Рассеивание данных · урок 2 из 5

Свойства дисперсии и стандартного отклонения

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8U-013

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных» (5 ч), урок 2/5, единица R04.3 «Свойства дисперсии и стандартного отклонения». Тип урока — Н. Опора: VIS8U-012 (рассеивание, дисперсия и стандартное отклонение), формулы сокращённого умножения (алгебра 7), модуль числа.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (неотрицательность, сдвиг) 2,5 · 6 (умножение на число) 2,5 · 8 (схема $y = k x + b$ ) 1,5 · 10 (формула $D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ , вывод) 3 · 13 (сводка, электронная таблица) 1,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 2 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 5 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле: набор $2; 4; 5; 6; 8$ ( $σ = 2$ ) и набор, умноженный на 2 ( $σ = 4$ ): пунктирные полосы — $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ .
Если не успеваете: задание 3 сл. 12 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сдвиг набора

понимать, почему от прибавления числа $D$ и $σ$ не меняются, и упрощать вычисления (ПР-3)

Умножение на число

находить $D$ и $σ$ набора $k x + b$ : $D$ — в $k^{2}$ раз, $σ$ — в $∣ k ∣$ раз (ПР-3)

Вторая формула

выводить и применять $D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ (ПР-3)

Обратные задачи

по $\overset{x}{ˉ}$ и $σ$ находить сумму квадратов, коэффициент $k$ , переводить единицы (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-3: «Описывать данные с помощью средних значений и мер рассеивания (дисперсия и стандартное отклонение). Уметь строить и интерпретировать диаграммы рассеивания, иметь представление о связи между наблюдаемыми величинами» — сегодня первая часть результата.
Единица ФРП: R04.3 «Свойства дисперсии и стандартного отклонения». Деятельность по строке: «Осваивать понятия: дисперсия и стандартное отклонение, использовать эти характеристики для описания рассеивания данных».

повторение: R04.1, R04.2

Разминка · устно

Дисперсия, корни, скобки

Набор $1; 3; 5; 7$

среднее $\overset{x}{ˉ}$ $4$
отклонения $- 3; - 1; 1; 3$
дисперсия $D$ $5$
$D = 25$ , найдите $σ$ $5$

Упростите

$(x + 3) - (\overset{x}{ˉ} + 3)$ $x - \overset{x}{ˉ}$
$(2 a)^{2}$ $4 a^{2}$
$(a - b)^{2}$ $a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$∣ - 3∣$ $3$

R04.3

Новое понятие · свойства 1 и 2: неотрицательность и сдвиг

Сдвиг набора не меняет разброс

1. $D \geq 0$ , $σ \geq 0$ ; $D = 0$ только если все числа равны.

2. $y_{i} = x_{i} + c$ $\Rightarrow$ $D_{y} = D_{x}$ , $σ_{y} = σ_{x}$

$\overset{y}{ˉ} = \overset{x}{ˉ} + c$ среднее сдвинулось

$y_{i} - \overset{y}{ˉ} = (x_{i} + c) - (\overset{x}{ˉ} + c) = x_{i} - \overset{x}{ˉ}$

отклонения те же $\Rightarrow$ квадраты и $D$ те же

2,5 мин · теория
Свойство 1: $D$ — среднее квадратов, а квадраты неотрицательны; сумма неотрицательных равна 0 только если все слагаемые 0, то есть все $x_{i} = \overset{x}{ˉ}$ .
Свойство 2 на чертеже: набор $2; 4; 5; 6; 8$ ( $\overset{x}{ˉ} = 5$ ) и набор $5; 7; 8; 9; 11$ ( $\overset{y}{ˉ} = 8$ ). Вся «картинка» точек сдвинулась на 3 вправо, расстояния до среднего не изменились: $- 3, - 1, 0, 1, 3$ . $D = 20/5 = 4$ , $σ = 2$ в обоих наборах.
Вопрос классу: что будет, если вычесть из всех чисел 5? (Получим отклонения $- 3; - 1; 0; 1; 3$ , разброс тот же.) Это и есть приём упрощения на следующем слайде.

R04.3

Образец → сам · сдвиг упрощает вычисления

Вычтем удобное число

Образец: годы рождения $1997; 1999; 2000; 2001; 2003$ . Найдите $D$

вычтем $2000$ : $- 3; - 1; 0; 1; 3$ $D$ не изменится

$y = x - 2000$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
$(y - \overset{y}{ˉ})^{2}$	$9$	$1$	$0$	$1$	$9$

$\overset{y}{ˉ} = 0$ , $D = \frac{20}{5}$ = $4$ , $σ = 2$

Сам

$D$ набора $101; 103; 105; 107$ $5$
$D$ набора $3, 7; 3, 9; 4, 1; 4, 3$ $0, 05$
У набора $σ = 3$ . Ко всем числам прибавили $100$ . Найдите $D$ нового набора $9$

R04.3

Новое понятие · свойство 3: умножение на число

Растяжение в $k$ раз

3. $y_{i} = k x_{i}$ $\Rightarrow$ $D_{y} = k^{2} D_{x}$ , $σ_{y} = ∣ k ∣ σ_{x}$

$\overset{y}{ˉ} = k \overset{x}{ˉ}$ среднее умножилось

$y_{i} - \overset{y}{ˉ} = k x_{i} - k \overset{x}{ˉ} = k (x_{i} - \overset{x}{ˉ})$

$(y_{i} - \overset{y}{ˉ})^{2} = k^{2} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ квадрат

$D_{y} = k^{2} D_{x}$ , $σ_{y} = k^{2} D_{x} = ∣ k ∣ σ_{x}$

R04.3 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: перевод единиц

Килограммы → граммы

Образец: масса пачек $\overset{x}{ˉ} = 1$ кг, $σ = 0, 02$ кг. Найдите $σ$ и $D$ в граммах

граммы: $y = 1000 x$ , $k = 1000$ умножение на число

$σ_{y} = 1000 \cdot 0, 02 = 20$ г $σ$ — в $∣ k ∣$ раз

$D_{y} = 2 0^{2}$ = $400 г^{2}$ или $100 0^{2} \cdot 0, 0004$

Сам

Длина: $D = 9 см^{2}$ . Найдите $D$ в $мм^{2}$ $900$
Цены: $σ = 150$ руб. Найдите $σ$ в тысячах рублей $0, 15$
Все числа набора с $σ = 3$ умножили на $- 2$ . Найдите $σ$ и $D$ $6$ и $36$

R04.3

Новое понятие · линейное преобразование набора

Сначала растягиваем, потом сдвигаем

b

влияет только на среднее;

D

и

σ

зависят только от

k

.

R04.3 · из жизни

Образец → сам · линейное преобразование и обратная задача

Градусы Цельсия → Фаренгейта

Образец: температура за неделю $\overset{x}{ˉ} = 10^{\circ} C$ , $σ = 5^{\circ} C$ . Перевод: $F = 1, 8 C + 32$

$\overset{y}{ˉ} = 1, 8 \cdot 10 + 32 = 50^{\circ} F$ среднее — по формуле

$σ_{y} = 1, 8 \cdot 5$ = $9^{\circ} F$ $+ 32$ не влияет

$D_{y} = 1, 8^{2} \cdot 25 = 81$

Сам

$y = 3 x - 7$ , $\overset{x}{ˉ} = 4$ , $D_{x} = 2$ . Найдите $\overset{y}{ˉ}$ , $D_{y}$ $5$ и $18$
$y = - x + 10$ , $σ_{x} = 2, 5$ . Найдите $σ_{y}$ $2, 5$
$y = k x + 1$ , $k > 0$ , $D_{x} = 4$ , $D_{y} = 36$ . Найдите $k$ $3$

R04.3

Новое понятие · свойство 4: вторая формула дисперсии

Среднее квадратов минус квадрат среднего

D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}

$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = x_{i}^{2} - 2 \overset{x}{ˉ} x_{i} + \overset{x}{ˉ}^{2}$ квадрат разности

усредняем: $D = \overline{x^{2}} - 2 \overset{x}{ˉ} \cdot \overset{x}{ˉ} + \overset{x}{ˉ}^{2}$ среднее $x_{i}$ — это $\overset{x}{ˉ}$

$D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ приводим подобные

$x$	$1$	$2$	$3$	$6$	$\overset{x}{ˉ} = 3$
$x^{2}$	$1$	$4$	$9$	$36$	$\overline{x^{2}} = 12, 5$

3 мин · теория (вывод ведёт учитель, ученики записывают)
$\overline{x^{2}}$ — среднее квадратов: $\frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n}$ . При усреднении $\frac{1}{n} \sum 2 \overset{x}{ˉ} x_{i} = 2 \overset{x}{ˉ} \cdot \frac{1}{n} \sum x_{i} = 2 \overset{x}{ˉ}^{2}$ , а постоянное слагаемое $\overset{x}{ˉ}^{2}$ остаётся собой.
Пример $1; 2; 3; 6$ : $\overset{x}{ˉ} = 12/4 = 3$ , $\overline{x^{2}} = 50/4 = 12, 5$ , $D = 12, 5 - 9 = 3, 5$ . Проверка первой формулой: отклонения $- 2, - 1, 0, 3$ , квадраты $4, 1, 0, 9$ , $14/4 = 3, 5$ ✓.
Столбик справа: среднее квадратов складывается из квадрата среднего (бирюзовая часть) и дисперсии (розовая). Следствие: $\overline{x^{2}} \geq \overset{x}{ˉ}^{2}$ , равенство — только когда все числа равны (свойство 1).

R04.3

Образец → сам · дисперсия по второй формуле

Без таблицы отклонений

Образец: найдите $D$ набора $1; 2; 2; 3; 7$

$x$	$1$	$2$	$2$	$3$	$7$
$x^{2}$	$1$	$4$	$4$	$9$	$49$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{15}{5} = 3$ , $\overline{x^{2}} = \frac{67}{5} = 13, 4$

$D = 13, 4 - 9$ = $4, 4$

Сам: найдите $D$

$1; 2; 3; 4; 5$ $2$
$0; 2; 4; 6$ $5$
$- 1; 0; 1; 4$ $3, 5$

R04.3

Образец → сам · обратная задача: сумма квадратов

Знаем $n$ , $\overset{x}{ˉ}$ и $σ$ — найдём $\sum x_{i}^{2}$

Образец: $20$ чисел, $\overset{x}{ˉ} = 6$ , $σ = 2$ . Найдите сумму их квадратов

$D = σ^{2} = 4$

$\overline{x^{2}} = D + \overset{x}{ˉ}^{2} = 4 + 36 = 40$

$\sum x_{i}^{2} = n \cdot \overline{x^{2}} = 20 \cdot 40$ = $800$

Сам

$\overset{x}{ˉ} = 3$ , $\overline{x^{2}} = 13$ . Найдите $σ$ $2$
$5$ чисел: сумма $20$ , сумма квадратов $100$ . Найдите $D$ $4$
$4$ числа: $\overset{x}{ˉ} = 5$ , $σ = 0$ . Найдите сумму квадратов $100$

R04.3

Теория · сводка свойств

Четыре свойства и проверка в таблице

Свойство	Формула
1. неотрицательность	$D \geq 0$ ; $D = 0 ⟺$ все равны
2. сдвиг на $c$	$D_{x + c} = D_{x}$ , $σ_{x + c} = σ_{x}$
3. умножение на $k$	$D_{k x} = k^{2} D_{x}$ , $σ_{k x} = ∣ k ∣ σ_{x}$
4. вторая формула	$D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сдвиг	прибавили $5$ — $D$ выросла на $5$	сдвиг не меняет $D$ и $σ$
умножение	$\times 3$ : $D$ тоже в $3$ раза	$D$ в $3^{2} = 9$ раз, $σ$ в $3$ раза
отрицательное $k$	$y = - 2 x$ , $σ_{x} = 3$ : $σ_{y} = - 6$	$σ_{y} = ∣ - 2∣ \cdot 3 = 6$
вторая формула	$D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}$ или $\overset{x}{ˉ}^{2} - \overline{x^{2}}$	$D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2} \geq 0$

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $y = 3 x + 4$ , $D_{x} = 2$ . Найдите $D_{y}$

$D_{y} = 3 \cdot 2 + 4 = 10$

$+ 4$ не влияет, $3$ — в квадрате

$D_{y} = 3^{2} \cdot 2 = 18$

б) Набор $2; 4; 6; 8$ , найдите $D$

$\overset{x}{ˉ} = 5$ , $\overline{x^{2}} = 120 : 4 = 30$

$D = 30 - 5 = 25$

вычитаем $\overset{x}{ˉ}^{2} = 25$

$D = 30 - 25 = 5$

в) $y = - 2 x$ , $σ_{x} = 1, 5$ . Найдите $σ_{y}$ и $D_{y}$

$σ_{y} = - 3$ , $D_{y} = 9$

$σ_{y} = ∣ - 2∣ \cdot 1, 5 = 3$

$D_{y} = 9$ — верно

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Как изменится разброс?

$D = 6$ ; ко всем числам прибавили $4$ . Новая $D$ $6$
$σ = 2$ ; все числа умножили на $5$ . Новое $σ$ $10$
$D = 3$ ; все числа умножили на $4$ . Новая $D$ $48$

Найдите

$D$ набора $1001; 1003; 1005; 1007; 1009$ $8$
$D$ , если $\overline{x^{2}} = 30$ , $\overset{x}{ˉ} = 5$ $5$
$y = 2 x - 3$ , $\overset{x}{ˉ} = 7$ , $σ_{x} = 1, 5$ : $\overset{y}{ˉ}$ , $σ_{y}$ $11$ и $3$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и обоснуйте

повыш.Набор: $\overset{x}{ˉ} = 10$ , $σ = 4$ . Подберите $y = k x + b$ , $k > 0$ , чтобы $\overset{y}{ˉ} = 0$ , $σ_{y} = 1$ $y = \frac{x - 10}{4}$
повыш.Докажите, что для любого набора $\overline{x^{2}} \geq \overset{x}{ˉ}^{2}$ . Когда равенство? $D \geq 0$ ; все равны
повыш.Докажите: у набора из двух чисел $a$ , $b$ $σ = \frac{∣ a - b ∣}{2}$ . Найдите $σ$ для $3; 11$ $4$
из жизниБаллы теста: $\overset{x}{ˉ} = 60$ , $σ = 8$ . Шкалу пересчитали: $y = 1, 25 x$ . Найдите $\overset{y}{ˉ}$ , $σ_{y}$ $75$ и $10$

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 6 и 12 · вычисления и расчёт по формуле

Ответ — целым числом или десятичной дробью

1. Найдите значение выражения $\frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 7 ^{2}}{5} - 3^{2}$ .

Ответ: $4, 4$

2. Перевод температуры: $t_{F} = 1, 8 t_{C} + 32$ . Сколько градусов по Фаренгейту составляют $- 25$ °C?

Ответ: $- 13$

3. Найдите среднее квадратов $\overline{x^{2}}$ , если $D = 6, 25$ и $\overset{x}{ˉ} = 1, 5$ . Формула: $D = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ .

Ответ: $8, 5$

R04.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Набор $x$ : $\overset{x}{ˉ} = 8$ , $D = 9$

$D$ набора $x + 12$ $9$
$σ$ набора $2 x$ $6$
$\overset{y}{ˉ}$ и $D_{y}$ для $y = - 3 x + 1$ $- 23$ и $81$
$D$ набора $3; 5; 6; 10$ по формуле $\overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ $6, 5$

Вариант 2

Набор $x$ : $\overset{x}{ˉ} = 5$ , $D = 4$

$D$ набора $x - 7$ $4$
$σ$ набора $3 x$ $6$
$\overset{y}{ˉ}$ и $D_{y}$ для $y = - 2 x + 9$ $- 1$ и $16$
$D$ набора $1; 4; 5; 6$ по формуле $\overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ $3, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему сдвиг не меняет $D$ ?
Во сколько раз меняются $D$ и $σ$ при умножении на $k$ ?
Когда $\overline{x^{2}} = \overset{x}{ˉ}^{2}$ ?

Домашнее задание

$D$ набора $2003; 2005; 2006; 2010$
$y = 4 x - 1$ , $σ_{x} = 0, 5$ : найдите $σ_{y}$ , $D_{y}$
$D$ набора $2; 3; 5; 6$ по второй формуле
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_dispersiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-013 · Свойства дисперсии и стандартного отклонения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных», 5 ч · урок 2/5 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Свойства дисперсии и стандартного отклонения» → 2, 4–20 · повторение R04.1 «Измерение рассеивания числового массива», R04.2 «Дисперсия и стандартное отклонение числового набора» → 3, 5, 11
Результаты	ПР-3 (средние значения и меры рассеивания: дисперсия и стандартное отклонение) → 2–20
Вне урока	диаграммы рассеивания и линейная связь — VIS8U-014; практическая работа — VIS8U-015; стандартизация $y = (x - \overset{x}{ˉ}) / σ$ — только как задача повышенного уровня (сл. 17)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства дисперсии и стандартного отклонения

Сегодня вы научитесь

Сдвиг набора

Умножение на число

Вторая формула

Обратные задачи

Дисперсия, корни, скобки

Набор 1; 3; 5; 7

Упростите

Сдвиг набора не меняет разброс

Вычтем удобное число

Образец: годы рождения 1997; 1999; 2000; 2001; 2003. Найдите D

Сам

Растяжение в k раз

Килограммы → граммы

Образец: масса пачек xˉ=1 кг, σ=0,02 кг. Найдите σ и D в граммах

Сам

Сначала растягиваем, потом сдвигаем

Градусы Цельсия → Фаренгейта

Образец: температура за неделю xˉ=10 ∘C, σ=5 ∘C. Перевод: F=1,8C+32

Сам

Среднее квадратов минус квадрат среднего

Без таблицы отклонений

Образец: найдите D набора 1; 2; 2; 3; 7

Сам: найдите D

Знаем n, xˉ и σ — найдём ∑xi2​

Образец: 20 чисел, xˉ=6, σ=2. Найдите сумму их квадратов

Сам

Четыре свойства и проверка в таблице

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) y=3x+4, Dx​=2. Найдите Dy​

б) Набор 2; 4; 6; 8, найдите D

в) y=−2x, σx​=1,5. Найдите σy​ и Dy​

Решите и проверьте

Как изменится разброс?

Найдите

Подумайте и обоснуйте

Ответ — целым числом или десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-013 · Свойства дисперсии и стандартного отклонения

Набор $1; 3; 5; 7$

Образец: годы рождения $1997; 1999; 2000; 2001; 2003$ . Найдите $D$

Растяжение в $k$ раз

Образец: масса пачек $\overset{x}{ˉ} = 1$ кг, $σ = 0, 02$ кг. Найдите $σ$ и $D$ в граммах

Образец: температура за неделю $\overset{x}{ˉ} = 10^{\circ} C$ , $σ = 5^{\circ} C$ . Перевод: $F = 1, 8 C + 32$

Образец: найдите $D$ набора $1; 2; 2; 3; 7$

Сам: найдите $D$

Знаем $n$ , $\overset{x}{ˉ}$ и $σ$ — найдём $\sum x_{i}^{2}$

Образец: $20$ чисел, $\overset{x}{ˉ} = 6$ , $σ = 2$ . Найдите сумму их квадратов

а) $y = 3 x + 4$ , $D_{x} = 2$ . Найдите $D_{y}$

б) Набор $2; 4; 6; 8$ , найдите $D$

в) $y = - 2 x$ , $σ_{x} = 1, 5$ . Найдите $σ_{y}$ и $D_{y}$