Повторение курса 8 класса · урок 1 из 4

Данные и описательная статистика

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS9-001

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 8 класса» (4 ч), урок 1/4, тип О (обобщение и систематизация). Сегодня — единицы R01.1 «Представление данных» и R01.2 «Описательная статистика»; R01.3 «Операции над событиями» — уроки VIS9-002…004.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: таблицы и диаграммы) 2,5 · 7 (среднее и медиана) 2,5 · 9 (размах, дисперсия, стандартное отклонение) 3 · 11 (таблица частот, учитель решает сам) 2,5. Урок обобщения: теория — только сводки, их показывать целиком.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 12) по 2,5 · обратная задача (сл. 13) 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень и задачи из жизни (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2,5 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.1 · R01.2

Цели урока

Сегодня вы вспомните и научитесь

Читать данные

из таблиц, столбиковых и круговых диаграмм (ПР-1)

Строить диаграммы

переводить числа в доли, проценты и градусы (ПР-1)

Находить средние

среднее арифметическое и медиану, в том числе по таблице частот (ПР-3, ПР-4)

Оценивать разброс

размах, дисперсия $D$ и стандартное отклонение $σ$ (ПР-3)

повторение: 7–8 класс

Разминка · устно

Числа и доли

Наборы чисел

Среднее: $2, 4, 9$ $5$
Медиана: $7, 1, 4$ $4$
Медиана: $1, 3, 5, 9$ $4$
Размах: $3, 10, 6, 2$ $8$

Доли и проценты

Среднее трёх чисел $5$ . Сумма? $15$
$25 %$ от $40$ $10$
$9$ из $36$ — это сколько процентов? $25 %$
Четверть круга — сколько градусов? $9 0^{\circ}$

R01.1

Сводка · представление данных

Какую форму выбрать

Таблица — точные значения

Столбиковая — сравнить величины

Круговая — доли целого: $доля \cdot 36 0^{\circ}$

Линейный график — изменение со временем

2,5 мин · теория
Одни и те же данные (кружки: робототехника 12, шахматы 8, театр 10, хор 5, спорт 15 человек) можно показать таблицей и столбиковой диаграммой; круговая — для долей одного целого (на рисунке — способ добраться до школы, сл. 6); линейный график — для величины, меняющейся во времени (температура по дням).
Вопросы классу: какую диаграмму выбрать для «расходы семьи по статьям»? (Круговую.) Для «рост цены за год по месяцам»? (Линейный график.) Почему круговая не подходит, если один ученик ходит в два кружка? (Части не составляют одно целое — сумма долей больше 100 %.)

R01.1

Образец → сам · чтение столбиковой диаграммы

Кружки 9 классов: каждый ходит в один

Образец: сколько процентов — робототехника?

$12$ человек высота столбика

$12 + 8 + 10 + 5 + 15 = 50$ все ученики

$\frac{12}{50} = 0, 24$ = $24 %$

На сколько в спорте больше, чем в хоре? $10$
Во сколько раз? в $3$ раза
Сколько процентов — театр? $20 %$

R01.1

Образец → сам · круговая диаграмма

Как $40$ учеников добираются до школы

Образец: углы секторов

пешком: $\frac{18}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 16 2^{\circ}$ доля · 360°

автобус: $\frac{12}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}$

машина $5 4^{\circ}$ , самокат $3 6^{\circ}$ ; сумма $36 0^{\circ}$

Опрос $60$ человек, сектор $12 0^{\circ}$ . Сколько человек? $20$
Сектор $25 %$ — сколько градусов? $9 0^{\circ}$
Сектор $7 2^{\circ}$ — сколько процентов? $20 %$

R01.2

Сводка · среднее и медиана

Ряд $1, 2, 4, 5, 13$ : две «середины»

Среднее арифметическое

$\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ $= \frac{25}{5} = 5$

Медиана — середина упорядоченного ряда; при чётном $n$ — полусумма двух средних

Одно большое значение (

13

) «тянет» среднее, медиана к нему устойчива.

R01.2

Образец → сам · среднее и медиана

Сначала упорядочить

Образец: ряд $8, 3, 11, 5, 6, 9$

$3, 5, 6, 8, 9, 11$ упорядочили

$Me = \frac{6 + 8}{2} = 7$ $n = 6$ — чётное

$\overline{x} = \frac{42}{6}$ = $7$ сумма : количество

Сам

Медиана: $12, 4, 9, 15, 7$ $9$
Среднее и медиана: $2, 10, 4, 6$ $5, 5$ и $5$
$1, 2, 2, 3, 22$ : что лучше описывает ряд — среднее или медиана? медиана $2$

R01.2

Сводка · меры рассеивания

Насколько значения разбросаны

Ряд $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$

размах $= 9 - 2 = 7$ max − min

отклонение $x_{i} - \overline{x}$ сумма всех $= 0$

Дисперсия — среднее квадратов отклонений: $D = \frac{32}{8} = 4$

$σ = D = 2$ стандартное отклонение

R01.2

Образец → сам · дисперсия и стандартное отклонение

Четыре шага: среднее → отклонения → квадраты → среднее

Образец: ряд $6, 2, 8, 5, 4$

$\overline{x} = \frac{25}{5} = 5$ среднее

$1, - 3, 3, 0, - 1$ отклонения

$1 + 9 + 9 + 0 + 1 = 20$ сумма квадратов

$D = \frac{20}{5} = 4$ , $σ$ = $2$

Сам: найдите $D$

$1, 2, 3, 4, 5$ $D = 2$
$7, 7, 7, 7$ $D = 0$
$3, 7$ ; найдите и $σ$ $D = 4, σ = 2$

R01.2

Сводка · таблица частот

Оценки за контрольную: $20$ учеников

Оценка $x$	$2$	$3$	$4$	$5$	всего
Частота $n$	$1$	$5$	$10$	$4$	$20$
Отн. частота	$0, 05$	$0, 25$	$0, 5$	$0, 2$	$1$

$\overline{x} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 4}{20} = \frac{77}{20} = 3, 85$

$Me$ : $10$ -е и $11$ -е значения — оба равны $4$ : $Me = 4$

Каждое значение умножаем на его частоту; делим на сумму частот.

R01.2 · ПР-4

Образец → сам · среднее по таблице частот

Сколько детей в семьях учеников

Образец: детей $0, 1, 2, 3$ — семей $3, 8, 6, 3$

$N = 3 + 8 + 6 + 3 = 20$ сумма частот

$0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 29$

$\overline{x} = \frac{29}{20}$ = $1, 45$ не делим на $4$

Сам: размер обуви $37, 38, 39, 40$ — у $2, 5, 2, 1$ чел.

Среднее $38, 2$
Относительная частота размера $38$ $0, 5$
Медиана $38$

R01.2

Образец → сам · обратная задача на среднее

Через сумму: $сумма = \overline{x} \cdot n$

Образец: среднее пяти чисел $6$ ; четыре из них $4, 9, 5, 8$ . Пятое?

$6 \cdot 5 = 30$ сумма всех пяти

$4 + 9 + 5 + 8 = 26$ известные

$30 - 26$ = $4$

Сам

Среднее четырёх оценок $4$ , три из них — $5$ , $3$ и $5$ . Найдите четвёртую $3$
Среднее $10$ чисел $7$ . Добавили $18$ . Новое среднее? $8$
Ряд $3, 5, x, 10$ упорядочен, медиана $6$ . Найдите $x$ $x = 7$

R01.1 · R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
медиана без упорядочивания: $5, 1, 9, 3, 7$	$Me = 9$	$1, 3, 5, 7, 9$ : $Me = 5$
среднее без частот: «3» — $2$ раза, «5» — $8$	$\frac{3 + 5}{2} = 4$	$\frac{3 \cdot 2 + 5 \cdot 8}{10} = 4, 6$
дисперсия без квадратов	$D = \frac{- 2 + 0 + 2}{3} = 0$	$D = \frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3}$
сектор по числу, а не по доле: $10$ из $40$	$1 0^{\circ}$	$\frac{10}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

R01.1 · R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Медиана ряда $2, 8, 4, 6$

$2, 4, 6, 8$ : $Me = 4$

$n = 4$ — чётное, середина между $4$ и $6$

$Me = \frac{4 + 6}{2} = 5$

б) Сектор: $25$ из $50$ человек

угол $2 5^{\circ}$

доля $\frac{25}{50} = \frac{1}{2}$ — половина круга

$\frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$

в) $D$ ряда $1, 3, 5, 7$

$\overline{x} = 4$ ;
$D = 9 + 1 + 1 + 9 = 20$

не разделил на количество $n = 4$

$D = \frac{20}{4} = 5$

R01.1 · R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Характеристики ряда

Среднее: $3, 8, 10, 7$ $7$
Медиана: $9, 2, 6, 4, 11$ $6$
Медиана: $5, 1, 8, 2$ $3, 5$
Размах: $15, 3, 21, 8$ $18$

Разброс и доли

Дисперсия: $2, 4, 6, 8$ $5$
В классе $25$ учеников, $10$ — девочки. Сколько процентов? $40 %$
Сектор «отлично» — $7 2^{\circ}$ . Какая это доля? $20 %$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Среднее шести чисел $10$ . Число $25$ из набора убрали. Найдите новое среднее. $7$
повыш.Каждое число ряда $2, 4, 6, 8, 10$ увеличили на $3$ . Как изменятся $\overline{x}$ и $D$ ? $\overline{x}$ : $6 \to 9$ ; $D = 8$ — не изменится
из жизниЗарплаты в фирме: $40, 45, 50, 55, 310$ тыс. р. Найдите среднее и медиану. Какое число честнее для объявления о работе? $100$ и $50$ ; медиана
из жизниСтрелок А: $8, 9, 10, 9, 9$ ; стрелок Б: $10, 7, 10, 8, 10$ . Средние равны. Кто стабильнее? А: $D = 0, 4 < 1, 6$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Сумма 60, без 25 осталось 35 на 5 чисел: 35 : 5 = 7.
2) Было среднее 6, D = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) : 5 = 8. После сдвига на 3: среднее 9, отклонения те же — D = 8. Вывод: сдвиг всех значений не меняет разброс.
3) Сумма 500, среднее 100 тыс. р. — больше, чем у четырёх из пяти; медиана 50 тыс. р. — типичная зарплата.
4) Средние: 45 : 5 = 9 у обоих. D(А) = (1 + 0 + 1 + 0 + 0) : 5 = 0,4; D(Б) = (1 + 4 + 1 + 1 + 1) : 5 = 1,6. У А разброс меньше — стабильнее.

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность по данным: $P = \frac{m}{N}$

1. По диаграмме сл. 5 (кружки, $50$ учеников) выбирают одного ученика наугад. Найдите вероятность того, что он ходит на робототехнику.

$0, 24$

2. В сборнике $25$ билетов, в $8$ из них есть вопрос о грибах. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете этого вопроса нет.

$0, 68$

3. Из $400$ фонариков в среднем $12$ неисправны. Найдите вероятность того, что случайно выбранный фонарик исправен.

$0, 97$

В бланк — десятичная дробь:

0, 24

записывают как 0,24.

R01.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Среднее: $4, 7, 9, 12, 8$ $8$
Медиана: $6, 1, 9, 3$ $4, 5$
Размах ряда из задания 1 $8$
Дисперсия: $2, 6, 6, 10$ $8$

Вариант 2

Среднее: $3, 6, 10, 5, 11$ $7$
Медиана: $8, 2, 5, 11$ $6, 5$
Размах ряда из задания 1 $8$
Дисперсия: $1, 4, 4, 7$ $4, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда медиана лучше среднего?
Как найти угол сектора?
Что показывает дисперсия?
Как считать среднее по таблице частот?

Домашнее задание

Ряд $5, 9, 3, 7, 6$ : среднее, медиана, размах, $D$
$30$ учеников: $12$ — «5», $15$ — «4», $3$ — «3». Углы секторов, среднее
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_analiz-dannyh.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-001 · Повторение: данные и описательная статистика

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 8 класса», 4 ч · урок 1/4 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Повторение курса 8 класса“»
Единицы → слайды	R01.1 «Представление данных» → 2, 4–6, 14–16, 18 · R01.2 «Описательная статистика» → 2, 7–17, 19–20 · R01.3 «Операции над событиями» → уроки VIS9-002…004 (здесь — мостик, сл. 18)
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы) → 3–6, 14–16, 18 · ПР-3 / REQ-5.3 (средние и меры рассеивания) → 7–17, 19 · ПР-4 / REQ-5.4 (частоты) → 11–12, 18
Вне урока	операции над событиями, дерево случайного опыта, независимость, комбинаторика — VIS9-002…004
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Данные и описательная статистика

Сегодня вы вспомните и научитесь

Читать данные

Строить диаграммы

Находить средние

Оценивать разброс

Числа и доли

Наборы чисел

Доли и проценты

Какую форму выбрать

Кружки 9 классов: каждый ходит в один

Образец: сколько процентов — робототехника?

Как 40 учеников добираются до школы

Образец: углы секторов

Ряд 1, 2, 4, 5, 13: две «середины»

Сначала упорядочить

Образец: ряд 8, 3, 11, 5, 6, 9

Сам

Насколько значения разбросаны

Четыре шага: среднее → отклонения → квадраты → среднее

Образец: ряд 6, 2, 8, 5, 4

Сам: найдите D

Оценки за контрольную: 20 учеников

Сколько детей в семьях учеников

Образец: детей 0,1,2,3 — семей 3,8,6,3

Сам: размер обуви 37,38,39,40 — у 2,5,2,1 чел.

Через сумму: сумма=x⋅n

Образец: среднее пяти чисел 6; четыре из них 4, 9, 5, 8. Пятое?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Медиана ряда 2, 8, 4, 6

б) Сектор: 25 из 50 человек

в) D ряда 1, 3, 5, 7

Решите и проверьте

Характеристики ряда

Разброс и доли

Подумайте и решите

Вероятность по данным: P=Nm​

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-001 · Повторение: данные и описательная статистика

Как $40$ учеников добираются до школы

Ряд $1, 2, 4, 5, 13$ : две «середины»

Образец: ряд $8, 3, 11, 5, 6, 9$

Образец: ряд $6, 2, 8, 5, 4$

Сам: найдите $D$

Оценки за контрольную: $20$ учеников

Образец: детей $0, 1, 2, 3$ — семей $3, 8, 6, 3$

Сам: размер обуви $37, 38, 39, 40$ — у $2, 5, 2, 1$ чел.

Через сумму: $сумма = \overline{x} \cdot n$

Образец: среднее пяти чисел $6$ ; четыре из них $4, 9, 5, 8$ . Пятое?

а) Медиана ряда $2, 8, 4, 6$

б) Сектор: $25$ из $50$ человек

в) $D$ ряда $1, 3, 5, 7$

Вероятность по данным: $P = \frac{m}{N}$