Операции над случайными событиями · урок 1 из 3 · новый материал

Случайные события как множества. Противоположные события

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS8U-022

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Операции над случайными событиями. Сложение вероятностей» (3 ч), урок 1/3, единицы R07.1 «Случайные события как множества элементарных событий», R07.2 «Противоположные события». Тип урока — Н. Предыдущий урок — VIS8U-021 «Использование логических союзов в алгебре»; следующий — VIS8U-023 «Операции над событиями».
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (событие — подмножество Ω) 2 · 6 (вероятность события — сумма вероятностей исходов) 2 · 8 (противоположное событие) 2 · 9 (вывод формулы) 2 · 11 (пример учителя: два кубика) 2 · 21 (итоговая сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 10, 12, 13, 14) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 3 сл. 14 и 4–5 сл. 18 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R07.1 · R07.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать событие

как множество элементарных событий — подмножество $Ω$ (ПР-5)

Считать $P (A)$

суммой вероятностей благоприятствующих исходов, в том числе неравновозможных (ПР-2)

Строить $\overline{A}$

словами, множеством и на диаграмме Эйлера; $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ (ПР-5)

Решать «хотя бы один»

через «ни одного»: таблица исходов, дерево, правило умножения (ПР-1, ОГЭ 10)

1 мин · теория
ПР-5: «Оперировать понятием события как множества элементарных событий случайного опыта, выполнять операции над событиями, использовать при решении задач диаграммы Эйлера…». ПР-2: «Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная вероятности элементарных событий…». ПР-1: перечисление элементов множеств с помощью организованного перебора и правила умножения.
Из характеристики деятельности строки R07: «Осваивать понятия: взаимно противоположные события, операции над событиями…».

повторение: R02, R03, R06

Разминка · устно

Дополнение, отрицание, вероятность

Множества и логика

$Ω = {1, \dots, 6}$ , $A = {1, 2}$ . Дополнение $A$ ${3, 4, 5, 6}$
Отрицание « $x > 3$ » $x \leq 3$
Отрицание «оба числа чётные» хотя бы одно нечётное
${2, 4, 6} \cap {4, 5, 6}$ ${4, 6}$

Вероятность и вычисления

Кубик: $P (выпало простое число)$ $\frac{1}{2}$
Монету бросают $2$ раза. Сколько исходов? $4$
$1 - 0, 35$ $0, 65$
$1 - \frac{7}{12}$ $\frac{5}{12}$

R07.1

Теория · событие как множество

Событие — подмножество $Ω$

$Ω$ — множество всех элементарных событий опыта

Случайное событие $A$ — подмножество $Ω$ : $A$ = «ровно два орла» $= {ООР, ОРО, РОО}$

$\emptyset$ — невозможное, $Ω$ — достоверное событие

A

наступило

⟺

исход опыта

\in A

2 мин · теория
Опыт: монету бросают 3 раза. Элементарные события — 8 строк из О и Р (правило умножения 2 · 2 · 2). Каждое случайное событие, о котором можно сказать «наступило или нет», задаётся множеством исходов, при которых оно наступает (благоприятствующих). Поэтому событие — подмножество Ω, и на диаграмме Эйлера — фигура внутри прямоугольника.
Вопрос классу: какое подмножество задаёт событие «выпало 4 орла»? (Пустое — невозможное событие.) «Выпал хотя бы один орёл или хотя бы одна решка»? (Всё Ω — достоверное.)
Углублённо: подмножеств у 8-элементного Ω — 2^8 = 256, т. е. в этом опыте можно описать ровно 256 различных событий (вместе с ∅ и Ω).

R07.1

Образец → сам · событие как подмножество

Шары с номерами $1$ – $9$ : достают один

Образец: $A$ = «номер кратен $3$ ». Запишите $A$ , $\overline{A}$ и найдите $P (A)$ .

$A = {3, 6, 9}$ перебираем $Ω$

$\overline{A} = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$ остальные исходы

$P (A) = \frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$ исходы равновозможны

Сам: множество и вероятность

«номер — простое число» ${2, 3, 5, 7}$ , $\frac{4}{9}$
«номер чётный и больше $4$ » ${6, 8}$ , $\frac{2}{9}$
«номер меньше $3$ или больше $7$ » ${1, 2, 8, 9}$ , $\frac{4}{9}$

R07.1

Теория · вероятность события

$P (A)$ — сумма вероятностей исходов из $A$

«Неправильный» кубик: исходы не равновозможны

$A$ = «чётное»: $0, 1 + 0, 15 + 0, 3 = 0, 55$

$\overline{A}$ = «нечётное»: $0, 1 + 0, 15 + 0, 2 = 0, 45$

P (A) = ω \in A \sum P (ω)

Равновозможные исходы:

P (A) = \frac{N ( A )}{N ( Ω )}

2 мин · теория
Ширина клетки на полоске — вероятность исхода: 0,1 + 0,1 + 0,15 + 0,15 + 0,2 + 0,3 = 1 (вся полоска). Вероятность события — сумма вероятностей элементарных событий, которые ему благоприятствуют (R03, теперь — на языке множеств).
Кликами: розовым — исходы A = {2, 4, 6}, бирюзовым — не A = {1, 3, 5}. Обратить внимание: 3 исхода из 6, но P(A) ≠ 1/2 — дробь «N(A)/N(Ω)» работает только при равновозможных исходах (частный случай общей формулы: каждое слагаемое 1/n).
ω (омега) — обозначение элементарного события; знак суммы можно читать «сумма по всем исходам из A».

R07.1

Образец → сам · неравновозможные исходы

Оценка за контрольную: распределение

Образец: $A$ = «оценка не ниже $4$ ». Найдите $P (A)$ .

$A = {4, 5}$ исходы, благоприятствующие $A$

$P (A) = 0, 4 + 0, 3$ = $0, 7$ сумма по исходам

Сам (по той же таблице)

$B$ = «оценка нечётная» $0, 55$
$\overline{A}$ словами и $P (\overline{A})$ «ниже $4$ », $0, 3$
Другой класс: $P (2) = 0, 1$ , $P (3) = 0, 3$ , $P (4) = 0, 35$ . Найдите $P (5)$ $0, 25$

R07.2

Теория · противоположное событие

$\overline{A}$ — « $A$ не наступило»

Противоположное событию $A$ — событие $\overline{A}$ , состоящее из всех исходов $Ω$ , не входящих в $A$

$A \cap \overline{A} = \emptyset$ не наступают вместе

$A \cup \overline{A} = Ω$ одно из них наступит

$\overline{\overline{A}} = A$ противоположность взаимна

2 мин · теория
Определение: событие, противоположное событию A, состоит из всех элементарных событий опыта, которые не благоприятствуют A. Обозначение — A с чертой («не A»). На диаграмме Эйлера — дополнение A до Ω (вся бирюзовая область).
Три свойства (по клику) — на языке множеств из R02: у A и не A нет общих исходов; вместе они составляют Ω; противоположное к не A — снова A. Поэтому A и не A называют взаимно противоположными.
Вопрос: какое событие противоположно достоверному? (Невозможное: дополнение Ω — пустое множество.)

R07.2

Теория · вероятность противоположного события

Почему $P (A) + P (\overline{A}) = 1$

$P (A) + P (\overline{A})$ — сумма вероятностей всех исходов каждый ровно один раз

$= P (Ω) = 1$ вся полоска

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Верно для любых исходов — не только равновозможных

R07.2 · R06

Образец → сам · формулируем $\overline{A}$

Отрицание: «и» становится «или»

Образец: два стрелка стреляют по разу. $A$ = «оба попали». Опишите $\overline{A}$ .

$\overline{A} = {ПН, НП, НН}$ все, кроме ПП

$\overline{A}$ = «хотя бы один промахнулся»

= «1-й промахнулся или 2-й промахнулся»

Сам: назовите $\overline{A}$

«хотя бы один из трёх билетов выигрышный» все три без выигрыша
« $2 < x < 5$ » ( $x$ — очки на кубике) $x \leq 2$ или $x \geq 5$
«на кубике не меньше $3$ очков»; $P (\overline{A})$ «меньше $3$ », $\frac{1}{3}$

2,5 мин · практика
Образец: таблица 2 × 2 исходов (П — попал, Н — промах). A — одна клетка ПП, не A — три остальные. Типичная ошибка — «оба промахнулись»: это только клетка НН. Логика (R06): отрицание «A и B» — «не A или не B».
1) Отрицание «хотя бы один» — «ни одного»: все три билета невыигрышные. 2) «2 < x и x < 5» = {3, 4}; отрицание — «x ≤ 2 или x ≥ 5» = {1, 2, 5, 6}. 3) Не A = «меньше 3» = {1, 2}: 2/6 = 1/3.
Подсказка: «все» ↔ «хотя бы один не»; «хотя бы один» ↔ «ни одного»; «больше» ↔ «не больше»; «и» ↔ «или» (с отрицанием каждой части).

R07.1 · R07.2

Теория · пример учителя

Два кубика: «произведение очков чётно»

$∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36$ правило умножения

$\overline{A}$ = «произведение нечётно» = «оба нечётные»: $3 \cdot 3 = 9$

$P (\overline{A}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

$P (A)$ $= 1 - \frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Проверка: розовых клеток

36 - 9 = 27

,

\frac{27}{36} = \frac{3}{4}

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Столбец — очки первого кубика, строка — второго; 36 равновозможных исходов. A — «хотя бы один множитель чётный» — много случаев. Противоположное: произведение нечётно тогда и только тогда, когда оба множителя нечётны — клетки на пересечении строк и столбцов 1, 3, 5 (первый клик, бирюзовые, 9 штук). Второй клик — само событие A (розовые).
Ответ 3/4 проверен перебором всех 36 исходов. Вывод: «хотя бы один» — через «ни одного», а «ни одного» — один прямоугольник, считается правилом умножения.

R07.2

Образец → сам · таблица исходов

Мало «плохих» клеток — считаем их

Образец: два кубика, $A$ = «наибольшее из очков больше $2$ ». $P (A)$ ?

$\overline{A}$ : оба $\leq 2$ $2 \cdot 2 = 4$ клетки

$P (\overline{A}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

$P (A) = 1 - \frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Сам: два кубика

Сумма не меньше $4$ $\frac{11}{12}$
Хотя бы на одном больше $4$ $\frac{5}{9}$
Сумма не равна ни $7$ , ни $8$ $\frac{25}{36}$

R07.2 · R05 · R02.7

Образец → сам · дерево и «хотя бы один»

Урна: $3$ белых и $2$ чёрных шара

Образец: достают $2$ шара по очереди, не возвращая. $P (хотя бы один белый)$ ?

всего $5 \cdot 4 = 20$ ; $\overline{A}$ = ЧЧ: $2 \cdot 1 = 2$

$P (A) = 1 - \frac{2}{20}$ = $\frac{9}{10}$

Сам

Та же урна: хотя бы один чёрный $\frac{7}{10}$
$4$ мальчика и $3$ девочки; по жребию выбирают старосту, затем заместителя. Хотя бы одна девочка $\frac{5}{7}$
Монету бросают $5$ раз: хотя бы одна решка $\frac{31}{32}$

2,5 мин · практика
Образец: шары считаем различимыми, упорядоченные пары — 5 · 4 = 20 равновозможных исходов. На рёбрах дерева — число способов (жёлтые числа): первый белый — 3 способа, затем белый — 2, чёрный — 2 и т. д. Листья: ББ 6, БЧ 6, ЧБ 6, ЧЧ 2 (сумма 20 ✓). Противоположное — только ветка ЧЧ (подсвечена). 1 − 2/20 = 9/10.
1) Противоположное — ББ: 6 из 20; 1 − 6/20 = 7/10. 2) Пар 7 · 6 = 42, оба мальчика 4 · 3 = 12; 1 − 12/42 = 5/7. 3) 2^5 = 32 исхода, без решки — один ООООО: 31/32. Проверено перебором.

R07.2 · R02.7

Образец → сам · задача из жизни

PIN-код и случайные коды

Образец: PIN-код из $4$ цифр выбран случайно. $P (хотя бы две цифры совпадают)$ ?

$∣Ω∣ = 1 0^{4}$ ; $\overline{A}$ : все различны — $5040$

$P (\overline{A}) = 0, 504$ $5040 : 10000$

$P (A) = 1 - 0, 504$ = $0, 496$

Сам: код из цифр $0$ – $9$

$3$ цифры: хотя бы одна семёрка $0, 271$
$4$ цифры: хотя бы одна чётная $0, 9375$
$3$ цифры: не все цифры одинаковы $0, 99$

R07.1 · R07.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$\overline{A}$ к «оба стрелка попали»	«оба промахнулись» — только НН	«хотя бы один промахнулся»
$\overline{A}$ к «выпало больше $4$ »	«меньше $4$ » — потеряли $4$	«не больше $4$ »: ${1, 2, 3, 4}$
Кубик: $A$ = «чётное», $B$ = «выпало $1$ » — нет общих исходов	« $B = \overline{A}$ »	$\overline{A} = {1, 3, 5}$ — весь остаток $Ω$

R07.1 · R07.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Два кубика. $P (хотя бы одна 6)$ : « $P (\overline{A}) = \frac{5}{6}$ , $P (A) = \frac{1}{6}$ »

$\overline{A}$ — нет $6$ на обоих: $5 \cdot 5 = 25$ из $36$

$P (A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

б) Кубик со сл. 6. $A$ = «не больше $2$ »: « $A = {1, 2}$ , $P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ »

исходы не равновозможны

$P (A) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2$

в) $3$ монеты. $\overline{A}$ к «ровно один орёл»: «ровно две решки», $P = \frac{3}{8}$

это то же событие!

$\overline{A}$ = « $0$ , $2$ или $3$ орла»

$P (\overline{A}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Противоположное событие посчитано для одного броска; для двух кубиков «ни одной шестёрки» — 25 клеток из 36. Ответ 11/36 (проверено перебором).
б) Формулу N(A)/N(Ω) применили к неравновозможным исходам. По сл. 6: P(1) = P(2) = 0,1, P(A) = 0,2.
в) При трёх бросках «ровно один орёл» и «ровно две решки» — одно и то же множество {ОРР, РОР, РРО}. Противоположное — 5 остальных исходов: 5/8.

R07.1 · R07.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По формуле

$P (A) = 0, 37$ . $P (\overline{A})$ $0, 63$
$P (\overline{A}) = \frac{3}{8}$ . $P (A)$ $\frac{5}{8}$
Числа $1$ – $30$ : не делится на $3$ $\frac{2}{3}$
Кубик: выпало не простое число $\frac{1}{2}$

Через противоположное

Две монеты: хотя бы одна решка $\frac{3}{4}$
$3$ броска монеты: не все результаты одинаковы $\frac{3}{4}$
Два кубика: очки различны $\frac{5}{6}$

R07.1 · R07.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Опыт: бросают две монеты. Сколько всего событий (подмножеств $Ω$ )? Сколько из них имеют вероятность $\frac{1}{2}$ ? $16$ ; $6$
повыш. $P (A)$ в $3$ раза больше $P (\overline{A})$ . Найдите $P (A)$ $0, 75$
повыш.Кубик бросают $3$ раза: хотя бы одна шестёрка $\frac{91}{216}$
повыш.Случайное число от $1$ до $100$ : в его записи есть цифра $5$ $0, 19$
исслед.Могут ли быть $P (A) = 0, 3$ и $P (\overline{A}) = 0, 6$ ? нет: сумма должна быть $1$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 4–5 при нехватке времени — в ДЗ.
1) |Ω| = 4 (ОО, ОР, РО, РР), подмножеств 2^4 = 16. Вероятность 1/2 — у подмножеств из 2 исходов: ОО-ОР, ОО-РО, ОО-РР, ОР-РО, ОР-РР, РО-РР — 6 (перечислить). 2) 3x + x = 1, x = 0,25, P(A) = 0,75. 3) Без шестёрки 5^3 = 125 из 216: 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,42.
4) Противоположное — «цифры 5 нет». Числа без пятёрки: однозначные 8 (1–9 без 5), двузначные 8 · 9 = 72 (первая цифра не 0 и не 5, вторая не 5), и 100 — итого 81. 1 − 81/100 = 0,19 (прямо: 5, 15, …, 95 — 10 чисел, 50–59 — 10, общее 55: 10 + 10 − 1 = 19 ✓). 5) Нет: P(A) + P(не A) = 1, а 0,3 + 0,6 = 0,9.

R07.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В среднем из $1000$ аккумуляторов, поступивших в продажу, $6$ неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор исправен.

$0, 994$

2. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или не пишет, равна $0, 19$ . Покупатель выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

$0, 81$

3. В соревнованиях $20$ спортсменок: $8$ из России, $7$ из США, остальные из Китая. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что первой будет выступать спортсменка не из Китая.

$0, 75$

Слова «не», «без», «исправен» — сигнал: возможно, проще противоположное событие

R07.1 · R07.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P (A) = 0, 28$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 72$
Назовите $\overline{A}$ : «хотя бы один из трёх пакетов порвался» ни один не порвался
Кубик: $P (6) = 0, 3$ , остальные грани — по $0, 14$ . $P (не 6)$ $0, 7$
Два кубика: хотя бы на одном чётное $\frac{3}{4}$

Вариант 2

$P (A) = 0, 63$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 37$
Назовите $\overline{A}$ : «все три лампы горят» хотя бы одна не горит
Кубик: $P (1) = 0, 25$ , остальные грани — по $0, 15$ . $P (не 1)$ $0, 75$
Два кубика: хотя бы на одном $1$ или $2$ $\frac{5}{9}$

R07.1 · R07.2

Теория · итоговая сводка

События на диаграмме Эйлера

P (A)

— сумма вероятностей исходов из

A

(равновозможные:

\frac{N ( A )}{N ( Ω )}

)

«все» $\leftrightarrow$ «хотя бы один не»

«хотя бы один» $\leftrightarrow$ «ни одного»

« $A$ и $B$ » $\leftrightarrow$ «не $A$ или не $B$ »

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое событие на языке множеств?
Когда $P (A) = \frac{N ( A )}{N ( Ω )}$ неверна?
Какое событие противоположно «все»?

Домашнее задание

Два кубика: $P (сумма больше 3)$
Код из $4$ цифр: $P (хотя бы одна цифра 0)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_protivopolozhnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-022 · Случайные события как множества. Противоположные события

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R07 «Операции над случайными событиями. Сложение вероятностей», 3 ч · урок 1/3 · тип Н
Единицы → слайды	R07.1 «Случайные события как множества элементарных событий» → 2, 4–7, 11, 16–18, 20–21 · R07.2 «Противоположные события» → 2, 8–20, 22
Результаты	ПР-5 (событие как множество, диаграммы Эйлера) → 2, 4, 5, 8, 10, 15, 16, 21 · ПР-2 (вероятности по вероятностям элементарных событий) → 6, 7, 9, 11–14, 17–20 · ПР-1 (перебор, правило умножения) → 3, 11–14, 18
Вне урока	объединение и пересечение событий, несовместные события — VIS8U-023; формула сложения вероятностей — урок 3/3 строки R07; правило умножения вероятностей — R08
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Случайные события как множества. Противоположные события

Сегодня вы научитесь

Записывать событие

Считать P(A)

Строить A

Решать «хотя бы один»

Дополнение, отрицание, вероятность

Множества и логика

Вероятность и вычисления

Событие — подмножество Ω

Шары с номерами 1–9: достают один

Образец: A = «номер кратен 3». Запишите A, A и найдите P(A).

Сам: множество и вероятность

P(A) — сумма вероятностей исходов из A

Оценка за контрольную: распределение

Образец: A = «оценка не ниже 4». Найдите P(A).

Сам (по той же таблице)

A — «A не наступило»

Почему P(A)+P(A)=1

Отрицание: «и» становится «или»

Образец: два стрелка стреляют по разу. A = «оба попали». Опишите A.

Сам: назовите A

Два кубика: «произведение очков чётно»

Мало «плохих» клеток — считаем их

Образец: два кубика, A = «наибольшее из очков больше 2». P(A)?

Сам: два кубика

Урна: 3 белых и 2 чёрных шара

Образец: достают 2 шара по очереди, не возвращая. P(хотя бы один белый)?

Сам

PIN-код и случайные коды

Образец: PIN-код из 4 цифр выбран случайно. P(хотя бы две цифры совпадают)?

Сам: код из цифр 0–9

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Два кубика. P(хотя бы одна 6): «P(A)=65​, P(A)=61​»

б) Кубик со сл. 6. A = «не больше 2»: «A={1,2}, P(A)=62​=31​»

в) 3 монеты. A к «ровно один орёл»: «ровно две решки», P=83​

Решите и проверьте

По формуле

Через противоположное

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

События на диаграмме Эйлера

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-022 · Случайные события как множества. Противоположные события

Считать $P (A)$

Строить $\overline{A}$

Событие — подмножество $Ω$

Шары с номерами $1$ – $9$ : достают один

Образец: $A$ = «номер кратен $3$ ». Запишите $A$ , $\overline{A}$ и найдите $P (A)$ .

$P (A)$ — сумма вероятностей исходов из $A$

Образец: $A$ = «оценка не ниже $4$ ». Найдите $P (A)$ .

$\overline{A}$ — « $A$ не наступило»

Почему $P (A) + P (\overline{A}) = 1$

Образец: два стрелка стреляют по разу. $A$ = «оба попали». Опишите $\overline{A}$ .

Сам: назовите $\overline{A}$

Образец: два кубика, $A$ = «наибольшее из очков больше $2$ ». $P (A)$ ?

Урна: $3$ белых и $2$ чёрных шара

Образец: достают $2$ шара по очереди, не возвращая. $P (хотя бы один белый)$ ?

Образец: PIN-код из $4$ цифр выбран случайно. $P (хотя бы две цифры совпадают)$ ?

Сам: код из цифр $0$ – $9$

а) Два кубика. $P (хотя бы одна 6)$ : « $P (\overline{A}) = \frac{5}{6}$ , $P (A) = \frac{1}{6}$ »

б) Кубик со сл. 6. $A$ = «не больше $2$ »: « $A = {1, 2}$ , $P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ »

в) $3$ монеты. $\overline{A}$ к «ровно один орёл»: «ровно две решки», $P = \frac{3}{8}$