Условная вероятность и умножение вероятностей · урок 5 из 5 · углублённый уровень

Практикум: правило умножения вероятностей

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS8U-029

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события» (5 ч), урок 5/5 — практикум, единица R08.1 «Правило умножения вероятностей». Тип урока — П: теория только короткой сводкой, практики больше. Опора: правило умножения (VIS8U-025), условная вероятность (VIS8U-026), дерево случайного эксперимента (VIS8U-027), независимые события (VIS8U-028).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: правило умножения, независимость, модель площади) 3,5 · 5 (три правила дерева) 3 · 9 (пример учителя: матч до двух побед) 3,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 11, 12) по 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 4 сл. 18 — в ДЗ; сводку теории не сокращать.

R08.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Умножать вероятности

для независимых событий и с условной вероятностью — при выборе без возвращения (ПР-6)

Считать по дереву

произведение вдоль пути, сумма по нужным путям (ПР-4, ПР-6)

Решать «хотя бы один»

через противоположное событие и произведение вероятностей (ПР-5, ПР-6)

Решать обратные задачи

находить вероятность одного события по вероятности пересечения (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6: «Пользоваться правилом умножения вероятностей, использовать дерево для представления случайного опыта при решении задач. Оперировать понятием независимости событий» — главный результат. ПР-4 — дерево в задачах теории вероятностей; ПР-5 — операции над событиями (противоположное событие, формула сложения). Единица ФРП: R08.1.
Урок — практикум, закрывающий строку R08: решаем задачи всех типов строки, новых понятий нет.

повторение: VIS8U-025 – VIS8U-028

Разминка · устно

Считаем в уме

Произведения и дополнения

$0, 3 \cdot 0, 5$ $0, 15$
$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}$ $\frac{1}{10}$
$0, 9 \cdot 0, 9$ $0, 81$
Из вершины дерева $2$ ветви, на одной $0, 35$ . На другой? $0, 65$

Вероятности

Монету бросили $2$ раза: $P (два орла)$ $0, 25$
В урне $2$ красных, $3$ синих; вынули красный и не вернули. $P (снова красный)$ $\frac{1}{4}$
$P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 12$ . $P (A ∣ B)$ $0, 3$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . Независимы? да

R08.1

Теория · сводка: правило умножения

Вероятность того, что произойдут оба события

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

правило умножения — для любых событий

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

если

A

и

B

независимы:

P (B ∣ A) = P (B)

Для $n$ независимых: $P = p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{n}$

«Хотя бы одно»:

P = 1 - q_{1} \cdot q_{2} \cdot \dots \cdot q_{n}

, где

q_{i} = 1 - p_{i}

3,5 мин · теория
Модель площади: квадрат площади 1 — все исходы. Вертикальная полоса шириной 0,6 — событие A, горизонтальная высотой 0,5 — событие B. Если доля B внутри A такая же, как во всём квадрате (B «не замечает» A), то пересечение — прямоугольник 0,6 × 0,5 = 0,3: это и есть независимость.
Если B зависит от A, высота «B внутри полосы A» другая — это $P (B ∣ A)$ ; площадь пересечения $P (A) \cdot P (B ∣ A)$ . Поэтому общая формула — с условной вероятностью.
«Хотя бы одно» — противоположно событию «ни одного»; для независимых событий «ни одного» = произведение вероятностей неудач. Вопрос классу: почему нельзя сложить $p_{1} + p_{2}$ ? (События совместны; сумма может быть больше 1.)

R08.1 · R08.3

Теория · дерево с вероятностями на рёбрах

Три правила дерева: $P (B)$ — ?

Узел: сумма на ветвях из вершины $= 1$
Путь: вероятность $=$ произведение по рёбрам
Событие: сумма нужных путей

$P (B) = 0, 15 + 0, 14 =$ $0, 29$

Проверка: сумма всех листьев

= 1

R08.1 · R08.4

Образец → сам · независимые события

Два стрелка стреляют по одному разу

Образец: попадают с вероятностями $0, 8$ и $0, 7$ независимо. $P (оба попали)$ ?

выстрелы независимы один не влияет на другой

$P = 0, 8 \cdot 0, 7 =$ $0, 56$ путь П → П

Сам: те же стрелки

$P (оба промахнулись)$ $0, 06$
$P (попал ровно один)$ $0, 38$
$P (хотя бы один попал)$ $0, 94$

R08.1 · R08.2

Образец → сам · выбор без возвращения

Вероятность на втором шаге меняется

Образец: в урне $4$ белых и $2$ чёрных шара; вынимают $2$ без возвращения. $P (оба белые)$ ?

после белого: $3$ белых из $5$ $P (Б_{2} ∣ Б_{1}) = \frac{3}{5}$

$P = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} =$ $\frac{2}{5}$ $= 0, 4$

Сам: та же урна

$P (оба чёрные)$ $\frac{1}{15}$
$P (шары разного цвета)$ $\frac{8}{15}$
Вынимают $3$ шара: $P (все белые)$ $\frac{1}{5}$

R08.1 · R08.4

Образец → сам · «хотя бы один»

Через противоположное событие

Образец: $3$ датчика работают независимо, каждый замечает нарушителя с вероятностью $0, 8$ . $P (сработает хотя бы один)$ ?

«хотя бы один» ↔ «ни одного» противоположные

$P = 1 - 0, 008 =$ $0, 992$

Сам: хотя бы один

Монету бросают $4$ раза: хотя бы одна решка $0, 9375$
Стрелок, $p = 0, 6$ , $3$ выстрела: хотя бы одно попадание $0, 936$
$2$ батарейки, каждая с браком с вероятностью $0, 1$ : хотя бы одна исправна $0, 99$

R08.1 · R08.3

Теория · пример учителя: ветки разной длины

Матч до двух побед: Аня выигрывает партию с $p = 0, 6$

Ничьих нет, партии независимы. Кто первым выиграл $2$ партии — победил.

Победа Ани — $3$ пути: $0, 36 + 0, 144 + 0, 144$

$P (Аня) =$ $0, 648$ больше, чем $0, 6$

$P (3 партии) = 1 - 0, 36 - 0, 16 =$ $0, 48$

Листья не равновозможны: считаем произведения, а не долю листьев.

3,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Строим по партиям (шаги открывают ветки «А» и «Б» первой партии). Листья: АА 0,36; АБА 0,6 · 0,4 · 0,6 = 0,144; АББ 0,096; БАА 0,144; БАБ 0,096; ББ 0,16. Сумма 1 — проверка.
Победа Ани: АА, АБА, БАА — 0,36 + 0,144 + 0,144 = 0,648. Три партии сыграны, если после двух счёт 1 : 1 — то есть не АА и не ББ: 1 − 0,36 − 0,16 = 0,48 (или 2 · 0,6 · 0,4).
Вывод: матч до двух побед выгоднее сильнейшему (0,648 > 0,6). Связь с VIS8U-019: там те же 6 листьев считали как варианты, теперь — с вероятностями.

R08.1 · R08.3

Образец → сам · сумма путей

Событие наступает разными путями

Образец: $60 %$ деталей — с фабрики 1 (брак $2 %$ ), $40 %$ — с фабрики 2 (брак $3 %$ ). $P (деталь бракованная)$ ?

два пути к «Бр» умножаем вдоль, складываем пути

$0, 012 + 0, 012 =$ $0, 024$

Сам: два шага

Та же деталь: $P (годная)$ $0, 976$
Монетой выбирают коробку: в 1-й $3$ белых и $1$ чёрный, во 2-й $1$ белый и $3$ чёрных. $P (белый)$ $0, 5$
$P (дождь) = 0, 3$ . В дождь Петя опаздывает с вероятностью $0, 4$ , без дождя — $0, 1$ . $P (опоздал)$ $0, 19$

R08.1 · R08.3

Образец → сам · серия до первого успеха

Дерево-«лесенка»

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, но не больше $3$ раз; $p = 0, 7$ . $P (попал только третьим выстрелом)$ ?

после «П» стрельба прекращается ветка обрывается

$0, 3 \cdot 0, 3 \cdot 0, 7 =$ $0, 063$ путь М → М → П

Сам: та же «лесенка»

$P (сделал ровно 2 выстрела)$ $0, 21$
$P (мишень поражена)$ $0, 973$
Монету бросают до первого орла: $P (орёл впервые на 4 - м броске)$ $0, 0625$

R08.1 · R08.2

Образец → сам · обратная задача

Известно произведение — найдите множитель

Образец: два одинаковых стрелка стреляют независимо; $P (оба попали) = 0, 49$ . Найдите $p$ одного стрелка.

$p \cdot p = 0, 49$ независимы

$p = 0, 7$ $p \geq 0$

проверка: $0, 7 \cdot 0, 7 = 0, 49$

Сам: найдите неизвестное

$P (A) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (B ∣ A)$ $0, 25$
$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (B)$ $0, 4$
$2$ одинаковые лампы перегорают независимо; $P (обе перегорели) = 0, 04$ . $P (лампа исправна)$ $0, 8$

R08.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Почему	Верно
$4$ белых, $2$ чёрных, без возвращения: оба белые	$\frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{9}$	после 1-го шара осталось $5$ шаров, белых — $3$	$\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
Стрелки $0, 8$ и $0, 7$ : хотя бы один попал	$0, 8 + 0, 7 = 1, 5$	события совместны; $P > 1$ не бывает	$1 - 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 94$
Те же стрелки: попал ровно один	$0, 8 \cdot 0, 3 = 0, 24$	забыт путь «М → П»	$0, 24 + 0, 14 = 0, 38$

R08.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Из $5$ батареек $2$ разряжены; берут $2$ без возвращения. $P (ровно одна разряжена)$ ?

$P = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$

2-я батарейка — из $4$ , а не из $5$

забыт путь «сначала заряженная»

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{5}$

б) Стрелок попадает с $p = 0, 9$ , стреляет $3$ раза. $P (ровно 2 попадания)$ ?

$0, 9 \cdot 0, 9 \cdot 0, 1 = 0, 081$

промах может быть 1-м, 2-м или 3-м: $3$ пути

$3 \cdot 0, 081 = 0, 243$

в) Кубик. $A$ — выпало чётное, $B$ — выпало больше $3$ . $P (A \cap B)$ ?

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$A$ и $B$ зависимы: $P (B ∣ A) = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ ( $A \cap B = {4; 6}$ )

R08.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Независимые события

$P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 4$ , независимы: $P (A \cap B)$ $0, 28$
Кубик бросают дважды: $P (две шестёрки)$ $\frac{1}{36}$
$2$ автомата, каждый неисправен с вероятностью $0, 1$ : $P (оба исправны)$ $0, 81$

С условной вероятностью

$P (A) = 0, 5$ , $P (B ∣ A) = 0, 3$ : $P (A \cap B)$ $0, 15$
$3$ красных, $2$ синих; $2$ шара без возвращения: оба красные $0, 3$
Стрелок, $p = 0, 9$ , $2$ выстрела: оба промаха $0, 01$

R08.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Из $10$ билетов $3$ выигрышных; берут $3$ билета без возвращения. $P (все выигрышные)$ $\frac{1}{120}$
повыш.Три стрелка попадают с вероятностями $0, 9$ , $0, 8$ , $0, 7$ (по выстрелу). $P (ровно два попадания)$ $0, 398$
повыш.Сколько раз нужно бросить монету, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 99$ ? Наименьшее число. $7$
исследованиеМатч до двух побед (сл. 9). Найдите $P (победа)$ при $p = 0, 4$ . Кому выгоден матч, а кому — одна партия? $0, 352$ ; матч — сильному

R08.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Независимые испытания — ответ десятичной дробью

1. Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням; вероятность попадания при одном выстреле $0, 8$ . Найдите вероятность того, что первые $3$ раза он попал, а последние $2$ — промахнулся.

$0, 02048$

2. В магазине два платёжных автомата. Каждый может быть неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

$0, 9975$

3. Перед матчем судья бросает монету, чтобы определить, какая команда начнёт игру. Команда «Физик» играет $3$ матча. Найдите вероятность того, что во всех матчах начнёт «Физик».

$0, 125$

Независимые испытания: вероятности перемножаем. В бланк: 0,02048 — без пробелов и единиц.

R08.1 · из жизни

Задача из жизни · светофоры по дороге в школу

Три светофора работают независимо

Зелёные числа — вероятность подойти к светофору на зелёный свет.

$P (все три зелёные)$ $0, 12$
$P (ни одного зелёного)$ $0, 12$
$P (хотя бы раз ждать)$ $0, 88$
$P (ровно один зелёный)$ $0, 38$

Чем больше светофоров, тем вернее придётся постоять.

R08.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ : $P (A \cap B)$ $0, 3$
$5$ белых, $3$ чёрных; $2$ шара без возвращения: оба чёрные $\frac{3}{28}$
Стрелок, $p = 0, 7$ , $3$ выстрела: хотя бы одно попадание $0, 973$
$70 %$ деталей с браком $1 %$ , $30 %$ — с браком $4 %$ : $P (брак)$ $0, 019$

Вариант 2

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 8$ , $P (B) = 0, 3$ : $P (A \cap B)$ $0, 24$
$4$ белых, $6$ чёрных; $2$ шара без возвращения: оба белые $\frac{2}{15}$
Монету бросают $5$ раз: хотя бы один орёл $0, 96875$
$40 %$ деталей с браком $5 %$ , $60 %$ — с браком $2 %$ : $P (брак)$ $0, 032$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ ?
Что меняется при выборе без возвращения?
Как найти $P (хотя бы один)$ ?
Что делать с вероятностями путей дерева?

Домашнее задание

$3$ белых, $3$ чёрных; $3$ шара без возвращения: $P (все одного цвета)$
Матч до трёх побед, $p = 0, 6$ : $P (победа)$ — деревом
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_pravilo-umnozheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: когда события независимы; на каждом шаге меняется знаменатель (и числитель) — используем условную вероятность; $1 - $ произведение вероятностей неудач (для независимых); вдоль пути — умножать, по нужным путям — складывать.
Ответы ДЗ: 1) 2 · (3/6 · 2/5 · 1/4) = 2 · 1/20 = 0,1. 2) $p^{3} (1 + 3 q + 6 q^{2})$ = 0,216 · (1 + 1,2 + 0,96) = 0,68256 (за 3 партии — 1 путь, за 4 — 3, за 5 — 6). Проверено перебором.
Следующий урок — обобщение и систематизация (VIS8U-030), строка R09.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-029 · Практикум: правило умножения вероятностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события», 5 ч · урок 5/5 · тип П
Единицы → слайды	R08.1 «Правило умножения вероятностей» → 2–20 · повторение R08.2 (условная вероятность) → 3, 7, 12 · R08.3 (дерево) → 5, 9–11 · R08.4 (независимые события) → 4, 6, 8, 17–18
Результаты	ПР-6 (правило умножения, дерево, независимость) → 2–20 · ПР-4 (деревья в задачах теории вероятностей) → 5, 9–11 · ПР-5 (противоположное событие, сложение вероятностей) → 8, 13, 18
Вне урока	обобщение и систематизация — VIS8U-030 (R09); формула Бернулли и сочетания — 9 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: правило умножения вероятностей

Сегодня вы научитесь

Умножать вероятности

Считать по дереву

Решать «хотя бы один»

Решать обратные задачи

Считаем в уме

Произведения и дополнения

Вероятности

Вероятность того, что произойдут оба события

Три правила дерева: P(B) — ?

Два стрелка стреляют по одному разу

Образец: попадают с вероятностями 0,8 и 0,7 независимо. P(оба попали)?

Сам: те же стрелки

Вероятность на втором шаге меняется

Образец: в урне 4 белых и 2 чёрных шара; вынимают 2 без возвращения. P(оба белые)?

Сам: та же урна

Через противоположное событие

Образец: 3 датчика работают независимо, каждый замечает нарушителя с вероятностью 0,8. P(сработает хотя бы один)?

Сам: хотя бы один

Матч до двух побед: Аня выигрывает партию с p=0,6

Событие наступает разными путями

Образец: 60% деталей — с фабрики 1 (брак 2%), 40% — с фабрики 2 (брак 3%). P(деталь бракованная)?

Сам: два шага

Дерево-«лесенка»

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, но не больше 3 раз; p=0,7. P(попал только третьим выстрелом)?

Сам: та же «лесенка»

Известно произведение — найдите множитель

Образец: два одинаковых стрелка стреляют независимо; P(оба попали)=0,49. Найдите p одного стрелка.

Сам: найдите неизвестное

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Из 5 батареек 2 разряжены; берут 2 без возвращения. P(ровно одна разряжена)?

б) Стрелок попадает с p=0,9, стреляет 3 раза. P(ровно 2 попадания)?

в) Кубик. A — выпало чётное, B — выпало больше 3. P(A∩B)?

Решите и проверьте

Независимые события

С условной вероятностью

Подумайте и решите

Независимые испытания — ответ десятичной дробью

Три светофора работают независимо

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-029 · Практикум: правило умножения вероятностей

Три правила дерева: $P (B)$ — ?

Образец: попадают с вероятностями $0, 8$ и $0, 7$ независимо. $P (оба попали)$ ?

Образец: в урне $4$ белых и $2$ чёрных шара; вынимают $2$ без возвращения. $P (оба белые)$ ?

Образец: $3$ датчика работают независимо, каждый замечает нарушителя с вероятностью $0, 8$ . $P (сработает хотя бы один)$ ?

Матч до двух побед: Аня выигрывает партию с $p = 0, 6$

Образец: $60 %$ деталей — с фабрики 1 (брак $2 %$ ), $40 %$ — с фабрики 2 (брак $3 %$ ). $P (деталь бракованная)$ ?

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, но не больше $3$ раз; $p = 0, 7$ . $P (попал только третьим выстрелом)$ ?

Образец: два одинаковых стрелка стреляют независимо; $P (оба попали) = 0, 49$ . Найдите $p$ одного стрелка.

а) Из $5$ батареек $2$ разряжены; берут $2$ без возвращения. $P (ровно одна разряжена)$ ?

б) Стрелок попадает с $p = 0, 9$ , стреляет $3$ раза. $P (ровно 2 попадания)$ ?

в) Кубик. $A$ — выпало чётное, $B$ — выпало больше $3$ . $P (A \cap B)$ ?