Описательная статистика. Рассеивание данных · урок 1 из 5

Измерение рассеивания. Дисперсия и стандартное отклонение

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8U-012

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных» (5 ч), урок 1/5, единицы R04.1 «Измерение рассеивания числового массива», R04.2 «Дисперсия и стандартное отклонение числового набора». Тип урока — Н (новый материал). Далее: VIS8U-013 — свойства дисперсии и стандартного отклонения (сдвиг, растяжение, формула через средний квадрат) — сегодня их не доказываем.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 1 · 4 (зачем мера рассеивания) 2 · 5 (отклонения, сумма = 0, доказательство) 2 · 7 (дисперсия) 3 · 9 (стандартное отклонение, полоса $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ ) 2,5 · 12 (схема вычисления, сравнение мер) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 11, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 3 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: сл. 13 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.
Обозначения как в учебнике ФПУ: дисперсия набора — $s^{2}$ , стандартное отклонение — $σ$ (иногда пишут $s$ ). На рисунке титула: у наборов одно среднее $6$ , но полоса $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ у второго втрое шире.

R04.1 · R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Измерять рассеивание

объяснять, почему среднего и размаха мало, находить отклонения $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ (ПР-3)

Вычислять дисперсию

$s^{2}$ набора и таблицы частот (ПР-3)

Находить $σ$

стандартное отклонение $σ = s^{2}$ и полосу $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ (ПР-3)

Сравнивать и решать

сравнивать наборы по разбросу, решать обратные задачи (ПР-3, ПР-2)

повторение: 7 класс — среднее, размах

Разминка · устно

Среднее, размах, квадраты и корни

Среднее: $4, 6, 8, 10$ $7$
Размах: $3, 11, 7, 15$ $12$
$2 - 5$ $- 3$
$(- 4)^{2}$ $16$

$(- 1, 5)^{2}$ $2, 25$
$49$ $7$
$0, 36$ $0, 6$
$\frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5}$ $4$

Среднее — «центр» набора, размах — расстояние между крайними. А как измерить разброс всех значений?

R04.1

Новый материал · измерение рассеивания

Средние равны, размах равен — а наборы разные

А: $4, 5, 6, 7, 8$

Б: $0, 3, 6, 9, 12$

В: $0, 6, 6, 6, 12$

$\overset{x}{ˉ} = 6$ и $Me = 6$ — у всех трёх

размах: $4$ , $12$ , $12$ — Б и В «одинаковы»?

Мера рассеивания должна учитывать каждое значение: насколько оно далеко от среднего.

2 мин · теория
Числовой массив — набор значений. Его описывают «центром» (среднее, медиана) и рассеиванием (разбросом) вокруг центра. У трёх наборов сумма 30, среднее 6, медиана 6 (пунктир). Средние разброса «не видят».
Размах (по клику — отрезки под осями) отличает А от Б (4 и 12), но у Б и В размах одинаков — 12, хотя в В три значения из пяти совпадают со средним. Размах зависит только от двух крайних значений и очень чувствителен к одному выбросу.
Вопрос классу: какой набор «кучнее» — Б или В? (В.) Значит, нужна мера, где участвуют все значения: отклонения → дисперсия → стандартное отклонение.

R04.1

Новый материал · отклонения от среднего

Отклонение $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ ; сумма отклонений равна нулю

Отклонение значения $x_{i}$ от среднего $\overset{x}{ˉ}$ — разность $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ . Минус — левее среднего, плюс — правее.

$2, 4, 5, 9, 10$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{30}{5} = 6$

$- 4 - 2 - 1 + 3 + 4 = 0$

Доказательство. $x_{1} + \dots + x_{n} = n \overset{x}{ˉ}$ по определению среднего, поэтому

$(x_{1} - \overset{x}{ˉ}) + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ}) = n \overset{x}{ˉ} - n \overset{x}{ˉ} = 0$

«Среднее отклонение» всегда

0

— разброс им не измерить.

2 мин · теория
Набор 2, 4, 5, 9, 10: сумма 30, среднее 6 (пунктир). Отклонения 2 − 6 = −4, 4 − 6 = −2, 5 − 6 = −1, 9 − 6 = 3, 10 − 6 = 4. На чертеже (по клику) каждое значение — своей строкой: оранжевые отрезки влево (отрицательные), зелёные вправо (положительные). Слева в сумме 7, справа 7.
Доказательство: в сумме n скобок; раскрываем — получаем сумму всех значений минус n раз x̄. Сумма значений равна n·x̄, разность 0. Следствия: 1) по сумме = 0 находят недостающее отклонение; 2) если сумма отклонений не 0 — среднее найдено с ошибкой.
Вопрос: как сделать, чтобы минусы не «съедали» плюсы? (Брать модули или квадраты.) В статистике используют квадраты — это и будет дисперсия.

R04.1

Образец → сам · отклонения

Среднее → разности → проверка суммой

Образец: $23, 27, 20, 26, 24$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{120}{5} = 24$ сумма — $120$

$- 1, 3, - 4, 2, 0$ $x_{i} - 24$ по порядку

$- 1 + 3 - 4 + 2 + 0 = 0$ проверка ✓

Сам

Отклонения: $8, 12, 7, 13$ $- 2; 2; - 3; 3$
Отклонения пяти чисел: $- 2, 5, - 1, 0$ и ещё одно. Какое? $- 2$
Среднее набора $15$ , отклонение числа $x$ равно $- 2, 5$ . Найдите $x$ . $12, 5$

R04.2

Новый материал · дисперсия

Дисперсия — среднее квадратов отклонений

s^{2} = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}

квадраты: $16, 4, 1, 9, 16$

$s^{2} = \frac{16 + 4 + 1 + 9 + 16}{5} = \frac{46}{5} = 9, 2$

s^{2} \geq 0

, и

s^{2} = 0

только у набора равных чисел. Чем дальше значения от среднего, тем больше

s^{2}

3 мин · теория
Тот же набор 2, 4, 5, 9, 10 (x̄ = 6). Отклонения возводим в квадрат — все слагаемые неотрицательны, минусы больше не «съедают» плюсы. Столбики на чертеже (по клику) — квадраты 16, 4, 1, 9, 16; дисперсия — их средняя высота (розовый пунктир 9,2).
Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) — среднее арифметическое квадратов отклонений. Делим на n — число всех значений (нулевое отклонение тоже считается).
Сравните с разминкой (задание 8): отклонения −3, −1, 0, 1, 3 → s² = 20 : 5 = 4. Вернитесь к сл. 4: s²(А) = 2, s²(Б) = 18, s²(В) = 72/5 = 14,4 — теперь Б и В различаются, у В разброс меньше.
Квадрат «наказывает» далёкие значения сильнее: отклонение 4 даёт 16, а 1 — всего 1.

R04.2

Образец → сам · дисперсия набора

Таблица: значение → отклонение → квадрат

Образец: $5, 7, 8, 11, 14$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{45}{5} = 9$ сумма — $45$

$x_{i}$	$5$	$7$	$8$	$11$	$14$
$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$2$	$5$
$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$16$	$4$	$1$	$4$	$25$

$s^{2} = \frac{16 + 4 + 1 + 4 + 25}{5} = \frac{50}{5} = 10$

Сам: найдите $s^{2}$

$1, 3, 5, 7$ $5$
$10, 10, 13, 15, 17$ $7, 6$
$- 2, 0, 2, 4, 6$ $8$

R04.2

Новый материал · стандартное отклонение

Стандартное отклонение — разброс в единицах данных

σ = s^{2}

Данные в см → $s^{2}$ в см², а $σ$ — снова в см.

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{40}{8} = 5$

$s^{2} = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = 4$

$σ = 4 = 2$ ; полоса $5 \pm 2$ : от $3$ до $7$

Чем меньше

σ

, тем теснее значения вокруг среднего.

2,5 мин · теория
Дисперсия измеряется в квадратных единицах (рост в см → см²), сравнивать её со значениями неудобно. Извлекаем корень — получаем стандартное (среднеквадратичное) отклонение σ в тех же единицах, что данные.
Набор 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: сумма 40, x̄ = 5; отклонения −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (сумма 0 ✓); квадраты 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 — сумма 32; s² = 32 : 8 = 4; σ = 2.
На чертеже (по клику) — полоса x̄ ± σ = [3; 7]: в ней 6 значений из 8. Для многих реальных наборов большая часть значений лежит в этой полосе — так σ «читают»: типичное отклонение от среднего. Это наблюдение, а не теорема; точные оценки — в 9 классе.

R04.2

Образец → сам · стандартное отклонение

$s^{2}$ → корень → полоса $\overset{x}{ˉ} \pm σ$

Образец: время решения, мин: $7, 9, 10, 11, 13$

$\overset{x}{ˉ} = 10$ ; отклонения $- 3, - 1, 0, 1, 3$ сумма $50$

$s^{2} = \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = 4$ мин²

$σ = 4 = 2$ мин в полосе $8$ – $12$ : три значения

Сам

$σ$ : $2, 8$ $3$
$σ$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ $2$
$σ = 1, 5$ см. Найдите $s^{2}$ . $2, 25$ см²

R04.2

Образец → сам · дисперсия по таблице частот

Квадрат отклонения × частота, делим на $n$

Образец: число пропусков у 20 учеников

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
частота	$3$	$4$	$6$	$4$	$3$
$(x - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{0 + 4 + 12 + 12 + 12}{20} = 2$

$s^{2} = \frac{4 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 0 + 1 \cdot 4 + 4 \cdot 3}{20} = 1, 6$

Сам: $\overset{x}{ˉ}$ и $s^{2}$

$x$ : $1, 3, 5$ ; частоты $1, 2, 1$ $3; 2$
$x$ : $2, 4$ ; частоты $3, 1$ $2, 5; 0, 75$
$x$ : $0, 10$ ; частоты $4, 4$ . Найдите $σ$ . $5$

R04.1 · R04.2

Новый материал · сводка: как измерить рассеивание

Шесть шагов к $σ$ и три меры разброса

Мера	Учитывает все значения?	Единицы	Где удобна
Размах $x_{m a x} - x_{m i n}$	нет, только крайние	см	быстрая грубая оценка
Дисперсия $s^{2}$	да	см²	сравнение наборов
Ст. отклонение $σ$	да	см	описание: $\overset{x}{ˉ} \pm σ$

1,5 мин · теория
Схема — алгоритм вычисления (класс проговаривает хором): данные → среднее → отклонения → квадраты → среднее квадратов (дисперсия) → корень (стандартное отклонение). Под каждым шагом — единицы измерения, если данные в сантиметрах: в квадрат возводятся и единицы.
Сравнение мер: размах — по двум крайним значениям, один выброс резко его меняет; дисперсия и σ учитывают все значения. Для сравнения двух наборов по разбросу годится и s², и σ (у какого больше одно, у того больше и другое), а для описания набора словами — σ: «в среднем 50 мм, отклонения около 2 мм».

R04.1 · R04.2

Образец → сам · комбинированная задача

Недостающее отклонение → число → $s^{2}$ и $σ$

Образец: $\overset{x}{ˉ} = 10$ ; отклонения четырёх из пяти чисел: $- 3, 1, 0, - 1$ . Найдите пятое число, $s^{2}$ и $σ$ .

$- (- 3 + 1 + 0 - 1) = 3$ сумма отклонений $= 0$

$10 + 3 = 13$ пятое число

$s^{2} = \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = 4, σ = 2$

Сам

Два числа: $\overset{x}{ˉ} = 7$ , $σ = 3$ . Найдите числа. $4$ и $10$
Набор $3, 5, a, 9$ , $\overset{x}{ˉ} = 6$ . Найдите $a$ и $s^{2}$ . $7; 5$
Набор из $4$ чисел, $s^{2} = 4$ . Сумма квадратов отклонений? $16$

R04.1 · R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили отклонения без квадратов: $2, 6, 10$	$\frac{- 4 + 0 + 4}{3} = 0$ «разброса нет»	$s^{2} = \frac{16 + 0 + 16}{3} = \frac{32}{3}$
забыли корень	$s^{2} = 9 \Rightarrow σ = 9$	$σ = 9 = 3$
таблица частот: $x$ $0, 2$ ; частоты $3, 1$ ( $\overset{x}{ˉ} = 0, 5$ )	$\frac{0 , 25 \cdot 3 + 2 , 25}{2} = 1, 5$ делят на $2$ столбца	$\frac{3}{4} = 0, 75$ делим на $n = 4$
единицы: рост в см	$s^{2} = 25$ см, $σ = 5$ см²	$s^{2} = 25$ см², $σ = 5$ см

R04.2

Найди ошибку

Ученик нашёл $s^{2}$ и $σ$ набора $4, 9, 6, 11, 10$

1) $\overset{x}{ˉ} = 40 : 5 = 8$

2) Отклонения: $- 4, 1, - 2, 3, 2$

3) Квадраты: $16, 1, 4, 9, 4$ ; сумма $34$

4) «Делим на $n - 1$ »:
$s^{2} = 34 : 4 = 8, 5$

5) $σ = 8, 5 : 2 = 4, 25$

Исправление

4) делим на $n = 5$ :
$s^{2} = 34 : 5 = 6, 8$

5) $σ$ — корень, а не половина:
$σ = 6, 8 \approx 2, 61$

проверка: $2, 6 1^{2} \approx 6, 8$ ✓

2 мин · практика
Шаги 1–3 верны (сумма отклонений −4 + 1 − 2 + 3 + 2 = 0 ✓; квадраты 16 + 1 + 4 + 9 + 4 = 34). Ошибка в шаге 4: по определению дисперсии числового набора делят на число всех значений n = 5: s² = 6,8. Ошибка в шаге 5: σ = √6,8 ≈ 2,608 ≈ 2,61, а не «половина дисперсии».
Ученики минуту ищут ошибки в парах, затем исправление по клику. Для любопытных: деление на n − 1 встречается в статистике выборок («исправленная дисперсия»), но в школьном курсе дисперсия набора — деление на n.

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Дисперсия

$s^{2}$ : $1, 5$ $4$
$s^{2}$ : $3, 3, 3, 3$ $0$
$s^{2}$ : $2, 4, 6, 8, 10$ $8$
$s^{2}$ : $0, 0, 0, 4$ $3$

Стандартное отклонение

$σ$ : $1, 5$ $2$
$σ$ : $6, 10$ $2$
$σ$ , если $s^{2} = 0, 49$ $0, 7$
$s^{2}$ , если $σ = 4$ $16$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и обоснуйте

Отклонения пяти чисел от среднего: $- 5, a, a, 2, 1$ . Найдите $a$ и $s^{2}$ . $a = 1; 6, 4$
Два числа: среднее $10$ , дисперсия $16$ . Найдите эти числа. $6$ и $14$
К набору $2, 4, 6, 8$ добавили число $5$ . Как изменилась дисперсия? $5 \to 4$ , уменьшилась
Числа $a$ и $b$ взяты из отрезка $[0; 10]$ . Какое наибольшее $σ$ у набора $a, b$ ? $5$

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность и разброс

1. У набора $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ среднее $5$ , $σ = 2$ . Случайно выбирают число. Найдите вероятность того, что оно отличается от среднего больше чем на $σ$ . $0, 25$

2. Из чисел $1, 2, \dots, 10$ случайно выбирают одно. Найдите вероятность того, что его отклонение от среднего по модулю меньше $2$ . $0, 4$

3. Стандартное отклонение набора $10, 12, 14, 16, 18$ равно $σ \approx 2, 83$ . Случайно выбирают число. Найдите вероятность того, что оно лежит в полосе $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ . $0, 6$

Благоприятные / все исходы; в бланк — десятичная дробь:

\frac{2}{8} = 0, 25

.

R04.2

Задача из жизни · фасовка

Пакеты по 1000 г: какой автомат фасует точнее?

А: $1001, 999, 1000, 1002, 998$ г

Б: $1004, 997, 1000, 995, 1004$ г

$\overset{x}{ˉ}_{А} = \overset{x}{ˉ}_{Б} = 1000$

$s_{А}^{2} = \frac{1 + 1 + 0 + 4 + 4}{5} = 2, σ_{А} \approx 1, 4$ г

$s_{Б}^{2} = \frac{16 + 9 + 0 + 25 + 16}{5} = 13, 2, σ_{Б} \approx 3, 6$ г

А точнее:

σ

меньше; у Б три пакета из пяти вне допуска.

2 мин · практика
Ученики в парах. А: сумма 5000, x̄ = 1000; отклонения 1, −1, 0, 2, −2; квадраты 1 + 1 + 0 + 4 + 4 = 10; s² = 2 г²; σ = √2 ≈ 1,41 г. Б: сумма 5000, x̄ = 1000; отклонения 4, −3, 0, −5, 4; квадраты 16 + 9 + 0 + 25 + 16 = 66; s² = 13,2 г²; σ ≈ 3,63 г.
Вывод: «в среднем» оба автомата кладут 1000 г, но у Б разброс в 2,5 раза больше по σ. Допуск 1000 ± 3 г (зелёная полоса): у А брака нет, у Б — 1004, 995, 1004 (3 из 5). На производстве так контролируют точность: среднее настраивают, а σ показывает, сколько будет брака.

R04.1 · R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$s^{2}$ : $3, 7$ $4$
$s^{2}$ : $1, 2, 3, 4, 5$ $2$
$σ$ , если $s^{2} = 0, 25$ $0, 5$
$σ$ : $4, 4, 10, 10$ $3$

Вариант 2

$s^{2}$ : $2, 8$ $9$
$s^{2}$ : $3, 5, 7, 9, 11$ $8$
$σ$ , если $s^{2} = 1, 44$ $1, 2$
$σ$ : $1, 1, 5, 5$ $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему размаха мало для описания разброса?
Зачем отклонения возводят в квадрат?
Чем $σ$ удобнее, чем $s^{2}$ ?

Домашнее задание

$\overset{x}{ˉ}$ , $s^{2}$ , $σ$ : $1, 3, 4, 6, 11$
Придумайте два набора с $\overset{x}{ˉ} = 10$ и $σ = 2$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_dispersiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-012 · Измерение рассеивания. Дисперсия и стандартное отклонение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Описательная статистика. Рассеивание данных», 5 ч · урок 1/5 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Измерение рассеивания числового массива» → 2–6, 12–14, 17, 20, 21 · R04.2 «Дисперсия и стандартное отклонение числового набора» → 2, 7–21 · R04.3 «Свойства дисперсии и стандартного отклонения» — VIS8U-013
Результаты	ПР-3 (средние и меры рассеивания: дисперсия, стандартное отклонение) → 2–21 · ПР-2 (вероятности в опытах с равновозможными элементарными событиями) → 18
Вне урока	свойства дисперсии и σ (сдвиг, растяжение, $s^{2} = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ ) — VIS8U-013; диаграммы рассеивания и линейная связь — R04.4, R04.5; практическая работа в электронных таблицах — R04.6
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Измерение рассеивания. Дисперсия и стандартное отклонение

Сегодня вы научитесь

Измерять рассеивание

Вычислять дисперсию

Находить σ

Сравнивать и решать

Среднее, размах, квадраты и корни

Средние равны, размах равен — а наборы разные

Отклонение xi​−xˉ; сумма отклонений равна нулю

Среднее → разности → проверка суммой

Образец: 23, 27, 20, 26, 24

Сам

Дисперсия — среднее квадратов отклонений

Таблица: значение → отклонение → квадрат

Образец: 5, 7, 8, 11, 14

Сам: найдите s2

Стандартное отклонение — разброс в единицах данных

s2 → корень → полоса xˉ±σ

Образец: время решения, мин: 7, 9, 10, 11, 13

Сам

Квадрат отклонения × частота, делим на n

Образец: число пропусков у 20 учеников

Сам: xˉ и s2

Шесть шагов к σ и три меры разброса

Недостающее отклонение → число → s2 и σ

Образец: xˉ=10; отклонения четырёх из пяти чисел: −3, 1, 0, −1. Найдите пятое число, s2 и σ.

Сам

Неверно → почему → верно

Ученик нашёл s2 и σ набора 4, 9, 6, 11, 10

Исправление

Решите и проверьте

Дисперсия

Стандартное отклонение

Подумайте и обоснуйте

Вероятность и разброс

Пакеты по 1000 г: какой автомат фасует точнее?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-012 · Измерение рассеивания. Дисперсия и стандартное отклонение

Находить $σ$

Отклонение $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ ; сумма отклонений равна нулю

Образец: $23, 27, 20, 26, 24$

Образец: $5, 7, 8, 11, 14$

Сам: найдите $s^{2}$

$s^{2}$ → корень → полоса $\overset{x}{ˉ} \pm σ$

Образец: время решения, мин: $7, 9, 10, 11, 13$

Квадрат отклонения × частота, делим на $n$

Сам: $\overset{x}{ˉ}$ и $s^{2}$

Шесть шагов к $σ$ и три меры разброса

Недостающее отклонение → число → $s^{2}$ и $σ$

Образец: $\overset{x}{ˉ} = 10$ ; отклонения четырёх из пяти чисел: $- 3, 1, 0, - 1$ . Найдите пятое число, $s^{2}$ и $σ$ .

Ученик нашёл $s^{2}$ и $σ$ набора $4, 9, 6, 11, 10$