другое» — умножаем

Образец: батарейка бракованная с вероятностью $0, 05$ . Купили $2$ . $P (обе исправны)$ ?

$P (исправна) = 0, 95$ $1 - 0, 05$

батарейки независимы по условию

$0, 95 \cdot 0, 95$ = $0, 9025$ умножение

Сам

Монету бросают $3$ раза: три орла $0, 125$
Стрелок, $p = 0, 7$ , два выстрела: оба мимо $0, 09$
Тот же стрелок: ровно одно попадание $0, 42$

R01.3

Образец → сам · «хотя бы один»

«Хотя бы один» = $1 - P (ни одного)$

Образец: $3$ продавца заняты независимо, каждый с вероятностью $0, 4$ . $P (хотя бы один свободен)$ ?

$\overline{A}$ = «все заняты» «ни один не свободен»

$P (\overline{A}) = 0, 4^{3} = 0, 064$ независимые

$P (A) = 1 - 0, 064$ = $0, 936$

Сам

Монету бросают $4$ раза: хотя бы одна решка $0, 9375$
$2$ лампы, каждая перегорает с $p = 0, 3$ : хотя бы одна горит $0, 91$
Сколько выстрелов ( $p = 0, 9$ ) нужно, чтобы $P (хотя бы одно попадание) \geq 0, 99$ ? $2$

R01.3

Образец → сам · задача из жизни

Контроль качества: дерево с разными ветками

Образец: $60 %$ деталей делает станок 1 (брак $2 %$ ), $40 %$ — станок 2 (брак $5 %$ ). $P (деталь бракованная)$ ?

путь «1 → брак»: $0, 6 \cdot 0, 02 = 0, 012$

путь «2 → брак»: $0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 02$

$0, 012 + 0, 02$ = $0, 032$ разные пути

Сам

$70 %$ учеников едут автобусом (опаздывают с $p = 0, 1$ ), остальные идут пешком ( $p = 0, 05$ ). $P (опоздал)$ $0, 085$
В урне $3$ красных и $2$ синих шара, вынули $2$ без возвращения: оба красные $0, 3$
Та же урна: шары одного цвета $0, 4$

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили совместные события	$\frac{15}{30} + \frac{10}{30} = \frac{25}{30}$	$\frac{15 + 10 - 5}{30} = \frac{2}{3}$
перемножили зависимые (без возвращения)	$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0, 36$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0, 3$
«хотя бы одно» сложением — вероятность больше 1	$0, 7 + 0, 7 = 1, 4$	$1 - 0, 3^{2} = 0, 91$

R01.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Две монеты. $P (хотя бы один орёл)$

исходы: $0$ , $1$ , $2$ орла, нужны два — $\frac{2}{3}$

исходы не равновозможны: ОО, ОР, РО, РР

$P = \frac{3}{4}$

б) $A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$

$0, 5 + 0, 4 = 0, 9$

события совместны: $P (A \cap B) = 0, 2$

$0, 5 + 0, 4 - 0, 2 = 0, 7$

в) Кубик дважды. $P (хотя бы раз 6)$

$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

исход $(6; 6)$ посчитан дважды

$1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По формулам

$P (A) = 0, 45$ . $P (\overline{A})$ $0, 55$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 25$ . $P (A \cup B)$ $0, 55$
$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 15$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 3$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$

В опытах

Числа $1$ – $50$ : кратно $5$ или $7$ $0, 32$
Два кубика: сумма $10$ $\frac{1}{12}$
Монету бросают $3$ раза: хотя бы один орёл $0, 875$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 6$ . Могут ли $A$ и $B$ быть несовместными? нет: $P (A \cup B)$ была бы $1, 3 > 1$
повыш. $A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 4$ , $P (A \cup B) = 0, 7$ . Найдите $P (B)$ $0, 5$
из жизниВ тесте $3$ вопроса по $4$ варианта ответа, ученик угадывает. $P (хотя бы один верный)$ $37/64 \approx 0, 58$
из жизниДве независимые сигнализации срабатывают с вероятностями $0, 9$ и $0, 8$ . $P (сработает хотя бы одна)$ $0, 98$

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до сотых.

$0, 14$

2. Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна $0, 93$ ; больше двух лет — $0, 81$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

$0, 12$

3. Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням, вероятность попадания $0, 8$ . Найдите вероятность того, что первые $3$ раза он попал, а последние $2$ промахнулся. Округлите до сотых.

$0, 02$

Округляйте, только если это сказано в условии:

\frac{5}{36} = 0, 138 \dots \approx 0, 14

.

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P (A) = 0, 15$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 85$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 2$ , $P (B) = 0, 35$ . $P (A \cup B)$ $0, 55$
Стрелок, $p = 0, 9$ , два выстрела: оба попадания $0, 81$
Монету бросают $3$ раза: хотя бы одна решка $0, 875$

Вариант 2

$P (A) = 0, 62$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 38$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 45$ , $P (B) = 0, 3$ . $P (A \cup B)$ $0, 75$
Стрелок, $p = 0, 6$ , два выстрела: оба мимо $0, 16$
Кубик бросают $2$ раза: хотя бы раз чётное $0, 75$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем $A \cup B$ отличается от $A \cap B$ ?
Когда вероятности просто складывают?
Когда — перемножают?
Как считать «хотя бы один»?

Домашнее задание

Числа $1$ – $40$ : $P (кратно 4 или 6)$
Стрелок, $p = 0, 8$ , три выстрела: $P (хотя бы один промах)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-003 · Операции над событиями

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 8 класса», 4 ч · урок 3/4 · тип О
Единицы → слайды	R01.3 «Операции над событиями» → 2, 4–20 · повторение классической вероятности → 3, 6
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности случайных событий в изученных опытах) → 3–19
Вне урока	представление данных и описательная статистика — VIS9-001, VIS9-002; комбинаторика в вероятностных задачах — VIS9-004
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Операции над событиями

Сегодня вы повторите и научитесь

Различать операции

Применять формулу сложения

Умножать вероятности

Решать задачи ОГЭ

Вспоминаем вероятность

Найдите вероятность

Кубик и вычисления

Объединение, пересечение, противоположное

Четыре формулы, которые нужны сегодня

Иногда проще посчитать «не»

Образец: из 40 билетов Оля не выучила 6. Какова вероятность, что ей попадётся выученный?

Сам

«Или» для совместных событий

Образец: из чисел 1–30 случайно выбирают одно. P(кратно 2 или 3)?

Сам

Два кубика: 36 равновозможных исходов

Таблица исходов + противоположное событие

Образец: бросают два кубика. P(хотя бы на одном выпала 6)?

Сам: два кубика

Стрелок стреляет дважды, P(попадание)=0,8

«И то, и другое» — умножаем

Образец: батарейка бракованная с вероятностью 0,05. Купили 2. P(обе исправны)?

Сам

«Хотя бы один» = 1−P(ни одного)

Образец: 3 продавца заняты независимо, каждый с вероятностью 0,4. P(хотя бы один свободен)?

Сам

Контроль качества: дерево с разными ветками

Образец: 60% деталей делает станок 1 (брак 2%), 40% — станок 2 (брак 5%). P(деталь бракованная)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Две монеты. P(хотя бы один орёл)

б) A, B независимы, P(A)=0,5, P(B)=0,4. P(A∪B)

в) Кубик дважды. P(хотя бы раз 6)

Решите и проверьте

По формулам

В опытах

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-003 · Операции над событиями

Образец: из $40$ билетов Оля не выучила $6$ . Какова вероятность, что ей попадётся выученный?

Образец: из чисел $1$ – $30$ случайно выбирают одно. $P (кратно 2 или 3)$ ?

Два кубика: $36$ равновозможных исходов

Образец: бросают два кубика. $P (хотя бы на одном выпала 6)$ ?

Стрелок стреляет дважды, $P (попадание) = 0, 8$

Образец: батарейка бракованная с вероятностью $0, 05$ . Купили $2$ . $P (обе исправны)$ ?

«Хотя бы один» = $1 - P (ни одного)$

Образец: $3$ продавца заняты независимо, каждый с вероятностью $0, 4$ . $P (хотя бы один свободен)$ ?

Образец: $60 %$ деталей делает станок 1 (брак $2 %$ ), $40 %$ — станок 2 (брак $5 %$ ). $P (деталь бракованная)$ ?

а) Две монеты. $P (хотя бы один орёл)$

б) $A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$

в) Кубик дважды. $P (хотя бы раз 6)$