Повторение и обобщение · урок 2 из 5 · обобщение

Операции над множествами и событиями

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
Обобщение и систематизация знаний
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · VIS8U-031

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (5 ч), урок 2/5, единицы R09.1–R09.4. Тип урока — О (обобщение). Фокус урока 2 из 5 — вторая единица строки, R09.2 «Операции над множествами и событиями», плюс смешанные задачи с вероятностями. Урок 1 (VIS8U-030) — рассеивание данных, урок 3 (VIS8U-032) — сложение и умножение вероятностей, урок 4 — деревья и плоские графы.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2,5 · 4 (сводка: четыре операции для множеств и событий) 3 · 7 (сводка: формула включений-исключений, законы де Моргана) 3,5 · 10 (сводка: логика «и / или / не», таблица истинности) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 8) по 2,5, (сл. 6, 9, 11, 12, 13) по 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2 · повышенный уровень (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 5 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле: два круга Эйлера, ярче закрашено пересечение — его в формуле сложения вычитают один раз. Вопрос для начала: почему пересечение закрашено «дважды»? (Оно входит и в A, и в B.)
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 4 сл. 12 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R09.2 · R09.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выполнять операции

$\cap$ , $\cup$ , $∖$ , дополнение — над множествами, промежутками и событиями (ПР-1, ПР-5)

Считать по кругам Эйлера

формула включений-исключений для двух и трёх множеств (ПР-1)

Переводить «и / или / не»

из слов в формулу события и обратно; законы де Моргана (ПР-5)

Находить вероятности

результатов операций — перебором исходов и по областям диаграммы (ПР-2, ПР-5)

1,5 мин · теория
ПР-1: «Оперировать понятиями множества, подмножества, выполнять операции над множествами: объединение, пересечение…». ПР-5: «Оперировать понятием события как множества элементарных событий случайного опыта, выполнять операции над событиями, использовать при решении задач диаграммы Эйлера, числовую прямую, применять формулу сложения вероятностей». ПР-2 — вероятности при равновозможных исходах (сл. 9, 18).
Это урок обобщения: всё сегодняшнее уже изучалось в строках R02 «Множества» (VIS8U-004 — 007), R06 «Логика» (VIS8U-020, 021) и R07 «Случайные события» (VIS8U-022 — 024). Задача урока — увидеть, что это одни и те же четыре операции на разных языках.

повторение: VIS8U-030, VIS8U-023

Разминка · устно

Рассеивание — вчера, множества — сегодня

Ряд $1, 3, 5, 7$

Среднее $4$
Дисперсия $5$
Каждое число увеличили на $10$ . Дисперсия? $5$
${1; 2; 3; 4; 5} \cap {4; 5; 6}$ ${4; 5}$

Множества и события

$∣ A ∣ = 9$ , $∣ B ∣ = 7$ , $∣ A \cap B ∣ = 3$ : $∣ A \cup B ∣$ $13$
$[1; 4] \cap [3; 6]$ $[3; 4]$
Кубик: «чётное» и «больше $3$ » ${4; 6}$
$P (A) = 0, 2$ . $P (\overline{A})$ $0, 8$

2,5 мин · практика
Задания 1–3 — мостик от прошлого урока (VIS8U-030, рассеивание): 1) (1 + 3 + 5 + 7) : 4 = 4. 2) Отклонения −3, −1, 1, 3; квадраты 9, 1, 1, 9; D = 20 : 4 = 5. 3) Сдвиг всех значений не меняет отклонений от среднего — дисперсия та же, 5 (свойство дисперсии, VIS8U-013).
4) Общие элементы {4; 5}. 5) 9 + 7 − 3 = 13 — общие элементы не считаем дважды. 6) Общая часть промежутков [3; 4], оба конца входят. 7) Исходы «чётное» {2; 4; 6}, «больше 3» {4; 5; 6}; «и» — пересечение {4; 6}. 8) 1 − 0,2 = 0,8.

R09.2

Теория · сводка · четыре операции

Одна картинка — для множеств и для событий

$A \cap B$

«и»: в обоих

наступили оба события

$A \cup B$

«или»: хотя бы в одном

наступило хотя бы одно

$A ∖ B$

«и не»: в $A$ , не в $B$

$A$ наступило, $B$ — нет

$\overline{A}$

«не»: в $U$ , не в $A$

$A$ не наступило

Событие — множество исходов,

U

— все исходы. Несовместные:

A \cap B = \emptyset

.

A ∖ B = A \cap \overline{B}

3 мин · теория
Сводка VIS8U-004, VIS8U-023. Подчеркните: операции над событиями — это операции над множествами их элементарных событий; U (универсальное множество) для событий — все элементарные события опыта (достоверное событие), ∅ — невозможное событие.
Под каждой диаграммой — два прочтения: на языке элементов («в обоих», «хотя бы в одном») и на языке событий («наступили оба», «наступило хотя бы одно»). Объединение — «или» не исключающее: оба сразу тоже подходят.
Вопрос классу: какое событие — A ∩ B̄? (То же, что A \ B: «A наступило, а B — нет».) Что значит «A и B несовместны» на рисунке? (Круги не пересекаются, линза пустая.)

R09.2

Образец → сам · операции перечислением

Разложите элементы по частям диаграммы

Образец: $U = {1; \dots; 20}$ , $A$ — простые, $B$ — нечётные

$A \cap B$ — $7$ чисел, $A ∖ B = {2}$ $2$ — чётное простое

$∣ A \cup B ∣ = 1 + 7 + 3 = 11$ по частям

$∣ \overline{A \cup B} ∣ = 20 - 11 = 9$ дополнение

Сам: $U = {1; \dots; 30}$ , $C$ — кратные $5$ , $D$ — чётные

$∣ C \cap D ∣$ $3$
$C ∖ D$ ${5; 15; 25}$
$∣ C \cup D ∣$ $18$
$∣ \overline{C \cup D} ∣$ $12$

R09.2

Образец → сам · операции над промежутками

«И» — общая часть полос, «или» — вся штриховка

Образец: $A = [- 3; 2]$ , $B = (0; 4)$

$A \cap B = (0; 2]$ $0 \in / B$ , $2 \in A$

$A \cup B = [- 3; 4)$ полосы перекрываются

$A ∖ B = [- 3; 0]$ , $B ∖ A = (2; 4)$

Сам

$[- 1; 5) \cap [3; 8]$ $[3; 5)$
$(- \infty; 2) \cup [- 4; 6]$ $(- \infty; 6]$
$[0; 6] ∖ (2; 4)$ $[0; 2] \cup [4; 6]$
Сколько целых в $(- 2; 3] ∖ [0; 1]$ ? $3$

2 мин · практика
Образец: розовая полоса — пересечение. Левый конец 0 выколот (0 ∉ B), правый 2 входит (2 ∈ A и 2 ∈ B). Объединение — от −3 (входит) до 4 (не входит), без разрыва. Разность A \ B: точки A левее B, точка 0 остаётся (её нет в B) — [−3; 0]. B \ A: (2; 4) — точка 2 уходит, потому что лежит в A.
1) [3; 5). 2) Первый промежуток уже содержит всё левее 2, второй продлевает до 6: (−∞; 6]. 3) Вырезаем интервал без концов — концы 2 и 4 остаются: [0; 2] ∪ [4; 6]. 4) (−2; 3] \ [0; 1] = (−2; 0) ∪ (1; 3]; целые: −1, 2, 3 — три числа.

R09.2 · R09.3

Теория · сводка · формула включений-исключений

Каждую область — ровно один раз

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

∣ A \cup B \cup C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣

- ∣ A \cap B ∣ - ∣ A \cap C ∣ - ∣ B \cap C ∣ + ∣ A \cap B \cap C ∣

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Де Морган:

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}

,

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

3,5 мин · теория
Сводка VIS8U-006, VIS8U-024. Числа на рисунке — сколько раз каждая область учтена: в сумме |A| + |B| + |C| области «только одно» учтены 1 раз, области двух кругов — 2 раза (вычитаем пару — остаётся 1), центр — 3 раза, вычли три пары (3 − 3 = 0) — поэтому центр добавляем обратно: 3 − 3 + 1 = 1.
Формула сложения вероятностей — та же формула для двух множеств, делённая на |U| при равновозможных исходах (и верная для любых событий). Если A и B несовместны, P(A ∩ B) = 0 и P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Законы де Моргана: «не (A или B)» = «ни A, ни B»; «не (A и B)» = «не A или не B», т. е. «не оба». Вопрос классу: как звучит противоположное к «сдал оба экзамена»? («Не сдал хотя бы один».)

R09.2

Образец → сам · три множества

Заполняем диаграмму от центра к краям

Образец: $60$ учеников. Секции: Ф — $28$ , Б — $22$ , В — $18$ ; Ф и Б — $10$ , Ф и В — $8$ , Б и В — $6$ ; все три — $4$

центр $4$ ; пары: $6, 4, 2$

только Ф: $28 - 6 - 4 - 4 = 14$

хотя бы одна: $68 - 24 + 4 = 48$

ни в одной: $12$

Сам: числа от $1$ до $70$

Делятся на $2$ , $5$ или $7$ $46$
Не делятся ни на одно из них $24$
Делятся только на $7$ из трёх $4$

2,5 мин · практика
Образец: начинаем с центра (4 — все три секции), затем «ровно две»: Ф и Б без В 10 − 4 = 6, Ф и В без Б 8 − 4 = 4, Б и В без Ф 6 − 4 = 2; «только одна»: Ф 28 − 6 − 4 − 4 = 14, Б 22 − 6 − 2 − 4 = 10, В 18 − 4 − 2 − 4 = 8. По формуле: 28 + 22 + 18 = 68, пары 10 + 8 + 6 = 24, 68 − 24 + 4 = 48; по частям: 14 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + 4 = 48. Ни в одной: 60 − 48 = 12.
Сам: кратных 2 — 35, 5 — 14, 7 — 10, 10 — 7, 14 — 5, 35 — 2, 70 — 1. 1) 35 + 14 + 10 − 7 − 5 − 2 + 1 = 46. 2) 70 − 46 = 24. 3) Только на 7: 10 − 5 − 2 + 1 = 4 (числа 7, 21, 49, 63). Проверено перебором.

R09.2 · R09.3

Образец → сам · события в таблице исходов

Два кубика: $36$ равновозможных исходов

Образец: $A$ = «сумма $\geq 9$ », $B$ = «дубль». Найдите $P (A \cup B)$

$∣ A ∣ = 10$ , $∣ B ∣ = 6$

$A \cap B$ : $(5; 5)$ , $(6; 6)$

$∣ A \cup B ∣ = 10 + 6 - 2 = 14$

$P = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$

Сам: $C$ = «есть $1$ », $D$ = «сумма чётная»

$P (C \cap D)$ $\frac{5}{36}$
$P (C \cup D)$ $\frac{2}{3}$
$P (C ∖ D)$ $\frac{1}{6}$

2 мин · практика
В клетке — сумма очков; строка — первый кубик, столбец — второй. Фиолетовые клетки — A (сумма 9, 10, 11, 12: 4 + 3 + 2 + 1 = 10), бирюзовые — B (6 дублей), розовые — общие: (5; 5) и (6; 6). P(A ∪ B) = 14/36 = 7/18. Дополнительный вопрос: P(Ā ∩ B̄) = 22/36 = 11/18 — по закону де Моргана это 1 − P(A ∪ B).
Сам: |C| = 11 (строка и столбец «1»), |D| = 18. 1) C ∩ D — есть 1 и сумма чётная: (1;1), (1;3), (1;5), (3;1), (5;1) — 5/36. 2) 11 + 18 − 5 = 24, 24/36 = 2/3. 3) C \ D = 11 − 5 = 6 исходов, 6/36 = 1/6. Проверено перебором 36 исходов.

R09.2

Теория · сводка · логика «и / или / не»

Таблица истинности = четыре области диаграммы

«и» —

\cap

, «или» —

\cup

, «не» — черта

$A$	$B$	область	$A$ и $B$	$A$ или $B$	не $A$
И	И	2	И	И	Л
И	Л	1	Л	И	Л
Л	И	3	Л	И	И
Л	Л	4	Л	Л	И

« $A$ и $B$ » истинно только в области $2$ ;
« $A$ или $B$ » — в областях $1$ , $2$ , $3$

3 мин · теория
Сводка VIS8U-020, VIS8U-021 (строка R06 «Логика»). Утверждения A и B для элемента U истинны (И) или ложны (Л). Каждой строке таблицы истинности соответствует одна область: 1 — только A, 2 — и A, и B, 3 — только B, 4 — ни A, ни B.
Столбец «A и B» — область 2, т. е. пересечение; «A или B» — области 1–3, объединение; «не A» — области 3 и 4, дополнение. Ответы в таблице открывайте по одному, спрашивая класс.
Вопрос классу: какой строке соответствует «ни A, ни B»? (Строка Л, Л — область 4 = Ā ∩ B̄.) В алгебре: «x > 1 и x < 5» — пересечение промежутков, «x < 1 или x > 5» — объединение (VIS8U-021).

R09.2

Образец → сам · записываем событие формулой

Три зачёта: $A$ , $B$ , $C$ — «сдал первый, второй, третий»

Образец: «сдал хотя бы два зачёта» и противоположное

$(A \cap B) \cup (A \cap C)$
$\cup (B \cap C)$

закрашены $4$ области

противоположное — «сдал не более одного»: остальные $4$ области

Сам

«Сдал только третий» $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$
Прочитайте: $(A \cup B) \cap \overline{C}$ «первый или второй, но не третий»
«Не сдал ни одного» $\overline{A \cup B \cup C}$
Противоположное к «сдал все три» $\overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$

2 мин · практика
Образец: «хотя бы два» = «первый и второй» или «первый и третий» или «второй и третий»; на диаграмме — три области «ровно двух» и центр (все три). Противоположное событие — дополнение: «сдал не более одного» = «ни одного» или «ровно один» — 4 оставшиеся области (три «только» и область вне кругов).
Сам: 1) Ā ∩ B̄ ∩ C. 2) «Сдал первый или второй (хотя бы один из них), но не сдал третий». 3) По де Моргану Ā ∩ B̄ ∩ C̄ = дополнение к A ∪ B ∪ C — обе записи верны. 4) «Не сдал хотя бы один»: Ā ∪ B̄ ∪ C̄ (а не Ā ∩ B̄ ∩ C̄ — это «не сдал ни одного»).

R09.2

Образец → сам · упрощаем по диаграмме

Закрасьте обе части — и сравните

Образец: упростите $(A \cup B) \cap \overline{A}$

A \cup B

∩

\overline{A}

=

B ∖ A

$= (A \cap \overline{A}) \cup (B \cap \overline{A})$ раскрыли

$= \emptyset \cup (B \cap \overline{A}) = B ∖ A$ $A \cap \overline{A} = \emptyset$

Сам: упростите

$A \cup (A \cap B)$ $A$
$\overline{A \cap \overline{B}}$ $\overline{A} \cup B$
$(A ∖ B) \cup (B ∖ A) \cup (A \cap B)$ $A \cup B$
$\overline{\overline{A} \cup B}$ $A ∖ B$

2 мин · практика
Образец: пересечение — общая часть двух закрасок: из объединения (фиолетовое) оставляем то, что вне A (жёлтое), — это «только B», т. е. B \ A. Алгебраически: пересечение распределяется по объединению, как умножение по сложению; A ∩ Ā = ∅ (элемент не может лежать в A и вне A).
Сам (проверяйте закраской): 1) A ∩ B лежит внутри A, добавление ничего не меняет — A. 2) По де Моргану: дополнение к A ∩ B̄ — это Ā ∪ (дополнение к B̄) = Ā ∪ B. 3) Три области «только A», «только B», линза — вместе всё A ∪ B. 4) По де Моргану: дополнение к Ā ∪ B = A ∩ B̄ = A \ B.

R09.2 · R09.3

Образец → сам · вероятности по областям

Впишите вероятность в каждую область

Образец: $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 3$

только $A$ : $0, 6 - 0, 3 = 0, 3$

только $B$ : $0, 5 - 0, 3 = 0, 2$

$P (A \cup B) = 0, 8$

ни одного: $1 - 0, 8 = 0, 2$

ровно одно: $0, 3 + 0, 2 = 0, 5$ две области

Сам: $P (A) = 0, 55$ , $P (B) = 0, 35$ , $P (A \cup B) = 0, 7$

$P (A \cap B)$ $0, 2$
$P (B ∖ A)$ $0, 15$
$P (\overline{A \cap B})$ $0, 8$
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ $0, 3$

R09.2 · R09.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«ровно одно» записали как «хотя бы одно»	$A \cup B$	$(A ∖ B) \cup (B ∖ A)$
сложили вероятности совместных событий	$0, 7 + 0, 6 = 1, 3$	$0, 7 + 0, 6 - P (A \cap B)$ ; ответ $> 1$ — сигнал
противоположное к «оба попали» — «оба промахнулись»	$\overline{A} \cap \overline{B}$	«хотя бы один промахнулся»: $\overline{A} \cup \overline{B}$
потеряли общую точку промежутков	$(- \infty; 2] \cap [2; 5) = \emptyset$	${2}$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) A ∪ B включает и линзу (оба сразу); «ровно одно» — две области без линзы, |…| = |A| + |B| − 2|A ∩ B|. 2) Вероятность не бывает больше 1; для совместных событий вычитаем P(A ∩ B) (сл. 7, 13). 3) «Оба попали» = A ∩ B, противоположное по де Моргану — Ā ∪ B̄: «не оба», т. е. хотя бы один промахнулся; «оба промахнулись» — лишь часть этого события. 4) Число 2 входит в оба промежутка (скобки квадратные) — пересечение состоит из одной точки.

R09.2 · R09.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $32$ ученика: английский — $20$ , французский — $15$ , оба — $7$ . Сколько изучают ровно один язык?

$20 + 15 - 7 = 28$

$28$ — «хотя бы один»; линзу убрать

$13 + 8 = 21$

б) Два кубика. $A$ = «сумма $6$ », $B$ = «дубль». Найдите $P (A \cup B)$

$\frac{5}{36} + \frac{6}{36} = \frac{11}{36}$

общий исход $(3; 3)$ учтён дважды

$\frac{5 + 6 - 1}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

в) Противоположное к «сдал все три зачёта»

$\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

справа — «не сдал ни одного»

$\overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$ — «не сдал хотя бы один»

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Только английский 20 − 7 = 13, только французский 15 − 7 = 8, ровно один язык 21; 28 — это объединение (хотя бы один). Не изучают ни одного 32 − 28 = 4. б) Сумма 6: (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1) — 5 исходов; дублей 6; общий — (3;3). P = 10/36 = 5/18 (проверено перебором). в) Закон де Моргана для трёх событий: дополнение к пересечению — объединение дополнений.

R09.2 · R09.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$U = {1; \dots; 12}$ , $A$ — делители $12$ , $B$ — чётные

$A \cap B$ ${2; 4; 6; 12}$
$A ∖ B$ ${1; 3}$
$∣ A \cup B ∣$ $8$
$\overline{A \cup B}$ ${5; 7; 9; 11}$

Разные задачи

$[- 4; 1] \cup (0; 3)$ $[- 4; 3)$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
Карточки $1$ – $20$ : «кратно $4$ или кратно $6$ » $0, 35$

R09.2 · R09.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Упростите $\overline{\overline{A} \cap B} \cup B$ . Какое это событие? $U$ — достоверное
повыш. $∣ A ∣ = 15$ , $∣ B ∣ = 12$ , $∣ A \cup B ∣ = 20$ . Сколько элементов ровно в одном из множеств? $13$
повыш. $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 7$ . В каких пределах может быть $P (A \cap B)$ ? от $0, 3$ до $0, 6$
из жизни $50$ учеников: олимпиада по математике — $20$ , физике — $15$ , информатике — $18$ ; М и Ф — $7$ , М и И — $8$ , Ф и И — $6$ ; ни в одной — $12$ . Сколько участвовали во всех трёх? $6$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) По де Моргану дополнение к Ā ∩ B равно A ∪ B̄; (A ∪ B̄) ∪ B = A ∪ U = U — достоверное событие (на диаграмме закрашено всё).
2) |A ∩ B| = 15 + 12 − 20 = 7; ровно в одном: 20 − 7 = 13 (8 + 5).
3) P(A ∩ B) = 0,6 + 0,7 − P(A ∪ B) и P(A ∪ B) ≤ 1 — значит, P(A ∩ B) ≥ 0,3; пересечение не больше меньшего из событий: P(A ∩ B) ≤ 0,6 (когда A ⊂ B). Оба крайних значения возможны.
4) Хотя бы в одной: 50 − 12 = 38; 20 + 15 + 18 − 7 − 8 − 6 + x = 38, 32 + x = 38, x = 6. Проверка по частям: М и Ф без И — 1, М и И без Ф — 2, Ф и И без М — 0, только М — 11, только Ф — 8, только И — 10; 11 + 8 + 10 + 1 + 2 + 0 + 6 = 38.

R09.2 · R09.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Из чисел от $1$ до $50$ случайно выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно делится на $3$ или на $7$ .

Ответ: $0, 42$

2. В фирме $100$ сотрудников: $55$ водят машину, $40$ знают английский, $20$ — и то и другое. Найдите вероятность того, что случайный сотрудник не водит машину и не знает английского.

Ответ: $0, 25$

3. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет орёл или в последний — решка.

Ответ: $0, 75$

R09.2 · R09.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$U = {1; \dots; 20}$ : $A$ — чётные, $B$ — кратные $3$

$∣ A \cap B ∣$ $3$
$∣ A \cup B ∣$ $13$
$[- 2; 4) \cap [1; 7]$ $[1; 4)$
$P (C) = 0, 5$ , $P (D) = 0, 4$ , $P (C \cap D) = 0, 15$ . $P (C \cup D)$ $0, 75$

Вариант 2

$U = {1; \dots; 20}$ : $A$ — нечётные, $B$ — кратные $5$

$∣ A \cap B ∣$ $2$
$∣ A \cup B ∣$ $12$
$(- 1; 5] \cup [3; 8)$ $(- 1; 8)$
$P (C) = 0, 3$ , $P (D) = 0, 6$ , $P (C \cup D) = 0, 7$ . $P (C \cap D)$ $0, 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем «ровно одно» отличается от «хотя бы одного»?
Зачем в формуле для трёх множеств « $+ ∣ A \cap B \cap C ∣$ »?
Как звучит противоположное к «оба»?

Домашнее задание

Сколько чисел от $1$ до $100$ делятся на $3$ или на $4$ , но не на $12$ ?
Запишите формулой: «ровно одно из событий $A$ , $B$ , $C$ »
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 45$ , $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 2$ . Найдите $P (A \cap B)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_mnozhestva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-031 · Операции над множествами и событиями

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 5 ч · урок 2/5 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Повторение, обобщение, систематизация знаний“»
Единицы → слайды	R09.2 «Операции над множествами и событиями» → 2–20 (фокус урока) · R09.3 «Сложение и умножение вероятностей» → 7, 9, 13–19 (формула сложения) · R09.1 «Рассеивание данных в числовых массивах» → 3 (разминка)
Результаты	ПР-1 (множества, операции) → 2, 3, 5, 6, 8, 16, 17, 19 · ПР-5 (события как множества, диаграммы Эйлера, числовая прямая, формула сложения) → 2, 4, 7, 9–15, 17–19 · ПР-2 (равновозможные исходы) → 9, 16, 18 · ПР-3 (дисперсия) → 3
Вне урока	правило умножения, условная вероятность и независимость — VIS8U-032; деревья и плоские графы — VIS8U-033
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Операции над множествами и событиями

Сегодня вы научитесь

Выполнять операции

Считать по кругам Эйлера

Переводить «и / или / не»

Находить вероятности

Рассеивание — вчера, множества — сегодня

Ряд 1, 3, 5, 7

Множества и события

Одна картинка — для множеств и для событий

A∩B

A∪B

A∖B

A

Разложите элементы по частям диаграммы

Образец: U={1;…;20}, A — простые, B — нечётные

Сам: U={1;…;30}, C — кратные 5, D — чётные

«И» — общая часть полос, «или» — вся штриховка

Образец: A=[−3;2], B=(0;4)

Сам

Каждую область — ровно один раз

Заполняем диаграмму от центра к краям

Образец: 60 учеников. Секции: Ф — 28, Б — 22, В — 18; Ф и Б — 10, Ф и В — 8, Б и В — 6; все три — 4

Сам: числа от 1 до 70

Два кубика: 36 равновозможных исходов

Образец: A = «сумма ≥9», B = «дубль». Найдите P(A∪B)

Сам: C = «есть 1», D = «сумма чётная»

Таблица истинности = четыре области диаграммы

Три зачёта: A, B, C — «сдал первый, второй, третий»

Образец: «сдал хотя бы два зачёта» и противоположное

Сам

Закрасьте обе части — и сравните

Образец: упростите (A∪B)∩A

Сам: упростите

Впишите вероятность в каждую область

Образец: P(A)=0,6, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,3

Сам: P(A)=0,55, P(B)=0,35, P(A∪B)=0,7

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 32 ученика: английский — 20, французский — 15, оба — 7. Сколько изучают ровно один язык?

б) Два кубика. A = «сумма 6», B = «дубль». Найдите P(A∪B)

в) Противоположное к «сдал все три зачёта»

Решите и проверьте

U={1;…;12}, A — делители 12, B — чётные

Разные задачи

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-031 · Операции над множествами и событиями

Ряд $1, 3, 5, 7$

$A \cap B$

$A \cup B$

$A ∖ B$

$\overline{A}$

Образец: $U = {1; \dots; 20}$ , $A$ — простые, $B$ — нечётные

Сам: $U = {1; \dots; 30}$ , $C$ — кратные $5$ , $D$ — чётные

Образец: $A = [- 3; 2]$ , $B = (0; 4)$

Образец: $60$ учеников. Секции: Ф — $28$ , Б — $22$ , В — $18$ ; Ф и Б — $10$ , Ф и В — $8$ , Б и В — $6$ ; все три — $4$

Сам: числа от $1$ до $70$

Два кубика: $36$ равновозможных исходов

Образец: $A$ = «сумма $\geq 9$ », $B$ = «дубль». Найдите $P (A \cup B)$

Сам: $C$ = «есть $1$ », $D$ = «сумма чётная»

Три зачёта: $A$ , $B$ , $C$ — «сдал первый, второй, третий»

Образец: упростите $(A \cup B) \cap \overline{A}$

Образец: $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 3$

Сам: $P (A) = 0, 55$ , $P (B) = 0, 35$ , $P (A \cup B) = 0, 7$

а) $32$ ученика: английский — $20$ , французский — $15$ , оба — $7$ . Сколько изучают ровно один язык?

б) Два кубика. $A$ = «сумма $6$ », $B$ = «дубль». Найдите $P (A \cup B)$

$U = {1; \dots; 12}$ , $A$ — делители $12$ , $B$ — чётные