Рассеивание данных · урок 4 из 5 · практическая работа

Практическая работа: рассеивание данных

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8U-015

1,5 мин · теория (орг. момент, тема и форма урока)
Паспорт: R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных» (5 ч), урок 4/5, единица R04.6 «Практическая работа». Тип урока — И (практическая работа-исследование): теория — короткие сводки и один демонстрационный пример, остальное — работа учеников (в электронной таблице, если есть компьютеры, иначе в тетради с калькулятором). Опора — VIS8U-012 (дисперсия и σ), VIS8U-013 (свойства дисперсии), VIS8U-014 (диаграммы рассеивания, линейная связь). Следующий урок VIS8U-016 — практикум по измерению рассеивания.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2,5 · 4 (сводка мер рассеивания и свойств) 3 · 5 (план практической работы) 2 · 9 (демонстрация: диаграмма рассеивания в таблице) 2,5 · 11 (прямая через средние точки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 7, 10, 12, 13) по 2,5 · исследование «среднее ± σ» (сл. 8) 3 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле: облако точек с прямой (связь двух величин) и точечная диаграмма с полосой «среднее ± σ» — два инструмента сегодняшней работы.
Подготовка: файл электронной таблицы с данными сл. 5 (20 баллов) и сл. 9 (6 пар «рост — прыжок») — раздать заранее; при нехватке времени сл. 13 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать в таблице

среднее, дисперсию, $σ$ и размах функциями СРЗНАЧ, ДИСП.Г, СТАНДОТКЛОН.Г (ПР-3)

Применять свойства

дисперсии при сдвиге и переводе единиц, формулу $D = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}$ (ПР-3)

Строить диаграмму рассеивания

и проводить прямую через средние точки для прогноза (ПР-3)

Исследовать данные

выдвигать гипотезу, проверять её расчётом, замечать выбросы (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-3: «Описывать данные с помощью средних значений и мер рассеивания (дисперсия и стандартное отклонение). Уметь строить и интерпретировать диаграммы рассеивания, иметь представление о связи между наблюдаемыми величинами».
Деятельность по ФРП (R04): «…использовать эти характеристики для описания рассеивания данных. Выдвигать гипотезы об отсутствии или наличии связи по диаграммам рассеивания. Строить диаграммы рассеивания по имеющимся данным, в том числе с помощью цифровых ресурсов».

повторение: VIS8U-012, VIS8U-013

Разминка · устно

Среднее, дисперсия, свойства

Вычислите

Среднее чисел $3, 5, 7, 9$ $6$
$D$ набора $2, 2, 2$ $0$
$D = 9$ . Найдите $σ$ $3$
$σ = 0, 5$ . Найдите $D$ $0, 25$

Как изменится?

$D = 4$ ; ко всем числам прибавили $10$ $D = 4$
$D = 4$ ; все числа умножили на $3$ $D = 36$
$σ = 2$ ; все числа умножили на $- 5$ $σ = 10$
$\overline{x^{2}} = 30$ , $\overline{x} = 5$ . Найдите $D$ $5$

R04.6 · опора R04.2, R04.3

Теория · сводка · меры рассеивания и их свойства

Инструменты практической работы

$2, 4, 5, 6, 8$ : $\overline{x} = 5$ , размах $8 - 2 = 6$

по определению: $D = \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = 4$

через средний квадрат: $D = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2} = 29 - 25 = 4$

$σ = D = 2$ в тех же единицах, что данные

x + c

:

D

не меняется

k x

:

D \to k^{2} D

,

σ \to ∣ k ∣ σ

3 мин · теория
Сводка уроков VIS8U-012 и VIS8U-013 на одном наборе 2, 4, 5, 6, 8. Среднее 25 : 5 = 5; отклонения −3, −1, 0, 1, 3 (отрезки на рисунке), квадраты 9, 1, 0, 1, 9 — сумма 20, D = 4.
Через средний квадрат: квадраты чисел 4, 16, 25, 36, 64 — сумма 145, среднее 29; D = 29 − 25 = 4. Эта формула удобна в таблице: столбец $x^{2}$ и одна функция СРЗНАЧ.
σ = 2: полоса «среднее ± σ» = [3; 7] (бирюзовая) — в ней 3 числа из 5. Сегодня проверим на большом наборе, какая доля данных обычно попадает в эту полосу (сл. 8).
Свойства: прибавление числа c сдвигает все точки — отклонения не меняются; умножение на k растягивает отклонения в |k| раз, квадраты — в $k^{2}$ раз.

R04.6

Теория · план практической работы в электронной таблице

Пять шагов: от данных к выводу

ДИСП.Г — дисперсия: сумма квадратов отклонений $: n$

СТАНДОТКЛОН.Г $= ДИСП . Г$

Не ДИСП.В: она делит на

n - 1

2 мин · теория
Данные практической работы — баллы 20 учеников за тест (из 10): 8, 5, 6, 10, 4, 7, 6, 3, 5, 8, 6, 7, 2, 4, 9, 6, 5, 7, 4, 8 (в таблице видны первые строки). Частоты: 2 — 1, 3 — 1, 4 — 3, 5 — 3, 6 — 4, 7 — 3, 8 — 3, 9 — 1, 10 — 1.
Результаты функций: СРЗНАЧ = 120 : 20 = 6; ДИСП.Г = 80 : 20 = 4 (сумма квадратов отклонений 1·16 + 1·9 + 3·4 + 3·1 + 0 + 3·1 + 3·4 + 1·9 + 1·16 = 80); СТАНДОТКЛОН.Г = 2; размах 10 − 2 = 8. Проверено вычислением.
Шаги 1–5 открываются по клику. В отчёте практической работы каждый шаг — отдельный пункт: данные, таблица, показатели, диаграмма, вывод.
Если компьютеров нет: учитель показывает таблицу на экране, ученики считают в тетради по частотам (сл. 8).

R04.6 · R04.2

Образец → сам · дисперсия двумя способами

Столбец квадратов — и формула через средний квадрат

Образец: найдите $D$ набора $3, 5, 6, 10$ двумя способами

$x$	$3$	$5$	$6$	$10$	среднее
$(x - \overline{x})^{2}$	$9$	$1$	$0$	$16$	$6, 5$
$x^{2}$	$9$	$25$	$36$	$100$	$42, 5$

1) $D = \frac{26}{4} = 6, 5$ среднее квадратов отклонений

2) $D = 42, 5 - 6^{2} =$ $6, 5$ $\overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}$

Сам

$D$ набора $1, 2, 4, 5$ — двумя способами $2, 5$
$\overline{x^{2}} = 20$ , $\overline{x} = 4$ . Найдите $D$ и $σ$ $4$ и $2$
$D = 9$ , $\overline{x} = 5$ . Найдите $\overline{x^{2}}$ $34$

2,5 мин · практика
Образец: среднее 24 : 4 = 6 (пунктир). Отклонения −3, −1, 0, 4; квадраты 9, 1, 0, 16 — сумма 26, D = 26 : 4 = 6,5. Квадраты чисел 9, 25, 36, 100 — сумма 170, среднее 42,5; D = 42,5 − 36 = 6,5 — совпало, это проверка расчёта.
1) Среднее 3; квадраты отклонений 4, 1, 1, 4 — 10 : 4 = 2,5; квадраты чисел 1, 4, 16, 25 — 46 : 4 = 11,5; 11,5 − 9 = 2,5. 2) D = 20 − 16 = 4, σ = 2. 3) Обратная задача: $\overline{x^{2}} = D + \overline{x}^{2} = 9 + 25 = 34$ . Все ответы проверены вычислением.
Вопрос классу: может ли $\overline{x^{2}}$ быть меньше $\overline{x}^{2}$ ? (Нет: разность равна D ≥ 0.)

R04.6 · R04.3

Образец → сам · свойства дисперсии при переводе единиц

Градусы Цельсия → градусы Фаренгейта

Образец: $t$ за $5$ дней: $11, 13, 14, 15, 17$ °C; $\overline{t} = 14$ , $σ = 2$ . Найдите $\overline{t}$ , $σ$ , $D$ в °F: $F = 1, 8 C + 32$

$\overline{t}_{F} = 1, 8 \cdot 14 + 32 = 57, 2$ среднее — по той же формуле

$σ_{F} = 1, 8 \cdot 2 = 3, 6$ $+ 32$ не влияет

$D_{F} = 3, 6^{2} =$ $12, 96$ $D \to k^{2} D$

Сам

Рост: $σ = 0, 05$ м. Найдите $σ$ и $D$ в сантиметрах $5$ см; $25 см^{2}$
Все цены выросли на $20$ ₽, было $σ = 15$ ₽ $σ = 15$ ₽
Все цены выросли на $10 %$ , было $σ = 30$ ₽. Найдите $σ$ и $D$ $33$ ₽; $1089$

2,5 мин · практика
Образец: D в °C = (9 + 1 + 0 + 1 + 9) : 5 = 4, σ = 2. На рисунке точки на шкалах °C и °F стоят на одних и тех же местах: перевод — это растяжение в 1,8 раза и сдвиг на 32, картинка не меняется, меняются подписи. Температуры в °F: 51,8; 55,4; 57,2; 59; 62,6 — проверка: среднее 57,2, D = 12,96, σ = 3,6.
1) 1 м = 100 см: σ = 0,05 · 100 = 5 см, $D = 25 см^{2}$ . 2) Сдвиг на 20 ₽ — σ не меняется: 15 ₽. 3) Умножение на 1,1: σ = 33 ₽, D = 33 · 33 = 1089 (в квадратных рублях). Все ответы проверены вычислением.

R04.6

Исследование · какая доля данных близка к среднему?

Баллы $20$ учеников: $\overline{x} = 6$ , $σ = 2$

Гипотеза: в полосе

\overline{x} \pm σ

— больше половины данных

$[6 - 2; 6 + 2] = [4; 8]$

$\frac{16}{20} = 80 %$ подтвердилась

$[2; 10]$ : $\frac{20}{20} = 100 %$

За

\overline{x} \pm 2 σ

— редкость: такие значения проверяют

3 мин · практика (исследование в группах по 3–4 человека)
Данные — те же 20 баллов, что в таблице сл. 5 (точечная диаграмма: одна точка — один ученик). Группы 30 с выдвигают гипотезу, затем считают точки в полосах. В [4; 8]: 3 + 3 + 4 + 3 + 3 = 16 из 20 — 80 %. В [2; 10]: все 20 — 100 %. Проверено вычислением.
В таблице: =СЧЁТЕСЛИМН(A2:A21;">=4";A2:A21;"<=8") — даёт 16. Для любознательных: у многих реальных данных в полосу ± σ попадает примерно 2/3 значений, в полосу ± 2σ — около 95 %.
Группам с другими наборами (рост, пульс класса) — то же исследование: доли получатся близкими. Вывод записать в отчёт.

R04.6 · опора R04.4

Теория · демонстрационный пример · диаграмма рассеивания в таблице

Рост и прыжок в длину с места у $6$ учеников

$\overline{x} = 165$ см

$\overline{y} = 178$ см

Точки идут вверх вдоль прямой — положительная линейная связь

2,5 мин · теория (учитель строит диаграмму на экране)
Данные: рост x (см) — 150, 155, 160, 170, 175, 180; прыжок y (см) — 160, 170, 168, 186, 184, 200. Средние: x̄ = 990 : 6 = 165, ȳ = 1068 : 6 = 178 — «центр облака» (165; 178), розовый ромб.
Порядок в таблице: выделить два столбца с числами → Вставка → Диаграмма → Точечная; подписать оси (с единицами). Первый столбец — по горизонтали.
Вопрос классу: значит ли связь, что рост «вызывает» дальний прыжок? (Нет: диаграмма показывает связь, а не причину; оба признака могут зависеть, например, от возраста.)

R04.6 · R04.4 · R04.5

Образец → сам · гипотеза о связи по диаграмме

Есть ли связь — и какая?

Образец: температура воздуха и продажи мороженого за $6$ дней

точки поднимаются слева направо $t$ больше — продаж больше

лежат близко к прямой облако узкое

гипотеза: положительная линейная связь

Сам: какая связь?

$t$ воздуха и продажи горячего чая отрицательная

рост и номер квартиры нет связи

возраст дерева и толщина ствола положительная

2,5 мин · практика
Образец: пары (t °C; шт.) — (16; 20), (18; 26), (21; 30), (24; 38), (27; 44), (30; 50). С ростом температуры продажи растут, точки лежат в узкой полосе около прямой (пунктир) — гипотеза о положительной линейной связи.
а) точки опускаются слева направо — отрицательная связь (в жару чая продают меньше). б) облако без направления — связи нет. в) точки поднимаются вдоль прямой — положительная связь.
Важно проговорить слово «гипотеза»: по 6–10 точкам мы предполагаем связь, а не доказываем её.

R04.5 · R04.6

Теория · прямая через средние точки

Как провести прямую через облако и сделать прогноз

1) делим точки по $x$ на две половины

2) средние точки $M_{1} (155; 166)$ , $M_{2} (175; 190)$

3) $k = \frac{190 - 166}{175 - 155} = 1, 2$ , $y = 1, 2 x - 20$

4) прогноз: $x = 168$ , $y = 181, 6$ см

Прямая проходит через центр

(165; 178)

2 мин · теория
Метод средних точек (метод Вальда): синие — три точки с меньшим ростом, оранжевые — с большим. $M_{1}$ : x = (150 + 155 + 160) : 3 = 155, y = (160 + 170 + 168) : 3 = 166. $M_{2}$ : x = (170 + 175 + 180) : 3 = 175, y = (186 + 184 + 200) : 3 = 190.
k = 24 : 20 = 1,2; b из 166 = 1,2 · 155 + b: b = 166 − 186 = −20. Проверка центром: 1,2 · 165 − 20 = 178 = ȳ ✓ (так всегда при равных половинах). Прогноз для роста 168 см: 1,2 · 168 − 20 = 201,6 − 20 = 181,6 см. Проверено вычислением.
Прогноз разумен внутри диапазона данных (150–180 см); для роста 100 см прямая даст 100 см — это уже не прогноз, а экстраполяция «наугад».

R04.5 · R04.6

Образец → сам · уравнение прямой и прогноз

Часы подготовки и баллы за тест

Образец: $x$ — $1, 2, 3, 5, 6, 7$ ч; $y$ — $3, 6, 6, 12, 13, 14$ баллов. Прогноз для $4$ ч

$M_{1} (2; 5)$ , $M_{2} (6; 13)$ средние половин

$k = \frac{13 - 5}{6 - 2} = 2$ , $5 = 2 \cdot 2 + b$ , $b = 1$

$y = 2 x + 1$ ; $x = 4$ : $9$ баллов

Сам

По прямой $y = 2 x + 1$ — прогноз для $8$ ч $17$
$M_{1} (2; 10)$ , $M_{2} (6; 4)$ . Уравнение прямой $y = - 1, 5 x + 13$
$y = 0, 5 x + 20$ . При каком $x$ прогноз $y = 30$ ? $x = 20$

R04.1 · R04.6

Образец → сам · выброс в данных

Одна опечатка — и дисперсия выросла в $46$ раз

Образец: А — $3, 5, 6, 7, 9$ ; Б — то же, но вместо $9$ записали $39$ . Сравните $D$ и медиану

А: $\overline{x} = 6$ , $D = \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = 4$

Б: $\overline{x} = 12$ , $D = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2} = 328 - 144 = 184$

медиана в обоих: $6$ $D$ чувствительна к выбросам

Сам

$D$ набора $2, 4, 4, 6$ и набора $2, 4, 4, 14$ $2$ и $22$
Что не изменится при замене $6$ на $14$ : среднее, медиана, размах? медиана
$10$ чисел: $\overline{x} = 10$ , $D = 4$ . Добавили число $10$ . Новая $D$ ? $\frac{40}{11} \approx 3, 64$

2,5 мин · практика
Образец: А — среднее 30 : 5 = 6, D = 20 : 5 = 4. Б — сумма 60, среднее 12; квадраты 9, 25, 36, 49, 1521 — сумма 1640, $\overline{x^{2}} = 328$ ; D = 328 − 144 = 184 (σ ≈ 13,6). 184 : 4 = 46 раз. Медиана (среднее по порядку) — 6 в обоих наборах.
1) Среднее 4, квадраты 4, 0, 0, 4 — D = 2; во втором среднее 6, квадраты 16, 4, 4, 64 — 88 : 4 = 22. 2) Медиана (4 + 4) : 2 = 4 не изменится; среднее 4 → 6, размах 4 → 12. 3) Сумма квадратов отклонений 10 · 4 = 40; новое число равно среднему — среднее не меняется, сумма квадратов та же, n = 11: D = 40/11 ≈ 3,64. Все ответы проверены вычислением.
Вывод для отчёта: перед расчётом проверить данные на выбросы (точка далеко за x̄ ± 2σ, сл. 8).

R04.2 · R04.3 · R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
при умножении на $k$ умножают $D$ на $k$	$D = 9, \times 2$ : $D = 18$	$D = 2^{2} \cdot 9 = 36$
сдвиг меняет $D$	$D (x + 5) = D + 5$	$D (x + 5) = D$
порядок в $\overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}$	$\overline{x}^{2} - \overline{x^{2}} = 25 - 29 = - 4$	$29 - 25 = 4$ , $D \geq 0$
в таблице взяли ДИСП.В	$2, 4, 6$ : $D = 4$	ДИСП.Г: $D = \frac{8}{3}$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Отклонения растут в 2 раза, их квадраты — в 4: D = 36 (σ = 6 = 2 · 3). 2) При сдвиге отклонения прежние — D не меняется. 3) Отрицательная дисперсия — верный признак ошибки: из среднего квадрата вычитают квадрат среднего (сл. 4: 29 − 25). 4) Набор 2, 4, 6: сумма квадратов отклонений 8; ДИСП.Г = 8 : 3 = 8/3 ≈ 2,67, ДИСП.В = 8 : 2 = 4. В 8 классе — ДИСП.Г (как в учебнике).
Ещё одна ошибка на диаграмме рассеивания — «связь = причина»: обсуждали на сл. 9.

R04.2 · R04.3 · R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик в отчёте?

а) $D$ набора $1, 3, 5$ через средний квадрат

$\overline{x} = 3$ , $\overline{x^{2}} = \frac{35}{3}$

$D = \frac{35 - 9}{3} = \frac{26}{3}$

$9$ вычли из суммы, а не из $\overline{x^{2}}$

$D = \frac{35}{3} - 9 = \frac{8}{3}$

б) $σ = 2$ °C. Найдите $σ$ в °F

$σ_{F} = 1, 8 \cdot 2 + 32 = 35, 6$

сдвиг $+ 32$ не меняет $σ$

$σ_{F} = 1, 8 \cdot 2 = 3, 6$

в) Прямая через $M_{1} (1; 3)$ и $M_{2} (5; 11)$

$k = \frac{11}{5} = 2, 2$

$y = 2, 2 x + 0, 8$

$k$ — отношение разностей

$k = \frac{11 - 3}{5 - 1} = 2$ , $y = 2 x + 1$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Квадраты 1, 9, 25 — сумма 35, $\overline{x^{2}} = 35/3$ ; D = 35/3 − 9 = 8/3 ≈ 2,67 (проверка по определению: квадраты отклонений 4, 0, 4 — 8/3 ✓). б) σ меняется только от множителя: 3,6. в) k = (11 − 3) : (5 − 1) = 2; b = 3 − 2 = 1; проверка $M_{2}$ : 2 · 5 + 1 = 11 ✓. У ученика прямая через $M_{1}$ проходит (2,2 + 0,8 = 3), но через $M_{2}$ — нет (2,2 · 5 + 0,8 = 11,8). Все ответы проверены вычислением.

R04.2 · R04.3 · R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Дисперсия и $σ$

$D$ набора $1, 3, 5, 7$ $5$
$σ$ набора $6, 6, 10, 10$ $2$
$\overline{x^{2}} = 50$ , $\overline{x} = 7$ . Найдите $D$ $1$
$D = 2, 5$ ; все числа умножили на $2$ $D = 10$

Свойства и прямая

$σ = 4$ ; из всех чисел вычли $7$ $σ = 4$
$y = 3 x - 2$ . Прогноз при $x = 5$ $13$
$M_{1} (1; 2)$ , $M_{2} (3; 8)$ . Найдите $k$ $3$

R04.2 · R04.3 · R04.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите $D$ набора $a, a + 2, a + 4, a + 6$ $5$ при любом $a$
повыш. $5$ чисел: $\overline{x} = 4$ , $D = 2$ . Найдите сумму квадратов чисел $90$
повыш.При каком $x$ дисперсия набора $2, 4, 6, 8, x$ наименьшая? Найдите её $x = 5$ , $D = 4$
из жизниОценки из $10$ -балльной шкалы перевели в $100$ -балльную ( $\times 10$ ); было $σ = 1, 2$ . Найдите $σ$ и $D$ $12$ и $144$

R04.2 · R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12

Расчёт по формуле — ответ числом

1. Дисперсию можно найти по формуле $D = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}$ . Найдите $D$ , если $\overline{x^{2}} = 40$ , $\overline{x} = 6$ .

Ответ: $4$

2. Стандартное отклонение находят по формуле $σ = D$ . Найдите $σ$ , если $D = 2, 56$ .

Ответ: $1, 6$

3. При переводе температур в °F стандартное отклонение находят по формуле $σ_{F} = 1, 8 σ_{C}$ . Найдите $σ_{C}$ , если $σ_{F} = 5, 4$ .

Ответ: $3$

R04.2 · R04.3 · R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$D$ набора $2, 4, 6, 8, 10$ $8$
$\overline{x^{2}} = 29$ , $\overline{x} = 5$ . Найдите $D$ $4$
Было $σ_{x} = 3$ , $y = 4 x + 1$ . Найдите $σ_{y}$ $12$
$M_{1} (2; 5)$ , $M_{2} (6; 13)$ . Уравнение прямой $y = 2 x + 1$

Вариант 2

$D$ набора $1, 4, 7, 10, 13$ $18$
$\overline{x^{2}} = 53$ , $\overline{x} = 7$ . Найдите $D$ $4$
Было $σ_{x} = 2$ , $y = - 3 x - 5$ . Найдите $σ_{y}$ $6$
$M_{1} (1; 9)$ , $M_{2} (5; 1)$ . Уравнение прямой $y = - 2 x + 11$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) Среднее 6; квадраты 16, 4, 0, 4, 16 — 40 : 5 = 8. 2) 29 − 25 = 4. 3) Каждое число умножили на 4 и прибавили 1: σ · 4 = 12 (+1 не влияет). 4) k = 8 : 4 = 2, b = 5 − 4 = 1.
Вариант 2: 1) Среднее 7; квадраты 36, 9, 0, 9, 36 — 90 : 5 = 18. 2) 53 − 49 = 4. 3) Каждое число умножили на −3 и вычли 5: σ · |−3| = 6. 4) k = (1 − 9) : (5 − 1) = −2, b = 9 + 2 = 11. Все ответы проверены вычислением.
3,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Отчёт о практической работе

Ответьте одной фразой

Какая доля данных — в полосе $\overline{x} \pm σ$ ?
Как меняется $σ$ при переводе единиц?
Как провести прямую через облако точек?

Домашнее задание

Измерьте рост и длину стопы у $8$ человек: $\overline{x}$ , $D$ , $σ$ , диаграмма рассеивания, прямая через средние точки, вывод
$D$ набора $4, 6, 7, 9, 14$ двумя способами
Тренажёры: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_dispersiya.htm и …/8_veroyatnost_diagramma-rasseivaniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: около 80 % в нашем наборе (обычно — больше половины, около 2/3); σ умножается на коэффициент перевода, сдвиг не влияет; разделить точки на две половины, найти средние точки и провести прямую через них.
Ответ ДЗ 2: среднее 40 : 5 = 8; квадраты отклонений 16, 4, 1, 1, 36 — 58 : 5 = 11,6; квадраты чисел 16, 36, 49, 81, 196 — 378 : 5 = 75,6; 75,6 − 64 = 11,6. ДЗ 1 — отчёт по плану сл. 5 (творческое).
Следующий урок — практикум «Измерение рассеивания числового массива» (VIS8U-016).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-015 · Описательная статистика. Рассеивание данных

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных», 5 ч · урок 4/5 · тип И · «Описательная статистика. Рассеивание данных»
Единицы → слайды	R04.6 «Практическая работа» → 2, 4–13, 20 · опора: R04.2 → 3, 4, 6, 13, 16, 18, 19 · R04.3 → 3, 4, 7, 14–19 · R04.4, R04.5 → 9–12, 15–17, 19
Результаты	ПР-3 (средние и меры рассеивания, диаграммы рассеивания, связь величин) → 2–20
Вне урока	определение дисперсии и σ — VIS8U-012; свойства дисперсии — VIS8U-013; диаграммы рассеивания и линейная связь — VIS8U-014; практикум по измерению рассеивания — VIS8U-016; коэффициент корреляции — не изучается
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практическая работа: рассеивание данных

Сегодня вы научитесь

Считать в таблице

Применять свойства

Строить диаграмму рассеивания

Исследовать данные

Среднее, дисперсия, свойства

Вычислите

Как изменится?

Инструменты практической работы

Пять шагов: от данных к выводу

Столбец квадратов — и формула через средний квадрат

Образец: найдите D набора 3, 5, 6, 10 двумя способами

Сам

Градусы Цельсия → градусы Фаренгейта

Образец: t за 5 дней: 11, 13, 14, 15, 17 °C; t=14, σ=2. Найдите t, σ, D в °F: F=1,8C+32

Сам

Баллы 20 учеников: x=6, σ=2

Рост и прыжок в длину с места у 6 учеников

Есть ли связь — и какая?

Образец: температура воздуха и продажи мороженого за 6 дней

Сам: какая связь?

Как провести прямую через облако и сделать прогноз

Часы подготовки и баллы за тест

Образец: x — 1, 2, 3, 5, 6, 7 ч; y — 3, 6, 6, 12, 13, 14 баллов. Прогноз для 4 ч

Сам

Одна опечатка — и дисперсия выросла в 46 раз

Образец: А — 3, 5, 6, 7, 9; Б — то же, но вместо 9 записали 39. Сравните D и медиану

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик в отчёте?

а) D набора 1, 3, 5 через средний квадрат

б) σ=2 °C. Найдите σ в °F

в) Прямая через M1​(1;3) и M2​(5;11)

Решите и проверьте

Дисперсия и σ

Свойства и прямая

Подумайте и решите

Расчёт по формуле — ответ числом

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Отчёт о практической работе

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-015 · Описательная статистика. Рассеивание данных

Образец: найдите $D$ набора $3, 5, 6, 10$ двумя способами

Образец: $t$ за $5$ дней: $11, 13, 14, 15, 17$ °C; $\overline{t} = 14$ , $σ = 2$ . Найдите $\overline{t}$ , $σ$ , $D$ в °F: $F = 1, 8 C + 32$

Баллы $20$ учеников: $\overline{x} = 6$ , $σ = 2$

Рост и прыжок в длину с места у $6$ учеников

Образец: температура воздуха и продажи мороженого за $6$ дней

Образец: $x$ — $1, 2, 3, 5, 6, 7$ ч; $y$ — $3, 6, 6, 12, 13, 14$ баллов. Прогноз для $4$ ч

Одна опечатка — и дисперсия выросла в $46$ раз

Образец: А — $3, 5, 6, 7, 9$ ; Б — то же, но вместо $9$ записали $39$ . Сравните $D$ и медиану

а) $D$ набора $1, 3, 5$ через средний квадрат

б) $σ = 2$ °C. Найдите $σ$ в °F

в) Прямая через $M_{1} (1; 3)$ и $M_{2} (5; 11)$

Дисперсия и $σ$