Условная вероятность и умножение вероятностей · урок 3 из 5

Представление случайного эксперимента в виде дерева

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS8U-027

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события» (5 ч), урок 3/5, единица R08.3 «Представление случайного эксперимента в виде дерева». Тип урока — Н. Опора — правило умножения вероятностей (VIS8U-025) и условная вероятность (VIS8U-026).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (устройство дерева) 2 · 5 (почему умножаем) 2 · 7 (усечённое дерево) 2 · 9 (формула полной вероятности, пример учителя) 2 · 11 (обратная задача) 2 · 14 (сводка) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3 · повышенный (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2,5 · самостоятельная (сл. 20) 3,5 · итог (сл. 21) 1.
Картинка на титуле — опыт «бросают кубик: 1 или 2 — шар из урны I, иначе из урны II» (сл. 10): к белому шару ведут два пути, их вероятности складываются.
Углублённый уровень: по сравнению с базовым курсом — деревья в три шага, усечённые деревья (опыт обрывается), формула полной вероятности в общем виде и обратная задача («по следствию — причина»). Если не успеваете: задачи 3–4 сл. 18 и «сам» сл. 13 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R08.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить дерево опыта

в два-три шага, в том числе усечённое — когда опыт обрывается (ПР-4, ПР-6)

Считать по дереву

вдоль пути — умножать, пути события — складывать (ПР-2, ПР-6)

Применять формулу полной вероятности

событие наступает при разных «условиях» (ПР-6)

Решать обратную задачу

результат известен — найти вероятность «причины» (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6: «Пользоваться правилом умножения вероятностей, использовать дерево для представления случайного опыта при решении задач». ПР-4: «Иметь представление о дереве, о вершинах и рёбрах дерева, использовании деревьев при решении задач в теории вероятностей». ПР-2: «Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная вероятности элементарных событий».
Деятельность по ФРП (R08): «Осваивать понятия … дерево случайного опыта. Решать задачи на поиск вероятностей с использованием дерева случайного опыта».

повторение: VIS8U-025, VIS8U-026

Разминка · устно

Умножение вероятностей и условная вероятность

Правила

$P (A) = 0, 6$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 3$
$P (A \cap B) = 0, 14$ , $P (A) = 0, 7$ . $P (B ∣ A)$ ? $0, 2$
Монету бросают 3 раза. Сколько всех исходов? $8$
4 красных и 2 синих шара; вынули синий. $P (второй синий)$ $\frac{1}{5}$

Вычислите

$0, 4 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5$ $0, 1$
$0, 3 \cdot 0, 2 + 0, 7 \cdot 0, 6$ $0, 48$
$1 - 0, 2^{3}$ $0, 992$
$0, 02 : 0, 08$ $0, 25$

3 мин · практика
Ответы: 1) P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = 0,6·0,5 = 0,3; 2) P(B|A) = 0,14/0,7 = 0,2; 3) 2·2·2 = 8 — столько листьев у дерева трёх бросков (сл. 6); 4) осталось 1 синий из 5 шаров: 1/5 — условная вероятность, её пишут на ребре второго шага; 5) 0,1 — произведение вдоль пути из трёх рёбер; 6) 0,06 + 0,42 = 0,48 — «произведения, потом сумма» (формула полной вероятности, сл. 9); 7) 1 − 0,008 = 0,992 — «хотя бы один» через противоположное; 8) 0,25 — так считается обратная задача (сл. 11).
Вопрос классу к 4: изменилась ли вероятность вынуть синий после первого шара? (Да: было 2/6 = 1/3, стало 1/5.)

R08.3

Теория · дерево случайного опыта

Шаг опыта — уровень дерева

Бросают монету. Орёл — бросают ещё раз; решка — берут шар из урны: 1 белый, 2 чёрных.

Корень $S$ — начало; ребро — исход шага с его вероятностью.

Лист — элементарный исход; путь к нему единственный.

Ветки бывают разными: второй шаг зависит от первого.

2 мин · теория
Дерево случайного опыта: корень S — опыт ещё не начался; из вершины выходят рёбра — возможные исходы очередного шага, на ребре — вероятность этого исхода при условии, что мы уже в этой вершине. Листья — элементарные исходы всего опыта: ОО, ОР, РБ, РЧ.
Важно для углублённого уровня: ветки не обязаны быть одинаковыми — после орла второй шаг «монета», после решки — «урна». Поэтому элементарные исходы не равновозможны (сл. 5), и классическая формула m/n здесь не работает.
Вопрос классу: чему равна сумма вероятностей на рёбрах из одной вершины? (1: исходы шага несовместны и исчерпывают все варианты; 1/2 + 1/2 = 1, 1/3 + 2/3 = 1.)

R08.3

Теория · вероятность пути и события

Вдоль пути — умножаем, пути события — складываем

$P (РБ) = P (Р) \cdot P (Б ∣ Р)$ умножение

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

P (A \cap B \cap C) = P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A \cap B)

«белый шар или два орла»: $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$ пути несовместны

Проверка:

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = 1

2 мин · теория
Обоснование правила пути: путь Р→Б — это событие «Р и Б»; по правилу умножения (VIS8U-025) P(Р∩Б) = P(Р)·P(Б|Р), а P(Б|Р) = 1/3 как раз написана на ребре. Для пути из трёх рёбер применяем правило дважды: P(A∩B∩C) = P(A∩B)·P(C|A∩B) = P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B).
Вероятности листьев: ОО 1/4, ОР 1/4, РБ 1/6, РЧ 1/3. Разные листья — несовместные исходы, поэтому вероятность события — сумма по его листьям: 1/6 + 1/4 = 5/12.
Проверка: сумма по всем листьям равна 1 (3/12 + 3/12 + 2/12 + 4/12 = 1). Вопрос классу: почему P(РБ) не равна 1/4, хотя листьев четыре? (Исходы не равновозможны.)

R08.3

Образец → сам · дерево в три шага

Три независимых шага — 8 путей

Образец

Стрелок стреляет 3 раза, $p = 0, 6$ . $P (ровно два попадания)$ ?

пути ППМ, ПМП, МПП листья события

каждый: $0, 6^{2} \cdot 0, 4 = 0, 144$ вдоль пути

$3 \cdot 0, 144 =$ $0, 432$ сумма путей

Сам · тот же стрелок

ровно одно попадание $0, 288$
хотя бы одно попадание $0, 936$
не меньше двух попаданий $0, 648$

2,5 мин · практика
Образец: дерево с 8 листьями; на каждом ребре П — 0,6, М — 0,4 (выстрелы независимы, вероятности на всех уровнях одинаковые). Ровно два попадания — пути ППМ, ПМП, МПП, у каждого произведение 0,6·0,6·0,4 = 0,144; сумма 0,432.
1) ПММ, МПМ, ММП: 3·0,6·0,4·0,4 = 3·0,096 = 0,288. 2) 1 − P(МММ) = 1 − 0,4³ = 1 − 0,064 = 0,936. 3) ровно два или три: 0,432 + 0,6³ = 0,432 + 0,216 = 0,648.
Проверка по всем листьям: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1. Совет: рисовать всё дерево не обязательно — достаточно перечислить пути события и одинаковые произведения умножить на их число.

R08.3

Теория · усечённое дерево

Опыт может закончиться раньше

Стрелок стреляет до первого попадания, но не больше 3 раз; $p = 0, 7$ .

после П ветка обрывается — лист

$P (3 выстрела) = 0, 063 + 0, 027 = 0, 09$

P (попадёт) = 1 - 0, 3^{3} = 0, 973

Листья — на разной глубине; сумма снова

1

2 мин · теория
Опыт с остановкой: после попадания стрельба прекращается, поэтому ветка П — сразу лист. Листья: П (0,7), МП (0,3·0,7 = 0,21), ММП (0,3·0,3·0,7 = 0,063), МММ (0,3³ = 0,027).
Три выстрела понадобятся, если первые два — промахи: ММП и МММ, 0,063 + 0,027 = 0,09 = 0,3·0,3. Попадёт хоть раз — всё, кроме МММ: 1 − 0,027 = 0,973 (или 0,7 + 0,21 + 0,063 = 0,973).
Проверка: 0,7 + 0,21 + 0,063 + 0,027 = 1. Вопрос классу: сколько листьев у полного дерева трёх выстрелов и почему здесь их 4? (8; ветки после попадания не продолжаются.)

R08.3

Образец → сам · усечённое дерево

Вероятности меняются от шага к шагу

Образец

Экзамен можно сдавать до 3 раз. Сдать с 1-й попытки — $0, 5$ , со 2-й — $0, 6$ , с 3-й — $0, 7$ . $P (сдаст)$ ?

пути С, НС, ННС: $0, 5; 0, 3; 0, 14$ умножаем

$0, 5 + 0, 3 + 0, 14 =$ $0, 94$ проверка: $1 - 0, 06$

Сам

Тот же экзамен: $P (сдаст со 2- й попытки)$ $0, 3$
Он же: $P (понадобятся все 3 попытки)$ $0, 2$
Матч до двух побед, A выигрывает партию с $p = 0, 4$ . $P (будет 3- я партия)$ $0, 48$

2,5 мин · практика
Образец: Н — «не сдал». Вероятности 0,6 и 0,7 — условные: сдать со 2-й попытки при условии, что первая неудачна. Пути: С 0,5; НС 0,5·0,6 = 0,3; ННС 0,5·0,4·0,7 = 0,14; ННН 0,5·0,4·0,3 = 0,06. P(сдаст) = 0,94 = 1 − 0,06.
1) путь НС: 0,3 (не путать с 0,6 — это условная вероятность на ребре). 2) третья попытка нужна после НН: 0,5·0,4 = 0,2 (= 0,14 + 0,06). 3) третья партия будет, если первые две разделились: АБ или БА, 0,4·0,6 + 0,6·0,4 = 0,48; после АА или ББ дерево обрывается.
Типичная ошибка в 1: ответ 0,6. Спросить: «0,6 — вероятность чего?»

R08.3

Теория · пример учителя · формула полной вероятности

Брак от трёх поставщиков

Поставщики 1, 2, 3 дают $50 %$ , $30 %$ , $20 %$ деталей; брак у них $1 %$ , $2 %$ , $5 %$ . $P (Б)$ ?

$0, 005 + 0, 006 + 0, 010 = 0, 021$

P (B) = \sum P (H_{i}) P (B ∣ H_{i})

H_{1}, H_{2}, H_{3}

несовместны и покрывают всё — первый уровень дерева.

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Первый шаг — от какого поставщика деталь (0,5; 0,3; 0,2 — сумма 1), второй — брак Б или годная Г; на рёбрах второго уровня — условные вероятности брака у каждого поставщика. Пути к Б: 0,5·0,01 = 0,005; 0,3·0,02 = 0,006; 0,2·0,05 = 0,010. P(Б) = 0,021, то есть 2,1 % всех деталей.
Формула полной вероятности: если события H₁, …, Hₙ («гипотезы») попарно несовместны и вместе составляют всё пространство исходов, то P(B) = P(H₁)P(B|H₁) + … + P(Hₙ)P(B|Hₙ). На дереве это просто сумма путей, ведущих к B.
Вопрос классу: почему нельзя взять среднее (1 + 2 + 5)/3 ≈ 2,7 %? (Поставщики дают разные доли — нужны веса 0,5; 0,3; 0,2.) Проверка по листьям: 0,005 + 0,495 + 0,006 + 0,294 + 0,010 + 0,190 = 1.

R08.3

Образец → сам · формула полной вероятности

Сначала «условие», потом — событие

Образец

Бросают кубик: 1 или 2 — шар берут из урны I (3 белых, 1 чёрный), иначе — из урны II (1 белый, 3 чёрных). $P (белый)$ ?

$P (I) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P (II) = \frac{2}{3}$ первый уровень

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} =$ $\frac{5}{12}$ сумма двух путей

Сам

Тот же опыт: $P (чёрный)$ $\frac{7}{12}$
В урне I 2 белых и 1 чёрный, в урне II 2 белых и 3 чёрных. Из I во II переложили шар, потом из II взяли шар. $P (белый)$ $\frac{4}{9}$
Дождь — $0, 3$ . В дождь автобус опаздывает с $p = 0, 4$ , без дождя — $0, 1$ . $P (опоздает)$ $0, 19$

R08.3

Теория · обратная задача по дереву

Деталь бракованная. От какого она поставщика?

Известно: случилось $B$ (брак). Найти $P (H_{3} ∣ B)$ .

P (H ∣ B) = \frac{P ( путь H \to B )}{P ( B )}

$P (H_{3} ∣ B) = \frac{0 , 010}{0 , 021} = \frac{10}{21} \approx 0, 48$

Доля поставщика 3 —

20 %

, а среди брака — почти половина.

2 мин · теория
Обратная задача: результат опыта известен (деталь бракованная), спрашивают о первом шаге. По определению условной вероятности (VIS8U-026) P(H₃|B) = P(H₃∩B)/P(B). Числитель — вероятность одного пути H₃→Б (0,2·0,05 = 0,010), знаменатель — сумма всех путей к Б (0,021, сл. 9).
Ответ 10/21 ≈ 0,476. Аналогично P(H₁|B) = 5/21, P(H₂|B) = 6/21 = 2/7; сумма 21/21 = 1 — среди бракованных деталей каждая от кого-то из поставщиков.
Вопрос классу: что больше — P(Б|H₃) или P(H₃|Б)? (0,05 и ≈ 0,48 — это разные вероятности, их нельзя путать; эта ошибка — на сл. 15.) Название «формула Байеса» можно произнести, но не требовать.

R08.3

Образец → сам · обратная задача

Известен результат — ищем «причину»

Образец

Опыт со сл. 10: кубик, урны I и II. Шар оказался белым. Найдите $P (из урны I ∣ белый)$ .

путь I→Б: $\frac{1}{4}$ ; все пути к Б: $\frac{5}{12}$ сл. 10

$\frac{1}{4} : \frac{5}{12} = \frac{12}{20} =$ $\frac{3}{5}$ доля пути

Сам

Поставщики (сл. 9): $P (H_{1} ∣ брак)$ $\frac{5}{21}$
Автобус (сл. 10) опоздал. $P (был дождь)$ $\frac{12}{19}$
Опыт со сл. 10: шар чёрный. $P (из урны II)$ $\frac{6}{7}$

R08.3

Образец → сам · задача из жизни · медицинский тест

Тест положительный. Насколько вероятна болезнь?

Образец

Болен $1 %$ людей. Тест у больного положителен с $p = 0, 9$ , у здорового — ошибочно с $p = 0, 05$ . $P (болен ∣ +)$ ?

$P (+) = 0, 009 + 0, 0495 = 0, 0585$ два пути к «+»

$\frac{0 , 009}{0 , 0585} = \frac{2}{13} \approx$ $0, 15$ доля пути

Сам

Тот же тест: $P (результат отрицательный)$ $0, 9415$
Если больны $10 %$ : $P (болен ∣ +)$ $\frac{2}{3}$
Тест (больны $1 %$ ) прошли $10000$ человек. Сколько получат «+» в среднем? $585$

2,5 мин · практика
Образец: Б — болен (0,01), З — здоров (0,99). Пути к «+»: 0,01·0,9 = 0,009 и 0,99·0,05 = 0,0495; P(+) = 0,0585. P(болен|+) = 0,009/0,0585 = 90/585 = 2/13 ≈ 0,154. Неожиданно мало: здоровых так много, что ложные «+» среди них встречаются чаще настоящих.
1) 1 − 0,0585 = 0,9415 (или 0,01·0,1 + 0,99·0,95 = 0,001 + 0,9405). 2) 0,1·0,9 = 0,09; 0,9·0,05 = 0,045; 0,09/0,135 = 2/3. 3) 10 000·0,0585 = 585 (из них больных лишь около 90).
Вывод для жизни: положительный тест на редкую болезнь — повод для повторного обследования, а не диагноз. Повторный тест — в ДЗ (сл. 21).

R08.3

Теория · сводка · решаем по дереву

Четыре правила дерева

1. Шаги опыта — уровни; на рёбрах — условные вероятности, из вершины в сумме $1$ .

2. Путь: произведение. 3. Событие: сумма его путей.

4. $P (A ∣ B)$ = нужный путь : все пути к $B$ .

Проверка: сумма по всем листьям

= 1

; ответ

\in [0; 1]

R08.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

2 белых и 3 чёрных, берут два: $P (оба белые)$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

Без возвращения: на втором шаге — $P (Б_{2} ∣ Б_{1})$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

Брак $1 %$ , $2 %$ , $5 %$ при долях $0, 5; 0, 3; 0, 2$

$\frac{1 + 2 + 5}{3} \approx 2, 7 %$

Без весов: доли поставщиков разные.

$0, 021 = 2, 1 %$

Тест у больного «+» с $p = 0, 9$ . $P (болен ∣ +)$ ?

$0, 9$

Перепутаны $P (+ ∣ Б)$ и $P (Б ∣ +)$ .

путь : все пути $\approx 0, 15$

1,5 мин · практика
Ученики сначала сами говорят, что неверно, потом открываем объяснение и верный ответ.
1) Шары не возвращают: после белого осталось 1 белый из 4. Верно 2/5·1/4 = 2/20 = 1/10. 2) Среднее арифметическое без весов: верно 0,5·0,01 + 0,3·0,02 + 0,2·0,05 = 0,021. 3) На ребре написана P(+|болен) = 0,9, а спрашивают P(болен|+) = 0,009/0,0585 = 2/13 ≈ 0,15 (сл. 13).
Ещё ошибки, о которых сказать устно: из вершины сумма на рёбрах не равна 1 (забыли ветку); в событии «ровно одно» взяли один путь вместо всех; ответ больше 1 — сложили вероятности, которые надо было перемножить.

R08.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

Монета: орёл — шар из урны (2 белых, 2 чёрных), решка — из урны (1 белый, 3 чёрных). Шар белый. $P (орёл ∣ белый)$ ?

1) $P (Б) = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

2) $P (О и Б) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

3) $P (О ∣ Б) = \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{1}{3}$

Ошибка в 1): пути не умножены на $\frac{1}{2}$ .

$P (Б) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ ; $\frac{1}{4} : \frac{3}{8} = \frac{2}{3}$

2 мин · практика
Дать 1 минуту найти ошибку в парах. На дереве вероятности путей к белому открываются по клику: 1/2·2/4 = 1/4 и 1/2·1/4 = 1/8.
Ошибка в шаге 1: ученик сложил вероятности на рёбрах второго уровня (условные), не умножив их на вероятность первого шага. Верно P(Б) = 1/4 + 1/8 = 3/8. Шаг 2 верный. Шаг 3 по формуле верный, но с неверным знаменателем: верно (1/4)/(3/8) = 2/3.
Вопрос классу: как можно было заметить ошибку без пересчёта? (P(Б) = 3/4 больше, чем вероятность белого в каждой из урн — 1/2 и 1/4; смесь урн не может дать больше, чем лучшая урна.)

R08.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

1. Монету бросают 3 раза. $P (орёл ровно один раз)$ $\frac{3}{8}$

2. 3 белых и 2 чёрных шара; вынимают три, не возвращая. $P (все белые)$ $\frac{1}{10}$

3. $P (A) = 0, 4$ , $P (B ∣ A) = 0, 3$ , $P (B ∣ \overline{A}) = 0, 6$ . Найдите $P (B)$ . $0, 48$

4. Стрелок стреляет до первого попадания, не более 3 раз, $p = 0, 8$ . $P (ровно 2 выстрела)$ $0, 16$

R08.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

1. 4 белых и 2 чёрных шара; вынимают три, не возвращая. $P (ровно один чёрный)$ $\frac{3}{5}$

2. Матч до двух побед, A выигрывает партию с $p = 0, 6$ , ничьих нет. $P (победит B)$ $0, 352$

3. Урну выбирают наугад: I — 3 белых, 1 чёрный; II — 1 белый, 1 чёрный. Вынули белый. $P (урна I)$ $\frac{3}{5}$

4. Ученик знает $60 %$ билетов: знает — сдаёт с $p = 0, 9$ , нет — с $p = 0, 25$ . Сдал. $P (знал)$ $\frac{27}{32}$

R08.3

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

В магазине два платёжных терминала. Каждый неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого. Найдите вероятность, что хотя бы один исправен.

Ответ: $0, 9975$

Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням, $p = 0, 8$ . Найдите вероятность, что первые 3 раза он попал, а последние 2 — промахнулся.

Ответ: $0, 02048$

$5 %$ изделий с дефектом. Контроль бракует дефектное изделие с вероятностью $0, 8$ , исправное — ошибочно с $0, 1$ . Найдите вероятность, что изделие забракуют.

Ответ: $0, 135$

R08.3

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Монету бросают 3 раза: $P (ровно две решки)$ $\frac{3}{8}$
3 белых и 3 чёрных шара, вынимают два: $P (оба чёрные)$ $\frac{1}{5}$
$P (A) = 0, 3$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ , $P (B ∣ \overline{A}) = 0, 2$ . $P (B)$ ? $0, 29$
В условиях задачи 3 найдите $P (A ∣ B)$ . $\frac{15}{29}$

Вариант 2

Монету бросают 3 раза: $P (хотя бы одна решка)$ $\frac{7}{8}$
4 белых и 2 чёрных шара, вынимают два: $P (оба белые)$ $\frac{2}{5}$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ , $P (B ∣ \overline{A}) = 0, 25$ . $P (B)$ ? $0, 4$
В условиях задачи 3 найдите $P (A ∣ B)$ . $\frac{3}{4}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что написано на ребре второго уровня?
Когда дерево усечённое?
Чем $P (B ∣ A)$ отличается от $P (A ∣ B)$ ?

Домашнее задание

Поставщики (сл. 9): $P (H_{2} ∣ брак)$
Экзамен (сл. 8): $P (сдал с 1- й попытки ∣ сдал)$
* Тест (сл. 13) повторили, снова «+»: $P (болен)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_uslovnaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-027 · Представление случайного эксперимента в виде дерева

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события», 5 ч · урок 3/5 · тип Н
Единицы → слайды	R08.3 «Представление случайного эксперимента в виде дерева» → 2, 4–21 · опора на R08.1–R08.2 (правило умножения, условная вероятность; VIS8U-025, VIS8U-026) → 3, 5, 11, 12
Результаты	ПР-6 (правило умножения, дерево случайного опыта) → 2, 4–21 · ПР-4 (дерево, вершины и рёбра) → 4, 7, 14 · ПР-2 (вероятности событий) → 3, 6, 17–20
Вне урока	независимые события как понятие — VIS8U-028; название «формула Байеса» не требуется (обратная задача — счётом по дереву)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Представление случайного эксперимента в виде дерева

Сегодня вы научитесь

Строить дерево опыта

Считать по дереву

Применять формулу полной вероятности

Решать обратную задачу

Умножение вероятностей и условная вероятность

Правила

Вычислите

Шаг опыта — уровень дерева

Вдоль пути — умножаем, пути события — складываем

Три независимых шага — 8 путей

Образец

Сам · тот же стрелок

Опыт может закончиться раньше

Вероятности меняются от шага к шагу

Образец

Сам

Брак от трёх поставщиков

Сначала «условие», потом — событие

Образец

Сам

Деталь бракованная. От какого она поставщика?

Известен результат — ищем «причину»

Образец

Сам

Тест положительный. Насколько вероятна болезнь?

Образец

Сам

Четыре правила дерева

Неверно → почему → верно

2 белых и 3 чёрных, берут два: P(оба белые)

Брак 1%, 2%, 5% при долях 0,5; 0,3; 0,2

Тест у больного «+» с p=0,9. P(болен∣+)?

Где ошибся ученик?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-027 · Представление случайного эксперимента в виде дерева

2 белых и 3 чёрных, берут два: $P (оба белые)$

Брак $1 %$ , $2 %$ , $5 %$ при долях $0, 5; 0, 3; 0, 2$

Тест у больного «+» с $p = 0, 9$ . $P (болен ∣ +)$ ?