Строка R08 · урок 4 из 5 · углублённый уровень

Независимые события

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS8U-028

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события» (5 ч), урок 4/5, единица R08.4 «Независимые события». Тип урока — Н. Опора: правило умножения вероятностей (VIS8U-025), условная вероятность (VIS8U-026), дерево случайного эксперимента с вероятностями на рёбрах (VIS8U-027), формула сложения (R07).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение, таблица 6 × 6) 3 · 6 (независимость и несовместность) 2,5 · 8 (доказательство: $A$ и $\overline{B}$ ) 2,5 · 9 (независимые испытания, дерево) 3. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 5, 7, 10, 11, 12) по 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 2.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и п. в сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.
Рисунок на титуле — «квадрат вероятностей»: если $A$ и $B$ независимы, то $A \cap B$ — прямоугольник со сторонами $P (A)$ и $P (B)$ , его площадь $0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 24$ .

R08.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять независимость

по определению $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ — по таблице исходов и по таблице частот (ПР-6, ПР-2)

Отличать от несовместности

несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы (ПР-5, ПР-6)

Умножать для независимых испытаний

дерево с одинаковыми ветвями, произведение вдоль пути (ПР-6, ПР-4)

Считать «хотя бы один»

через противоположное: $1 - q_{1} q_{2} \dots q_{n}$ ; надёжность схем (ПР-6, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-6: «Пользоваться правилом умножения вероятностей, использовать дерево для представления случайного опыта при решении задач. Оперировать понятием независимости событий» — главный результат урока. ПР-5: «…выполнять операции над событиями, использовать при решении задач диаграммы Эйлера… применять формулу сложения вероятностей». ПР-2: вероятности в опытах с равновозможными элементарными событиями. ПР-4: деревья в задачах теории вероятностей. Единица ФРП: R08.4.
Следующий урок — практикум «Правило умножения вероятностей» (VIS8U-029): там смешанные задачи на зависимые и независимые события.

повторение: VIS8U-025 – VIS8U-027

Разминка · устно

Умножение, условная вероятность, сложение

Считаем устно

$P (A) = 0, 5$ , $P (B ∣ A) = 0, 4$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$
Монета $2$ раза: $P (ОО)$ $0, 25$
Кубик: $P (чётное и больше 3)$ $\frac{1}{3}$
$P (A) = 0, 3$ . $P (\overline{A})$ $0, 7$

Сложение и условная вероятность

$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
Без возвращения: $P (2- й белый ∣ 1- й белый)$ $\frac{1}{4}$
С возвращением: то же $\frac{2}{5}$
$A$ , $B$ несовместны: $P (A \cap B)$ $0$

R08.4

Теория · независимые события

Два кубика: $A$ — «на 1-м чётное», $B$ — «на 2-м больше $4$ »

События $A$ и $B$ независимы, если

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

$P (A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

$P (A \cap B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ независимы

$P (B ∣ A) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} = P (B)$

Независимость: знание об

A

не меняет вероятность

B

.

3 мин · теория
Таблица: столбец — очки на 1-м кубике, строка — на 2-м; 36 равновозможных клеток. Фиолетовые столбцы 2, 4, 6 — событие $A$ (18 клеток), бирюзовые строки 5, 6 — событие $B$ (12 клеток), розовые — $A \cap B$ (6 клеток).
Определение (учебник Высоцкого — Ященко): $A$ и $B$ независимы, если $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . Если $P (A) > 0$ , это равносильно $P (B ∣ A) = P (B)$ : по правилу умножения $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ , сравниваем.
Определение симметрично: если $B$ не зависит от $A$ , то и $A$ не зависит от $B$ : $P (A ∣ B) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = P (A)$ .
Вопрос: почему здесь независимость «ожидаема»? (События про разные кубики.) Но проверять всё равно надо по определению — на следующем слайде пример, где «на глаз» не видно.

R08.4

Образец → сам · проверка по определению

Независимость не всегда видна «на глаз»

Образец: два кубика. $A$ — «сумма $7$ », $B$ — «на 1-м выпало $1$ ». Независимы?

$P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ диагональ

$P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ столбец

$A \cap B = {(1; 6)}$ : $\frac{1}{36}$

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ → независимы

Сам: два кубика

«сумма $8$ » и «на 1-м $1$ » зависимы
«сумма $7$ » и «на 2-м $6$ » независимы
«на 1-м чётное» и «сумма чётная» независимы

2 мин · практика
Образец: сумма 7 — диагональ (1;6), (2;5), …, (6;1), 6 клеток. Столбец «1» — 6 клеток. Общая клетка одна — (1;6). $\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ — независимы. Смысл: какое бы число ни выпало на 1-м кубике, сумма 7 «добирается» ровно одним значением второго.
1) Сумма 8 при единице на 1-м невозможна (нужно 7 на 2-м): $P (A \cap B) = 0 \neq = \frac{5}{36} \cdot \frac{1}{6}$ — зависимы. 2) Единственная общая клетка (1;6): $\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ — независимы. 3) Сумма чётная и 1-й чётный ⇔ оба чётные: $\frac{9}{36} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ — независимы. Всё проверено перебором 36 исходов.

R08.4

Теория · независимые и несовместные

Кубик бросают один раз; $A$ — «чётное»

а) $B = {1; 3}$ : $P (A \cap B) = 0$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \neq = 0$ → зависимы $A$ наступило — $B$ уже нет

б) $B = {1; 2}$ : $P (A \cap B) = \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

→ независимы, хотя пересекаются

Несовместные события с

P (A) > 0

,

P (B) > 0

всегда зависимы. «Независимы» ≠ «несовместны».

2,5 мин · теория
Диаграммы Эйлера: в кругах — элементарные исходы (очки). а) Круги не пересекаются: $A \cap B = \emptyset$ , $P (A \cap B) = 0$ , а $P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{6} \neq = 0$ . Если $A$ наступило, то $B$ точно не наступило: $P (B ∣ A) = 0 \neq = \frac{1}{3}$ — сильнейшая зависимость.
б) Общий исход 2: $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ , $P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ — независимы. Среди «маленьких» ${1; 2}$ чётных половина — так же, как среди всех чисел.
Вывод для класса: независимость — про вероятности, а не про картинку; её проверяют числами. Исключение: если $P (A) = 0$ или $P (B) = 0$ , равенство верно всегда (обе части равны 0) — такие события формально независимы.

R08.4

Образец → сам · таблица 2 × 2

Опрос: зависит ли увлечение спортом от пола?

Образец: опросили $200$ школьников, одного выбирают наугад. $Д$ — «девочка», $С$ — «занимается спортом»

	спорт	нет	всего
мальчики	$72$	$48$	$120$
девочки	$48$	$32$	$80$
всего	$120$	$80$	$200$

$P (Д) = \frac{80}{200} = 0, 4$ , $P (С) = \frac{120}{200} = 0, 6$

$P (Д \cap С) = \frac{48}{200} = 0, 24 = 0, 4 \cdot 0, 6$ → независимы

Сам

$100$ туристов: $60$ взрослых, из них $30$ в шапках; из $40$ детей в шапках $20$ . «Взрослый» и «в шапке» независимы
$50$ учеников: $20$ в музыкальной школе, из них $10$ отличников; среди остальных $30$ отличников $5$ . «Музыкант» и «отличник» зависимы
$200$ человек, $∣ A ∣ = 80$ , $∣ B ∣ = 50$ , $A$ и $B$ независимы. $∣ A \cap B ∣$ $20$

2 мин · практика
Образец: выбор наугад — вероятность = доля. $0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24 = \frac{48}{200}$ — независимы. Другая проверка: доля спортсменов среди девочек $\frac{48}{80} = 0, 6$ — такая же, как среди всех.
1) $P (взр) = 0, 6$ , $P (шапка) = \frac{50}{100} = 0, 5$ , $P (взр \cap шапка) = 0, 3 = 0, 6 \cdot 0, 5$ — независимы. 2) $P (М) = 0, 4$ , $P (О) = \frac{15}{50} = 0, 3$ , $P (М \cap О) = \frac{10}{50} = 0, 2 \neq = 0, 12$ — зависимы (среди музыкантов отличников 50 %, среди остальных — $\frac{1}{6}$ ). 3) $200 \cdot 0, 4 \cdot 0, 25 = 20$ .
Важно: зависимость в статистике — не «причина». Она говорит только о том, что доли в группах различны.

R08.4

Теория · свойство независимых событий

Если $A$ и $B$ независимы, то $A$ и $\overline{B}$ независимы

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ несовместны

$P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A \cap B)$ формула сложения

$= P (A) - P (A) \cdot P (B)$ независимость

$= P (A) (1 - P (B)) = P (A) \cdot P (\overline{B})$ ∎

Следствие: независимы и

\overline{A}

,

B

, и

\overline{A}

,

\overline{B}

. Поэтому

P (\overline{A} \cap \overline{B}) = P (\overline{A}) \cdot P (\overline{B})

.

R08.4

Теория · независимые испытания

Два стрелка стреляют по мишени независимо

Попадание: $p_{1} = 0, 8$ , $p_{2} = 0, 7$ . П — попал, М — мимо.

Ветви 2-го уровня одинаковые: $0, 7$ и $0, 3$

$P (оба) = 0, 8 \cdot 0, 7 =$ $0, 56$

Сумма листьев: $0, 56 + 0, 24 + 0, 14 + 0, 06 = 1$

Для независимых:

P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) \cdot \dots \cdot P (A_{n})

3 мин · теория (учитель решает пример сам)
Дерево: 1-й уровень — выстрел 1-го стрелка, 2-й уровень — 2-го. На рёбрах 2-го уровня стоят условные вероятности; при независимости они не зависят от исхода первого выстрела, поэтому обе ветки одинаковые: $P (П_{2} ∣ П_{1}) = P (П_{2} ∣ М_{1}) = 0, 7$ .
Листья: ПП $0, 56$ , ПМ $0, 24$ , МП $0, 14$ , ММ $0, 06$ (произведение вдоль пути). Сумма равна 1 — контроль.
Сравнить с урной без возвращения (VIS8U-027): там ветви 2-го уровня разные — события зависимы. Признак по дереву: ветви одинаковы ⇔ независимы.
Для нескольких событий (углублённый уровень): «независимы в совокупности» — произведение верно для любого набора из них. Попарной независимости мало — пример в сл. 16, задание 4.

R08.4

Образец → сам · несколько путей

«Ровно один»: складываем произведения по путям

Образец: два кофейных автомата ломаются независимо, каждый — с вероятностью $0, 1$ . $P (неисправен ровно один)$ ?

НИ: $0, 1 \cdot 0, 9 = 0, 09$ ; ИН: $0, 9 \cdot 0, 1 = 0, 09$ два пути

$P = 0, 09 + 0, 09 =$ $0, 18$ пути несовместны

Сам: стрелки сл. 9

$P (попал ровно один)$ $0, 38$
$P (оба промахнулись)$ $0, 06$
Монета и кубик: $P (орёл и 6)$ $\frac{1}{12}$

R08.4

Образец → сам · «хотя бы один»

Через противоположное: «ни один не сработал»

Образец: три независимых датчика дыма срабатывают с вероятностями $0, 9$ ; $0, 8$ ; $0, 7$ . $P (хотя бы один сработает)$ ?

отказали все: $0, 1 \cdot 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 006$ независимы (сл. 8)

$P = 1 - 0, 006 =$ $0, 994$ противоположное

Сам

Монету бросают $4$ раза: $P (хотя бы один орёл)$ $0, 9375$
Стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ ; $3$ выстрела: $P (хотя бы одно попадание)$ $0, 936$
Наименьшее число бросков кубика, при котором $P (хотя бы одна 6) > 0, 5$ $4$

R08.4

Образец → сам · обратная задача

Квадрат вероятностей: площадь = произведение

Образец: $A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 24$ . Найдите $P (B)$ , $P (A \cup B)$ , $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ .

$P (B) = \frac{0 , 24}{0 , 6} = 0, 4$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ : $0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24$

$P (A \cup B) = 1 - 0, 24 =$ $0, 76$

Сам: $A$ , $B$ независимы

$P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 65$
$P (A) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 8$ . $P (B)$ $0, 6$
Могут ли они быть несовместными, если $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 8$ ? нет

R08.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Ошибка	Неверно	Верно
перемножили вероятности зависимых событий	$2$ брака из $10$ , берут $2$ без возвращения: $0, 2 \cdot 0, 2 = 0, 04$	$\frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{45}$
несовместные считают независимыми	$A \cap B = \emptyset \Rightarrow P (A \cap B) = P (A) P (B)$	$0 \neq = P (A) P (B)$ — зависимы
«хотя бы один» — сложили вероятности	стрелки $0, 8$ и $0, 7$ : $0, 8 + 0, 7 = 1, 5$	$1 - 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 94$
«ровно один» — взяли один путь	$0, 8 \cdot 0, 3 = 0, 24$	$0, 24 + 0, 14 = 0, 38$

R08.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. $A$ — «на 1-м $6$ », $B$ — «сумма $12$ ». $P (A \cap B)$ ?

броски независимы, значит $P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{216}$

$B$ зависит от 1-го броска: $A \cap B = B = {(6; 6)}$

$P = \frac{1}{36}$ ; $A$ и $B$ зависимы

б) $P (попадания) = 0, 7$ . Два выстрела: $P (ровно одно попадание)$ ?

$P = 0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 21$

путей два: ПМ и МП

$P = 2 \cdot 0, 21 = 0, 42$

в) $A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ ?

$P = 0, 5 + 0, 4 = 0, 9$

события совместны: вычесть $P (A \cap B) = 0, 2$

$P = 0, 9 - 0, 2 = 0, 7$

R08.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 6$

$P (A \cap B)$ $0, 18$
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ $0, 28$
$P (A \cup B)$ $0, 72$

Опыты

Кубик дважды: $P (оба раза больше 4)$ $\frac{1}{9}$
Стрелки $0, 9$ и $0, 6$ : $P (оба мимо)$ $0, 04$
Кубик: «чётное» и «делится на $3$ » — независимы? да

R08.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Кубик бросают один раз. $A$ — «чётное», $B$ — «не больше $k$ ». При каких $k$ от $1$ до $5$ события независимы? $k = 2$ или $4$
повыш. $A$ и $B$ независимы, $P (A) = P (B) = p$ , $P (A \cup B) = 0, 75$ . Найдите $p$ . $0, 5$
повыш.Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ . Сколько нужно выстрелов, чтобы $P (хотя бы одно попадание) \geq 0, 99$ ? $3$
исследованиеДве монеты. $A$ — «1-я орёл», $B$ — «2-я орёл», $C$ — «монеты легли одинаково». Независимы ли попарно? Верно ли $P (A \cap B \cap C) = P (A) P (B) P (C)$ ? попарно — да; нет: $\frac{1}{4} \neq = \frac{1}{8}$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $P (B) = \frac{k}{6}$ , $P (A \cap B) = \frac{[ k /2 ]}{6}$ (чётных среди $1.. k$ ). Равенство $\frac{[ k /2 ]}{6} = \frac{k}{12}$ ⇔ $k$ чётно: $k = 2$ ( ${2}$ : $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ ), $k = 4$ ( ${2; 4}$ : $\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ ). Проверено перебором.
2) $2 p - p^{2} = 0, 75$ ⇔ $(1 - p)^{2} = 0, 25$ ⇔ $p = 0, 5$ ( $p = 1, 5$ не годится). 3) $0, 2^{n} \leq 0, 01$ : $0, 2^{2} = 0, 04$ , $0, 2^{3} = 0, 008$ — 3 выстрела.
4) Исходы ОО, ОР, РО, РР. $P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}$ ; $A \cap C = B \cap C = A \cap B = {ОО}$ , каждое $\frac{1}{4}$ — попарно независимы. Но $A \cap B \cap C = {ОО}$ : $\frac{1}{4} \neq = \frac{1}{8}$ — в совокупности зависимы ( $A$ и $B$ вместе определяют $C$ ). Пример Бернштейна.

R08.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Независимые испытания — ответ десятичной дробью

1. Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0, 8$ . Найдите вероятность того, что он первые $3$ раза попал, а последние $2$ раза промахнулся.

$0, 02048$

2. В магазине два платёжных терминала. Каждый может быть неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.

$0, 9975$

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее $3$ .

$0, 25$

Независимые выстрелы, приборы, броски: умножаем. «Хотя бы один» —

1 - q_{1} q_{2}

. В бланк: 0,9975.

R08.4 · из жизни

Задача из жизни · надёжность схемы

Надёжность: элементы отказывают независимо

В блоке — вероятность, что элемент работает. Ток проходит, если есть путь из рабочих элементов. Найдите $P (схема работает)$ .

схема а — последовательно $0, 81$
схема б — параллельно $0, 99$
схема в — смешанная $0, 864$

Последовательно — «И»: умножаем

p

. Параллельно — «ИЛИ»:

1 - q_{1} q_{2}

. Дублирование повышает надёжность.

R08.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ : $P (A \cap B)$ $0, 2$
Для них же $P (A \cup B)$ $0, 7$
Кубик дважды: $P (на 1- м 6, на 2- м нечётное)$ $\frac{1}{12}$
Попадание $0, 7$ , $2$ выстрела: $P (хотя бы одно)$ $0, 91$

Вариант 2

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 2$ , $P (B) = 0, 5$ : $P (A \cap B)$ $0, 1$
Для них же $P (A \cup B)$ $0, 6$
Кубик дважды: $P (на 1- м чётное, на 2- м 1)$ $\frac{1}{12}$
Попадание $0, 6$ , $2$ выстрела: $P (хотя бы одно)$ $0, 84$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие события называют независимыми?
Почему несовместные события зависимы?
Как по дереву увидеть независимость?
Как найти $P (хотя бы один)$ ?

Домашнее задание

Два кубика: «сумма $7$ » и «на 2-м чётное» — независимы?
Стрелки $0, 9$ ; $0, 8$ ; $0, 5$ : $P (попали ровно двое)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_uslovnaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-028 · Независимые события

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события», 5 ч · урок 4/5 · тип Н
Единицы → слайды	R08.4 «Независимые события» → 2, 4–20 · повторение R08.1–R08.3 (правило умножения, условная вероятность, дерево) → 3, 9–11
Результаты	ПР-6 (правило умножения, дерево, независимость событий) → 2–20 · ПР-5 (операции над событиями, диаграммы Эйлера, формула сложения) → 6, 8, 12, 14, 18 · ПР-2 (равновозможные исходы) → 4–6, 15 · ПР-4 (деревья в задачах) → 9–10
Вне урока	практикум «Правило умножения вероятностей» — VIS8U-029; формула Бернулли и сочетания — 9 класс
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Независимые события

Сегодня вы научитесь

Проверять независимость

Отличать от несовместности

Умножать для независимых испытаний

Считать «хотя бы один»

Умножение, условная вероятность, сложение

Считаем устно

Сложение и условная вероятность

Два кубика: A — «на 1-м чётное», B — «на 2-м больше 4»

Независимость не всегда видна «на глаз»

Образец: два кубика. A — «сумма 7», B — «на 1-м выпало 1». Независимы?

Сам: два кубика

Кубик бросают один раз; A — «чётное»

Опрос: зависит ли увлечение спортом от пола?

Образец: опросили 200 школьников, одного выбирают наугад. Д — «девочка», С — «занимается спортом»

Сам

Если A и B независимы, то A и B независимы

Два стрелка стреляют по мишени независимо

«Ровно один»: складываем произведения по путям

Образец: два кофейных автомата ломаются независимо, каждый — с вероятностью 0,1. P(неисправен ровно один)?

Сам: стрелки сл. 9

Через противоположное: «ни один не сработал»

Образец: три независимых датчика дыма срабатывают с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7. P(хотя бы один сработает)?

Сам

Квадрат вероятностей: площадь = произведение

Образец: A и B независимы, P(A)=0,6, P(A∩B)=0,24. Найдите P(B), P(A∪B), P(A∩B).

Сам: A, B независимы

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. A — «на 1-м 6», B — «сумма 12». P(A∩B)?

б) P(попадания)=0,7. Два выстрела: P(ровно одно попадание)?

в) A и B независимы, P(A)=0,5, P(B)=0,4. P(A∪B)?

Решите и проверьте

A, B независимы, P(A)=0,3, P(B)=0,6

Опыты

Подумайте и решите

Независимые испытания — ответ десятичной дробью

Надёжность: элементы отказывают независимо

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-028 · Независимые события

Два кубика: $A$ — «на 1-м чётное», $B$ — «на 2-м больше $4$ »

Образец: два кубика. $A$ — «сумма $7$ », $B$ — «на 1-м выпало $1$ ». Независимы?

Кубик бросают один раз; $A$ — «чётное»

Образец: опросили $200$ школьников, одного выбирают наугад. $Д$ — «девочка», $С$ — «занимается спортом»

Если $A$ и $B$ независимы, то $A$ и $\overline{B}$ независимы

Образец: два кофейных автомата ломаются независимо, каждый — с вероятностью $0, 1$ . $P (неисправен ровно один)$ ?

Образец: три независимых датчика дыма срабатывают с вероятностями $0, 9$ ; $0, 8$ ; $0, 7$ . $P (хотя бы один сработает)$ ?

Образец: $A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 24$ . Найдите $P (B)$ , $P (A \cup B)$ , $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ .

Сам: $A$ , $B$ независимы

а) Кубик бросают дважды. $A$ — «на 1-м $6$ », $B$ — «сумма $12$ ». $P (A \cap B)$ ?

б) $P (попадания) = 0, 7$ . Два выстрела: $P (ровно одно попадание)$ ?

в) $A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ ?

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 6$