Повторение, обобщение, систематизация знаний · урок 1 из 5

Рассеивание данных в числовых массивах

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · VIS8U-030

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (5 ч), урок 1/5, тип О. Фокус урока — единица R09.1 «Рассеивание данных в числовых массивах» (дисперсия, σ, свойства, диаграмма рассеивания) плюс смешанные задачи с вероятностью; R09.2 (множества и события), R09.3 (сложение и умножение вероятностей), R09.4 (деревья и плоские графы) — уроки VIS8U-031…034.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (карта темы R09) 1,5 · 5 (меры рассеивания) 2 · 7 (свойства дисперсии) 2 · 9 (вторая формула) 1,5 · 11 (таблица частот — учитель решает сам) 2 · 13 (диаграмма рассеивания) 2. Урок обобщения: теория — только сводки.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16) по 2 · типичные ошибки (сл. 17) 1,5 · найди ошибку (сл. 18) 2 · самопроверка, база (сл. 19) 2,5 · повышенный уровень (сл. 20) 2,5 · ОГЭ (сл. 21) 2 · самостоятельная (сл. 22) 4 · итог (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 20 и задание 3 сл. 15 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R09.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Измерять разброс

размах, дисперсия $D$ и стандартное отклонение $σ$ , в том числе по таблице частот (ПР-3)

Применять свойства

сдвиг и умножение на число, вторая формула $D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ (ПР-3)

Читать диаграмму рассеивания

центр облака, вид связи, прямая тренда и прогноз (ПР-3)

Связывать с вероятностью

случайный выбор значения из набора, противоположное событие (ПР-2, ПР-6)

повторение: R04

Разминка · устно

Среднее, отклонения, квадраты

Наборы чисел

Среднее: $3, 5, 10$ $6$
Медиана: $9, 2, 7, 4$ $5, 5$
Размах: $12, 5, 20, 8$ $15$
Отклонения от среднего: $1, 4, 7$ $- 3, 0, 3$

Вычисления

$0, 25$ $0, 5$
$(- 3)^{2} + 2^{2}$ $13$
Сумма отклонений от среднего набора $2, 9, 13$ $0$
Среднее было $5$ , все числа умножили на $2$ . Новое среднее? $10$

R09.1–R09.4

Сводка · карта повторения

Четыре темы курса — пять уроков повторения

R09.1

Сводка · меры рассеивания

Ряд $3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 9$

размах $= 9 - 3 = 6$ max − min

$\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ поэтому — квадраты

Дисперсия $D = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n} = \frac{32}{8} = 4$

$σ = D = 2$ в единицах данных

R09.1

Образец → сам · дисперсия через отклонения

Таблица: значение → отклонение → квадрат

Образец: $9, 3, 11, 5, 11, 9$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{48}{6} = 8$ , $D = \frac{54}{6} = 9$ , $σ =$ $3$

Сам: найдите $D$

$2, 5, 8, 9, 11$ $D = 10$
$6, 6, 10, 10$ ; и $σ$ $D = 4, σ = 2$
Отклонения четырёх чисел: $- 2, 3, 1$ и $?$ Найдите $?$ и $D$ $- 2; D = 4, 5$

R09.1

Сводка · свойства дисперсии

Сдвиг не меняет разброс, растяжение — меняет

Свойство	Формула
неотрицательность	$D \geq 0$
сдвиг на $c$	$D_{x + c} = D_{x}$
умножение на $k$	$D_{k x} = k^{2} D_{x}$
для $σ$	$σ_{k x + c} = ∣ k ∣ σ_{x}$

R09.1

Образец → сам · сдвиг и растяжение

Новый набор $y = k x + c$ без пересчёта

Образец: $\overset{x}{ˉ} = 12$ , $D_{x} = 9$ ; $y = 3 x - 5$

$\overset{y}{ˉ} = 3 \cdot 12 - 5 = 31$ как данные

$D_{y} = 3^{2} \cdot 9 = 81$ сдвиг не влияет

$σ_{y} = 81 =$ $9$ $= 3 \cdot σ_{x}$

Сам

$D$ набора $1002, 1005, 1003, 1006$ $2, 5$
Температуры: $σ = 4^{\circ} C$ . Найдите $σ$ в $^{\circ} F$ : $F = 1, 8 C + 32$ $7, 2$
$D_{x} = 6$ , $y = - 2 x + 7$ . Найдите $D_{y}$ $24$

R09.1

Сводка · вторая формула дисперсии

Средний квадрат минус квадрат среднего

$D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

$\overline{x^{2}} = \frac{1 + 9 + 16 + 64}{4} = 22, 5$

$D = 22, 5 - 4^{2} =$ $6, 5$

Всегда

\overline{x^{2}} \geq \overset{x}{ˉ}^{2}

: иначе

D < 0

— ошибка в счёте.

R09.1

Образец → сам · вторая формула

Без таблицы отклонений

Образец: $2, 3, 5, 6, 9$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{25}{5} = 5$ среднее

$\overline{x^{2}} = \frac{4 + 9 + 25 + 36 + 81}{5} = 31$ средний квадрат

$D = 31 - 25 =$ $6$ $\overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

Сам

$D$ набора $1, 2, 4, 5$ $2, 5$
$\overset{x}{ˉ} = 4$ , $\overline{x^{2}} = 20$ . Найдите $σ$ $2$
$n = 5$ , $\overset{x}{ˉ} = 6$ , $σ = 2$ . Найдите $\sum x_{i}^{2}$ $200$

R09.1

Теория · демонстрационный пример · таблица частот

Пропуски уроков за месяц: $20$ учеников

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2}{20} = 1, 5$

$\overline{x^{2}} = \frac{0 + 5 + 16 + 27 + 32}{20} = 4$ $x^{2} \cdot$ частота

$D = 4 - 1, 5^{2} =$ $1, 75$ , $σ \approx 1, 32$

Каждое значение и каждый квадрат — умножаем на частоту; делим на

n = 20

.

R09.1

Образец → сам · дисперсия по таблице частот

Сколько братьев и сестёр у учеников

Образец: $x = 0, 1, 2, 3$ — у $4, 8, 6, 2$ чел.

$\overset{x}{ˉ} = \frac{0 + 8 + 12 + 6}{20} = 1, 3$

$\overline{x^{2}} = \frac{0 + 8 + 24 + 18}{20} = 2, 5$

$D = 2, 5 - 1, 69 = 0, 81$ , $σ =$ $0, 9$

Сам: найдите $D$

$x = 1, 2, 3$ — частоты $3, 4, 3$ $0, 6$
$x = 5, 6, 7, 8$ — частоты $1, 3, 4, 2$ $0, 81$
$x = 0$ и $10$ — относительные частоты $0, 3$ и $0, 7$ $21$

R09.1

Сводка · диаграмма рассеивания

Часы подготовки $x$ и балл за тест $y$ : $8$ учеников

Объект → точка $(x; y)$

Центр облака $M (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ ; точки — в четвертях « $+ +$ » и « $- -$ »

Облако вдоль возрастающей прямой — положительная линейная связь

2 мин · теория
Данные: (1; 3), (2; 4), (3; 4), (4; 6), (5; 7), (6; 7), (7; 9), (8; 8). Средние: x̄ = 36 : 8 = 4,5; ȳ = 48 : 8 = 6. Почти все точки — справа сверху или слева снизу от M: отклонения x и y одного знака — связь положительная.
Прямая тренда — через средние точки половин: левая (2,5; 4,25), правая (6,5; 7,75): k = 3,5 : 4 = 0,875. Связь — не закон: прогноз только внутри наблюдённого диапазона.
Вопрос: какой будет связь «время у телевизора — время сна»? (Отрицательная: облако вдоль убывающей прямой; сл. 14.)

R09.1

Образец → сам · прямая тренда и прогноз

Часы за компьютером $x$ и часы сна $y$

Образец: прямая по двум средним точкам

облако убывает — связь отрицательная

$A (2; 9)$ , $B (5; 7, 5)$ средние половин

$k = \frac{7 , 5 - 9}{5 - 2} = - 0, 5$ , $y =$ $- 0, 5 x + 10$

Прогноз сна при $x = 3, 5$ $8, 25$ ч
$A (1; 3)$ , $B (4; 9)$ : уравнение прямой $y = 2 x + 1$

R09.1

Образец → сам · обратная задача

Неизвестное значение — через среднее

Образец: $4, 6, 8, x$ ; $\overset{x}{ˉ} = 7$ . Найдите $x$ и $D$

$4 \cdot 7 = 28$ , $x = 28 - 18 = 10$ сумма

отклонения $- 3, - 1, 1, 3$

$D = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} =$ $5$

Сам

$2, 8, a$ ; $\overset{x}{ˉ} = 6$ . Найдите $a$ и $D$ $a = 8, D = 8$
$n = 5$ , $\overset{x}{ˉ} = 10$ , $D = 4$ . Добавили число $10$ . Новая $D$ ? $\frac{10}{3} \approx 3, 33$
Набор $a, a + 6$ : найдите $D$ и $σ$ $9$ и $3$

R09.1 · R09.3

Образец → сам · коридор и вероятность

Наугад выбирают одно значение из ряда сл. 5

Образец: $P (значение в коридоре)$

в $[4; 8]$ : $4, 4, 6, 7, 7, 8$ — $6$ из $8$

$P = \frac{6}{8} =$ $0, 75$ равновозможные исходы

Сам

$P (значение > \overset{x}{ˉ})$ $0, 5$
$P (значение вне коридора)$ $0, 25$
Выбирают дважды с возвращением. $P (оба раза в коридоре)$ $0, 5625$

R09.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
отклонения без квадратов: $1, 5, 9$	$D = \frac{- 4 + 0 + 4}{3} = 0$	$D = \frac{16 + 0 + 16}{3} = \frac{32}{3}$
сдвиг «меняет» $D$ : $D_{x} = 7$ , $y = x + 5$	$D_{y} = 12$	$D_{y} = 7$
множитель без квадрата: $D_{x} = 3$ , $y = 4 x$	$D_{y} = 12$	$D_{y} = 16 \cdot 3 = 48$
перепутали в формуле: $\overset{x}{ˉ} = 5$ , $\overline{x^{2}} = 29$	$D = 25 - 29 = - 4$	$D = 29 - 25 = 4$

R09.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $D$ ряда $2, 4, 9$

$\overset{x}{ˉ} = 5$ ; $D = \frac{9 + 1 + 4}{3} = \frac{14}{3}$

отклонение $9 - 5 = 4$ , его квадрат $16$

$D = \frac{9 + 1 + 16}{3} = \frac{26}{3}$

б) $D_{x} = 5$ ; $y = 3 x - 2$

$D_{y} = 3 \cdot 5 - 2 = 13$

сдвиг $- 2$ не влияет, множитель — в квадрате

$D_{y} = 3^{2} \cdot 5 = 45$

в) $x = 1, 2, 3$ — частоты $5, 3, 2$

$\overset{x}{ˉ} = 1, 7$ — верно

$D = \frac{0 , 49 + 0 , 09 + 1 , 69}{3}$

квадраты — умножить на частоты, делить на $n = 10$

$2, 45 + 0, 27 + 3, 38 = 6, 1$

$D = \frac{6 , 1}{10} = 0, 61$

R09.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Набор чисел

Среднее и размах: $7, 3, 12, 6$ $7$ и $9$
Дисперсия: $1, 4, 7$ $6$
$D = 2, 25$ . Найдите $σ$ $1, 5$
Отклонения: $- 1, 4, - 2$ и $?$ $- 1$

Свойства и формула

$D = 7$ ; каждое число увеличили на $10$ . Новая $D$ ? $7$
$σ = 3$ ; каждое число умножили на $4$ . Новое $σ$ ? $12$
$\overline{x^{2}} = 29$ , $\overset{x}{ˉ} = 5$ . Найдите $D$ $4$

R09.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и обоснуйте

повыш.У набора из $5$ чисел $\overset{x}{ˉ} = 3$ , $D = 2$ . Найдите сумму квадратов чисел. $55$
повыш.У $10$ чисел $\overset{x}{ˉ} = 6$ , $D = 4$ . Добавили числа $4$ и $8$ . Найдите новые $\overset{x}{ˉ}$ и $D$ . $6$ и $4$
из жизниНеделя: $\overset{ˉ}{t} = 10^{\circ} C$ , $σ = 5^{\circ} C$ . Найдите среднее и $σ$ в $^{\circ} F$ ( $F = 1, 8 C + 32$ ). $50$ и $9$
из жизниДетали $20$ мм. Станок А: $19, 8; 20, 1; 20, 1; 20, 0$ . Станок Б: $19, 7; 20, 3; 19, 9; 20, 1$ . Какой точнее? А: $D = 0, 015 < 0, 05$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Средний квадрат = D + x̄² = 2 + 9 = 11; сумма = 11 · 5 = 55 (например, набор 1, 2, 3, 4, 5).
2) Сумма была 60, стала 72, n = 12: среднее 6. Сумма квадратов отклонений была 4 · 10 = 40, добавились (4 − 6)² + (8 − 6)² = 8: 48 : 12 = 4 — D не изменилась (добавленные числа отклоняются ровно на σ = 2).
3) Среднее 1,8 · 10 + 32 = 50 °F; σ = 1,8 · 5 = 9 °F.
4) Средние обоих станков 20 мм. А: отклонения −0,2; 0,1; 0,1; 0 → (0,04 + 0,01 + 0,01) : 4 = 0,015. Б: −0,3; 0,3; −0,1; 0,1 → (0,09 + 0,09 + 0,01 + 0,01) : 4 = 0,05. Станок А точнее (σ ≈ 0,12 мм против ≈ 0,22 мм).

R09.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12 и 10

Расчёт по формуле и вероятность по данным

1. Дисперсию вычисляют по формуле $D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ . Найдите $\overline{x^{2}}$ , если $D = 6, 25$ , $\overset{x}{ˉ} = 3$ .

$15, 25$

2. Стандартное отклонение $σ = D$ . Найдите $D$ , если $σ = 1, 2$ .

$1, 44$

3. Оценки $2, 3, 4, 5$ получили $2, 6, 8, 4$ ученика. Наугад выбирают ученика. Найдите вероятность того, что его оценка выше средней.

$0, 6$

В бланк — число:

15, 25

записывают как 15,25.

R09.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$D$ : $6, 8, 10, 12, 14$ $8$
$D_{x} = 4$ , $y = 2 x + 3$ : $D_{y}$ и $σ_{y}$ $16$ и $4$
$\overset{x}{ˉ} = 4$ , $\overline{x^{2}} = 25$ : найдите $σ$ $3$
$D$ : $x = 1, 2, 3$ — частоты $1, 2, 1$ $0, 5$

Вариант 2

$D$ : $3, 5, 7, 9, 11$ $8$
$D_{x} = 9$ , $y = 3 x - 1$ : $D_{y}$ и $σ_{y}$ $81$ и $9$
$\overset{x}{ˉ} = 6$ , $\overline{x^{2}} = 40$ : найдите $σ$ $2$
$D$ : $x = 0, 2, 4$ — частоты $1, 2, 1$ $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему отклонения возводят в квадрат?
Как меняются $D$ и $σ$ при $y = k x + c$ ?
Когда удобна вторая формула?
Что показывает центр облака на диаграмме?

Домашнее задание

$5, 8, 2, 9, 6$ : $D$ двумя способами
$x = 1, 2, 3, 4$ — частоты $1, 3, 4, 2$ : $\overset{x}{ˉ}$ , $D$ , $σ$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_dispersiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-030 · Повторение: рассеивание данных в числовых массивах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R09 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 5 ч · урок 1/5 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Повторение, обобщение, систематизация знаний“»
Единицы → слайды	R09.1 «Рассеивание данных в числовых массивах» → 2–3, 5–23 · R09.2–R09.4 → карта повторения (сл. 4), мостик к R09.3 (сл. 16); подробно — уроки VIS8U-031…034
Результаты	ПР-3 (меры рассеивания, диаграммы рассеивания) → 5–15, 17–22 · ПР-2 (случайный выбор) → 16, 21 · ПР-6 (правило умножения, независимость) → 16
Вне урока	операции над множествами и событиями, формула сложения, условная вероятность, деревья и плоские графы — VIS8U-031…034
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Рассеивание данных в числовых массивах

Сегодня вы повторите и научитесь

Измерять разброс

Применять свойства

Читать диаграмму рассеивания

Связывать с вероятностью

Среднее, отклонения, квадраты

Наборы чисел

Вычисления

Четыре темы курса — пять уроков повторения

Ряд 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 9

Таблица: значение → отклонение → квадрат

Образец: 9, 3, 11, 5, 11, 9

Сам: найдите D

Сдвиг не меняет разброс, растяжение — меняет

Новый набор y=kx+c без пересчёта

Образец: xˉ=12, Dx​=9; y=3x−5

Сам

Средний квадрат минус квадрат среднего

Без таблицы отклонений

Образец: 2, 3, 5, 6, 9

Сам

Пропуски уроков за месяц: 20 учеников

Сколько братьев и сестёр у учеников

Образец: x=0,1,2,3 — у 4,8,6,2 чел.

Сам: найдите D

Часы подготовки x и балл за тест y: 8 учеников

Часы за компьютером x и часы сна y

Образец: прямая по двум средним точкам

Неизвестное значение — через среднее

Образец: 4, 6, 8, x; xˉ=7. Найдите x и D

Сам

Наугад выбирают одно значение из ряда сл. 5

Образец: P(значение в коридоре)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) D ряда 2, 4, 9

б) Dx​=5; y=3x−2

в) x=1,2,3 — частоты 5,3,2

Решите и проверьте

Набор чисел

Свойства и формула

Подумайте и обоснуйте

Расчёт по формуле и вероятность по данным

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-030 · Повторение: рассеивание данных в числовых массивах

Ряд $3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 9$

Образец: $9, 3, 11, 5, 11, 9$

Сам: найдите $D$

Новый набор $y = k x + c$ без пересчёта

Образец: $\overset{x}{ˉ} = 12$ , $D_{x} = 9$ ; $y = 3 x - 5$

Образец: $2, 3, 5, 6, 9$

Пропуски уроков за месяц: $20$ учеников

Образец: $x = 0, 1, 2, 3$ — у $4, 8, 6, 2$ чел.

Сам: найдите $D$

Часы подготовки $x$ и балл за тест $y$ : $8$ учеников

Часы за компьютером $x$ и часы сна $y$

Образец: $4, 6, 8, x$ ; $\overset{x}{ˉ} = 7$ . Найдите $x$ и $D$

Образец: $P (значение в коридоре)$

а) $D$ ряда $2, 4, 9$

б) $D_{x} = 5$ ; $y = 3 x - 2$

в) $x = 1, 2, 3$ — частоты $5, 3, 2$