Повторение · урок 4 из 5 · углублённый

Графы, деревья и вероятности по дереву

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · VIS8U-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (5 ч), урок 4/5, тип О. Фокус урока — единица R09.4 «Деревья и плоские графы» и её связь с R09.3 «Сложение и умножение вероятностей» (дерево случайного опыта) и R09.2 (противоположное событие). Опора: VIS8U-017–019 (деревья, плоские графы, формула Эйлера), VIS8U-024–028 (сложение и умножение вероятностей, дерево опыта, независимость). Уроки 1–3 строки — рассеивание, операции над событиями, сложение и умножение; урок 5 — итоговое смешанное повторение.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: граф, степени, дерево) 3 · 7 (сводка: плоский граф, формула Эйлера) 2,5 · 9 (сводка: дерево опыта, учитель решает пример сам) 3 · 13 (карта темы) 1,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11, 12) по 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 3 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Обозначения урока (как в VIS8U-018): В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R09.4 · R09.3 · R09.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать рёбра по степеням

сумма степеней $= 2 Р$ ; в дереве $Р = В - 1$ (ПР-4)

Применять формулу Эйлера

находить вершины, рёбра или грани плоского графа (ПР-4)

Решать задачи по дереву опыта

умножать вдоль пути, складывать пути события (ПР-6, ПР-2)

Переходить к противоположному

«хотя бы один» $= 1 - P (ни одного)$ (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-4: «Иметь представление о дереве, о вершинах и ребрах дерева, использовании деревьев при решении задач в теории вероятностей…». ПР-6: «Пользоваться правилом умножения вероятностей, использовать дерево для представления случайного опыта… Оперировать понятием независимости событий». ПР-5: «…выполнять операции над событиями… применять формулу сложения вероятностей». ПР-2: «Находить вероятности случайных событий…».
Единицы ФРП: R09.4 «Деревья и плоские графы» (главная), R09.3 «Сложение и умножение вероятностей», R09.2 «Операции над множествами и событиями». Рассеивание (R09.1) — уроки 1 и 5 строки.

повторение: VIS8U-018, VIS8U-027

Разминка · устно

Графы и дерево опыта

Графы

Степени $3, 2, 2, 1$ . Рёбер? $4$
Могут ли быть ровно $3$ нечётные вершины? нет
Дерево из $15$ вершин. Рёбер? $14$
Плоский граф: $В = 5$ , $Р = 7$ . Граней? $4$

Вероятности

$P (A) = 0, 3$ . $P (\overline{A})$ ? $0, 7$
На пути рёбра $0, 5$ и $0, 4$ . $P (пути)$ ? $0, 2$
Из вершины $2$ ветви, одна $0, 35$ . Другая? $0, 65$
Пути события: $0, 12$ и $0, 3$ . $P$ ? $0, 42$

3 мин · практика
Ответы (по клику): 1) Сумма степеней 8, рёбер 8 : 2 = 4 — каждое ребро даёт по единице двум концам. 2) Нет: сумма степеней чётна, значит, нечётных вершин чётное число. 3) 14: в дереве рёбер на одно меньше, чем вершин. 4) Г = 2 − В + Р = 2 − 5 + 7 = 4 (с внешней гранью).
5) 1 − 0,3 = 0,7. 6) Вдоль пути умножаем: 0,5 · 0,4 = 0,2. 7) Сумма вероятностей ветвей из одной вершины равна 1: 0,65. 8) Пути несовместны — складываем: 0,42.
Вопрос классу: какие из этих правил сегодня понадобятся вместе? (Дерево — и граф, и схема опыта.)

R09.4

Сводка · граф, степени, дерево

Степени вершин и дерево

Степень вершины — число рёбер из неё (розовые кружки).

$2 + 2 + 3 + 3 + 1 + 1 = 12 = 2 \cdot 6$ рёбер $6$

Дерево — связный граф без циклов

$Р = В - 1$ , путь между вершинами — один

3 мин · теория
Сводка свойств (повторяем, не выводим заново). 1) Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер: каждое ребро считается дважды — у обоих концов. Следствие: число вершин нечётной степени чётно. На рисунке: 2 + 2 + 3 + 3 + 1 + 1 = 12, рёбер 6.
Клики: 1 — подсвечен цикл A–B–C; 2 — убираем ребро CA: граф остаётся связным, циклов нет — это дерево, 6 вершин и 5 рёбер. Затем строки справа.
2) Дерево — связный граф без циклов. В дереве Р = В − 1, между любыми двумя вершинами ровно один путь, есть хотя бы две висячие вершины (степени 1). Если в связном графе Р > В − 1, в нём есть цикл.
Вопрос: сколько рёбер в лесе из 3 деревьев с 20 вершинами? (20 − 3 = 17: у каждого дерева на одно ребро меньше, чем вершин.)

R09.4

Образец → сам · степени и рёбра

Рёбра — через сумму степеней

Образец: $7$ вершин, степени $4, 3, 3, 2, 2, 1, 1$ . Сколько рёбер? Дерево ли это?

$4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 16$ , $Р = 8$ сумма $= 2 Р$

дерево: $Р = 7 - 1 = 6 \neq = 8$ — нет есть циклы

Сам

Степени $5, 3, 3, 2, 2, 1$ . Рёбер? $8$
$9$ вершин, у каждой степень $4$ . Рёбер? $18$
Бывает ли граф со степенями $3, 3, 3, 2, 2$ ? нет
Дерево с $6$ вершинами: сумма степеней? $10$

R09.4

Образец → сам · дерево по степеням

Сколько висячих вершин?

Образец: в дереве $4$ вершины степени $3$ , одна — степени $2$ , остальные $x$ — висячие. Найдите $x$ .

$В = 5 + x$ , $Р = 4 + x$ дерево

$12 + 2 + x = 2 (4 + x)$ сумма степеней

$x = 6$ — $6$ висячих на рисунке — степени

Сам

Дерево: $3$ вершины степени $4$ , остальные висячие. Висячих? $8$
Может ли у дерева быть ровно $1$ висячая вершина? нет
Лес: $10$ вершин, $7$ рёбер. Деревьев? $3$

R09.4

Сводка · плоский граф и формула Эйлера

Плоский граф: вершины, рёбра, грани

Плоский граф можно нарисовать без пересечений рёбер. Грань — область, на которые рёбра делят плоскость.

В - Р + Г = 2

$5 - 7 + 4 = 2$ внешняя грань — тоже грань

дерево: $Г = 1 \Rightarrow Р = В - 1$

2,5 мин · теория
Клики: 1 — закрашиваем грани «домика»: три треугольника и внешняя грань (4). 2 — формула Эйлера для связного плоского графа (нарисованного без пересечений). 3 — проверка на рисунке: 5 − 7 + 4 = 2. 4 — связь со свойством дерева: у дерева нет циклов, плоскость не делится, Г = 1, и формула даёт В − Р + 1 = 2, т. е. Р = В − 1.
Напоминание (VIS8U-018): граф — это «кто с кем соединён», а не картинка; граф плоский, если существует хотя бы один рисунок без пересечений. Формула верна только для связного графа.
Вопрос: сколько граней у графа куба (8 вершин, 12 рёбер)? (2 − 8 + 12 = 6 — столько же, сколько граней у куба.)

R09.4

Образец → сам · формула Эйлера

Грани — через степени и формулу Эйлера

Образец: связный плоский граф, $8$ вершин, у каждой степень $3$ . Сколько граней?

$Р = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$ сумма степеней

$Г = 2 - 8 + 12 =$ $6$ формула Эйлера

Сам · граф связный и плоский

$В = 7$ , $Р = 12$ . Граней? $7$
$В = 6$ , $Г = 5$ . Рёбер? $9$
$10$ граней, каждая — треугольник (и внешняя). Рёбер и вершин? $15$ и $7$

2 мин · практика
Образец (клики): 1 — сумма степеней 24, рёбер 12. 2 — по формуле Эйлера Г = 2 − В + Р = 6. 3 — проверка рисунком (граф куба, «квадрат в квадрате»): внутренний квадрат, 4 трапеции и внешняя грань — 6.
Сам: 1) Г = 2 − 7 + 12 = 7. 2) Р = В + Г − 2 = 9 (например, треугольная призма). 3) Каждая грань ограничена 3 рёбрами, каждое ребро разделяет 2 грани: 3Г = 2Р, Р = 15; В = 2 + Р − Г = 7. Такой граф существует (В = 7, Р = 15 = 3В − 6).
Типичная ошибка: забыть внешнюю грань или переставить знаки: Г = В − Р + 2 (неверно).

R09.3

Сводка · дерево случайного опыта · пример учителя

Вдоль пути — умножаем, пути — складываем

Дождь (Д) — с вероятностью $0, 3$ . В дождь Петя берёт зонт (З) с вероятностью $0, 9$ , без дождя (Н) — $0, 2$ .

из вершины: $0, 9 + 0, 1 = 1$ сумма ветвей

$P (ДЗ) = 0, 3 \cdot 0, 9 = 0, 27$ вдоль пути

$P (З) = 0, 27 + 0, 14 = 0, 41$ сумма путей

Проверка:

0, 27 + 0, 03 + 0, 14 + 0, 56 = 1

3 мин · теория (учитель решает сам)
Три правила дерева: 1) сумма вероятностей рёбер из одной вершины равна 1 (исходы шага несовместны и исчерпывают все случаи); 2) вероятность пути — произведение вероятностей его рёбер (правило умножения: P(Д и З) = P(Д) · P(З | Д), на ребре второго уровня — условная вероятность); 3) вероятность события — сумма вероятностей его путей (пути несовместны — формула сложения).
Пример: Б — «без зонта». P(З) = 0,3 · 0,9 + 0,7 · 0,2 = 0,27 + 0,14 = 0,41. Сумма всех листьев равна 1 — удобная самопроверка.
Вопрос: зависимы ли события «дождь» и «взял зонт»? (Да: P(З | Д) = 0,9 ≠ P(З) = 0,41. Если бы на обоих рёбрах «З» стояло одно число, события были бы независимы, VIS8U-028.)

R09.3

Образец → сам · без возвращения

Шары без возвращения: дерево в два шага

Образец: $3$ красных (К) и $2$ синих (С) шара, вынимают два без возвращения. $P (оба одного цвета)$ ?

$P (КК) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0, 3$ вдоль пути

$P (СС) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = 0, 1$

$0, 3 + 0, 1 =$ $0, 4$ сумма путей

Сам

Те же шары: $P (разного цвета)$ $0, 6$
$4$ белых, $1$ чёрный, два без возвращения: $P (второй чёрный)$ $0, 2$
Монета, потом кубик: $P (орёл и 6)$ $\frac{1}{12}$

R09.3 · R09.2

Образец → сам · «хотя бы один» по дереву

Хотя бы одно попадание — через противоположное

Образец: $3$ независимых выстрела, $p = 0, 8$ . $P (хотя бы одно попадание)$ ?

$7$ путей из $8$ — долго противоположное: МММ

$P (МММ) = 0, 2^{3} = 0, 008$

$1 - 0, 008 =$ $0, 992$

Сам

$2$ выстрела, $p = 0, 7$ : хотя бы одно $0, 91$
Кубик $3$ раза: хотя бы одна шестёрка $\frac{91}{216}$
Лампы: перегорят за год с $P$ $0, 1$ и $0, 2$ . Хотя бы одна цела $0, 98$

2 мин · практика
Образец: событие «хотя бы одно попадание» — все листья, кроме МММ (подсвечен розовым). Противоположное событие — «ни одного попадания»: P = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008 (выстрелы независимы — на всех рёбрах одного типа одинаковые числа). Ответ 1 − 0,008 = 0,992.
Сам: 1) 1 − 0,3² = 1 − 0,09 = 0,91. 2) 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216 (≈ 0,42; десятичная дробь бесконечная — оставляем обыкновенной). 3) Лампы независимы: обе перегорят с P = 0,1 · 0,2 = 0,02; хотя бы одна цела: 0,98.
Связь с R09.2: «хотя бы один» — объединение событий, «ни одного» — противоположное к нему; переход к противоположному сокращает перебор путей.

R09.3 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни · контроль качества

Два автомата: доля брака

Образец: $60 %$ деталей делает автомат 1 (брак $2 %$ ), $40 %$ — автомат 2 (брак $5 %$ ). Деталь взяли наугад: $P (брак)$ ?

$0, 6 \cdot 0, 02 + 0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 012 + 0, 02$

$P (Б) =$ $0, 032$ сумма путей «Б»

Сам: автомат 1 — $70 %$ (брак $1 %$ ), автомат 2 — $30 %$ (брак $4 %$ )

$P (брак)$ $0, 019$
$P (годная и с автомата 2)$ $0, 288$
Деталь бракованная. $P (она с автомата 2)$ $\frac{12}{19}$

R09.4 · R09.3

Сводка · карта темы

Как связаны графы, деревья и вероятности

1,5 мин · теория
Систематизация (клики открывают связи): граф → дерево (связный без циклов: Р = В − 1, единственный путь) → дерево случайного опыта (правила умножения и сложения); граф → плоский граф (формула Эйлера), дерево — частный случай плоского графа с одной гранью; дерево опыта → операции над событиями: «хотя бы один» через противоположное.
Вопрос классу: какое свойство дерева гарантирует, что каждый исход опыта — ровно один путь? (Единственность пути от корня до листа.)

R09.4 · R09.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
рёбра = сумма степеней	степени $3, 3, 2, 2$ : $10$ рёбер	$10 : 2 = 5$
забыли внешнюю грань	квадрат с диагональю: $Г = 2$	$Г = 3$ : $4 - 5 + 3 = 2$
без возвращения — как с возвращением	$3$ К и $2$ С: $P (КК) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0, 3$
вдоль пути сложили	$0, 3 + 0, 9 = 1, 2$	$0, 3 \cdot 0, 9 = 0, 27$ ; $P \leq 1$

R09.4 · R09.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Связный плоский граф: $В = 6$ , $Р = 10$ . Сколько граней?

$Г = В - Р + 2 = - 2$ — «граф не плоский»

знаки перепутаны: $Г = 2 - В + Р$

$Г = 2 - 6 + 10 = 6$

б) Два независимых выстрела, $p = 0, 6$ . $P (хотя бы одно попадание)$ ?

$0, 6 + 0, 6 = 1, 2$

события совместны — складывать нельзя; $P > 1$

$1 - 0, 4^{2} = 0, 84$

в) В дереве $8$ вершин. Чему равна сумма степеней?

рёбер $8$ , сумма $2 \cdot 8 = 16$

в дереве рёбер $8 - 1 = 7$

сумма $2 \cdot 7 = 14$

R09.4 · R09.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Графы

Степени $4, 3, 3, 2, 2, 2$ . Рёбер? $8$
Дерево с $31$ ребром. Вершин? $32$
Связный плоский граф: $В = 9$ , $Р = 14$ . Граней? $7$

По дереву

Независимые $A$ и $B$ : $0, 4$ и $0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$
$2$ белых и $3$ чёрных, два без возвращения: оба белые $0, 1$
$p = 0, 9$ , два выстрела: ровно одно попадание $0, 18$

R09.4 · R09.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Связный плоский граф: $12$ вершин, у каждой степень $3$ . Сколько граней? $8$
повыш.В дереве каждая вершина имеет степень $1$ или $4$ ; висячих $14$ . Сколько вершин степени $4$ ? $6$
повыш.Матч до двух побед, ничьих нет; А выигрывает партию с вероятностью $0, 6$ . $P (А выиграет матч)$ ? $0, 648$
исследованиеМожно ли нарисовать без пересечений граф из $5$ вершин, в котором каждые две вершины соединены? нельзя

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Р = 12 · 3 : 2 = 18, Г = 2 − 12 + 18 = 8. 2) k вершин степени 4: 4k + 14 = 2(k + 14 − 1) ⇒ 2k = 12, k = 6 (В = 20, Р = 19). 3) Дерево матча: АА — 0,36; АБА и БАА — по 0,6 · 0,4 · 0,6 = 0,144; P = 0,36 + 0,288 = 0,648.
4) Нельзя. Р = 5 · 4 : 2 = 10. Если бы рисунок без пересечений был, по формуле Эйлера Г = 2 − 5 + 10 = 7. Каждая грань ограничена не менее чем 3 рёбрами, каждое ребро граничит не более чем с 2 гранями: 3Г ≤ 2Р, 21 ≤ 20 — противоречие.

R09.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Независимые испытания — ответ десятичной дробью

1. Биатлонист стреляет по мишеням $5$ раз, вероятность попадания при каждом выстреле $0, 8$ . Найдите вероятность того, что первые три раза он попал, а последние два — промахнулся.

$0, 02048$

2. В магазине два платёжных терминала. Каждый неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.

$0, 9975$

3. Чайник прослужит больше года с вероятностью $0, 97$ , больше двух лет — с вероятностью $0, 89$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

$0, 08$

Один путь дерева — произведение; «хотя бы один» — через противоположное. В бланк: 0,9975.

R09.4 · R09.3 · из жизни

Задача из жизни · дороги между посёлками

Десять посёлков: дороги образуют дерево

Из каждого посёлка можно доехать в любой, дорог — наименьшее возможное число.

Сколько дорог? $9$
Сколько маршрутов без повторов из А в Б? $1$
Каждую дорогу закрывают на ремонт с вероятностью $0, 1$ независимо. $P (проехать из А в Б)$ ? $0, 729$

Одна закрытая дорога в дереве — и посёлки разъединены.

R09.4 · R09.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Степени $3, 3, 2, 2, 1, 1$ . Рёбер? $6$
Связный плоский граф: $В = 8$ , $Р = 13$ . Граней? $7$
Дерево: $2$ вершины степени $3$ , остальные висячие. Висячих? $4$
Два независимых выстрела, $p = 0, 7$ : $P (оба мимо)$ $0, 09$

Вариант 2

Степени $4, 4, 3, 3, 2$ . Рёбер? $8$
Связный плоский граф: $В = 7$ , $Г = 6$ . Рёбер? $11$
Дерево: $3$ вершины степени $3$ , остальные висячие. Висячих? $5$
Два независимых выстрела, $p = 0, 6$ : $P (хотя бы одно)$ $0, 84$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему сумма степеней чётна?
Откуда в дереве $Р = В - 1$ по формуле Эйлера?
Когда на дереве опыта умножают, а когда складывают?

Домашнее задание

Связный плоский граф: $6$ вершин степени $4$ . Граней?
$3$ белых и $2$ чёрных шара, три без возвращения: $P (все белые)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_derevya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: каждое ребро добавляет по 1 к степеням двух вершин; у дерева одна грань, В − Р + 1 = 2; умножают вдоль пути (шаги одного исхода), складывают несовместные пути одного события.
Ответы ДЗ: 1) Р = 12, Г = 2 − 6 + 12 = 8 (граф октаэдра). 2) 3/5 · 2/4 · 1/3 = 1/10 = 0,1. Проверено вычислением.
Следующий урок — VIS8U-034, итоговое повторение строки R09: смешанные задачи по всем четырём единицам (рассеивание, операции над событиями, сложение и умножение вероятностей, графы).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-033 · Графы, деревья и вероятности по дереву

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 5 ч · урок 4/5 · тип О
Единицы → слайды	R09.4 «Деревья и плоские графы» → 2–8, 13–17, 19–21 · R09.3 «Сложение и умножение вероятностей» → 3, 9–12, 14–21 · R09.2 «Операции над множествами и событиями» → 11, 13, 15, 18
Результаты	ПР-4 (дерево, вершины и рёбра, деревья в задачах) → 2–8, 13, 19 · ПР-6 (правило умножения, дерево опыта, независимость) → 9–12, 16–20 · ПР-5 (операции над событиями, формула сложения) → 11, 15, 18 · ПР-2 (вероятности событий) → 10–12, 16, 18
Вне урока	R09.1 «Рассеивание данных» — уроки 1 и 5 строки (VIS8U-030, VIS8U-034); неплоские графы — только как исследование (сл. 17), без общей теории
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графы, деревья и вероятности по дереву

Сегодня вы научитесь

Считать рёбра по степеням

Применять формулу Эйлера

Решать задачи по дереву опыта

Переходить к противоположному

Графы и дерево опыта

Графы

Вероятности

Степени вершин и дерево

Рёбра — через сумму степеней

Образец: 7 вершин, степени 4,3,3,2,2,1,1. Сколько рёбер? Дерево ли это?

Сам

Сколько висячих вершин?

Образец: в дереве 4 вершины степени 3, одна — степени 2, остальные x — висячие. Найдите x.

Сам

Плоский граф: вершины, рёбра, грани

Грани — через степени и формулу Эйлера

Образец: связный плоский граф, 8 вершин, у каждой степень 3. Сколько граней?

Сам · граф связный и плоский

Вдоль пути — умножаем, пути — складываем

Шары без возвращения: дерево в два шага

Образец: 3 красных (К) и 2 синих (С) шара, вынимают два без возвращения. P(оба одного цвета)?

Сам

Хотя бы одно попадание — через противоположное

Образец: 3 независимых выстрела, p=0,8. P(хотя бы одно попадание)?

Сам

Два автомата: доля брака

Образец: 60% деталей делает автомат 1 (брак 2%), 40% — автомат 2 (брак 5%). Деталь взяли наугад: P(брак)?

Сам: автомат 1 — 70% (брак 1%), автомат 2 — 30% (брак 4%)

Как связаны графы, деревья и вероятности

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Связный плоский граф: В=6, Р=10. Сколько граней?

б) Два независимых выстрела, p=0,6. P(хотя бы одно попадание)?

в) В дереве 8 вершин. Чему равна сумма степеней?

Решите и проверьте

Графы

По дереву

Подумайте и решите

Независимые испытания — ответ десятичной дробью

Десять посёлков: дороги образуют дерево

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-033 · Графы, деревья и вероятности по дереву

Образец: $7$ вершин, степени $4, 3, 3, 2, 2, 1, 1$ . Сколько рёбер? Дерево ли это?

Образец: в дереве $4$ вершины степени $3$ , одна — степени $2$ , остальные $x$ — висячие. Найдите $x$ .

Образец: связный плоский граф, $8$ вершин, у каждой степень $3$ . Сколько граней?

Образец: $3$ красных (К) и $2$ синих (С) шара, вынимают два без возвращения. $P (оба одного цвета)$ ?

Образец: $3$ независимых выстрела, $p = 0, 8$ . $P (хотя бы одно попадание)$ ?

Образец: $60 %$ деталей делает автомат 1 (брак $2 %$ ), $40 %$ — автомат 2 (брак $5 %$ ). Деталь взяли наугад: $P (брак)$ ?

Сам: автомат 1 — $70 %$ (брак $1 %$ ), автомат 2 — $30 %$ (брак $4 %$ )

а) Связный плоский граф: $В = 6$ , $Р = 10$ . Сколько граней?

б) Два независимых выстрела, $p = 0, 6$ . $P (хотя бы одно попадание)$ ?

в) В дереве $8$ вершин. Чему равна сумма степеней?