Операции над случайными событиями · урок 3 из 3 · новый материал

Формула сложения вероятностей

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS8U-024

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Операции над случайными событиями. Сложение вероятностей» (3 ч), урок 3/3, единица R07.4 «Формула сложения вероятностей». Тип урока — Н. Опора: события как множества элементарных событий, противоположное событие (VIS8U-022), объединение, пересечение, несовместные события (VIS8U-023).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сложение несовместных, обоснование) 2 · 6 (вывод общей формулы) 3 · 8 (числовая прямая, пример учителя) 2,5 · 11 (формула для трёх событий) 2 · 20 (итоговая сводка) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12) по 2,5, сл. 13 — 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 21) 1.
Главная линия урока: сумма вероятностей несовместных событий → общая формула через разбиение $A \cup B$ на три несовместные части → вложенные события на числовой прямой ( $P (A) - P (B)$ ) → формула включения-исключения для трёх событий (углублённый уровень).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и сл. 13 — в ДЗ; теорию (сл. 4, 6, 8, 11) не сокращать.

R07.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Складывать вероятности

несовместных событий и объяснять, почему это верно (ПР-5)

Выводить формулу сложения

для любых двух событий по диаграмме Эйлера (ПР-5)

Работать с числовой прямой

«больше года, но не больше двух»: $P (A) - P (B)$ (ПР-5)

Считать для трёх событий

формулой включения-исключения и решать задачи ОГЭ (ПР-5, линия 10)

1 мин · теория
ПР-5: «Оперировать понятием события как множества элементарных событий случайного опыта, выполнять операции над событиями, использовать при решении задач диаграммы Эйлера, числовую прямую, применять формулу сложения вероятностей». Единица ФРП R07.4. Из характеристики деятельности строки: «Изучать теоремы о вероятности объединения двух событий (формулы сложения вероятностей). Решать задачи… с помощью числовой прямой, диаграмм Эйлера».
Формула для трёх событий — углублённый уровень (обобщение теоремы сложения); в базовом курсе её нет.

повторение: VIS8U-022, 023

Разминка · устно

Операции над событиями

Перечислите исходы $A \cup B$ ${2; 4; 5; 6}$
Перечислите исходы $A \cap B$ ${4; 6}$
$P (A \cup B)$ и $P (A \cap B)$ $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$
$P (A) = 0, 37$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 63$
«Выпало $1$ » и «выпало $3$ » — несовместны? да
$0, 4 + 0, 35 - 0, 15$ $0, 6$
Сколько чисел от $1$ до $30$ делятся на $6$ ? $5$

R07.4

Теория · сложение несовместных событий

Нет общих исходов — вероятности складываем

Теорема. Если $A$ и $B$ несовместны, то
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

$P (A \cup B)$ — сумма вероятностей элементарных событий из $A \cup B$
каждый такой исход лежит ровно в одном из $A$ и $B$
значит, сумма распадается на $P (A)$ и $P (B)$

Для попарно несовместных:

P (A_{1} \cup \dots \cup A_{n}) = P (A_{1}) + \dots + P (A_{n})

2 мин · теория
Напомнить: вероятность события равна сумме вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий (VIS8U-010). На кубике у A два исхода, у B один, общих нет, поэтому в сумму для A ∪ B каждый исход входит один раз: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.
Доказательство общее, не только для равновозможных исходов: если исходы имеют разные вероятности, рассуждение то же.
Частный случай — противоположные события: A и не A несовместны, A ∪ не A = Ω, отсюда P(A) + P(не A) = 1 (уже известная формула получается из теоремы).

R07.4

Образец → сам · несовместные события

«Или» без общих исходов

Образец: стрелок выбивает $10$ очков с вероятностью $0, 15$ , $9$ — $0, 25$ , $8$ — $0, 3$ . $P (не меньше 8)$ ?

« $10$ », « $9$ », « $8$ » — несовместны один выстрел

$P = 0, 15 + 0, 25 + 0, 3$ = $0, 7$ теорема

Сам

Кубик: выпало меньше $3$ или больше $5$ $\frac{1}{2}$
$P («5») = 0, 2$ , $P («4») = 0, 45$ . $P (не ниже «4»)$ $0, 65$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A \cup B) = 0, 8$ , $P (A) = 0, 35$ . $P (B)$ $0, 45$

R07.4

Теория · формула сложения вероятностей

Вывод: разбиваем $A \cup B$ на три несовместные части

$P (A) = P (A \cap \overline{B}) + P (A \cap B)$

$P (B) = P (\overline{A} \cap B) + P (A \cap B)$

$P (A \cup B) = P (A \cap \overline{B}) + P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B)$

$P (A) + P (B) = P (A \cup B) + P (A \cap B)$

Формула сложения:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

3 мин · теория
Три части диаграммы попарно несовместны: «A, но не B» (розовая), «A и B» (фиолетовая), «B, но не A» (бирюзовая). A состоит из розовой и фиолетовой частей, B — из бирюзовой и фиолетовой, A ∪ B — из всех трёх.
Шаги 1–3 — теорема о несовместных событиях (сл. 4). Шаг 4: сложить первые два равенства — справа три части и ещё раз фиолетовая, то есть P(A ∪ B) + P(A ∩ B). Перенести P(A ∩ B) — получится формула.
Смысл: в сумме P(A) + P(B) общая часть учтена дважды, поэтому один раз её вычитаем. Если A и B несовместны, P(A ∩ B) = 0 — получаем теорему сл. 4.
Вопрос классу: может ли P(A ∪ B) быть меньше P(A)? (Нет: A ∪ B содержит A.) Следствие: P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1, так как P(A ∪ B) ≤ 1 — пригодится на сл. 10.

R07.4

Образец → сам · формула сложения

Совместные события: вычитаем общую часть

Образец: из чисел $1$ – $60$ случайно выбирают одно. $P (кратно 3 или 4)$ ?

$P (A) = \frac{20}{60}$ , $P (B) = \frac{15}{60}$ , $P (A \cap B) = \frac{5}{60}$

$P (A \cup B) = \frac{20 + 15 - 5}{60}$ = $\frac{1}{2}$

Сам

Числа $1$ – $50$ : кратно $2$ или $7$ $0, 58$
$P (A) = 0, 45$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (A \cup B)$ $0, 65$
Два кубика: на первом $6$ или сумма $7$ $\frac{11}{36}$

R07.4

Теория · пример учителя: числовая прямая

Случайное число от $1$ до $20$ : события — промежутки

$P (A) = \frac{8}{20}$ , $P (B) = \frac{10}{20}$ , $P (A \cap B) = \frac{3}{20}$

$P (A \cup B) = \frac{8 + 10 - 3}{20} = \frac{15}{20}$ = $0, 75$

Проверка:

A \cup B

— числа от

1

до

15

, их

15

из

20

.

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Опыт: случайно выбирают целое число от 1 до 20, все равновозможны. A = «число не больше 8» — промежуток от 1 до 8 (розовая полоса). B = «число от 6 до 15» (фиолетовая полоса). Пересечение — общая часть промежутков: 6, 7, 8. Объединение — от 1 до 15.
По формуле: 8/20 + 10/20 − 3/20 = 15/20 = 0,75; прямой подсчёт даёт то же. Числовая прямая удобна, когда события задаются неравенствами: «больше», «не больше», «от … до …».
Вопрос: какое событие противоположно A ∪ B? (Число от 16 до 20, P = 0,25.)

R07.4

Образец → сам · вложенные события на прямой

«Больше года, но не больше двух»

Образец: чайник прослужит больше $1$ года с вероятностью $0, 94$ , больше $2$ лет — $0, 87$ . $P (больше 1, но не больше 2 лет)$ ?

$A = B \cup C$ , $B$ и $C$ несовместны $B \subset A$

$P (C) = 0, 94 - 0, 87$ = $0, 07$

Сам

Автобус опоздает больше чем на $5$ мин с $p = 0, 3$ , больше чем на $10$ мин — $0, 12$ . Опоздание от $5$ до $10$ мин? $0, 18$
$P (T > 1) = 0, 95$ , $P (1 < T \leq 2) = 0, 15$ . $P (T > 2)$ $0, 8$
Число $1$ – $100$ : от $30$ до $70$ или не меньше $60$ $0, 71$

R07.4

Образец → сам · обратная задача

Из формулы находим $P (A \cap B)$

Образец: покупатель берёт хлеб с вероятностью $0, 7$ , молоко — $0, 5$ , хлеб или молоко — $0, 85$ . $P (и хлеб, и молоко)$ ?

$P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$

$0, 7 + 0, 5 - 0, 85$ = $0, 35$

Сам

$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 7$ , $P (A \cup B) = 0, 9$ . $P (A \cap B)$ $0, 4$
Те же события: $P (A \cap \overline{B})$ — только $A$ $0, 2$
$P (A) = 0, 8$ , $P (B) = 0, 6$ . Наименьшее возможное $P (A \cap B)$ $0, 4$

R07.4 · углублённый

Теория · формула для трёх событий

Включение-исключение: каждую часть — ровно один раз

$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$
$- P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C)$
$+ P (A \cap B \cap C)$

часть лежит	в одном	в двух	в трёх
$+$ три $P$	$1$	$2$	$3$
$-$ три пары	$0$	$- 1$	$- 3$
$+$ тройка	$0$	$0$	$+ 1$
итого	$1$	$1$	$1$

2 мин · теория
Числа на диаграмме — сколько раз каждая часть учтена в сумме P(A) + P(B) + P(C): часть, лежащая в одном событии, — 1 раз, в двух — 2 раза, в трёх (центр) — 3 раза.
Вычитаем три попарных пересечения: часть «в двух событиях» лежит ровно в одной паре — минус 1; центр лежит во всех трёх парах — минус 3, он пропал совсем (3 − 3 = 0). Поэтому добавляем тройное пересечение. Итог — каждая часть ровно 1 раз, то есть получена P(A ∪ B ∪ C).
Если события попарно несовместны, все пересечения пустые — получается сумма P(A) + P(B) + P(C) (сл. 4).

R07.4 · углублённый

Образец → сам · три события

Кратно $2$ , $3$ или $5$

Образец: из чисел $1$ – $30$ выбирают одно. $P (кратно 2, 3 или 5)$ ?

по одному $15 + 10 + 6$ ; пары $5 + 3 + 2$ ; тройка $1$

$\frac{15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 + 1}{30} = \frac{22}{30}$ = $\frac{11}{15}$

Сам

Числа $1$ – $100$ : кратно $2$ , $3$ или $5$ $0, 74$
$P (A) = P (B) = P (C) = 0, 4$ , каждая пара — $0, 15$ , все три — $0, 05$ . $P (A \cup B \cup C)$ $0, 8$
В классе $30$ учеников: бассейн $14$ , шахматы $12$ , хор $10$ ; бассейн и шахматы $5$ , бассейн и хор $4$ , шахматы и хор $3$ , все три $2$ . $P (нигде не занимается)$ $\frac{2}{15}$

2,5 мин · практика
Образец: кратных 2 — 15, 3 — 10, 5 — 6; кратных 6 — 5, 10 — 3, 15 — 2; кратных 30 — 1. Итого 22 числа, P = 22/30 = 11/15. На диаграмме части: только 2 — 8, только 3 — 4, только 5 — 2, «2 и 3» без 5 — 4, «2 и 5» без 3 — 2, «3 и 5» без 2 — 1, все три — 1 (число 30), вне — 8. 8 + 4 + 2 + 4 + 2 + 1 + 1 = 22 ✓ (проверено перебором).
1) 50 + 33 + 20 − 16 − 10 − 6 + 3 = 74: 74/100 = 0,74. 2) 1,2 − 0,45 + 0,05 = 0,8. 3) Занимаются хоть где-то: 14 + 12 + 10 − 5 − 4 − 3 + 2 = 26; нигде — 4 ученика: 4/30 = 2/15 (противоположное событие).

R07.4

Образец → сам · задача из жизни

Опрос: таблица $2 \times 2$

Образец: опросили $100$ восьмиклассников. $P (мальчик или любит математику)$ ?

	любит матем.	не любит	всего
мальчики	$30$	$20$	$50$
девочки	$25$	$25$	$50$

$P (A) = \frac{50}{100}$ , $P (B) = \frac{55}{100}$ , $P (A \cap B) = \frac{30}{100}$

$\frac{50 + 55 - 30}{100}$ = $0, 75$ закрашенные клетки

Сам: та же таблица

$P (девочка или не любит)$ $0, 7$
$P (мальчик и не любит)$ $0, 2$
$P (не мальчик и не любит)$ через ответ образца $0, 25$

R07.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили совместные: числа $1$ – $20$ , кратно $2$ или $3$	$\frac{10}{20} + \frac{6}{20} = 0, 8$	$\frac{10 + 6 - 3}{20} = 0, 65$
три события: забыли $+ P (A \cap B \cap C)$ , $1$ – $30$	$\frac{15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2}{30}$	$\frac{22}{30} = \frac{11}{15}$
сочли несовместными, вероятность больше $1$	$0, 7 + 0, 6 = 1, 3$	нужна $P (A \cap B)$ ; она $\geq 0, 3$

R07.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик. $P (чётное или больше 4)$

$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

исход $6$ — в обоих событиях

$\frac{3 + 2 - 1}{6} = \frac{2}{3}$

б) $P (T > 1) = 0, 9$ , $P (T > 2) = 0, 8$ . $P (1 < T \leq 2)$

«не больше двух»: $1 - 0, 8 = 0, 2$

$0, 2$ — это $P (T \leq 2)$ , сюда входит и $T \leq 1$

$B \subset A$ : $0, 9 - 0, 8 = 0, 1$

в) $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cup B) = 0, 6$ . $P (A \cap B)$

$0, 6 - 0, 5 - 0, 4 = - 0, 3$ , «несовместны»

вероятность не бывает отрицательной; знаки перепутаны

$0, 5 + 0, 4 - 0, 6 = 0, 3$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Чётные {2, 4, 6}, больше 4 — {5, 6}; объединение {2, 4, 5, 6}: 4/6 = 2/3. Ученик сложил совместные события.
б) Событие «T ≤ 2» включает и «T ≤ 1». На числовой прямой нужный отрезок (1; 2] = «больше 1» без «больше 2»: 0,9 − 0,8 = 0,1.
в) Из формулы P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,3. Отрицательный результат — сигнал ошибки, а не вывод о несовместности (для несовместных P(A ∪ B) было бы 0,9).

R07.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По формуле

$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 25$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ $0, 65$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (A \cup B)$ $0, 7$
$P (A \cup B) = 0, 9$ , $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$

В опытах

Числа $1$ – $40$ : кратно $4$ или $5$ $0, 4$
Кубик: простое или чётное число $\frac{5}{6}$
Два кубика: сумма $2$ или сумма $12$ $\frac{1}{18}$

R07.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 5$ . В каких границах может быть $P (A \cap B)$ ? от $0, 2$ до $0, 5$
повыш. $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (наступит ровно одно из событий)$ $0, 5$
повыш.Числа $1$ – $1000$ : не делится ни на $2$ , ни на $3$ , ни на $5$ $0, 266$
из жизни $70 %$ туристов группы знают английский, $40 %$ — немецкий, $20 %$ — оба. $P (не знает ни одного)$ $0, 1$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Снизу: P(A ∩ B) = 1,2 − P(A ∪ B) ≥ 1,2 − 1 = 0,2; сверху: пересечение — часть B, P(A ∩ B) ≤ 0,5 (B ⊂ A). Обе границы достижимы.
2) Ровно одно = (A без B) ∪ (B без A), несовместны: (0,4 − 0,2) + (0,5 − 0,2) = 0,5. Или P(A ∪ B) − P(A ∩ B) = 0,7 − 0,2 = 0,5.
3) Кратных 2, 3 или 5: 500 + 333 + 200 − 166 − 100 − 66 + 33 = 734; не делятся — 266: 266/1000 = 0,266 (проверено перебором). 4) Знает хотя бы один: 0,7 + 0,4 − 0,2 = 0,9; ни одного: 1 − 0,9 = 0,1.

R07.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Формула сложения в задачах экзамена

1. Вероятность того, что ученик на тесте верно решит больше $9$ задач, равна $0, 72$ , а больше $8$ задач — $0, 8$ . Найдите вероятность того, что он верно решит ровно $9$ задач.

$0, 08$

2. На зачёте ученику достаётся один вопрос. Вероятность вопроса по теме «Графы» равна $0, 25$ , по теме «Множества» — $0, 3$ . Вопросов сразу по двум темам нет. Найдите вероятность вопроса по одной из этих тем.

$0, 55$

3. В школе два автомата с водой. Вероятность того, что к вечеру вода закончится в автомате, равна $0, 25$ ; что в обоих — $0, 1$ . Найдите вероятность того, что к вечеру вода останется в обоих автоматах.

$0, 6$

R07.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 15$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 65$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 15$ . $P (A \cup B)$ $0, 75$
Числа $1$ – $30$ : кратно $3$ или $5$ $\frac{7}{15}$
$P (T > 2) = 0, 88$ , $P (T > 3) = 0, 7$ . $P (2 < T \leq 3)$ $0, 18$

Вариант 2

$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 35$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ $0, 75$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cup B) = 0, 7$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$
Числа $1$ – $40$ : кратно $2$ или $5$ $0, 6$
$P (T > 1) = 0, 96$ , $P (T > 2) = 0, 81$ . $P (1 < T \leq 2)$ $0, 15$

R07.4

Теория · итоговая сводка

Формулы сложения — на одном слайде

Несовместные:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Любые два: $P (A \cup B) =$
$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Вложенные $B \subset A$ :
$P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (B)$

Три события: $+$ три $P$ , $-$ три пары, $+$ тройка

Проверка ответа:

0 \leq P \leq 1

и

P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1

.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда вероятности просто складывают?
Зачем вычитать $P (A \cap B)$ ?
Как найти $P (1 < T \leq 2)$ ?
Почему для трёх событий прибавляют $P (A \cap B \cap C)$ ?

Домашнее задание

Числа $1$ – $100$ : $P (кратно 3 или 7)$
$P (A) = 0, 8$ , $P (B) = 0, 7$ , $P (A \cup B) = 0, 95$ : $P (A \cap B)$
Числа $1$ – $60$ : кратно $2$ , $3$ или $7$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_protivopolozhnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-024 · Формула сложения вероятностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R07 «Операции над случайными событиями. Сложение вероятностей», 3 ч · урок 3/3 · тип Н
Единицы → слайды	R07.4 «Формула сложения вероятностей» → 2, 4–21 · повторение R07.1–R07.3 → 3
Результаты	ПР-5 (события как множества, диаграммы Эйлера, числовая прямая, формула сложения) → 3–20
Вне урока	события как множества, противоположные события — VIS8U-022; операции над событиями — VIS8U-023; правило умножения — VIS8U-025
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формула сложения вероятностей

Сегодня вы научитесь

Складывать вероятности

Выводить формулу сложения

Работать с числовой прямой

Считать для трёх событий

Операции над событиями

Нет общих исходов — вероятности складываем

«Или» без общих исходов

Образец: стрелок выбивает 10 очков с вероятностью 0,15, 9 — 0,25, 8 — 0,3. P(не меньше 8)?

Сам

Вывод: разбиваем A∪B на три несовместные части

Совместные события: вычитаем общую часть

Образец: из чисел 1–60 случайно выбирают одно. P(кратно 3 или 4)?

Сам

Случайное число от 1 до 20: события — промежутки

«Больше года, но не больше двух»

Образец: чайник прослужит больше 1 года с вероятностью 0,94, больше 2 лет — 0,87. P(больше 1, но не больше 2 лет)?

Сам

Из формулы находим P(A∩B)

Образец: покупатель берёт хлеб с вероятностью 0,7, молоко — 0,5, хлеб или молоко — 0,85. P(и хлеб, и молоко)?

Сам

Включение-исключение: каждую часть — ровно один раз

Кратно 2, 3 или 5

Образец: из чисел 1–30 выбирают одно. P(кратно 2,3 или 5)?

Сам

Опрос: таблица 2×2

Образец: опросили 100 восьмиклассников. P(мальчик или любит математику)?

Сам: та же таблица

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик. P(чётное или больше 4)

б) P(T>1)=0,9, P(T>2)=0,8. P(1<T≤2)

в) P(A)=0,5, P(B)=0,4, P(A∪B)=0,6. P(A∩B)

Решите и проверьте

По формуле

В опытах

Подумайте и решите

Формула сложения в задачах экзамена

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Формулы сложения — на одном слайде

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-024 · Формула сложения вероятностей

Образец: стрелок выбивает $10$ очков с вероятностью $0, 15$ , $9$ — $0, 25$ , $8$ — $0, 3$ . $P (не меньше 8)$ ?

Вывод: разбиваем $A \cup B$ на три несовместные части

Образец: из чисел $1$ – $60$ случайно выбирают одно. $P (кратно 3 или 4)$ ?

Случайное число от $1$ до $20$ : события — промежутки

Образец: чайник прослужит больше $1$ года с вероятностью $0, 94$ , больше $2$ лет — $0, 87$ . $P (больше 1, но не больше 2 лет)$ ?

Из формулы находим $P (A \cap B)$

Образец: покупатель берёт хлеб с вероятностью $0, 7$ , молоко — $0, 5$ , хлеб или молоко — $0, 85$ . $P (и хлеб, и молоко)$ ?

Кратно $2$ , $3$ или $5$

Образец: из чисел $1$ – $30$ выбирают одно. $P (кратно 2, 3 или 5)$ ?

Опрос: таблица $2 \times 2$

Образец: опросили $100$ восьмиклассников. $P (мальчик или любит математику)$ ?

а) Кубик. $P (чётное или больше 4)$

б) $P (T > 1) = 0, 9$ , $P (T > 2) = 0, 8$ . $P (1 < T \leq 2)$

в) $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cup B) = 0, 6$ . $P (A \cap B)$