Операции над случайными событиями ·
урок 2 из 3 · новый материал

Операции над событиями

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS8U-023

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Операции над случайными событиями. Сложение вероятностей» (3 ч), урок 2/3, единица R07.3 «Операции над событиями». Тип урока — Н. Опора: событие как множество элементарных событий и противоположное событие (VIS8U-022), операции над множествами и диаграммы Эйлера (R02), логические союзы «и», «или» (R06). Следующий урок VIS8U-024 — формула сложения вероятностей: сегодня вероятности считаем только перебором исходов и сложением вероятностей элементарных событий.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 0,5 · 2 (цели) 1 · 4 (объединение) 2 · 5 (пересечение, словарь) 1,5 · 7 (несовместные события) 2 · 9 (законы де Моргана) 2 · 11 (числовая прямая) 1,5 · 13 (четыре области) 1,5 · 21 (итоговая сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 14) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный (сл. 18) 3 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 22) 2.
Главная мысль: событие — множество элементарных событий, поэтому над событиями выполняют те же операции, что над множествами: «или» — объединение, «и» — пересечение, «не» — дополнение до Ω.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R07.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить $A \cup B$ , $A \cap B$ , $\overline{A}$

как множества элементарных событий и на диаграмме Эйлера (ПР-5)

Узнавать несовместные события

$A \cap B = \emptyset$ — в таблице исходов, на диаграмме, на числовой прямой

Записывать события формулой

«ровно одно», «ни одного», «не оба» — через $\cup$ , $\cap$ и черту; законы де Моргана

Находить вероятности

результатов операций перебором исходов (ПР-2, ОГЭ, линия 10)

1 мин · теория
ПР-5: «Оперировать понятием события как множества элементарных событий случайного опыта, выполнять операции над событиями, использовать при решении задач диаграммы Эйлера, числовую прямую…». ПР-2: «Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная вероятности элементарных событий…».
Из характеристики деятельности R07: «Осваивать понятия: взаимно противоположные события, операции над событиями, объединение и пересечение событий, совместные и несовместные события»; «Решать задачи … на вычисление вероятностей объединения и пересечения событий с помощью числовой прямой, диаграмм Эйлера».

повторение: R02, R07.1–R07.2

Разминка · устно

Множества и противоположное событие

Множества

${2; 4; 6; 8} \cap {4; 8; 12}$ ${4; 8}$
${1; 3} \cup {3; 5; 7}$ ${1; 3; 5; 7}$
Кубик, $A$ = «больше $4$ ». Исходы $\overline{A}$ ${1; 2; 3; 4}$
$P (A) = 0, 35$ . $P (\overline{A})$ $0, 65$

События

Кубик: исходы события «простое число» ${2; 3; 5}$
Две монеты: сколько элементарных событий? $4$
Противоположное к «хотя бы одна решка» «оба орла»
$\frac{5}{36} + \frac{4}{36}$ $\frac{1}{4}$

R07.3

Теория · объединение событий

$A \cup B$ — наступило $A$ или $B$

Объединение $A \cup B$ — событие, которому благоприятствуют все исходы, благоприятствующие хотя бы одному из событий $A$ , $B$ .

Кубик: $A$ = «простое» $= {2; 3; 5}$

$B$ = «больше $3$ » $= {4; 5; 6}$

$A \cup B = {2; 3; 4; 5; 6}$ , $P = \frac{5}{6}$

R07.3

Теория · пересечение событий

$A \cap B$ — наступили $A$ и $B$

Пересечение $A \cap B$ — событие, которому благоприятствуют исходы, общие для $A$ и $B$ : наступили оба.

$A \cap B = {5}$ , $P = \frac{1}{6}$

В условии	Операция
«или», «хотя бы одно»	$A \cup B$
«и», «оба», «одновременно»	$A \cap B$
«не», «не наступило»	$\overline{A}$

R07.3

Образец → сам · перечисляем исходы

Карточки $1$ – $20$ : вытягивают одну

Образец: $A$ = «кратно $3$ », $B$ = «кратно $4$ ». Найдите $P (A \cup B)$ и $P (A \cap B)$

$A$ : $6$ чисел, $B$ : $5$ , общее — $12$ по областям

$A \cup B$ : $5 + 1 + 4 = 10$ чисел, $P$ = $0, 5$ $12$ — один раз

$A \cap B = {12}$ , $P$ = $0, 05$ общая часть

Сам: «чётное» $\cap$ «больше $14$ » $0, 15$
Сам: «чётное» $\cup$ «больше $14$ » $0, 65$
Сам: «кратно $5$ » $\cup$ «кратно $3$ » $0, 45$

2,5 мин · практика
Образец: только A — 3, 6, 9, 15, 18; общая часть — 12; только B — 4, 8, 16, 20; вне кругов — 10 чисел. По клику закрашивается объединение (10 чисел), затем пересечение. P(A ∪ B) = 10/20 = 0,5; P(A ∩ B) = 1/20 = 0,05 (проверено перебором, python).
1) {16; 18; 20} — 3/20 = 0,15. 2) 10 чётных и ещё 15, 17, 19 — 13/20 = 0,65. 3) {5; 10; 15; 20} ∪ {3; 6; 9; 12; 15; 18} — 15 общее, 4 + 6 − 1 = 9 чисел, 9/20 = 0,45.
Ученики рисуют свою диаграмму для заданий 1–2 и раскладывают по областям; типичная ошибка в 3) — 10/20 (число 15 посчитано дважды).

R07.3

Теория · несовместные события

Нет общих исходов: $A \cap B = \emptyset$

События несовместны, если $A \cap B = \emptyset$ : в одном опыте они не наступают вместе. Иначе — совместны.

Кубик: « $1$ или $2$ » и « $6$ » — несовместны

$A$ и $\overline{A}$ : $A \cap \overline{A} = \emptyset$ , $A \cup \overline{A} = Ω$

Противоположные события всегда несовместны, а несовместные — не обязательно противоположны.

2 мин · теория
Вверху круги A = {1; 2} и B = {6} не пересекаются — общих исходов нет, пересечение — невозможное событие ∅. Исходы 3, 4, 5 — вне обоих кругов, поэтому A ∪ B ≠ Ω: эти события несовместны, но не противоположны.
Внизу (по клику) — Ω разбито на две части: A = {1; 2} и Ā = {3; 4; 5; 6}. Они несовместны и вместе дают всё Ω — это и есть противоположные события (урок VIS8U-022).
Несколько событий называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны (например, грани кубика «1», «2», …, «6»).

R07.3

Образец → сам · совместны или несовместны

Два кубика: ищем общие клетки

Образец: $A$ = «дубль», $B$ = «сумма $7$ », $C$ = «сумма больше $9$ »

$A$ — диагональ, $B$ — побочная диагональ по $6$ клеток

$A \cap B = \emptyset$ — несовместны у дубля сумма чётная

$A \cap C = {(5; 5), (6; 6)}$ — совместны, $P = \frac{1}{18}$

Сам: «на 1-м $1$ » и «сумма больше $7$ » несовм.
Сам: «оба чётные» и «сумма нечётная» несовм.
Сам: «сумма $4$ » и «есть $3$ ». $A \cap B$ ? ${(1; 3), (3; 1)}$

R07.3

Теория · законы де Моргана

Противоположное к «или» и к «и»

«Ни $A$ , ни $B$ »

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

не (хотя бы одно) = ни одного

«Не оба»

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

не (оба) = хотя бы одно не наступило

2 мин · теория
Слева по клику закрашено всё вне кругов: не наступило ни A, ни B. Это исходы, которые не в A и не в B одновременно: Ā ∩ B̄. Справа закрашено всё, кроме общей части: не наступили оба сразу — значит, не наступило A или не наступило B.
Обоснование через исходы: исход не лежит в A ∪ B ⇔ он не лежит ни в A, ни в B ⇔ он лежит в Ā и в B̄. Аналогично для пересечения. Законы — те же, что для множеств (R02), и те же, что для отрицания «и/или» в логике (R06).
Практический смысл: «хотя бы одно» часто проще найти через противоположное «ни одного» — сл. 10.

R07.2 · R07.3

Образец → сам · «ни одного» и «хотя бы одно»

Два кубика: считаем через противоположное

Образец: $A$ = «на 1-м $6$ », $B$ = «на 2-м $6$ ». Найдите $P (A \cup B)$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ — «ни одной шестёрки»: $5 \cdot 5 = 25$ квадрат

$A \cup B = \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$ де Морган

$36 - 25 = 11$ , $P (A \cup B) =$ $\frac{11}{36}$

Сам: ни одной $1$ и ни одной $6$ $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$
Сам: хотя бы на одном — чётное $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
Сам: не оба кубика больше $4$ $\frac{32}{36} = \frac{8}{9}$

R07.3

Теория · события на числовой прямой

$X$ — время ожидания автобуса, мин

$A$ = « $X < 6$ », $B$ = « $X \geq 3$ »

$A \cap B$ = « $3 \leq X < 6$ »

$A \cup B$ — вся прямая $= Ω$

$\overline{A}$ = « $X \geq 6$ »

Событие — промежуток;

\cap

— общая часть,

\cup

— вместе.

1,5 мин · теория
Когда результат опыта — число (время, масса, число очков), события удобно изображать промежутками числовой прямой. По клику: A (розовый луч до 6, точка 6 выколота), B (бирюзовый от 3, точка 3 закрашена), пересечение — промежуток [3; 6) прямо на оси.
A ∪ B — любое время ожидания: события совместны и вместе покрывают все исходы. Ā — «ждали не меньше 6 минут»: граница 6 переходит в Ā, потому что A строгое.
Это подготовка к задачам ОГЭ вида «больше года» / «больше двух лет» (сл. 19).

R07.3

Образец → сам · складываем вероятности исходов

$X$ — число бракованных деталей в коробке

Образец: $A$ = « $X \leq 2$ », $B$ = « $X \geq 1$ ». Найдите $P (A \cap B)$ , $P (\overline{A})$

$A \cap B = {1; 2}$ общие значения

$P (A \cap B) = 0, 30 + 0, 20 =$ $0, 5$

$\overline{A} = {3; 4}$ : $0, 10 + 0, 05 =$ $0, 15$

Сам: $P (\overline{B})$ $0, 35$
Сам: « $X$ чётное» $\cap B$ $0, 25$
Сам: « $X$ чётное» $\cup$ « $X \geq 3$ » $0, 7$

2,5 мин · практика
Элементарные события — значения X = 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями 0,35; 0,30; 0,20; 0,10; 0,05 (сумма 1). Вероятность события — сумма вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий (R03). По клику: скобка A (0–2), скобка B (1–4), столбики A ∩ B (фиолетовые), столбики Ā (жёлтые).
Образец: A ∩ B = {1; 2}: 0,5. Ā = {3; 4}: 0,15 (проверка: 1 − P(A) = 1 − 0,85).
1) B̄ = {0}: 0,35. 2) {0; 2; 4} ∩ {1; 2; 3; 4} = {2; 4}: 0,20 + 0,05 = 0,25. 3) {0; 2; 4} ∪ {3; 4} = {0; 2; 3; 4}: 0,35 + 0,20 + 0,10 + 0,05 = 0,7 (значение 4 — один раз). Проверено кодом.

R07.3

Теория · выражаем события через операции

Четыре области диаграммы Эйлера

Два стрелка: $A$ = «1-й попал», $B$ = «2-й попал»

ровно один: $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$

хотя бы один: $A \cup B$

оба промахнулись: $\overline{A} \cap \overline{B}$

Четыре области попарно несовместны и вместе дают

Ω

.

1,5 мин · теория
Любые два события делят Ω на четыре попарно несовместные части: только A, оба, только B, ни одного. Любое событие «про A и B» — объединение некоторых из этих частей. Поэтому его вероятность — сумма вероятностей частей.
Вопрос классу: из каких частей состоит «не оба попали»? (Три части, кроме средней: Ā ∪ B̄ — закон де Моргана.) «Попал только второй»? (Ā ∩ B.)
«Ровно один» ≠ «хотя бы один»: во втором есть ещё средняя часть «оба».

R07.3

Образец → сам · задача из жизни · опрос

$40$ учеников: у кого есть кошка (К) и собака (С)

	С	нет С
К	$6$	$10$
нет К	$12$	$12$

Образец: выбран случайный ученик. Найдите вероятность того, что у него ровно одно животное из двух

$(К \cap \overline{С}) \cup (\overline{К} \cap С)$ две области

$10 + 12 = 22$ ученика области несовместны

$P = \frac{22}{40} =$ $0, 55$

Сам: $P (К)$ $0, 4$
Сам: $P (К \cup С)$ $0, 7$
Сам: $P (\overline{К \cap С})$ $0, 85$

R07.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«ровно одно» записали как объединение	$P (К \cup С) = 0, 7$	без области «оба»: $0, 55$
черта над $\cup$ «разнесена» без смены знака	$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$	$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
«несовместные — значит, противоположные»	$A$ = «выпало $1$ », $B$ = «выпало $2$ »: $B = \overline{A}$	$\overline{A} = {2; 3; 4; 5; 6} \neq = B$

R07.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик. $A$ = «нечётное», $B$ = «больше $2$ ». Найдите $A \cap B$

$A \cap B = {1; 3; 4; 5; 6}$

это $A \cup B$ ; общие исходы — $3$ и $5$

$A \cap B = {3; 5}$ , $P = \frac{1}{3}$

б) Два кубика. $P$ (хотя бы одна шестёрка)

$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{12}{36}$

$A$ и $B$ совместны: $(6; 6)$ посчитана дважды

$36 - 25 = 11$ : $P = \frac{11}{36}$

в) Два кубика. $P$ (неверно, что оба чётные)

«оба нечётные»: $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ — хотя бы один нечётный

$36 - 9 = 27$ : $P = \frac{3}{4}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) A = {1; 3; 5}, B = {3; 4; 5; 6}. Ученик выписал все исходы обоих событий — это объединение. Пересечение {3; 5}: 2/6 = 1/3.
б) Клетка (6; 6) входит и в строку, и в столбец — 12 вместо 11. Верно через «ни одной шестёрки»: 36 − 25 = 11, P = 11/36.
в) Отрицание «оба чётные» — «не оба чётные», то есть хотя бы один нечётный (закон де Моргана), а не «оба нечётные». «Оба чётные» — 9 клеток, остальные 27: 27/36 = 3/4. Проверено перебором.

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Кубик: $A$ = «чётное», $B$ = «меньше $4$ »

Исходы $A \cup B$ ${1; 2; 3; 4; 6}$
Исходы $A \cap B$ ${2}$
Исходы $\overline{A} \cap B$ ${1; 3}$
$P (\overline{A \cup B})$ $\frac{1}{6}$

Разные опыты

Карточки $1$ – $10$ : «чётное» $\cap$ «больше $6$ » $0, 2$
Несовместны ли «сумма двух кубиков $2$ » и «дубль»? нет, $(1; 1)$
Две монеты. Исходы «ровно один орёл» ${ОР; РО}$

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Упростите $(A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ $A$
повыш.Упростите $\overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$ $A \cap B$
повыш.Три стрелка, $A$ , $B$ , $C$ — попадания. Запишите: «попал только первый»; «все промахнулись» $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ ; $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
исслед.Два кубика: «сумма чётная» $\cap$ «есть $6$ » $\frac{5}{36}$

3 мин · практика
В парах; ответы — по клику, ученики объясняют по диаграмме Эйлера. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Части «оба» и «только A» вместе дают весь круг A. 2) По де Моргану Ā ∪ B̄ = (A ∩ B)‾, черта над чертой снимается: A ∩ B.
3) «Только первый» — первый попал, второй и третий нет: A ∩ B̄ ∩ C̄. «Все промахнулись»: Ā ∩ B̄ ∩ C̄ = (A ∪ B ∪ C)‾.
4) Сумма чётная — оба чётные или оба нечётные; с шестёркой возможны только оба чётные: из 3 · 3 = 9 пар без шестёрок 2 · 2 = 4, значит, 5 клеток: (2;6), (4;6), (6;2), (6;4), (6;6). P = 5/36 (проверено перебором).

R07.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. На тарелке $30$ пирожков: $6$ с мясом, $18$ с капустой, остальные с вишней. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пирожок окажется не с вишней.

$0, 8$

2. Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна $0, 93$ , больше двух лет — $0, 81$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

$0, 12$

3. Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один орёл и хотя бы одна решка.

$0, 75$

Сначала запишите событие через

\cup

,

\cap

, черту — потом считайте.

R07.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик, $A$ = «нечётное», $B$ = «больше $3$ ». Исходы $A \cup B$ ${1; 3; 4; 5; 6}$
Исходы $A \cap \overline{B}$ ${1; 3}$
Два кубика: $P$ (ни одной единицы) $\frac{25}{36}$
$30$ учеников: $12$ — шахматы, $9$ — плавание, $4$ — оба. $P$ (ровно одно) $\frac{13}{30}$

Вариант 2

Кубик, $A$ = «чётное», $B$ = «меньше $3$ ». Исходы $A \cup B$ ${1; 2; 4; 6}$
Исходы $\overline{A} \cap B$ ${1}$
Два кубика: $P$ (хотя бы одна пятёрка) $\frac{11}{36}$
$25$ учеников: $10$ — хор, $8$ — театр, $3$ — оба. $P$ (ровно одно) $0, 48$

R07.3

Теория · итоговая сводка