Логика · урок 2 из 2

Использование логических союзов в алгебре

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS8U-021

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Логика» (2 ч), урок 2/2, единица R06.3 «Использование логических союзов в алгебре». Тип урока — Н. Урок 1 строки (VIS8U-020) — логические союзы «и», «или» и их связь с пересечением и объединением множеств; сегодня переносим это на уравнения и неравенства: система, совокупность, отрицание, доказательство от противного.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 («и» — система, пересечение) 2,5 · 6 («или» — совокупность, объединение) 2 · 8 (сводная таблица, дробь равна нулю) 2 · 10 (отрицание «и»/«или», таблица истинности) 2,5 · 12 (доказательство от противного) 2. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам: сл. 5, 7, 9, 13 по 2,5, сл. 11 и 14 по 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задание 3 сл. 13 и задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

«И» → система

решение системы — пересечение множеств решений (ПР-1, ПР-5)

«Или» → совокупность

решение — объединение; уравнения «произведение $= 0$ », «дробь $= 0$ » (ПР-1)

Строить отрицание

«не (и)» = «или», «не (или)» = «и» — на числовой прямой (ПР-5)

Доказывать от противного

и находить вероятности, выбирая число из промежутка (ПР-2)

1 мин · теория
ПР-1: «Оперировать понятиями множества, подмножества, выполнять операции над множествами: объединение, пересечение…». ПР-5: «…выполнять операции над событиями, использовать при решении задач диаграммы Эйлера, числовую прямую…». ПР-2: вероятности в опытах с равновозможными элементарными событиями.
Характеристика деятельности строки R06: «Осваивать использование логических союзов при построении систем и совокупностей уравнений и неравенств», доказательство от противного.

повторение: VIS8U-020

Разминка · устно

Союзы, множества, неравенства

Истинно или ложно?

« $7 > 3$ и $7 < 5$ » ложно
« $7 > 3$ или $7 < 5$ » истинно
$A = {1; 2; 3; 4}$ , $B = {3; 4; 5}$ : $A \cap B$ ${3; 4}$
Те же множества: $A \cup B$ ${1; 2; 3; 4; 5}$

Решите устно

$2 x > 6$ $x > 3$
$- x \leq 4$ $x \geq - 4$
$a \cdot b = 0$ . Что известно о $a$ и $b$ ? $a = 0$ или $b = 0$
Какие из чисел $- 2; 0; 3$ верны для « $x > - 1$ и $x < 2$ »? $0$

2,5 мин · практика
Ответы (по клику): 1) Второе неравенство ложно — «и» ложно. 2) Первое истинно — «или» истинно. 3) {3; 4}. 4) {1; 2; 3; 4; 5}. 5) x > 3. 6) Умножаем на −1, знак меняется: x ≥ −4. 7) Хотя бы один множитель равен нулю: a = 0 или b = 0 (может быть и оба). 8) −2 не больше −1; 3 не меньше 2; подходит только 0.
Задания 7–8 — мостик к сегодняшней теме: «или» в уравнениях, «и» в неравенствах. Спросить: в 4-м задании, чем «или» отличается от бытового «либо… либо» (элементы 3 и 4 входят в обе части)?

R06.3

Новый материал · союз «и» — система

«И» — значит, одновременно: пересечение

Ответ:

x \in (- 1; 3]

— точка

- 1

выколота (строгое

>

), точка

3

закрашена (

\leq

)

« $x > - 1$ и $x \leq 3$ » записывают системой: ${x > - 1 x \leq 3$

Решение системы — числа, верные для каждого неравенства: $M_{1} \cap M_{2}$

Общих точек нет → система не имеет решений: $\emptyset$

2,5 мин · теория
Фиолетовый луч — множество решений первого неравенства M₁ = (−1; +∞), бирюзовый — второго M₂ = (−∞; 3]. Союз «и» требует, чтобы оба условия выполнялись одновременно, — это пересечение M₁ ∩ M₂ (как на прошлом уроке на кругах Эйлера). На оси — розовым.
Фигурная скобка — знак системы, читается «и». Проверка точками: x = 0 — оба верны; x = 4 — первое верно, второе нет; x = −1 — первое неверно (строгое).
Вопрос: есть ли решения у системы x > 3 и x < −1? (Лучи не пересекаются — решений нет, пустое множество.)

R06.3

Образец → сам · система неравенств

Решаем каждое — берём общую часть

Образец: решите систему ${2 x - 4 > 0 3 x \leq x + 10$

$2 x > 4$ , $x > 2$ первое неравенство

$2 x \leq 10$ , $x \leq 5$ второе неравенство

«и» → пересечение: $x \in (2; 5]$

Сам

${x + 3 \geq 0 x - 1 < 4$ $[- 3; 5)$
${5 x > 10 x < 1$ нет решений
При каком наибольшем целом $a$ система ${x > a x < 5$ имеет не меньше трёх целых решений? $a = 1$

R06.3

Новый материал · союз «или» — совокупность

«Или» — хотя бы одно: объединение

Ответ:

x \in (- \infty; - 1) \cup [3; + \infty)

— две части, между ними «дыра»

« $x < - 1$ или $x \geq 3$ » — совокупность: $[x < - 1 x \geq 3$

Решение совокупности — числа, верные хотя бы для одного: $M_{1} \cup M_{2}$

Главный пример: $a \cdot b = 0 ⟺ [a = 0 b = 0$

2 мин · теория
Квадратная скобка — знак совокупности, читается «или». Число подходит, если верно хотя бы одно из условий: −5 подходит (первое), 4 подходит (второе), 0 — ни одно.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю (при условии, что остальные имеют смысл). Поэтому уравнение «произведение = 0» распадается на совокупность — «или», а не «и»: одновременно a = 0 и b = 0 не требуется.
Сравнить с прошлым слайдом: система — общая часть, совокупность — всё, что закрашено хотя бы одним лучом.

R06.3

Образец → сам · произведение равно нулю

Уравнение распадается на совокупность

Образец: решите $(x - 3) (2 x + 5) = 0$

Ответ: $- 2, 5; 3$ «или» — оба числа — корни

Сам

$x (x + 4) = 0$ $- 4; 0$
$(3 x - 6) (x + 1) (x - 7) = 0$ $- 1; 2; 7$
$x^{2} = 5 x$ $0; 5$

R06.3

Новый материал · союзы вместе

Сводка: союз → запись → множество

Союз	Запись	Множество
и	система ${x > - 1 x \leq 3$	$M_{1} \cap M_{2}$
или	совокупность $[x < - 1 x \geq 3$	$M_{1} \cup M_{2}$
и + или	$\frac{( x + 1 ) ( x - 3 )}{x + 1} = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ [x = - 1 x = 3 x \neq = - 1$	${- 1; 3} ∖ {- 1} = {3}$

Дробь равна нулю

⟺

числитель

= 0

и знаменатель

\neq = 0

:

\frac{a}{b} = 0 ⟺ {a = 0 b \neq = 0

2 мин · теория
Первые две строки — итог сл. 4 и 6. Третья — союзы работают вместе: числитель — произведение, оно даёт совокупность (−1 или 3); знаменатель не может быть нулём — это второе условие системы («и»). Из множества {−1; 3} убираем −1 — разность множеств. На прямой −1 перечёркнута.
Вопрос: почему нельзя «сократить на x + 1» и сразу написать x − 3 = 0? (Можно, но тогда надо помнить условие x ≠ −1; в этом примере ответ совпал, а в примере (x + 1)²/(x + 1) = 0 после сокращения получили бы x = −1 — неверно.)

R06.3

Образец → сам · дробь равна нулю

Совокупность внутри системы

Образец: решите уравнение $\frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x + 3} = 0$

${(x - 2) (x + 3) = 0 x + 3 \neq = 0$ дробь $= 0$ : «и»

$⎩ ⎨ ⎧ [x = 2 x = - 3 x \neq = - 3$ числитель: «или»

$- 3$ исключаем → $x = 2$

Сам

$\frac{x - 5}{x + 1} = 0$ $5$
$\frac{x ( x - 4 )}{x - 4} = 0$ $0$
$\frac{( x + 1 ) ( x - 6 )}{x ^{2} - 1} = 0$ $6$

R06.3

Новый материал · отрицание «и» и «или»

«Не» меняет союз

$A$	$B$	$A$ и $B$	$A$ или $B$
И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	Л	И
Л	Л	Л	Л

И — истинно, Л — ложно

не ( $A$ и $B$ ) = (не $A$ ) или (не $B$ )

не ( $A$ или $B$ ) = (не $A$ ) и (не $B$ )

не « $- 1 \leq x \leq 3$ » = « $x < - 1$ или $x > 3$ »

2,5 мин · теория
Таблица истинности: «и» истинно только в первой строке (оба истинны), «или» ложно только в последней (оба ложны). Значит, «не (A и B)» истинно, когда хотя бы одно ложно, — это «не A или не B»; «не (A или B)» истинно, когда оба ложны, — «не A и не B». (Законы де Моргана; на кругах Эйлера — дополнение пересечения есть объединение дополнений.)
На прямой: двойное неравенство −1 ≤ x ≤ 3 — это система «x ≥ −1 и x ≤ 3» (фиолетовый отрезок). Отрицание каждого: x < −1, x > 3, союз меняется на «или» — два луча, концы выколоты. Вместе отрезок и его отрицание дают всю прямую.
Вопрос: как сформулировать отрицание «оба числа положительны»? («Хотя бы одно из чисел не положительно».)

R06.3

Образец → сам · отрицание условия

Отрицаем каждое — меняем союз

Образец: при каких $x$ ложно « $x \geq 2$ и $x < 6$ »?

не ( $x \geq 2$ ) — $x < 2$ ; не ( $x < 6$ ) — $x \geq 6$

«и» → «или»: $x < 2$ или $x \geq 6$ закон отрицания

Ответ: $(- \infty; 2) \cup [6; + \infty)$

Сам: постройте отрицание

« $x < 0$ или $x > 5$ » $0 \leq x \leq 5$
« $n$ чётное и $n > 10$ » $n$ нечётное или $n \leq 10$
«хотя бы одно из чисел $a$ , $b$ положительно» $a \leq 0$ и $b \leq 0$

2 мин · практика
Образец: проверка точками — x = 4 делает условие истинным (не входит в ответ), x = 1 и x = 7 — ложным (входят). Концы: x = 2 — условие истинно → выколота; x = 6 — условие ложно → закрашена.
1) не (x < 0) — x ≥ 0, не (x > 5) — x ≤ 5, «или» → «и»: 0 ≤ x ≤ 5, отрезок [0; 5]. 2) «n нечётное или n ≤ 10» (например, 12 — условие истинно, 7 и 13 — ложно). 3) «Хотя бы одно положительно» = «a > 0 или b > 0»; отрицание: a ≤ 0 и b ≤ 0 («ни одно не положительно»). Ошибка: «оба отрицательны» — забыт ноль.

R06.3

Новый материал · доказательство от противного

Предположим обратное — придём к противоречию

Теорема. Если $n^{2}$ чётно ( $n$ — целое), то $n$ чётно.

1) Пусть $n$ нечётно: $n = 2 k + 1$ отрицание вывода

2) $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ раскрыли

3) $n^{2}$ нечётно — противоречие с условием

4) Значит, $n$ чётно что и требовалось

2 мин · теория
Схема слева открывается по шагам вместе с доказательством справа. Ключевой момент — правильно построить отрицание того, что доказываем: отрицание «n чётно» — «n нечётно», отрицание «хотя бы одно» — «ни одного», отрицание «и» — «или» (сл. 10).
Почему метод работает: утверждение и его отрицание не могут быть ложны одновременно (одно из них истинно). Если отрицание привело к противоречию, оно ложно, — значит, истинно само утверждение.
Вопрос: как доказать «прямо», без «от противного»? (Трудно: из того, что n² чётно, прямо ничего не выразить, — поэтому и удобен метод.)

R06.3

Образец → сам · доказательство от противного

Отрицание «хотя бы одно» — «все не»

Образец: $a + b > 10$ . Докажите, что хотя бы одно из чисел больше $5$ .

Значит, предположение ложно: $a > 5$ или $b > 5$

Сам: докажите

$a, b > 0$ , $ab > 100$ ⇒ хотя бы одно больше $10$ пусть $a \leq 10$ и $b \leq 10$ ⇒ $ab \leq 100$
Сумма трёх целых чисел $31$ ⇒ одно из них не меньше $11$ пусть все $\leq 10$ ⇒ сумма $\leq 30$
$n^{2}$ делится на $3$ ⇒ $n$ делится на $3$ $n = 3 k \pm 1$ ⇒ $n^{2} = 3 (3 k^{2} \pm 2 k) + 1$

2,5 мин · практика
Образец: доказываем «a > 5 или b > 5». Отрицание «или» — «и»: a ≤ 5 и b ≤ 5. Сложив неравенства, a + b ≤ 10 — противоречит условию a + b > 10.
1) Пусть a ≤ 10 и b ≤ 10; числа положительны, поэтому неравенства можно перемножить: ab ≤ 100 — противоречие с ab > 100. 2) Пусть каждое из чисел ≤ 10, тогда сумма ≤ 30 < 31 — противоречие. 3) Если n не делится на 3, то n = 3k + 1 или n = 3k − 1; n² = 9k² ± 6k + 1 = 3(3k² ± 2k) + 1 — даёт остаток 1, на 3 не делится — противоречие.
Задание 3 — для сильных учеников; при нехватке времени — в ДЗ.

R06.3 · вероятность

Образец → сам · союзы и вероятность

Случайное число из $1$ – $20$ : где верно условие?

Образец: случайное целое $x$ от $1$ до $20$ . $P ({3 x > 20 x - 4 \leq 10)$ ?

$x > 6 \frac{2}{3}$ и $x \leq 14$ → $x = 7, \dots, 14$ «и»

$8$ исходов из $20$ : $\frac{8}{20} = 0, 4$

Сам: та же урна $1$ – $20$

$x < 4$ или $x > 17$ $0, 3$
${2 x \geq 15 x < 10$ $0, 1$
ложно « $x > 5$ и $x \leq 15$ » $0, 5$

2 мин · практика
Образец: 3x > 20 ⇔ x > 6⅔, целые — от 7; x ≤ 14. Пересечение — 7, 8, …, 14 (8 чисел, закрашены). Все 20 исходов равновозможны: P = 8/20 = 0,4.
1) «Или» — объединение: 1, 2, 3, 18, 19, 20 — 6 чисел: 6/20 = 0,3. 2) x ≥ 7,5 и x < 10: 8, 9 — 2/20 = 0,1. 3) Отрицание: x ≤ 5 или x > 15: 5 + 5 = 10 чисел, 10/20 = 0,5; или через противоположное: 1 − 10/20. Проверено перебором.
Связь с курсом: событие — множество исходов; «и» — пересечение событий, «или» — объединение, «не» — противоположное событие.

R06.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
разделили на $x$ — потеряли корень	$x^{2} = 3 x$ , $x = 3$	$x (x - 3) = 0$ : $0; 3$
отрицая, не сменили союз	не « $x \geq 1$ и $x \leq 4$ » — « $x < 1$ и $x > 4$ »	« $x < 1$ или $x > 4$ »
в дроби забыли знаменатель	$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$ : $\pm 3$	$x \neq = 3$ : $x = - 3$

R06.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Решите систему ${x \geq - 1 x < 3$

« $x \geq - 1$ или $x < 3$ » — подходит любое число

система — это «и», нужна общая часть

$x \in [- 1; 3)$

б) Решите $(x + 2) (x - 5) = 0$

$x = 2$ или $x = 5$

$x + 2 = 0$ при $x = - 2$ , а не $2$

ответ: $- 2; 5$

в) Докажите: $a + b > 10$ ⇒ $a > 5$ или $b > 5$

«Пусть $a \leq 5$ или $b \leq 5$ . Тогда $a + b \leq 10$ …»

отрицание «или» — «и»: $a \leq 5$ и $b \leq 5$

контрпример: $a = 1$ , $b = 20$ — сумма $21$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Фигурную скобку прочитали как «или». Проверка точкой x = 10: первое верно, второе нет — в ответ не входит. Ответ [−1; 3).
б) Ошибка в знаке: из x + 2 = 0 получаем x = −2. Проверка подстановкой: (2 + 2)(2 − 5) = −12 ≠ 0.
в) Предположение построено неверно: отрицанием «a > 5 или b > 5» является «a ≤ 5 и b ≤ 5». Из «a ≤ 5 или b ≤ 5» ничего о сумме не следует (контрпример a = 1, b = 20).

R06.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Системы и совокупности

${x > - 2 x \leq 4$ $(- 2; 4]$
${x < 1 x > 3$ нет решений
$[x < - 1 x \geq 2$ $(- \infty; - 1) \cup [2; + \infty)$
Отрицание « $x > 0$ и $x < 8$ » $x \leq 0$ или $x \geq 8$

Уравнения

$(x - 4) (x + 9) = 0$ $- 9; 4$
$x^{2} + 7 x = 0$ $- 7; 0$
$\frac{x - 1}{x + 2} = 0$ $1$

R06.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько целых решений у системы ${2 x + 1 > - 5 3 x - 2 \leq 10$ ? $7$
повыш.Решите уравнение $\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 16} = 0$ $0$
повыш.При каких $a$ система ${x > a x < 3$ не имеет решений? $a \geq 3$
из жизниВ классе $29$ учеников. Докажите от противного: в какой-то месяц родились не меньше $3$ учеников. иначе учеников $\leq 12 \cdot 2 = 24$

R06.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Системы неравенств: выберите ответ

1. Укажите решение системы ${x + 2, 6 \leq 0 x + 5 \geq 1$

$2$

2. Укажите решение системы ${- 20 + 4 x > 0 6 - 3 x > - 6$

1) $(4; 5)$ 2) $(- \infty; 4)$
3) $(5; + \infty)$ 4) нет решений

$4$

3. Укажите решение системы ${x - 1, 4 \geq 0 x + 3 \geq 1$

1) $[- 2; + \infty)$ 2) $[- 2; 1, 4]$
3) $[1, 4; + \infty)$ 4) $(- \infty; - 2]$

$3$

R06.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

${2 x \geq - 6 x - 1 < 1$ $[- 3; 2)$
$(x - 6) (x + 1) = 0$ $- 1; 6$
$\frac{x - 3}{x + 5} = 0$ $3$
Отрицание « $x < 1$ или $x > 6$ » $1 \leq x \leq 6$

Вариант 2

${3 x > - 3 x + 2 \leq 7$ $(- 1; 5]$
$(x + 4) (x - 2) = 0$ $- 4; 2$
$\frac{x + 2}{x - 7} = 0$ $- 2$
Отрицание « $x < - 2$ или $x > 3$ » $- 2 \leq x \leq 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой союз у системы? У совокупности?
Когда произведение равно нулю?
Как отрицать «и» и «или»?
С чего начинается доказательство от противного?

Домашнее задание

${3 x - 1 > 5 x + 4 \leq 10$ ; $\frac{x ^{2} - x}{x - 1} = 0$
Докажите: сумма $4$ чисел больше $20$ ⇒ хотя бы одно больше $5$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_mnozhestva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-021 · Использование логических союзов в алгебре

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R06 «Логика», 2 ч · урок 2/2 · тип Н
Единицы → слайды	R06.3 «Использование логических союзов в алгебре» → 2, 4–21 · повторение R06.1–R06.2 → 3
Результаты	ПР-1 (операции над множествами) → 4–9, 17, 19, 20 · ПР-5 (числовая прямая, операции над событиями) → 10, 11, 14 · ПР-2 (вероятность при равновозможных исходах) → 14
Вне урока	союзы «и», «или», связь с операциями над множествами — VIS8U-020; события как множества, противоположные события — VIS8U-022
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Использование логических союзов в алгебре

Сегодня вы научитесь

«И» → система

«Или» → совокупность

Строить отрицание

Доказывать от противного

Союзы, множества, неравенства

Истинно или ложно?

Решите устно

«И» — значит, одновременно: пересечение

Решаем каждое — берём общую часть

Образец: решите систему {2x−4>03x≤x+10​

Сам

«Или» — хотя бы одно: объединение

Уравнение распадается на совокупность

Образец: решите (x−3)(2x+5)=0

Сам

Сводка: союз → запись → множество

Совокупность внутри системы

Образец: решите уравнение x+3(x−2)(x+3)​=0

Сам

«Не» меняет союз

Отрицаем каждое — меняем союз

Образец: при каких x ложно «x≥2 и x<6»?

Сам: постройте отрицание

Предположим обратное — придём к противоречию

Отрицание «хотя бы одно» — «все не»

Образец: a+b>10. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше 5.

Сам: докажите

Случайное число из 1–20: где верно условие?

Образец: случайное целое x от 1 до 20. P({3x>20x−4≤10​)?

Сам: та же урна 1–20

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Решите систему {x≥−1x<3​

б) Решите (x+2)(x−5)=0

в) Докажите: a+b>10 ⇒ a>5 или b>5

Решите и проверьте

Системы и совокупности

Уравнения

Подумайте и решите

Системы неравенств: выберите ответ

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-021 · Использование логических союзов в алгебре

Образец: решите систему ${2 x - 4 > 0 3 x \leq x + 10$

Образец: решите $(x - 3) (2 x + 5) = 0$

Образец: решите уравнение $\frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x + 3} = 0$

Образец: при каких $x$ ложно « $x \geq 2$ и $x < 6$ »?

Образец: $a + b > 10$ . Докажите, что хотя бы одно из чисел больше $5$ .

Случайное число из $1$ – $20$ : где верно условие?

Образец: случайное целое $x$ от $1$ до $20$ . $P ({3 x > 20 x - 4 \leq 10)$ ?

Сам: та же урна $1$ – $20$

а) Решите систему ${x \geq - 1 x < 3$

б) Решите $(x + 2) (x - 5) = 0$

в) Докажите: $a + b > 10$ ⇒ $a > 5$ или $b > 5$