Повторение и систематизация · урок 3 из 5 · обобщение

Сложение и умножение вероятностей

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · VIS8U-032

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (5 ч), урок 3/5. Тип урока — О. Фокус урока 3 — единица R09.3 «Сложение и умножение вероятностей» (по порядку единиц строки); в разминке и смешанных задачах — R09.1 (рассеивание), R09.2 (операции над множествами и событиями), R09.4 (деревья). Опора: VIS8U-024 (формула сложения), VIS8U-025 (правило умножения), VIS8U-026 (условная вероятность), VIS8U-027 (дерево), VIS8U-028 (независимые события).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2,5 · 4 (сводка правил) 3,5 · 5 (схема выбора правила) 2,5 · 6 (пример учителя: три способа) 3,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 7–11) по 2,5, сл. 12 — 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Главная мысль урока: перед вычислением назвать связку — «не», «или», «и» — и проверить условие правила (несовместность, независимость). Дерево объединяет оба правила: умножение вдоль пути, сложение по разным путям.
Если не успеваете: сл. 12 и задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ.

R09.3 · R09.2 · R09.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать правило

по связке «не», «или», «и» и условию: несовместны, независимы (ПР-5, ПР-6)

Считать по дереву

умножать вдоль пути и складывать вероятности путей (ПР-4, ПР-6)

Находить «хотя бы один»

через противоположное событие и решать обратные задачи (ПР-5, ПР-6)

Проверять независимость

по таблице исходов и решать задачи ОГЭ (ПР-2, ПР-6, линия 10)

1,5 мин · теория
ПР-5: «Оперировать понятием события как множества элементарных событий…, применять формулу сложения вероятностей». ПР-6: «Пользоваться правилом умножения вероятностей, использовать дерево… Оперировать понятием независимости событий». ПР-4: деревья в теории вероятностей. ПР-2: вероятности событий по вероятностям элементарных событий.
Из характеристики деятельности строки R09: «Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том числе независимых, с использованием графических представлений».

повторение: R09.1–R09.4

Разминка · устно

Дерево, множества, вероятности

По дереву: $P (ОО)$ $\frac{1}{4}$
Сколько у дерева вершин и рёбер? $7$ и $6$
$0, 3 \cdot 0, 5$ $0, 15$
$P (A) = 0, 35$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 65$
$A$ , $B$ несовместны, $0, 2$ и $0, 55$ . $P (A \cup B)$ $0, 75$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 3$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
${1; 2; 3} \cap {2; 3; 4}$ ${2; 3}$
Ряд $1$ , $3$ , $5$ : отклонения от среднего $- 2; 0; 2$

R09.3 · R09.2

Теория · сводка правил

Четыре правила — на одном слайде

«Не»: $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
«хотя бы один» $= 1 - P (ни одного)$

«Или»: $P (A \cup B) =$
$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
несовместны: $P (A) + P (B)$

«И»: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$
независимы: $P (A) \cdot P (B)$

Дерево:
вдоль пути — умножаем,
разные пути — складываем

Независимы

⟺ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

. Проверка ответа:

0 \leq P \leq 1

.

3,5 мин · теория
Сводку класс собирает вместе с учителем: учитель называет связку, ученики — правило и его условие. Записать в тетрадь.
«Не»: A и не A несовместны и вместе дают Ω, отсюда P(не A) = 1 − P(A) (VIS8U-022). «Хотя бы один» противоположно «ни одного» — главный приём для многих испытаний.
«Или»: в P(A) + P(B) общая часть учтена дважды, поэтому вычитаем P(A ∩ B) (VIS8U-024). Если общих исходов нет — просто сумма.
«И»: правило умножения через условную вероятность (VIS8U-025, 026); для независимых P(B | A) = P(B) (VIS8U-028). Дерево (VIS8U-027): вероятности на рёбрах — условные, произведение вдоль пути — вероятность пересечения; разные пути несовместны, поэтому их вероятности складываются.
Вопрос классу: можно ли умножать вероятности, если выбор без возвращения? (Да, но вторая вероятность — условная, см. сл. 9.)

R09.3

Теория · схема выбора правила

Сначала связка, потом условие, потом формула

2,5 мин · теория
Ветви открываются по клику. Порядок вопросов: 1) какая связка в вопросе задачи — «не / хотя бы», «или», «и»; 2) выполнено ли условие простого правила — несовместность для «или», независимость для «и»; 3) только потом формула.
Признаки в тексте задачи: «независимо», «с возвращением», «разные приборы» — обычно независимость; «без возвращения», «из оставшихся» — зависимость, нужна условная вероятность. «Один выстрел, одна оценка, одно число» — исходы несовместны.
Если связок несколько («ровно один», «серия»), строим дерево: каждое благоприятное «и» — путь, «или» между путями — сумма.

R09.3 · R09.4

Теория · пример учителя: три способа

Дождь в субботу $0, 3$ , в воскресенье $0, 4$ , независимо

Найти: $P (дождь хотя бы в один день)$

1. По путям: $0, 12 + 0, 18 + 0, 28 = 0, 58$

2. Формула сложения: $0, 3 + 0, 4 - 0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 58$

3. Противоположное: $1 - 0, 7 \cdot 0, 6 = 0, 58$

Сумма всех путей

= 1

:

0, 58 + 0, 42 = 1

— проверка.

3,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Опыт из двух независимых испытаний. На рёбрах первого уровня — погода в субботу, второго — в воскресенье; из-за независимости вероятности на втором уровне одинаковы в обеих ветвях (0,4 и 0,6).
Способ 1: благоприятны три пути (бирюзовые) — умножаем вдоль каждого и складываем. Способ 2: A ∩ B для независимых — 0,3 · 0,4 = 0,12, затем формула сложения. Способ 3: «хотя бы в один день дождь» противоположно «оба дня сухо» (красный лист), 1 − 0,42 = 0,58.
Вывод для класса: третий способ самый короткий, особенно при трёх и более испытаниях (сл. 8). Типичная ошибка — 0,3 + 0,4 = 0,7: события совместны.

R09.3 · R09.4

Образец → сам · независимые события, дерево

«Ровно один» — два пути

Образец: на пути два светофора, независимо зелёный — с $p = 0, 6$ и $0, 7$ . $P (зелёный ровно на одном)$ ?

путь ЗК: $0, 6 \cdot 0, 3$ ; путь КЗ: $0, 4 \cdot 0, 7$ умножаем

$0, 18 + 0, 28$ = $0, 46$ пути несовместны

Сам

Те же светофоры: зелёный на обоих $0, 42$
Монета и кубик: решка и число больше $4$ $\frac{1}{6}$
Три независимых выстрела, $p = 0, 8$ : все три в цель $0, 512$

R09.3 · R09.2

Образец → сам · «хотя бы один» через «не»

Противоположное событие — одно произведение

Образец: в подъезде две лампы, за год перегорают независимо с вероятностями $0, 2$ и $0, 3$ . $P (хотя бы одна будет гореть)$ ?

«ни одна не горит» $= 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 06$ независимы

$1 - 0, 06$ = $0, 94$ всё, кроме красной части

Сам

Три будильника, каждый не сработает с $p = 0, 1$ (независимо). Сработает хотя бы один $0, 999$
Монету бросают $3$ раза: хотя бы один орёл $\frac{7}{8}$
Стрелки попадают с $p = 0, 6$ и $0, 5$ независимо: попадёт хотя бы один $0, 8$

R09.3 · R09.4

Образец → сам · выбор без возвращения

Без возвращения: на втором шаге — условные

Образец: в урне $3$ красных и $2$ синих шара. Достают два без возвращения. $P (шары разного цвета)$ ?

КС: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$ ; СК: $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$ в урне осталось $4$ шара

$\frac{6}{20} + \frac{6}{20}$ = $\frac{3}{5}$ пути несовместны

Сам: та же урна

Оба шара красные $\frac{3}{10}$
Оба шара синие $\frac{1}{10}$
Второй шар красный $\frac{3}{5}$

R09.3

Образец → сам · обратная задача

Неизвестная вероятность на ребре дерева

Образец: два независимых датчика. Хотя бы один срабатывает с $p = 0, 94$ , первый — с $0, 8$ . Найдите $p$ для второго.

ни один: $1 - 0, 94 = 0, 06 = 0, 2 (1 - x)$ «не»

$1 - x = 0, 3$ , $x$ = $0, 7$ проверка: $1 - 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 94$

Сам

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 8$ . $P (B)$ $0, 6$
Наименьшее число бросков монеты, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 9$ $4$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 7$ . Независимы? да

R09.3 · R09.2

Образец → сам · таблица исходов двух кубиков

Объединение, пересечение и проверка независимости

Образец: два кубика. $A$ — «на 1-м чётное», $B$ — «сумма $8$ ». Найдите $P (A \cup B)$ . Независимы ли $A$ и $B$ ?

$P (A \cup B) = \frac{18 + 5 - 3}{36}$ = $\frac{5}{9}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{72} \neq = \frac{3}{36}$ → зависимы

Сам: два кубика

Хотя бы на одном кубике $6$ $\frac{11}{36}$
«Сумма $7$ » и «на 1-м $3$ » — независимы? да
Сумма $8$ , если известно, что на 1-м чётное $\frac{1}{6}$

2,5 мин · практика
Строки — 1-й кубик, столбцы — 2-й. A — три розовые строки (18 клеток). B — сумма 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) — 5 клеток; из них в A лежат (2; 6), (4; 4), (6; 2) — фиолетовые. P(A ∪ B) = 20/36 = 5/9 (проверено перебором).
Независимость: P(A) · P(B) = 1/2 · 5/36 = 5/72, а P(A ∩ B) = 3/36 = 6/72 — не равны, события зависимы. Смысл: при чётном первом сумма 8 вероятнее (3 из 18 = 1/6 против 5/36).
1) 6 + 6 − 1 = 11 клеток: 11/36 (или 1 − 25/36). 2) P(сумма 7 и 1-й 3) = 1/36 = 6/36 · 1/6 — независимы. 3) Условная вероятность: 3 клетки из 18 = 1/6.

R09.3 · R09.4

Образец → сам · задача из жизни: серия матчей

Игра до двух побед

Образец: команда выигрывает каждый матч с $p = 0, 6$ независимо. Серия — до двух побед (не больше $3$ матчей). $P (команда выиграет серию)$ ?

ВВ, ВПВ, ПВВ: $0, 36 + 0, 144 + 0, 144$ = $0, 648$

Сам: та же серия

Понадобятся все $3$ матча $0, 48$
Команда проиграет серию $0, 352$
То же, что в образце, при $p = 0, 5$ $0, 5$

2 мин · практика
Образец: дерево строим только до конца серии — после двух побед или двух поражений матчей больше нет (листья ВВ и ПП на втором уровне). Выигрыш серии — три пути: ВВ = 0,6² = 0,36; ВПВ = 0,6 · 0,4 · 0,6 = 0,144; ПВВ = 0,4 · 0,6 · 0,6 = 0,144. Сумма 0,648 (проверено кодом).
1) Третий матч нужен после ВП или ПВ: 0,24 + 0,24 = 0,48. 2) 1 − 0,648 = 0,352. 3) При p = 0,5 команды равны, по симметрии 0,5 (0,25 + 0,125 + 0,125).
Вывод (R09.4): у дерева 6 листьев — 6 исходов серии, они не равновозможны; поэтому считаем не «3 из 6», а по произведениям вдоль путей.

R09.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили совместные: хотя бы один из стрелков $0, 6$ и $0, 5$	$0, 6 + 0, 5 = 1, 1$	$1 - 0, 4 \cdot 0, 5 = 0, 8$
умножили как независимые при выборе без возвращения: $3$ К, $2$ С, оба К	$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$
«ровно один» — взяли один путь из двух (светофоры)	$0, 6 \cdot 0, 3 = 0, 18$	$0, 18 + 0, 28 = 0, 46$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Вероятность больше 1 — сигнал ошибки. События «попал первый» и «попал второй» совместны (могут попасть оба), складывать без вычитания нельзя: 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8, или через «оба промахнулись».
2) После первого красного в урне 4 шара, из них 2 красных — вторая вероятность 2/4, а не 3/5. «С возвращением» было бы 9/25.
3) «Ровно один» = «первый да, второй нет» или «первый нет, второй да» — два несовместных пути, обе вероятности нужно сложить.

R09.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают $3$ раза. $P (хотя бы одна решка)$

противоположное «все орлы»: $\frac{1}{2}$ , ответ $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$P (ООО) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

б) $A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$

$0, 3 + 0, 4 = 0, 7$

независимы — не значит несовместны: $P (A \cap B) = 0, 12$

$0, 7 - 0, 12 = 0, 58$

в) $4$ билета, $1$ выигрышный. Двое тянут по очереди. $P (выиграет второй)$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

после первого осталось $3$ билета

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Событие «все орлы» — это три независимых орла, а не один: 1/8. Ответ 7/8 (из 8 равновозможных исходов только ООО не подходит).
б) Независимые события с положительными вероятностями всегда совместны: P(A ∩ B) = 0,3 · 0,4 = 0,12 ≠ 0. Ответ 0,58 (как в примере учителя, сл. 6).
в) Второй выигрывает, если первый не вытянул выигрышный (3/4) и второй вытянул его из оставшихся трёх (1/3): 1/4 — шансы у обоих одинаковы, как на сл. 9.

R09.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$A$ , $B$ независимы: $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 2$

$P (A \cap B)$ $0, 14$
$P (A \cup B)$ $0, 76$
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ $0, 24$

В опытах

Кубик бросают дважды: оба раза больше $4$ $\frac{1}{9}$
$5$ ручек, $2$ не пишут. Берут $2$ наугад: обе пишут $\frac{3}{10}$
Стрелок попадает с $p = 0, 9$ , два выстрела: ровно одно попадание $0, 18$

R09.3 · R09.2 · R09.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Смешанные задачи

повыш.Три независимых события, каждое с вероятностью $0, 5$ . $P (наступят ровно два)$ $\frac{3}{8}$
деревоМонету бросают до первого орла, но не больше $4$ раз. Сколько листьев у дерева опыта? $P (понадобятся все 4 броска)$ $5$ ; $\frac{1}{8}$
множестваВ классе $25$ учеников: $15$ ходят на футбол, $12$ — на шахматы, $4$ — никуда. Выбирают одного: $P (и футбол, и шахматы)$ $0, 24$
из жизниКурьер A везёт $60 %$ заказов и теряет $3 %$ из них, курьер B — остальные и теряет $5 %$ . $P (заказ потерян)$ $0, 038$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Три пути дерева с двумя «да» и одним «нет», каждый 0,5³ = 1/8: 3/8 (проверено перебором 8 исходов).
2) Листья: О, РО, РРО, РРРО, РРРР — 5. Все 4 броска нужны, если первые три — решки: (1/2)³ = 1/8 (пути РРРО и РРРР вместе).
3) Хотя бы куда-то ходят 25 − 4 = 21; по формуле сложения 15 + 12 − x = 21, x = 6: 6/25 = 0,24 (R09.2, диаграмма Эйлера).
4) Дерево: 0,6 · 0,03 + 0,4 · 0,05 = 0,018 + 0,02 = 0,038 (формула полной вероятности из VIS8U-027).

R09.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Умножение и «хотя бы один» в задачах экзамена

1. Вероятность того, что новая батарейка бракованная, равна $0, 05$ . Покупатель выбрал в магазине случайную упаковку из двух батареек. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

$0, 9025$

2. В магазине два платёжных терминала. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0, 07$ независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.

$0, 9951$

3. Биатлонист $4$ раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0, 8$ . Найдите вероятность того, что первые $3$ раза он попал, а последний раз промахнулся.

$0, 1024$

R09.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$
Для тех же событий $P (A \cup B)$ $0, 7$
$4$ белых и $2$ чёрных шара, берут $2$ без возвращения: оба белые $\frac{2}{5}$
Три лампы перегорают независимо, каждая — с $p = 0, 2$ . Хотя бы одна горит $0, 992$

Вариант 2

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ . $P (A \cap B)$ $0, 18$
Для тех же событий $P (A \cup B)$ $0, 72$
$3$ белых и $3$ чёрных шара, берут $2$ без возвращения: оба чёрные $\frac{1}{5}$
Три будильника, каждый не сработает с $p = 0, 3$ независимо. Сработает хотя бы один $0, 973$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда вероятности складывают, когда умножают?
Чем независимые события отличаются от несовместных?
Как быстрее найти «хотя бы один»?
Что меняется при выборе без возвращения?

Домашнее задание

Стрелки $0, 7$ и $0, 6$ независимо: ровно один попадёт
$6$ билетов, $2$ выигрышных, берут $2$ : хотя бы один выигрышный
Серия до $2$ побед при $p = 0, 7$ : $P (выигрыш серии)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_pravilo-umnozheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-032 · Повторение: сложение и умножение вероятностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 5 ч · урок 3/5 · тип О
Единицы → слайды	R09.3 «Сложение и умножение вероятностей» → 2, 4–19 · R09.4 «Деревья» → 3, 6, 7, 9, 12, 16 · R09.2 «Операции над множествами и событиями» → 3, 8, 11, 16 · R09.1 «Рассеивание» → 3
Результаты	ПР-5 (формула сложения, события как множества) → 4–8, 11, 13–18 · ПР-6 (умножение, дерево, независимость) → 4–7, 9–12, 15–18 · ПР-4 (деревья) → 3, 6, 12, 16 · ПР-2 → 11
Вне урока	рассеивание — VIS8U-030; операции над множествами и событиями — VIS8U-031; деревья и плоские графы — VIS8U-033
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение и умножение вероятностей

Сегодня вы научитесь

Выбирать правило

Считать по дереву

Находить «хотя бы один»

Проверять независимость

Дерево, множества, вероятности

Четыре правила — на одном слайде

Сначала связка, потом условие, потом формула

Дождь в субботу 0,3, в воскресенье 0,4, независимо

«Ровно один» — два пути

Образец: на пути два светофора, независимо зелёный — с p=0,6 и 0,7. P(зелёный ровно на одном)?

Сам

Противоположное событие — одно произведение

Образец: в подъезде две лампы, за год перегорают независимо с вероятностями 0,2 и 0,3. P(хотя бы одна будет гореть)?

Сам

Без возвращения: на втором шаге — условные

Образец: в урне 3 красных и 2 синих шара. Достают два без возвращения. P(шары разного цвета)?

Сам: та же урна

Неизвестная вероятность на ребре дерева

Образец: два независимых датчика. Хотя бы один срабатывает с p=0,94, первый — с 0,8. Найдите p для второго.

Сам

Объединение, пересечение и проверка независимости

Образец: два кубика. A — «на 1-м чётное», B — «сумма 8». Найдите P(A∪B). Независимы ли A и B?

Сам: два кубика

Игра до двух побед

Образец: команда выигрывает каждый матч с p=0,6 независимо. Серия — до двух побед (не больше 3 матчей). P(команда выиграет серию)?

Сам: та же серия

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают 3 раза. P(хотя бы одна решка)

б) A, B независимы, P(A)=0,3, P(B)=0,4. P(A∪B)

в) 4 билета, 1 выигрышный. Двое тянут по очереди. P(выиграет второй)

Решите и проверьте

A, B независимы: P(A)=0,7, P(B)=0,2

В опытах

Смешанные задачи

Умножение и «хотя бы один» в задачах экзамена

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-032 · Повторение: сложение и умножение вероятностей

Дождь в субботу $0, 3$ , в воскресенье $0, 4$ , независимо

Образец: на пути два светофора, независимо зелёный — с $p = 0, 6$ и $0, 7$ . $P (зелёный ровно на одном)$ ?

Образец: в подъезде две лампы, за год перегорают независимо с вероятностями $0, 2$ и $0, 3$ . $P (хотя бы одна будет гореть)$ ?

Образец: в урне $3$ красных и $2$ синих шара. Достают два без возвращения. $P (шары разного цвета)$ ?

Образец: два независимых датчика. Хотя бы один срабатывает с $p = 0, 94$ , первый — с $0, 8$ . Найдите $p$ для второго.

Образец: два кубика. $A$ — «на 1-м чётное», $B$ — «сумма $8$ ». Найдите $P (A \cup B)$ . Независимы ли $A$ и $B$ ?

Образец: команда выигрывает каждый матч с $p = 0, 6$ независимо. Серия — до двух побед (не больше $3$ матчей). $P (команда выиграет серию)$ ?

а) Монету бросают $3$ раза. $P (хотя бы одна решка)$

б) $A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$

в) $4$ билета, $1$ выигрышный. Двое тянут по очереди. $P (выиграет второй)$

$A$ , $B$ независимы: $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 2$