Описательная статистика · урок 3 из 5

Диаграммы рассеивания. Линейная связь

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8U-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных» (5 ч), урок 3/5, единицы R04.4 «Диаграммы рассеивания двух наблюдаемых величин» и R04.5 «Линейная связь на диаграмме рассеивания». Тип урока — Н. Уроки 1–2 строки — дисперсия, стандартное отклонение и их свойства (VIS8U-012, VIS8U-013); урок 4 — практическая работа (VIS8U-015), урок 5 — практикум (VIS8U-016).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (диаграмма рассеивания) 2 · 6 (виды связи, линейная связь) 2,5 · 8 (центр облака и знаки отклонений) 2 · 10 (прямая по двум средним точкам — учитель строит сам) 2,5 · 12 (сила связи, границы прогноза, связь ≠ причина) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задача из жизни (сл. 19) — в ДЗ; теорию не сокращать.
Hero: облако точек вытянуто вдоль прямой — линейная положительная связь $y \approx k x + b$ .

R04.4 · R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить и читать

диаграмму рассеивания: пара $(x; y)$ — точка (ПР-3)

Выдвигать гипотезу

о связи: положительная, отрицательная, нет, нелинейная (ПР-3)

Находить центр облака

$(\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ и по знакам отклонений судить о связи (ПР-3)

Проводить прямую $y = k x + b$

через две средние точки и делать прогноз в пределах данных

1 мин · теория
ПР-3: «Описывать данные с помощью средних значений и мер рассеивания (дисперсия и стандартное отклонение). Уметь строить и интерпретировать диаграммы рассеивания, иметь представление о связи между наблюдаемыми величинами». Вид деятельности ФРП: «Выдвигать гипотезы об отсутствии или наличии связи по диаграммам рассеивания. Строить диаграммы рассеивания по имеющимся данным, в том числе с помощью цифровых ресурсов».
Связь с алгеброй 7–8 класса: линейная функция $y = k x + b$ , угловой коэффициент $k$ — сегодня он описывает направление связи.

повторение:

y = k x + b

, VIS8U-013

Разминка · устно

Прямая, точки и свойства дисперсии

По рисунку

Координаты точки A $(1; 3)$
Какие точки лежат на прямой? A и C
Точка B выше или ниже прямой? ниже

Вычислите

$k$ прямой через $(0; 1)$ и $(2; 5)$ $2$
$y = 0, 5 x + 3$ при $x = 4$ $5$
Среднее: $2, 4, 9$ $5$
$D = 4$ ; ко всем прибавили $10$ . $D$ ? $4$
$σ = 3$ ; все умножили на $2$ . $σ$ ? $6$

R04.4

Новый материал · диаграмма рассеивания

Две величины у каждого объекта — точка $(x; y)$

часы $x$	$1$	$2$	$2$	$3$	$5$	$5$	$6$	$8$
балл $y$	$50$	$55$	$53$	$66$	$66$	$70$	$74$	$78$

Диаграмма рассеивания — множество точек $(x_{i}; y_{i})$ на координатной плоскости: одна точка — один объект.

1-й ученик: $x = 1, y = 50$ точка $(1; 50)$

Точки не соединяют: облако показывает, как связаны две величины.

2 мин · теория
У 8 учеников записали две наблюдаемые величины: x — сколько часов готовился к тесту, y — балл (из 100). Первый клик — точка первого ученика (1; 50) с пунктирами к осям; второй — остальные семь точек; третий — «облако» вытянуто вверх вправо.
Обратить внимание: у двух учеников x = 2 (баллы 55 и 53) — одному x соответствуют две точки, поэтому это не график функции, и точки ломаной не соединяют. Ось y начинается с 40 — подписи делений обязательны.
Вопрос классу: что видно по облаку? (Чем больше часов, тем, как правило, выше балл.) Есть ли исключение? (Ученик с 3 ч набрал 66 — столько же, сколько ученик с 5 ч.)
Цифровой ресурс: в электронной таблице два столбца → Вставка → Диаграмма → «Точечная» (будет на практической работе, VIS8U-015).

R04.4

Образец → сам · построение и чтение диаграммы

Температура $t$ и продажи кваса; пропуски и средний балл

Образец: 6 дней

$2 2^{\circ}$ → вверх до точки → $40$ стаканов чтение

$22 \to 2 4^{\circ}$ : $40 \to 38$ — исключение не каждый раз

в целом вверх → положительная связь

Сам: 8 учеников

Сколько учеников пропустили не меньше $4$ уроков? $3$
У скольких средний балл выше $4$ ? $5$
Какая связь? отрицательная

2,5 мин · практика
Образец: по таблице 6 дней (t, °C; продано стаканов кваса): (18; 30), (20; 34), (22; 40), (24; 38), (26; 48), (28; 52). Шаг 1 — чтение: над t = 22 точка на высоте 40. Шаг 2 — исключение: при переходе от 22 к 24 °C продажи упали с 40 до 38 (обведено красным). Шаг 3 — облако в целом поднимается вправо: связь положительная, «как правило», а не всегда.
Сам: точки (пропуски; балл): (0; 4,8), (1; 4,6), (2; 4,5), (2; 4,3), (3; 4,4), (4; 3,8), (5; 3,6), (6; 3,4). 1) x ≥ 4: (4; 3,8), (5; 3,6), (6; 3,4) — 3 ученика («не меньше» — включая 4). 2) y > 4: 4,8; 4,6; 4,5; 4,3; 4,4 — 5 учеников. 3) Облако опускается вправо — отрицательная связь: больше пропусков — как правило, ниже балл.
Подсказка: провести вертикаль x = 4 и горизонталь y = 4 и считать точки в нужной полосе.

R04.5

Новый материал · линейная связь

Облако вытянуто вдоль прямой — связь линейная

Положительная линейная

вдоль прямой, $k > 0$

Отрицательная линейная

вдоль прямой, $k < 0$

Связи нет

облако без направления

Нелинейная связь

вдоль кривой, не прямой

Линейная связь: точки группируются около прямой $y = k x + b$ ; знак $k$ — направление.

k > 0

x ↑\Rightarrow y ↑

k < 0

x ↑\Rightarrow y ↓

Точки лежат около прямой, а не на ней: связь статистическая.

2,5 мин · теория
Четыре типичных облака. 1) Положительная линейная: точки вдоль возрастающей прямой (k > 0) — «чем больше x, тем, как правило, больше y». 2) Отрицательная линейная: вдоль убывающей прямой (k < 0). 3) Связи нет: облако «круглое», по x нельзя предсказать y. 4) Нелинейная: точки вдоль кривой (дуга) — связь есть, но прямой её не описать; на левой части y растёт, на правой убывает.
Определение для углублённого уровня: связь называют линейной, если точки диаграммы рассеивания располагаются вблизи некоторой прямой y = kx + b; эту прямую называют прямой тренда (линией тренда в электронных таблицах).
Вопрос классу: может ли y = kx + b точно проходить через все точки? (Только если все точки на одной прямой — это функциональная, а не статистическая связь.) Вопрос: что значит k = 0? (Прямая горизонтальна: в среднем y не меняется — линейной связи нет.)

R04.5

Образец → сам · гипотеза о виде связи

Расстояние до школы и время дома утром

Образец: 9 учеников

$x$ растёт → точки опускаются направление

лежат около прямой → отрицательная линейная

гипотеза: дальше живёшь — раньше выходишь

Сам: какая связь?

А: рост → размер обуви

положительная линейная

Б: день рождения → оценка

связи нет

В: удобрение → урожай

нелинейная

Ответ — фразой «чем больше

x

, тем, как правило, …»

2,5 мин · практика
Образец: x — расстояние от дома до школы (км), y — сколько минут ученик после завтрака ещё остаётся дома. Пары: (1; 9,5), (2; 9), (3; 7,8), (4; 7,6), (5; 6,4), (6; 6), (7; 4,9), (8; 4,6), (9; 3,4). Шаги: направление — вниз вправо; форма — точки около прямой (по клику — прямая тренда); вывод-гипотеза. Слово «гипотеза» важно: по диаграмме причину не доказывают.
Сам: А — облако вверх вправо около прямой: положительная линейная (выше рост — как правило, больше размер обуви). Б — облако без направления: связи нет. В — дуга: урожай сначала растёт с дозой удобрения, потом падает (передозировка) — нелинейная связь.
Типичная ошибка в В: «точки и вверх, и вниз — связи нет». Связь есть, но не линейная.

R04.5

Новый материал · центр облака и знаки отклонений

Где лежат точки относительно $M (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$

\overset{x}{ˉ} = \frac{32}{8} = 4, \overset{y}{ˉ} = \frac{512}{8} = 64

знаки $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ и $y_{i} - \overset{y}{ˉ}$ одинаковы — точка в бирюзовой четверти

здесь $7$ точек « $+$ », $1$ точка « $-$ » $(3; 66)$

Больше в бирюзовых — связь положительная, в розовых — отрицательная, поровну — линейной связи не видно.

2 мин · теория
Те же 8 учеников, что на сл. 4. Центр облака — точка средних M(x̄; ȳ): x̄ = (1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 6 + 8) : 8 = 32 : 8 = 4; ȳ = (50 + 55 + 53 + 66 + 66 + 70 + 74 + 78) : 8 = 512 : 8 = 64.
Прямые x = 4 и y = 64 делят плоскость на четыре четверти. Отклонения x_i − x̄ и y_i − ȳ (как в дисперсии!) имеют одинаковые знаки в правой верхней (+ +) и левой нижней (− −) четвертях — там «больше среднего по x и больше среднего по y» или «меньше и меньше». Разные знаки — в двух розовых четвертях.
Точки: (1; 50), (2; 55), (2; 53) — «− −»; (5; 66), (5; 70), (6; 74), (8; 78) — «+ +»; (3; 66) — «− +». Итого 7 против 1: положительная связь.
Для учителя (дальше в 10–11 классах): точнее судить по знаку суммы произведений отклонений Σ(x_i − x̄)(y_i − ȳ) — это основа коэффициента корреляции. Здесь сумма = 164 > 0. Точку на линии x = x̄ или y = ȳ не относят ни к одной четверти.

R04.5

Образец → сам · знаки отклонений

Центр облака и вывод о связи без рисунка

Образец: $x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $9, 8, 6, 5, 2$

$\overset{x}{ˉ} = 3, \overset{y}{ˉ} = 30 : 5 = 6$ центр $M (3; 6)$

$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$- 2$	$- 1$	$0$	$+ 1$	$+ 2$
$y_{i} - \overset{y}{ˉ}$	$+ 3$	$+ 2$	$0$	$- 1$	$- 4$

знаки разные (или $0$ ) → отрицательная

Сам: центр и вид связи

$x$ : $1, 3, 5, 7, 9$ ; $y$ : $2, 5, 4, 8, 11$
$M (5; 6)$ , $4$ точки « $+$ » — положительная
$x$ : $2, 4, 6, 8$ ; $y$ : $7, 8, 3, 2$
$M (5; 5)$ , все « $-$ » — отрицательная
$x$ : $10, 20, 30, 40$ ; $y$ : $5, 9, 3, 7$
$M (25; 6)$ , $2$ и $2$ — не видно

2,5 мин · практика
Образец: x̄ = 15 : 5 = 3, ȳ = 30 : 5 = 6. Отклонения x: −2, −1, 0, 1, 2; y: 3, 2, 0, −1, −4. В парах знаки разные, у средней точки (3; 6) оба нуля — она совпадает с центром. Точки — в розовых четвертях: отрицательная связь (по клику — четверти на диаграмме).
Сам 1: x̄ = 25 : 5 = 5; ȳ = 30 : 5 = 6. Отклонения x: −4, −2, 0, 2, 4; y: −4, −1, −2, 2, 5. Пары (−4; −4), (−2; −1), (2; 2), (4; 5) — одинаковые знаки, точка (5; 4) на линии x = 5 не считается: 4 точки «+», положительная связь.
Сам 2: x̄ = 20 : 4 = 5; ȳ = 20 : 4 = 5. Отклонения x: −3, −1, 1, 3; y: 2, 3, −2, −3 — все пары разных знаков: отрицательная.
Сам 3: x̄ = 100 : 4 = 25; ȳ = 24 : 4 = 6. Отклонения x: −15, −5, 5, 15; y: −1, 3, −3, 1 → знаки «+», «−», «−», «+» — поровну: по четвертям линейной связи не видно (сумма произведений 15 − 15 − 15 + 15 = 0).
Удобно оформлять в тетради таблицей из двух строк отклонений, как в образце.

R04.5

Новый материал · прямая по двум средним точкам

Как провести прямую тренда не «на глаз»

1) упорядочить по $x$ , разбить пополам по $4$ точки

2) средние точки половин: $M_{1} (2; 56)$ , $M_{2} (6; 72)$

k = \frac{y ˉ _{2} - y ˉ _{1}}{x ˉ _{2} - x ˉ _{1}} = \frac{72 - 56}{6 - 2} = 4

3) $b = 56 - 4 \cdot 2 = 48$ → $y = 4 x + 48$

Прямая проходит и через центр

M (4; 64)

4 \cdot 4 + 48 = 64

2,5 мин · теория (учитель строит сам)
Метод двух средних точек. Упорядочили учеников по x: левая половина (1; 50), (2; 55), (2; 53), (3; 66); правая (5; 66), (5; 70), (6; 74), (8; 78).
M1: x̄₁ = (1 + 2 + 2 + 3) : 4 = 2, ȳ₁ = (50 + 55 + 53 + 66) : 4 = 224 : 4 = 56. M2: x̄₂ = (5 + 5 + 6 + 8) : 4 = 6, ȳ₂ = (66 + 70 + 74 + 78) : 4 = 288 : 4 = 72.
k = (72 − 56) : (6 − 2) = 16 : 4 = 4 — каждый час подготовки в среднем добавляет 4 балла. b из точки M1: 56 = 4 · 2 + b → b = 48. Прямая y = 4x + 48.
Почему через центр: при равных половинах M — середина отрезка M1M2 ((2 + 6) : 2 = 4, (56 + 72) : 2 = 64). Это удобная проверка.
При нечётном числе точек среднюю по x точку не берут ни в одну половину (или делают половины по n : 2 с округлением — договориться). В электронных таблицах «линию тренда» строят методом наименьших квадратов — прямая получится близкой.

R04.5

Образец → сам · уравнение прямой тренда

Две средние точки → $k$ → $b$ → прогноз

Образец: $(1; 5), (2; 7), (3; 6), (5; 12), (6; 13), (7; 17)$

$M_{1} (2; 6)$ , $M_{2} (6; 14)$ средние половин

$k = \frac{14 - 6}{6 - 2} = 2$ , $b = 6 - 2 \cdot 2 = 2$ $y = 2 x + 2$

прогноз при $x = 4$ : $y = 10$ внутри данных

Сам

$M_{1} (1; 3)$ , $M_{2} (5; 11)$ . Уравнение прямой? $y = 2 x + 1$
$(2; 11), (4; 9), (6; 4), (8; 0)$ . Прямая тренда? $y = - 2 x + 16$
Прямая $y = 3 x + b$ проходит через центр $(4; 20)$ . $b$ ? $8$

Проверка: прямая проходит через центр облака.

2,5 мин · практика
Образец: левая половина (1; 5), (2; 7), (3; 6): x̄₁ = 6 : 3 = 2, ȳ₁ = 18 : 3 = 6; правая (5; 12), (6; 13), (7; 17): x̄₂ = 18 : 3 = 6, ȳ₂ = 42 : 3 = 14. k = 8 : 4 = 2, b = 6 − 4 = 2, y = 2x + 2. Прогноз при x = 4 (между 3 и 5 — внутри диапазона данных): 2 · 4 + 2 = 10. Проверка через центр: x̄ = 24 : 6 = 4, ȳ = 60 : 6 = 10 ✓.
Сам 1: k = (11 − 3) : (5 − 1) = 2; b = 3 − 2 · 1 = 1; y = 2x + 1. Сам 2: M1 = ((2 + 4) : 2; (11 + 9) : 2) = (3; 10), M2 = (7; 2); k = (2 − 10) : (7 − 3) = −2; b = 10 + 6 = 16; y = −2x + 16 (отрицательная связь, k < 0). Сам 3 (обратная задача): 20 = 3 · 4 + b → b = 8.
Частая ошибка: k = Δx / Δy (перевёрнутая дробь) — в задании 1 получилось бы 0,5.

R04.5

Новый материал · сила связи и границы прогноза

Чем теснее облако, тем надёжнее прогноз

сильная: точки близко к прямой

слабая: широкий разброс

Связь ≠ причина: по диаграмме выдвигают гипотезу, а причину не доказывают.

прогноз — только внутри данных: $1 \leq x \leq 8$

2 мин · теория
Слева — два облака с одной и той же прямой тренда: у левого точки отходят от прямой мало (сильная связь), у правого — сильно (слабая). Направление одинаковое (k > 0), а надёжность прогноза разная. Связь с прошлыми уроками: «тесноту» оценивают разбросом отклонений точек от прямой — по смыслу это дисперсия отклонений.
Справа — наша прямая y = 4x + 48. Данные есть только для x от 1 до 8 ч (бирюзовая полоса). Внутри полосы прогноз разумен: x = 4 → 64, x = 7 → 76. Вне её прямая «ломается»: при x = 15 получаем 4 · 15 + 48 = 108 баллов, а максимум 100. Вывод: прогнозировать по прямой тренда можно только в пределах наблюдённых x (интерполяция), за пределами (экстраполяция) — нельзя без дополнительных знаний.
Связь ≠ причина: в городах, где больше пожарных машин, больше пожаров — общая причина — размер города. Учитель приводит пример сам, класс предлагает свой.

R04.5

Образец → сам · прогноз по прямой тренда

Пробег и цена автомобиля: $y = - 5 x + 900$

Образец: данные при $20 \leq x \leq 120$

$x = 60$ : $y = - 300 + 900 = 600$ прямая задача

$y = 500$ : $- 5 x = - 400$ , $x = 80$ обратная

$x = 200$ : $y = - 100$ — нельзя вне данных

Сам: $t$ и продажи мороженого

$y = 6 t - 40$ , данные при $15 \leq t \leq 30$

Прогноз при $t = 2 5^{\circ}$ $110$ шт.
При какой $t$ прогноз $80$ шт.? $2 0^{\circ}$
Прогноз при $t = - 1 0^{\circ}$ ? $- 100$ — нельзя

Сначала проверьте:

x

внутри данных?

2,5 мин · практика
Образец: x — пробег (тыс. км), y — цена (тыс. руб.) 7 одинаковых моделей автомобиля: (20; 800), (40; 690), (50; 660), (70; 540), (90; 470), (100; 380), (120; 320). Прямая тренда y = −5x + 900: каждые 1000 км пробега снижают цену в среднем на 5 тыс. руб. 1) x = 60 (внутри [20; 120]): −5 · 60 + 900 = 600 тыс. руб. 2) Обратная: −5x + 900 = 500 → x = 80 тыс. км. 3) x = 200 вне данных: −100 — отрицательная цена, прогноз бессмыслен.
Сам: 1) 6 · 25 − 40 = 110 шт. 2) 6t − 40 = 80 → t = 20 °C (внутри [15; 30]). 3) t = −10 вне данных: 6 · (−10) − 40 = −100 — продажи не бывают отрицательными; прямая работает только для 15–30 °C.
Проверка прямой по данным: центр облака x̄ = 490 : 7 = 70, ȳ = 3860 : 7 ≈ 551; по прямой при x = 70: 550 — близко.

R04.4 · R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Ситуация	Неверно	Верно
точки не на одной прямой	«линейной связи нет»	связь статистическая: точки около прямой
$M_{1} (1; 3)$ , $M_{2} (5; 11)$	$k = \frac{5 - 1}{11 - 3} = 0, 5$ перевёрнута	$k = \frac{11 - 3}{5 - 1} = 2$
$y = 4 x + 48$ , данные $1 \leq x \leq 8$	«за $15$ ч — $108$ баллов»	вне данных прогноз не делают
облако-дуга	«связи нет»	связь есть, нелинейная

Самопроверка: прямая тренда проходит через центр облака

M (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})

и «идёт» вдоль облака.

1,5 мин · практика
1) Линейная связь не требует, чтобы точки лежали на прямой: достаточно, чтобы облако было вытянуто вдоль неё (сл. 6). 2) Угловой коэффициент — изменение y на единицу x: Δy / Δx = 8 : 4 = 2; перевёрнутая дробь даёт 0,5. Проверка: при росте x на 4 прямая с k = 0,5 поднимется лишь на 2, а не на 8. 3) Прогноз — только внутри [1; 8] (сл. 12): 108 > 100 — невозможно. 4) Дуга — нелинейная связь (сл. 6–7).
Класс по очереди объясняет «почему», учитель открывает верный вариант.

R04.5

Найди ошибку

Ученик строил прямую тренда и сделал прогноз

$(1; 4), (2; 6), (3; 5), (4; 10), (5; 11), (6; 12)$

$M_{1} (2; 5)$ , $M_{2} (5; 11)$

$k = \frac{5 - 2}{11 - 5} = 0, 5$ , $b = 5 - 0, 5 \cdot 2 = 4$

$y = 0, 5 x + 4$ ; при $x = 30$ : $y = 19$

1) $k = \frac{11 - 5}{5 - 2} = 2$ , $b = 1$ : $y = 2 x + 1$

2) $x = 30$ вне $[1; 6]$ — прогноз делать нельзя

2 мин · практика
Средние точки найдены верно: левая половина (1; 4), (2; 6), (3; 5) → (6 : 3; 15 : 3) = (2; 5); правая (4; 10), (5; 11), (6; 12) → (15 : 3; 33 : 3) = (5; 11).
Ошибка 1: k — отношение изменения y к изменению x: (11 − 5) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2, а ученик перевернул дробь. Тогда b = 5 − 2 · 2 = 1, y = 2x + 1 (зелёная прямая — проходит через облако и центр (3,5; 8): 2 · 3,5 + 1 = 8 ✓). Красная прямая y = 0,5x + 4 явно «не идёт» вдоль облака — рисунок помогает поймать ошибку.
Ошибка 2: x = 30 далеко за пределами данных [1; 6] — экстраполяция; прогноз по прямой тренда там ненадёжен.
Ученики 1 минуту ищут ошибки, затем исправления по клику.

R04.4 · R04.5

Задания с самопроверкой · база

Рост $x$ и размах рук $y$ (см) у 8 учеников

$x$	$150$	$155$	$158$	$162$	$165$	$170$	$174$	$178$
$y$	$148$	$156$	$155$	$163$	$167$	$168$	$176$	$179$

Сколько учеников выше $160$ см? $5$
У скольких размах рук больше роста? $5$
Вид связи? положительная линейная
Центр облака $M (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ $(164; 164)$
Сколько точек в «розовых» четвертях? $0$
Прогноз по $y = x$ для роста $168$ см $168$ см

2,5 мин · практика
1) x > 160: 162, 165, 170, 174, 178 — 5. 2) y > x — точки выше прямой y = x: (155; 156), (162; 163), (165; 167), (174; 176), (178; 179) — 5; ниже: (150; 148), (158; 155), (170; 168). 3) Облако вытянуто вверх вправо вдоль прямой — положительная линейная связь. 4) Σx = 1312, Σy = 1312, x̄ = ȳ = 1312 : 8 = 164. 5) Относительно M(164; 164): точки с x < 164 имеют y = 148, 156, 155, 163 < 164 («− −»), точки с x > 164 имеют y = 167, 168, 176, 179 > 164 («+ +») — в розовых четвертях 0 точек. 6) 168 внутри данных [150; 178]: прогноз 168 см (размах рук примерно равен росту — известное наблюдение).
Задание 4 удобно считать через отклонения от 160: x: −10, −5, −2, 2, 5, 10, 14, 18 (сумма 32, среднее 4) → 164.

R04.5 · свойства R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Прямая тренда, центр облака и преобразования данных

Прямая тренда проходит через $M_{1} (2; 30)$ и $M_{2} (8; 12)$ . Её уравнение? $y = - 3 x + 36$
Ко всем значениям $y$ прибавили $5$ . Как изменятся $k$ и $b$ ? $k$ — нет, $b$ — на $+ 5$
Все $x$ умножили на $2$ (часы → получасы). Как изменится $k$ ? уменьшится в $2$ раза
Центр облака $(5; 20)$ , $k = 3$ . Прогноз при $x = 7$ $26$
$x$ : $1, 2, 3, 4$ ; $y$ : $4, a, 6, 8$ . При каком $a$ центр облака лежит на прямой $y = x + 3$ ? $a = 4$

2,5 мин · практика
1) k = (12 − 30) : (8 − 2) = −18 : 6 = −3; b = 30 + 3 · 2 = 36; y = −3x + 36 (проверка: −3 · 8 + 36 = 12 ✓).
2) Все точки сдвинулись вверх на 5: средние точки M1, M2 — тоже, Δy не изменилось → k тот же, b + 5 (как сдвиг не меняет дисперсию — облако не меняет форму).
3) x' = 2x. Было y = kx + b = k · (x'/2) + b = (k/2) · x' + b: k уменьшится в 2 раза, b не изменится. Смысл: за полчаса прирост вдвое меньше, чем за час.
4) Прямая проходит через центр: y = 20 + 3 · (7 − 5) = 26 (или b = 20 − 15 = 5, y = 21 + 5 = 26).
5) x̄ = 10 : 4 = 2,5; на прямой ȳ = 2,5 + 3 = 5,5 → сумма y = 22 → 4 + a + 6 + 8 = 22 → a = 4. Проверка: ȳ = 22 : 4 = 5,5 ✓.

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

10 учеников: часы сна $x$ и балл теста $y$

Случайно выбирают одного ученика. Найдите вероятность того, что

его балл не меньше $70$ $0, 5$
его точка лежит ниже прямой $y = 8 x + 12$ $0, 6$
он спал не меньше $8$ ч и набрал не меньше $70$ $0, 4$

P = \frac{число подходящих точек}{10}

R04.5

Задача из жизни · цена квартиры

Площадь $x$ (м²) и цена $y$ (млн руб.) 6 квартир в одном доме

$x$	$30$	$40$	$50$	$60$	$70$	$80$
$y$	$6$	$8$	$7$	$11$	$13$	$15$

Прямая тренда по двум средним точкам $y = 0, 2 x - 1$
Сколько в среднем стоит $1$ м²? $0, 2$ млн руб.
Квартира $65$ м² продаётся за $10, 5$ млн. Дешевле прогноза? да, на $1, 5$ млн

R04.4 · R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ; $y$ : $4, 6, 5, 10, 12, 11$

Какая связь? положительная линейная
Средние точки половин $(2; 5)$ , $(5; 11)$
Уравнение прямой тренда $y = 2 x + 1$
Прогноз при $x = 4, 5$ $10$

Вариант 2 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ; $y$ : $14, 12, 13, 7, 8, 6$

Какая связь? отрицательная линейная
Средние точки половин $(2; 13)$ , $(5; 7)$
Уравнение прямой тренда $y = - 2 x + 17$
Прогноз при $x = 2, 5$ $12$

4 мин · практика
Вариант 1: точки поднимаются вдоль прямой — положительная линейная. M1 = (6 : 3; 15 : 3) = (2; 5), M2 = (15 : 3; 33 : 3) = (5; 11). k = 6 : 3 = 2, b = 5 − 4 = 1: y = 2x + 1. При x = 4,5: 9 + 1 = 10. Проверка через центр (3,5; 8): 2 · 3,5 + 1 = 8 ✓.
Вариант 2: точки опускаются — отрицательная линейная. M1 = (2; 39 : 3) = (2; 13), M2 = (5; 21 : 3) = (5; 7). k = (7 − 13) : 3 = −2, b = 13 + 4 = 17: y = −2x + 17. При x = 2,5: −5 + 17 = 12. Проверка через центр (3,5; 10): −7 + 17 = 10 ✓.
Критерии: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2. Взаимопроверка в парах: прямая должна проходить через центр облака.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда связь называют линейной?
Что показывает знак $k$ ?
Почему прогноз нельзя делать вне данных?

Домашнее задание

Рост и размер обуви $6$ – $8$ знакомых: диаграмма, центр, прямая тренда
То же — в электронной таблице: «Точечная» + линия тренда
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_diagramma-rasseivaniya.htm

1 мин · практика
Ответы: линейная — точки группируются около прямой y = kx + b; знак k — направление (k > 0 — положительная, k < 0 — отрицательная); вне диапазона наблюдённых x прямая не обязана описывать данные (108 баллов из 100).
ДЗ: сравнить свою прямую по двум средним точкам с линией тренда электронной таблицы (Диаграмма → Элементы → Линия тренда → Линейная, «показывать уравнение»).
Следующий урок (VIS8U-015): практическая работа «Описательная статистика. Рассеивание данных» — дисперсия, σ и диаграммы рассеивания в электронных таблицах.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-014 · Диаграммы рассеивания. Линейная связь

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных», 5 ч · урок 3/5 · тип Н
Единицы → слайды	R04.4 «Диаграммы рассеивания двух наблюдаемых величин» → 4–5, 7, 16, 18 · R04.5 «Линейная связь на диаграмме рассеивания» → 6–15, 17, 19–20 · R04.3 (свойства дисперсии) — разминка и сл. 17
Результаты	ПР-3 (средние, меры рассеивания, диаграммы рассеивания, связь между величинами) → 3–21 · ПР-2 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 18
Вне урока	практическая работа в электронных таблицах — VIS8U-015; коэффициент корреляции и метод наименьших квадратов — старшие классы (только в заметках сл. 8, 10)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Диаграммы рассеивания. Линейная связь

Сегодня вы научитесь

Строить и читать

Выдвигать гипотезу

Находить центр облака

Проводить прямую y=kx+b

Прямая, точки и свойства дисперсии

По рисунку

Вычислите

Две величины у каждого объекта — точка (x; y)

Температура t и продажи кваса; пропуски и средний балл

Образец: 6 дней

Сам: 8 учеников

Облако вытянуто вдоль прямой — связь линейная

Положительная линейная

Отрицательная линейная

Связи нет

Нелинейная связь

Расстояние до школы и время дома утром

Образец: 9 учеников

Сам: какая связь?

Где лежат точки относительно M(xˉ; yˉ​)

Центр облака и вывод о связи без рисунка

Образец: x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 9, 8, 6, 5, 2

Сам: центр и вид связи

Как провести прямую тренда не «на глаз»

Две средние точки → k → b → прогноз

Образец: (1;5), (2;7), (3;6), (5;12), (6;13), (7;17)

Сам

Чем теснее облако, тем надёжнее прогноз

Пробег и цена автомобиля: y=−5x+900

Образец: данные при 20≤x≤120

Сам: t и продажи мороженого

Неверно → почему → верно

Ученик строил прямую тренда и сделал прогноз

Рост x и размах рук y (см) у 8 учеников

Прямая тренда, центр облака и преобразования данных

10 учеников: часы сна x и балл теста y

Площадь x (м²) и цена y (млн руб.) 6 квартир в одном доме

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 4, 6, 5, 10, 12, 11

Вариант 2 · x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 14, 12, 13, 7, 8, 6

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-014 · Диаграммы рассеивания. Линейная связь

Проводить прямую $y = k x + b$

Две величины у каждого объекта — точка $(x; y)$

Температура $t$ и продажи кваса; пропуски и средний балл

Где лежат точки относительно $M (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$

Образец: $x$ : $1, 2, 3, 4, 5$ ; $y$ : $9, 8, 6, 5, 2$

Две средние точки → $k$ → $b$ → прогноз

Образец: $(1; 5), (2; 7), (3; 6), (5; 12), (6; 13), (7; 17)$

Пробег и цена автомобиля: $y = - 5 x + 900$

Образец: данные при $20 \leq x \leq 120$

Сам: $t$ и продажи мороженого

Рост $x$ и размах рук $y$ (см) у 8 учеников

10 учеников: часы сна $x$ и балл теста $y$

Площадь $x$ (м²) и цена $y$ (млн руб.) 6 квартир в одном доме

Вариант 1 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ; $y$ : $4, 6, 5, 10, 12, 11$

Вариант 2 · $x$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ; $y$ : $14, 12, 13, 7, 8, 6$