Повторение курса 8 класса · урок 2 из 4

Описательная статистика: средние и рассеивание

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS9-002

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 8 класса» (4 ч), урок 2/4, единицы R01.1 «Представление данных», R01.2 «Описательная статистика», R01.3 «Операции над событиями». Тип урока — О (обобщение и систематизация). Урок 1 — представление данных (таблицы, диаграммы); этот урок — описательная статистика; уроки 3–4 — операции над событиями, независимость, дерево, комбинаторика.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: среднее, медиана, размах) 3 · 6 (сводка: отклонения, дисперсия, стандартное отклонение) 3 · 8 (таблица частот и диаграмма) 2,5 · 11 (выбросы, учитель разбирает пример сам) 2. Теоретические слайды — короткой сводкой (урок О), показываются полностью.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задание 4 сл. 10 и задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.1 · R01.2

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить средние

среднее арифметическое и медиану набора (ПР-3)

Измерять разброс

размах, дисперсию $s^{2}$ и стандартное отклонение $s$ (ПР-3)

Читать данные

из таблицы частот и диаграммы и считать по ним (ПР-1, ПР-4)

Выбирать характеристику

при выбросах и сравнивать наборы по разбросу

повторение: VIS9-001, 8 класс

Разминка · устно

Диаграмма и простые вычисления

По диаграмме

Сколько всего учеников? $20$
Чаще всего прочитали книг $2$
Больше двух книг — учеников $5$
Доля не читавших $0, 1$

Вычислите

Среднее: $2, 4, 6$ $4$
Медиана: $7, 1, 5$ $5$
Размах: $3, 9, 4, 12$ $9$
$(- 2)^{2} + 1^{2}$ $5$

R01.2

Сводка · меры центральной тенденции

Среднее, медиана, размах

Среднее арифметическое:
$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$

Медиана — середина упорядоченного ряда; при чётном $n$ — полусумма двух средних.

$Me = \frac{3 + 5}{2} = 4$ $n = 6$

Размах

=

наибольшее

-

наименьшее значение.

3 мин · теория
Набор 2, 3, 3, 5, 7, 10: сумма 30, n = 6, среднее 30 : 6 = 5. Ряд уже упорядочен, n чётно — две средние позиции (3-я и 4-я): 3 и 5, медиана (3 + 5) : 2 = 4. Размах 10 − 2 = 8.
Чертёж: точки — значения (две точки над 3 — значение повторяется), сплошная линия — медиана, пунктир с треугольником — среднее («точка равновесия» набора, если точки — одинаковые грузики).
Вопросы классу: что изменится, если 10 заменить на 40? (Среднее станет 10, медиана останется 4 — медиана устойчива к большим значениям.) Может ли среднее не совпадать ни с одним значением? (Да.) Медиана — значение, левее и правее которого одинаковое число элементов.

R01.2

Образец → сам · среднее, медиана, размах

Сначала упорядочить ряд

Образец: $12, 7, 15, 9, 7, 10, 3$

$3, 7, 7, 9, 10, 12, 15$ упорядочили, $n = 7$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{63}{7} = 9$ сумма — $63$

$Me = 9$ $n$ нечётно — 4-й элемент

размах $15 - 3 = 12$ наиб. − наим.

Сам: среднее и медиана

$4, 8, 6, 2, 10$ $6; 6$
$5, 1, 9, 3, 12, 6$ $6; 5, 5$
$2, 5; 1, 5; 4; 3$ $2, 75; 2, 75$

R01.2

Сводка · меры рассеивания

Отклонения, дисперсия, стандартное отклонение

Отклонение: $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ сумма отклонений $= 0$

Дисперсия — среднее квадратов отклонений:
$s^{2} = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}$

$s^{2} = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = 4$

Стандартное отклонение

s = s^{2} = 2

— в тех же единицах, что данные.

3 мин · теория
Набор 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: сумма 40, n = 8, среднее 5. Отклонения −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (на чертеже отрезки от пунктира среднего); их сумма 0 — так бывает всегда, поэтому «среднее отклонение» не годится для меры разброса.
Чтобы минусы не сокращались с плюсами, отклонения возводят в квадрат: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32, s² = 32 : 8 = 4. Дисперсия измеряется в «квадратных» единицах, поэтому извлекают корень: s = 2.
Вопрос классу: может ли дисперсия быть отрицательной? (Нет — сумма квадратов.) Когда s² = 0? (Все значения одинаковы.) Чем больше s, тем сильнее значения «разбросаны» вокруг среднего.

R01.2

Образец → сам · дисперсия и стандартное отклонение

Среднее → отклонения → квадраты → среднее квадратов

Образец: $1, 5, 7, 9, 13$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{35}{5} = 7$ сумма — $35$

$- 6, - 2, 0, 2, 6$ отклонения, сумма $0$

$s^{2} = \frac{36 + 4 + 0 + 4 + 36}{5} = 16$ квадраты

$s = 16 = 4$ корень из дисперсии

Сам: найдите $s^{2}$ и $s$

$2, 4, 5, 6, 8$ $4; 2$
$2, 2, 8, 8$ $9; 3$
$4, 6, 8, 10$ $5; 5$

R01.1 · R01.2

Сводка · данные в таблице частот

Оценки за контрольную: 20 учеников

оценка $x$	$2$	$3$	$4$	$5$
частота $n$	$1$	$6$	$9$	$4$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 4}{20}$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{76}{20} = 3, 8$ сумма данных — $76$

$Me$ : 10-й и 11-й — оба $4$ $1 + 6 = 7 < 10$ , $7 + 9 = 16$

Каждое значение умножаем на его частоту; делим на общее число данных.

2,5 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Таблица и диаграмма — два представления одних данных: высота столбика = частота. Всего 1 + 6 + 9 + 4 = 20 учеников.
Среднее: оценку 3 получили 6 человек — в сумму она входит 6 раз, отсюда 3 · 6. Сумма 2 + 18 + 36 + 20 = 76, 76 : 20 = 3,8.
Медиана: n = 20 чётно, нужны 10-й и 11-й элементы упорядоченного ряда. Накопленные частоты: до «3» включительно — 7 человек, до «4» — 16; значит, 8-й…16-й — четвёрки, медиана 4. Наиболее частое значение (мода) — тоже 4.

R01.1 · R01.2

Образец → сам · среднее и медиана по таблице частот

Значение × частота

Образец: число детей в 25 семьях

детей	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
семей	$3$	$9$	$8$	$4$	$1$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{0 + 9 + 16 + 12 + 4}{25} = \frac{41}{25} = 1, 64$

$Me$ — 13-й: $3 + 9 = 12$ , $12 + 8 = 20$ $2$

Сам

$x$ : $1, 2, 3$ ; $n$ : $2, 5, 3$ . $\overset{x}{ˉ}$ , Me $2, 1; 2$
Время в пути, мин: $10$ — $4$ чел., $20$ — $10$ , $30$ — $6$ . $\overset{x}{ˉ}$ , Me $21; 20$
$x$ : $1, 3, 5$ ; $n$ : $1, 2, 1$ . $s^{2}$ $2$

R01.2

Образец → сам · обратная задача: через сумму

Среднее известно — ищем значение

Образец: среднее 5 чисел равно $8$ ; четыре из них — $5, 9, 10, 4$ . Найдите пятое.

сумма всех: $8 \cdot 5 = 40$ $сумма = \overset{x}{ˉ} \cdot n$

$40 - (5 + 9 + 10 + 4) = 12$ пятое число

добавили $14$ : $\frac{40 + 14}{6} = 9$ новое среднее

Сам

Среднее 4 чисел — $6$ ; три из них: $2, 7, 8$ . Четвёртое? $7$
Средний рост 5 игроков — $190$ см; пришёл шестой, $196$ см. Новый средний? $191$ см
Среднее 10 чисел — $15$ ; число $33$ заменили на $13$ . Новое среднее? $13$
Ряд $3, 5, x, 9$ упорядочен, медиана $6$ . $x$ ? $7$

R01.2

Сводка · выбросы и выбор характеристики

Зарплаты 7 сотрудников фирмы

$30, 32, 35, 35, 38, 40, 250$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{460}{7} \approx 65, 7$ выше, чем у шестерых

$Me = 35$ 4-й элемент

Выброс — значение, резко отличающееся от остальных. При выбросах типичное значение лучше описывает медиана.

2 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Сумма 30 + 32 + 35 + 35 + 38 + 40 + 250 = 460; 460 : 7 ≈ 65,7 тыс. руб. Шесть сотрудников из семи получают меньше «средней зарплаты» — среднее «утащил» один выброс (директор). Медиана 35 от выброса не зависит: замените 250 на 1000 — медиана та же.
Выброс сильно влияет на среднее, размах и дисперсию. Выброс может быть ошибкой измерения (лишний ноль) — тогда его исправляют или удаляют; а может быть настоящим значением — тогда описывают данные медианой.
Вопрос классу: что объявит директор, чтобы привлечь сотрудников, — среднее или медиану? Почему?

R01.2

Образец → сам · сравнение наборов по рассеиванию

Средние равны — кто стабильнее?

Образец: очки двух стрелков за 5 выстрелов

А: $8, 9, 10, 9, 9$ ; Б: $10, 7, 10, 8, 10$

$\overset{x}{ˉ}_{А} = \overset{x}{ˉ}_{Б} = 9$ суммы по $45$

$s_{А}^{2} = \frac{1 + 0 + 1 + 0 + 0}{5} = 0, 4$

$s_{Б}^{2} = \frac{1 + 4 + 1 + 1 + 1}{5} = 1, 6$

А стабильнее меньше дисперсия

Сам

Пробежка, мин: $12, 13, 12, 14, 49$ . $\overset{x}{ˉ}$ и Me; что типичнее? $20; 13$ — Me
$5, 5, 5, 5$ и $2, 4, 6, 8$ : $\overset{x}{ˉ}$ и $s^{2}$ $5; 0$ и $5; 5$
$4, 5, 6, 5, 30$ : среднее до и после удаления $30$ $10 \to 5$

2,5 мин · практика
Образец: отклонения А: −1, 0, 1, 0, 0 → квадраты 1, 0, 1, 0, 0, s² = 2 : 5 = 0,4. Б: 1, −2, 1, −1, 1 → квадраты 1, 4, 1, 1, 1, s² = 8 : 5 = 1,6. Средние одинаковы, но у Б разброс больше. Медиана у Б даже выше (10), но результат менее предсказуем.
1) Сумма 100, среднее 20; ряд 12, 12, 13, 14, 49 — медиана 13; 49 — выброс (заблудился?), типичное время описывает медиана. 2) Первый набор: все отклонения 0, s² = 0; второй: среднее 5, отклонения −3, −1, 1, 3, s² = 20 : 4 = 5. 3) До: 50 : 5 = 10; после: 20 : 4 = 5 — один выброс удвоил среднее.

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
медиана без упорядочивания: $8, 1, 6, 3, 4$	$Me = 6$ (средний в записи)	$1, 3, 4, 6, 8$ ; $Me = 4$
среднее по таблице без частот: $x$ : $3, 4, 5$ ; $n$ : $2, 5, 3$	$\frac{3 + 4 + 5}{3} = 4$	$\frac{6 + 20 + 15}{10} = 4, 1$
отклонения не возвели в квадрат	$\frac{- 1 + 0 + 1}{3} = 0$ «разброса нет»	$s^{2} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}$
чётное $n$ : $2, 4, 7, 9$	$Me = 4$ или $7$	$Me = \frac{4 + 7}{2} = 5, 5$

1,5 мин · практика
1) Медиана — середина упорядоченного ряда, а не исходной записи: 1, 3, 4, 6, 8 → 4. 2) Значение 4 встречается 5 раз, а 3 — 2 раза; без частот считаем среднее разных значений, а не данных: (3·2 + 4·5 + 5·3) : 10 = 41 : 10 = 4,1. 3) Сумма отклонений всегда равна 0 — поэтому их возводят в квадрат: для набора с отклонениями −1, 0, 1 дисперсия 2/3 ≈ 0,67. 4) При чётном n средних элементов два — берём полусумму.
Спросить, кто совершал какую ошибку в заданиях сл. 5 и 9.

R01.2

Найди ошибку

Ученик нашёл медиану и дисперсию набора $6, 2, 9, 4, 4$

1) Упорядочим: $2, 4, 4, 6, 9$

2) $\overset{x}{ˉ} = 25 : 5 = 5$

3) $Me = \frac{4 + 6}{2} = 5$

4) Отклонения: $- 3, - 1, - 1, 1, 4$

5) Квадраты: $9 + 1 + 1 + 1 + 16 = 28$

6) $s^{2} = 28 : 4 = 7$

Исправление

3) $n = 5$ нечётно: $Me$ — 3-й элемент, $Me = 4$

6) делим на $n = 5$ :
$s^{2} = 28 : 5 = 5, 6$

$s = 5, 6 \approx 2, 37$

R01.1 · R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Средние и размах

Среднее: $3, 8, 10, 7$ $7$
Медиана: $15, 11, 19, 12, 14$ $14$
Медиана: $2, 9, 4, 7$ $5, 5$
Размах: $- 3, 5, 2, 8, - 1$ $11$

Рассеивание и частоты

$s^{2}$ : $3, 5, 6, 7, 9$ $4$
$s$ , если $s^{2} = 2, 25$ $1, 5$
$\overset{x}{ˉ}$ : $x$ : $1, 2, 3$ ; $n$ : $3, 5, 2$ $1, 9$
Среднее: $0, 5; 1, 5; 2, 5$ $1, 5$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

К каждому числу набора прибавили $3$ . Как изменятся $\overset{x}{ˉ}$ и $s^{2}$ ? $\overset{x}{ˉ} + 3$ ; $s^{2}$ — не изменится
Каждое число набора умножили на $2$ . Как изменятся $\overset{x}{ˉ}$ , $s^{2}$ и $s$ ? $\times 2$ ; $\times 4$ ; $\times 2$
У пяти натуральных чисел среднее $4$ , медиана $5$ . Наибольшее возможное число? $8$
Средний балл 20 учеников — $4, 1$ . Пришёл новенький, и средний балл 21 ученика стал $4, 0$ . Какую оценку он получил? $2$

2,5 мин · практика
1) Новое среднее x̄ + 3; каждое отклонение (xᵢ + 3) − (x̄ + 3) = xᵢ − x̄ не изменилось — дисперсия та же (весь набор сдвинулся, разброс прежний). Пример: 1, 2, 3 и 4, 5, 6 — у обоих s² = 2/3.
2) Среднее ×2; каждое отклонение ×2, квадрат отклонения ×4 — дисперсия ×4, s = √(4s²) — ×2.
3) Сумма 4 · 5 = 20; упорядочим a ≤ b ≤ 5 ≤ d ≤ e. Чтобы e было наибольшим, остальные — наименьшие возможные: a = b = 1, d = 5. e = 20 − 1 − 1 − 5 − 5 = 8. Проверка: 1, 1, 5, 5, 8 — сумма 20, медиана 5 ✓.
4) Сумма была 20 · 4,1 = 82, стала 21 · 4 = 84; оценка новенького 84 − 82 = 2.

R01.1 · R01.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность по данным

1. Оценки 20 учеников (сл. 8): «2» — $1$ , «3» — $6$ , «4» — $9$ , «5» — $4$ . Случайно выбирают ученика. Найдите вероятность того, что его оценка выше среднего балла класса. $0, 65$

2. Из набора $3, 7, 7, 8, 10$ случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно больше среднего арифметического набора. $0, 4$

3. Игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число больше медианы набора $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . $0, 5$

В бланк — десятичная дробь:

\frac{13}{20} = 0, 65

.

R01.1 · R01.2

Задача из жизни · погода за неделю

Где погода устойчивее?

А: $18, 20, 22, 19, 21$ °C, дневная

Б: $12, 28, 15, 25, 20$

$\overset{x}{ˉ}_{А} = \overset{x}{ˉ}_{Б} = 20$ , $Me_{А} = Me_{Б} = 20$

$s_{А}^{2} = 2$ , $s_{А} \approx 1, 4$

$s_{Б}^{2} = 35, 6$ , $s_{Б} \approx 6, 0$

Средние одинаковы — в Б в поездку нужна и куртка, и футболка.

R01.1 · R01.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$5, 9, 4, 6, 11$ : $\overset{x}{ˉ}$ , Me, размах $7; 6; 7$
$s^{2}$ : $3, 5, 7, 9$ $5$
Среднее 4 чисел $10$ ; три: $8, 12, 7$ . Четвёртое? $13$
$x$ : $2, 3, 5$ ; $n$ : $3, 4, 3$ . $\overset{x}{ˉ}$ , Me $3, 3; 3$

Вариант 2

$8, 3, 10, 7, 2$ : $\overset{x}{ˉ}$ , Me, размах $6; 7; 8$
$s^{2}$ : $2, 4, 8, 10$ $10$
Среднее 5 чисел $6$ ; четыре: $4, 9, 5, 7$ . Пятое? $5$
$x$ : $1, 2, 4$ ; $n$ : $2, 5, 3$ . $\overset{x}{ˉ}$ , Me $2, 4; 2$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) сумма 35, среднее 7; ряд 4, 5, 6, 9, 11 — медиана 6; размах 11 − 4 = 7. 2) Среднее 6; отклонения −3, −1, 1, 3; s² = 20 : 4 = 5. 3) 40 − 27 = 13. 4) n = 10; (6 + 12 + 15) : 10 = 3,3; 5-й и 6-й — тройки (накопленные 3, 7) — медиана 3.
Вариант 2: 1) сумма 30, среднее 6; ряд 2, 3, 7, 8, 10 — медиана 7; размах 8. 2) Среднее 6; отклонения −4, −2, 2, 4; s² = 40 : 4 = 10. 3) 30 − 25 = 5. 4) n = 10; (2 + 10 + 12) : 10 = 2,4; 5-й и 6-й — двойки (накопленные 2, 7) — медиана 2.
Критерии: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2. Взаимопроверка в парах по ответам на слайде.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем медиана отличается от среднего?
Зачем отклонения возводят в квадрат?
Когда лучше указывать медиану?

Домашнее задание

$\overset{x}{ˉ}$ , Me, $s^{2}$ : $1, 4, 6, 7, 7$
Придумайте набор из 5 чисел со средним $10$ и медианой $8$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_analiz-dannyh.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-002 · Повторение курса 8 класса: описательная статистика

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 8 класса», 4 ч · урок 2/4 · тип О
Единицы → слайды	R01.1 «Представление данных» → 3, 8, 9, 15, 17–19 · R01.2 «Описательная статистика» → 2, 4–16, 18–20 · R01.3 «Операции над событиями» — уроки VIS9-003, VIS9-004
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 (информация из таблиц и диаграмм) → 3, 8, 9, 17, 18 · ПР-3 / REQ-5.3 (средние значения и меры рассеивания) → 4–7, 10–16, 18, 19 · ПР-4 / REQ-5.4 (частоты значений) → 8, 9, 17 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности) → 17
Вне урока	представление данных — VIS9-001; операции над событиями, независимость, дерево — VIS9-003, VIS9-004; комбинаторика — VIS9-005…008
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Описательная статистика: средние и рассеивание

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить средние

Измерять разброс

Читать данные

Выбирать характеристику

Диаграмма и простые вычисления

По диаграмме

Вычислите

Среднее, медиана, размах

Сначала упорядочить ряд

Образец: 12, 7, 15, 9, 7, 10, 3

Сам: среднее и медиана

Отклонения, дисперсия, стандартное отклонение

Среднее → отклонения → квадраты → среднее квадратов

Образец: 1, 5, 7, 9, 13

Сам: найдите s2 и s

Оценки за контрольную: 20 учеников

Значение × частота

Образец: число детей в 25 семьях

Сам

Среднее известно — ищем значение

Образец: среднее 5 чисел равно 8; четыре из них — 5, 9, 10, 4. Найдите пятое.

Сам

Зарплаты 7 сотрудников фирмы

Средние равны — кто стабильнее?

Образец: очки двух стрелков за 5 выстрелов

Сам

Неверно → почему → верно

Ученик нашёл медиану и дисперсию набора 6, 2, 9, 4, 4

Исправление

Решите и проверьте

Средние и размах

Рассеивание и частоты

Подумайте и решите

Вероятность по данным

Где погода устойчивее?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-002 · Повторение курса 8 класса: описательная статистика

Образец: $12, 7, 15, 9, 7, 10, 3$

Образец: $1, 5, 7, 9, 13$

Сам: найдите $s^{2}$ и $s$

Образец: среднее 5 чисел равно $8$ ; четыре из них — $5, 9, 10, 4$ . Найдите пятое.

Ученик нашёл медиану и дисперсию набора $6, 2, 9, 4, 4$