Условная вероятность и умножение вероятностей · урок 2 из 5

Условная вероятность

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS8U-026

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события» (5 ч), урок 2/5, единица R08.2 «Условная вероятность». Тип урока — Н. Опора: правило умножения вероятностей (VIS8U-025), операции над событиями и формула сложения (VIS8U-023, VIS8U-024), таблица исходов двух кубиков. Следующий урок (VIS8U-027) — дерево случайного эксперимента; сегодня деревьев не строим — работаем с таблицами исходов, таблицами 2×2 и «цепочками» состава урны. Независимые события — VIS8U-028.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 1 · сл. 2 (цели) 1 · 4 (условие сужает исходы) 2,5 · 5 (определение и вывод формулы) 2 · 7 (свойства, доказательство) 1,5 · 9 (таблица 2×2, учитель решает сам) 2 · 11 (правило умножения, цепочка из трёх событий) 2 · 14 (итоговая сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2,5 · самопроверка, база (сл. 17) 3,5 · повышенный уровень (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Углублённый уровень по сравнению с базовым (VIS8-026): вывод формулы, свойства условной вероятности с доказательством, цепочка $P (A \cap B \cap C)$ , «обратная» условная вероятность по таблице частот (тест, брак со станков), обратные задачи по формуле.
Если не успеваете: задание 3 сл. 13 и задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.
Титул: таблица двух кубиков; бирюзовые клетки — условие «сумма не меньше 10», розовые — дубли внутри условия (пример сл. 4).

R08.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить $P (B ∣ A)$

сужая множество элементарных исходов до $A$ (ПР-2)

Выводить и применять формулу

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ и свойства условной вероятности (ПР-5, ПР-6)

Считать по таблице $2 \times 2$

и отличать $P (B ∣ A)$ от $P (A ∣ B)$ (ПР-2, ПР-5)

Умножать по цепочке

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ — выбор без возвращения (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-2: «Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, иметь понятие о случайном выборе». ПР-5: «Оперировать понятием события как множества элементарных событий случайного опыта, выполнять операции над событиями, использовать при решении задач диаграммы Эйлера, числовую прямую, применять формулу сложения вероятностей». ПР-6: «Пользоваться правилом умножения вероятностей, использовать дерево для представления случайного опыта при решении задач. Оперировать понятием независимости событий».
Из характеристики деятельности строки R08: «Осваивать понятия: правило умножения вероятностей, условная вероятность, независимые события, дерево случайного опыта».

повторение: VIS8U-024, VIS8U-025

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

$P (A) = 0, 7$ . $P (\overline{A})$ ? $0, 3$
$0, 12 : 0, 4$ $0, 3$
$0, 6 \cdot 0, 25$ $0, 15$
$\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7}$ $\frac{3}{28}$

Два кубика: сколько исходов? $36$
Сумма не меньше $10$ — сколько исходов? $6$
$A$ , $B$ несовместны, $0, 2$ и $0, 5$ : $P (A \cup B)$ $0, 7$
$30$ учеников, $12$ девочек: доля девочек $0, 4$

2 мин · практика
Ответы (по клику): 1) 1 − 0,7 = 0,3. 2) 0,12 : 0,4 = 0,3 — так будем считать условную вероятность (сл. 5). 3) 0,6 · 0,25 = 0,15. 4) 3/8 · 2/7 = 6/56 = 3/28 — правило умножения при выборе без возвращения (VIS8U-025). 5) 6 · 6 = 36. 6) (4; 6), (5; 5), (6; 4), (5; 6), (6; 5), (6; 6) — 6 исходов: это и будет условие на сл. 4. 7) Несовместны — складываем: 0,7. 8) 12/30 = 0,4.
Мостик к теме: «доля девочек среди учеников» — доля внутри части, а не всего множества. Условная вероятность — тоже доля внутри известной части.

R08.2

Теория · условие сужает множество исходов

Бросили два кубика. Сообщили: сумма не меньше $10$

$P (дубль) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ без условия

известно $A$ : осталось $6$ исходов новое $Ω$

дублей среди них $2$ : $P (дубль ∣ A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Условная вероятность $P (B ∣ A)$ — вероятность $B$ при условии, что $A$ произошло

2,5 мин · теория
Без дополнительной информации 36 исходов равновозможны, дублей 6 (диагональ): P = 1/6. Учитель «подсматривает» и сообщает: сумма не меньше 10. По клику выделяются 6 клеток события A — (4; 6), (5; 5), (6; 4), (5; 6), (6; 5), (6; 6); остальные 30 исходов больше невозможны, а оставшиеся 6 по-прежнему равновозможны. По второму клику — дубли внутри A: (5; 5) и (6; 6). Вероятность выросла с 1/6 до 1/3.
Запись P(B | A) читается «вероятность B при условии A». Вертикальная черта — не деление!
Вопрос классу: а если сообщили «сумма равна 7»? (6 клеток, дублей нет: P(дубль | сумма 7) = 0 — события несовместны.) А «сумма чётна»? (18 клеток, все 6 дублей внутри: 6/18 = 1/3.)

R08.2

Теория · определение и вывод формулы

Какую долю от $A$ занимает $A \cap B$

равновозможные: $P (B ∣ A) = \frac{N ( A \cap B )}{N ( A )}$

$= \frac{N ( A \cap B ) : N}{N ( A ) : N} = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ делим на $N$

Определение: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , $P (A) > 0$

кубики: $\frac{2/36}{6/36} = \frac{1}{3}$ как на сл. 4

2 мин · теория
Условие A делает A новым множеством всех исходов (по клику всё вне A бледнеет). Из события B остаётся только то, что лежит в A, — пересечение A ∩ B. При равновозможных исходах условная вероятность — отношение чисел исходов N(A ∩ B) : N(A).
Вывод: делим числитель и знаменатель на N — число всех исходов. Получаем отношение вероятностей. Эту формулу принимают за определение условной вероятности в любом опыте, а не только с равновозможными исходами. Условие P(A) > 0: при невозможном A условие не имеет смысла, делить на 0 нельзя.
Проверка на кубиках: P(A ∩ B) = 2/36, P(A) = 6/36, отношение 1/3 — совпадает со сл. 4.
Вопрос: может ли условная вероятность быть меньше безусловной? (Да: P(дубль | сумма 7) = 0 < 1/6.)

R08.2

Образец → сам · таблица исходов двух кубиков

Условие — часть таблицы $6 \times 6$

Образец: известно, что хотя бы на одном кубике выпала $6$ . Найдите вероятность, что сумма не меньше $10$ .

$N (A) = 6 + 6 - 1 = 11$ $(6; 6)$ — один раз

$A \cap B$ : $(4; 6), (6; 4), (5; 6), (6; 5), (6; 6)$ $5$

$P = \frac{5}{11}$ $\frac{N ( A \cap B )}{N ( A )}$

Сам: сумма равна $6$ . На 1-м кубике чётное? $0, 4$
Сам: на 1-м кубике $3$ . Сумма больше $7$ ? $\frac{1}{3}$
Сам: выпал не дубль. Сумма равна $7$ ? $0, 2$

2,5 мин · практика
Образец: по клику выделяются строка и столбец «6» — 11 клеток (клетка (6; 6) общая, её не считаем дважды — формула включения-исключения 6 + 6 − 1). Затем розовым — клетки с суммой ≥ 10 внутри A: 5 штук. Ответ 5/11 (без условия было бы 6/36 = 1/6).
1) Сумма 6: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1) — 5 исходов; на первом чётное — (2; 4), (4; 2): 2/5 = 0,4. 2) Строка «3»: 6 исходов, сумма больше 7 при втором 5 или 6: 2/6 = 1/3. 3) Не дубль — 30 клеток, сумма 7 — 6 клеток, все не дубли: 6/30 = 0,2. Проверено перебором (python, itertools).
Частая ошибка в образце — N(A) = 12 (дважды посчитан (6; 6)).

R08.2

Теория · свойства условной вероятности

При фиксированном $A$ — как обычная вероятность

$0 \leq P (B ∣ A) \leq 1$ , $P (A ∣ A) = 1$

$A \subset B \Rightarrow P (B ∣ A) = 1$ ; $A \cap B = \emptyset \Rightarrow 0$

делим на $P (A)$ : $P (B ∣ A) + P (\overline{B} ∣ A) = 1$

$P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A)$

B

,

C

несовместны

\Rightarrow

P (B \cup C ∣ A) = P (B ∣ A) + P (C ∣ A)

1,5 мин · теория
Свойства 1–2: A ∩ B ⊂ A, значит 0 ≤ P(A ∩ B) ≤ P(A) и отношение между 0 и 1. Если A ⊂ B, то A ∩ B = A и дробь равна 1 (известно «сумма ≥ 10» — тогда «сумма ≥ 8» наверняка). Если A и B несовместны, A ∩ B = ∅ и дробь равна 0.
Доказательство свойства противоположного события (по клику — строка под диаграммой): A разбито на две несовместные части A ∩ B и A ∩ B̄, по формуле сложения их вероятности в сумме дают P(A). Делим обе части на P(A) > 0 — получаем P(B | A) + P(B̄ | A) = 1. Аналогично для несовместных B и C: (B ∪ C) ∩ A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) — несовместные части.
Вывод: условная вероятность при фиксированном A — «обычная» вероятность в новом опыте с Ω = A; все правила (противоположное, сложение) работают. Но условие нельзя «переворачивать»: P(B | A) и P(A | B) — разные числа (сл. 9).

R08.2

Образец → сам · формула и обратные задачи

Вероятности на диаграмме Эйлера

Образец: $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cup B) = 0, 7$ . Найдите $P (B ∣ A)$ и $P (A ∣ B)$ .

$P (A \cap B) = 0, 5 + 0, 4 - 0, 7 = 0, 2$ формула сложения

$P (B ∣ A) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ , $P (A ∣ B) = \frac{0 , 2}{0 , 4} = 0, 5$

Сам: $P (A) = 0, 8$ , $P (\overline{B} ∣ A) = 0, 25$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 6$
Сам: $P (A \cap B) = 0, 12$ , $P (B ∣ A) = 0, 3$ . $P (A)$ ? $0, 4$
Сам: $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 9$ . $P (B ∣ A)$ ? $\frac{1}{3}$

2,5 мин · практика
Образец: сначала из формулы сложения P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) находим пересечение 0,2 (по клику — розовая линза). Затем по клику — вероятности остальных областей: только A 0,5 − 0,2 = 0,3, только B 0,4 − 0,2 = 0,2, вне обоих 1 − 0,7 = 0,3 (сумма 1). Условные: 0,2 : 0,5 = 0,4 и 0,2 : 0,4 = 0,5 — разные числа.
1) P(B | A) = 1 − 0,25 = 0,75 (свойство сл. 7), P(A ∩ B) = 0,8 · 0,75 = 0,6. 2) Обратная задача: P(A) = P(A ∩ B) : P(B | A) = 0,12 : 0,3 = 0,4. 3) P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 − 0,9 = 0,2; P(B | A) = 0,2 : 0,6 = 1/3 (≈ 0,33, конечной десятичной нет).
Вопрос: P(A | B)? в задании 3 (0,2 : 0,5 = 0,4).

R08.2

Теория · демонстрационный пример · таблица 2×2

$200$ зрителей кинотеатра: кто купил попкорн

$P (П) = \frac{90}{200} = 0, 45$ без условия

выбран ребёнок — строка: $P (П ∣ Д) = \frac{60}{80} = 0, 75$

купил попкорн — столбец: $P (Д ∣ П) = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$

P (П ∣ Д) \neq = P (Д ∣ П)

: в знаменателе — то, что известно.

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Зрителя выбирают наугад. П — «купил попкорн», Д — «ребёнок». Из 80 детей попкорн купили 60, из 120 взрослых — 30; всего покупателей 90.
Известно, что выбран ребёнок: новое множество исходов — строка «дети» (80 человек), покупателей в ней 60: P(П | Д) = 60/80 = 0,75. Известно, что зритель купил попкорн: столбец «попкорн» (90 человек), детей 60: P(Д | П) = 60/90 = 2/3 ≈ 0,67. Числитель одинаковый (60 — пересечение), знаменатели разные.
Через формулу: P(Д ∩ П) = 60/200 = 0,3, P(Д) = 80/200 = 0,4: 0,3 : 0,4 = 0,75 ✓.
Вопрос: P(П | взрослый)? (30/120 = 0,25 — у детей доля покупателей втрое выше.) P(не П | Д)? (20/80 = 0,25 = 1 − 0,75 — свойство сл. 7.)

R08.2

Образец → сам · таблица 2×2 с пропусками

$50$ учеников: $28$ девочек; в кружке $20$ , из них $12$ девочек

Образец: выбрали ученика наугад. Найдите $P (К ∣ М)$ и $P (М ∣ К)$ .

достраиваем таблицу итоги строк и столбцов

$P (К ∣ М) = \frac{8}{22} = \frac{4}{11}$ строка М

$P (М ∣ К) = \frac{8}{20} = 0, 4$ столбец К

Сам: $P (К ∣ Д)$ $\frac{3}{7}$
Сам: $P (Д ∣ \overline{К})$ $\frac{8}{15}$
Сам: $P (\overline{К} ∣ М)$ $\frac{7}{11}$

2,5 мин · практика
Образец: в таблице даны 28, 50, 20 и 12; по клику достраиваем (жёлтые клетки): девочек не в кружке 28 − 12 = 16; мальчиков 50 − 28 = 22; мальчиков в кружке 20 − 12 = 8; мальчиков не в кружке 22 − 8 = 14; не в кружке всего 50 − 20 = 30. Затем условные вероятности: в знаменателе итог той строки или столбца, которое известно.
1) Строка «девочки»: 12/28 = 3/7. 2) Столбец «нет»: девочек 16 из 30 — 8/15. 3) Строка «мальчики»: 14/22 = 7/11 = 1 − 4/11 (свойство противоположного события). Проверено (python, fractions).
Вопрос: P(К) = 20/50 = 0,4; P(К | М) = 4/11 ≈ 0,36 < 0,4 < P(К | Д) ≈ 0,43 — безусловная вероятность лежит между условными.

R08.2 · R08.1

Теория · правило умножения и цепочка событий

Из определения — правило умножения

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

$P (б_{2} ∣ б_{1}) = \frac{3}{5}$ состав урны изменился

$P (A \cap B \cap C) =$
$P (A) \cdot P (B ∣ A) \cdot P (C ∣ A \cap B)$

2 мин · теория
Умножаем определение P(B | A) = P(A ∩ B) : P(A) на P(A) — получаем правило умножения из прошлого урока (VIS8U-025) в общем виде. Оно удобно, когда условную вероятность легко найти «по смыслу»: после первого белого шара в урне 3 белых и 2 чёрных, значит P(б₂ | б₁) = 3/5 без всяких формул.
Пример (по клику — состояния урны): 4 белых, 2 чёрных, вынимают два шара без возвращения. P(оба белые) = 4/6 · 3/5 = 12/30 = 2/5. Проверка перебором: пар (упорядоченных) 6 · 5 = 30, белых пар 4 · 3 = 12 — 12/30 ✓.
Цепочка из трёх событий: P(A ∩ B ∩ C) = P(A ∩ B) · P(C | A ∩ B) = P(A) · P(B | A) · P(C | A ∩ B). Третий шар белый при двух белых до этого: 2/4, итого 4/6 · 3/5 · 2/4 = 1/5. На следующем уроке (VIS8U-027) эти множители станут ветками дерева.

R08.2 · R08.1

Образец → сам · выбор без возвращения

Цепочка: каждый множитель — условная вероятность

Образец: из $10$ лампочек $3$ бракованные. Берут наугад три. Найдите вероятность, что все исправны.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8}$ после каждой — новый состав

$= \frac{210}{720} = \frac{7}{24}$ $\approx 0, 29$

Сам: $5$ красных, $3$ синих; берут два. Оба синие? $\frac{3}{28}$
Сам: из $20$ билетов $15$ выучены; берут два. Оба выучены? $\frac{21}{38}$
Сам: $5$ красных, $3$ синих; по очереди три: к, к, с $\frac{5}{28}$

R08.2

Образец → сам · обратная условная вероятность

Положительный тест — значит, болен?

Образец: болеют $2 %$ людей. Тест находит болезнь у $90 %$ больных и ошибочно — у $5 %$ здоровых. Тест положителен. Найдите вероятность болезни.

на $1000$ : $18$ и $0, 05 \cdot 980 = 49$ «тест +»

$P (Б ∣ +) = \frac{18}{67} \approx 0, 27$ столбец «+»

Сам: станок I даёт $60 %$ деталей, брак $2 %$ ; станок II — $40 %$ , брак $5 %$ . $P (брак)$ $0, 032$
Сам: деталь — брак. Со станка II? $0, 625$
Сам: $40 %$ ходят на подготовку, из них $90 %$ сдают на «4–5», из остальных $60 %$ . Сдал на «4–5» — ходил? $0, 5$

2,5 мин · практика
Образец: удобно перейти к «частотам» — представить 1000 человек. Больных 20, из них тест положителен у 0,9 · 20 = 18 (и отрицателен у 2); здоровых 980, ошибочно положителен у 0,05 · 980 = 49 (отрицателен у 931). По клику — заполнение таблицы и столбец «тест +»: 67 человек, из них больных 18. P(Б | +) = 18/67 ≈ 0,27 — всего около четверти! Хотя P(+ | Б) = 0,9. Снова: условие нельзя переворачивать.
1) На 1000 деталей: станок I 600, брак 12; станок II 400, брак 20; всего брака 32: 32/1000 = 0,032. 2) Из 32 бракованных 20 со станка II: 20/32 = 0,625. 3) На 100 учеников: ходили 40, сдали 36; не ходили 60, сдали 36; всего сдали 72; P = 36/72 = 0,5. Проверено (python, fractions).
Это «обратная» условная вероятность (в старших классах — формула Байеса). Сегодня — только таблицей частот; формулу полной вероятности получим деревом на следующем уроке.

R08.2

Теория · итоговая сводка

Как найти условную вероятность

Что дано	Как считать	Помни
Равновозможные исходы	$P (B ∣ A) = \frac{N ( A \cap B )}{N ( A )}$	$A$ — новое $Ω$
Вероятности событий	$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$	$P (A) > 0$
Таблица $2 \times 2$	клетка : итог строки (столбца) условия	$P (B ∣ A) \neq = P (A ∣ B)$
Нужно $P (A \cap B)$	$P (A) \cdot P (B ∣ A)$ , цепочка	без возвращения — новый состав
Противоположное	$P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A)$	условие то же

R08.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ловушки условной вероятности

Неверно	Почему	Верно
$P (Д ∣ П) = \frac{60}{80}$	условие — «купил попкорн», делить на него	$\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$
$P (дубль ∣ сумма \geq 10) = \frac{2}{36}$	это $P (A \cap B)$ , а не условная	$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$3$ синих из $8$ , два: $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8}$	без возвращения состав меняется	$\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{28}$

1,5 мин · практика
Ученики сначала сами объясняют, почему левый столбец неверен (по строке, 30 секунд на каждую), затем учитель показывает правильный ответ.
1) Перевёрнутое условие: 60/80 — это P(П | Д). 2) Делили на все 36 исходов, а условие оставляет только 6. 3) Выбор без возвращения: после первого синего осталось 2 синих из 7.
Ещё одна ошибка — «условная вероятность больше 1»: бывает, когда в знаменатель ставят пересечение, а в числитель — условие. Проверка: ответ всегда в [0; 1].

R08.2

Найди ошибку

Два кубика: известно, что сумма очков чётная

Найдите $P (оба чётные ∣ сумма чётна)$ и $P (сумма чётна ∣ оба чётные)$ .

1) чётная сумма: $18$ исходов

2) оба чётные: $3 \cdot 3 = 9$ исходов

3) $P = \frac{9}{36} = 0, 25$

4) вторая — тоже $0, 25$ : условие можно переставить

Исправление

3) делим на $18$ : $\frac{9}{18} = 0, 5$

4) $\frac{9}{9} = 1$

«оба чётные» $\subset$ «сумма чётна»; переставлять условие нельзя

2,5 мин · практика
Шаги 1–2 верны: сумма чётна, когда оба числа одной чётности: 9 + 9 = 18 исходов; оба чётные — 3 · 3 = 9. Ошибка в шаге 3: делили на все 36 исходов — получили P(A ∩ B), а условие оставляет 18: 9/18 = 0,5.
Ошибка в шаге 4: P(B | A) ≠ P(A | B) в общем случае. Если оба числа чётные, сумма чётна наверняка: событие «оба чётные» содержится в «сумма чётна», по свойству (сл. 7) P = 1. Проверено перебором (python).
Сначала 1 минута поиска в парах, затем открыть исправление по клику.

R08.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Сужаем исходы

Кубик; выпало больше $2$ . Выпало $5$ ? $0, 25$
Число $1$ – $20$ кратно $4$ . Кратно $3$ ? $0, 2$
Двузначное число оканчивается на $5$ . Больше $50$ ? $\frac{5}{9}$
Две монеты; первая — орёл. Обе орлы? $0, 5$

Формула и цепочка

$P (A) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (B ∣ A)$ $0, 4$
$P (A) = 0, 7$ , $P (B ∣ A) = 0, 4$ . $P (A \cap B)$ $0, 28$
$P (B ∣ A) = 0, 35$ . $P (\overline{B} ∣ A)$ $0, 65$
$6$ белых и $4$ чёрных, берут два: оба чёрные $\frac{2}{15}$

R08.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

Два кубика; произведение очков чётно. Найдите вероятность, что сумма чётна $\frac{1}{3}$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (B ∣ A) = 0, 6$ . Найдите $P (A ∣ B)$ $0, 48$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ , $P (A ∣ B) = 0, 5$ . Найдите $P (A \cup B)$ $0, 8$
$3$ белых и $2$ чёрных шара; вынимают по одному, пока не появится чёрный. Найдите вероятность, что чёрный — третий $0, 2$

R08.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичная дробь

1. В классе $21$ учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на $7$ равных групп. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе. $0, 1$

2. В торговом центре два кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0, 3$ ; что закончится в обоих — $0, 12$ . Известно, что в первом кофе закончился. Найдите вероятность, что и во втором. $0, 4$

3. На экзамене $16$ билетов, Коля выучил $12$ . Он берёт наугад два билета подряд. Найдите вероятность того, что Коля знает оба билета. $0, 55$

Условие — сужает: «известно, что…» идёт в знаменатель.

R08.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик; выпало нечётное. Меньше $4$ ? $\frac{2}{3}$
$P (A) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 15$ . $P (B ∣ A)$ $0, 25$
$5$ белых, $3$ чёрных; берут два: оба белые $\frac{5}{14}$
$40$ человек, $25$ девочек; в хоре $10$ девочек и $5$ мальчиков. Выбрали хориста: девочка? $\frac{2}{3}$

Вариант 2

Кубик; выпало чётное. Больше $3$ ? $\frac{2}{3}$
$P (A) = 0, 8$ , $P (A \cap B) = 0, 6$ . $P (B ∣ A)$ $0, 75$
$4$ белых, $3$ чёрных; берут два: оба чёрные $\frac{1}{7}$
$30$ человек, $18$ мальчиков; в секции $9$ мальчиков и $6$ девочек. Выбрали из секции: мальчик? $0, 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что меняет условие «известно, что $A$ »?
Почему $P (B ∣ A)$ и $P (A ∣ B)$ различаются?
Откуда берётся правило умножения?

Домашнее задание

Два кубика, числа разные. Сумма равна $4$ ?
$P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 12$ : $P (A ∣ B)$ , $P (B ∣ A)$ , $P (\overline{B} ∣ A)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_uslovnaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-026 · Условная вероятность

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R08 «Условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события», 5 ч · урок 2/5 · тип Н
Единицы → слайды	R08.2 «Условная вероятность» → 2, 4–21 · R08.1 «Правило умножения вероятностей» (повторение) → 3, 11, 12, 17–20
Результаты	ПР-2 (вероятности, случайный выбор) → 3–6, 9, 10, 13, 16–20 · ПР-5 (события как множества, диаграммы Эйлера, формула сложения) → 5, 7, 8, 18 · ПР-6 (правило умножения) → 11, 12, 17–20
Вне урока	правило умножения вероятностей — VIS8U-025; дерево случайного эксперимента — VIS8U-027; независимые события — VIS8U-028
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Условная вероятность

Сегодня вы научитесь

Находить P(B∣A)

Выводить и применять формулу

Считать по таблице 2×2

Умножать по цепочке

Восемь быстрых вопросов

Бросили два кубика. Сообщили: сумма не меньше 10

Какую долю от A занимает A∩B

Условие — часть таблицы 6×6

Образец: известно, что хотя бы на одном кубике выпала 6. Найдите вероятность, что сумма не меньше 10.

При фиксированном A — как обычная вероятность

Вероятности на диаграмме Эйлера

Образец: P(A)=0,5, P(B)=0,4, P(A∪B)=0,7. Найдите P(B∣A) и P(A∣B).

200 зрителей кинотеатра: кто купил попкорн

50 учеников: 28 девочек; в кружке 20, из них 12 девочек

Образец: выбрали ученика наугад. Найдите P(К∣М) и P(М∣К).

Из определения — правило умножения

Цепочка: каждый множитель — условная вероятность

Образец: из 10 лампочек 3 бракованные. Берут наугад три. Найдите вероятность, что все исправны.

Положительный тест — значит, болен?

Образец: болеют 2% людей. Тест находит болезнь у 90% больных и ошибочно — у 5% здоровых. Тест положителен. Найдите вероятность болезни.

Как найти условную вероятность

Три ловушки условной вероятности

Два кубика: известно, что сумма очков чётная

Исправление

Решите и проверьте

Сужаем исходы

Формула и цепочка

Подумайте и решите

Ответ — десятичная дробь

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-026 · Условная вероятность

Находить $P (B ∣ A)$

Считать по таблице $2 \times 2$

Бросили два кубика. Сообщили: сумма не меньше $10$

Какую долю от $A$ занимает $A \cap B$

Условие — часть таблицы $6 \times 6$

Образец: известно, что хотя бы на одном кубике выпала $6$ . Найдите вероятность, что сумма не меньше $10$ .

При фиксированном $A$ — как обычная вероятность

Образец: $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cup B) = 0, 7$ . Найдите $P (B ∣ A)$ и $P (A ∣ B)$ .

$200$ зрителей кинотеатра: кто купил попкорн

$50$ учеников: $28$ девочек; в кружке $20$ , из них $12$ девочек

Образец: выбрали ученика наугад. Найдите $P (К ∣ М)$ и $P (М ∣ К)$ .

Образец: из $10$ лампочек $3$ бракованные. Берут наугад три. Найдите вероятность, что все исправны.

Образец: болеют $2 %$ людей. Тест находит болезнь у $90 %$ больных и ошибочно — у $5 %$ здоровых. Тест положителен. Найдите вероятность болезни.