Вероятность случайного события · урок 4 из 4 · практикум

Практикум: элементарные события и их вероятности

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS8U-011

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Вероятность случайного события» (4 ч), урок 4/4, единицы R03.1 «Элементарные события», R03.2 «Вероятности случайных событий». Тип урока — П (практикум). Опора: VIS8U-008 (элементарные события, вероятности событий), VIS8U-009–010 (равновозможные исходы, случайный выбор, практическая работа), множества (VIS8U-004–007).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: элементарные события, сумма вероятностей) 3 · 7 (пример учителя: спиннер с неравными секторами) 3 · 9 (один опыт — разные Ω) 2,5 · 19 (итоговая сводка: алгоритм) 2,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 8, 10, 11) по 2,5, (сл. 6, 12) по 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 20) 1,5.
Главная линия углублённого практикума: элементарные события НЕ обязаны быть равновозможными; вероятность события — сумма вероятностей его элементарных событий; формула m/n — частный случай.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.1 · R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Описывать опыт

выписывать элементарные события и проверять, что их вероятности в сумме дают $1$ (ПР-2)

Находить $P (A)$ по сумме

складывать вероятности элементарных событий, из которых состоит $A$ (ПР-2, ПР-5)

Отличать равновозможные

выбирать $Ω$ так, чтобы считать $\frac{m}{n}$ , — или считать без равновозможности (ПР-2)

Работать с событиями

$\overline{A}$ , $A \cap B$ , $A \cup B$ как множества элементарных событий (ПР-5)

повторение: VIS8U-008–010

Разминка · устно

Исходы и дроби

Сколько элементарных событий?

Кубик бросили один раз $6$
Монету бросили $3$ раза $8$
Два кубика $36$
Кубик: «выпало простое число» — множество ${2, 3, 5}$

Посчитайте

$1 - 0, 35 - 0, 4$ $0, 25$
$0, 15 + 0, 25 + 0, 3$ $0, 7$
$\frac{6}{36}$ — сократите $\frac{1}{6}$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ $\frac{3}{4}$

R03.1 · R03.2

Теория · сводка: элементарные события и вероятности

Вероятность события — сумма вероятностей его исходов

Элементарные события — исходы опыта: наступает ровно одно. $P (e) \geq 0$ , сумма всех $= 1$ .

Событие $A$ — множество исходов: $P (A)$ = сумма $P (e)$ по всем $e \in A$ .

$P (Ω) = 1$ , $P (\emptyset) = 0$ , $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

Равновозможны:

P (e) = \frac{1}{n}

, значит

P (A) = \frac{m}{n}

— частный случай.

R03.1 · R03.2

Образец → сам · недостающая вероятность

Нечестный кубик: таблица вероятностей

Образец: найдите $P (6)$ и $P (« чётное »)$

$0, 1 + 0, 15 + 0, 2 + 0, 15 + 0, 1 = 0, 7$ известные

$P (6) = 1 - 0, 7 =$ $0, 3$ сумма всех $= 1$

$P (2) + P (4) + P (6) =$ $0, 6$ ${2, 4, 6}$

Сам: тот же кубик

$P (« больше 3 »)$ $0, 55$
$P (« не 6 »)$ $0, 7$
$P (« простое число »)$ $0, 45$

R03.1 · R03.2

Образец → сам · вероятности по соотношению

Неизвестные вероятности — через уравнение

Образец: спиннер; синий вдвое, зелёный втрое вероятнее красного

$P (кр .) = x$ , $x + 2 x + 3 x = 1$ сумма всех $= 1$

$x = \frac{1}{6}$ $6 x = 1$

кр. $\frac{1}{6}$ , син. $\frac{1}{3}$ , зел. $\frac{1}{2}$ $2 x$ , $3 x$

Сам

Кубик: шестёрка вдвое вероятнее любой другой грани (остальные равны). $P (6)$ $\frac{2}{7}$
Тот же кубик: $P (« чётное »)$ $\frac{4}{7}$
углубл. $P (a) : P (b) : P (c) = 1 : 3 : 4$ . $P (b)$ $0, 375$

R03.1 · R03.2

Теория · пример учителя: неравные секторы

Вероятность сектора — его доля круга

$P (сектор) = \frac{угол}{36 0 ^{\circ}}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 3 + 2 + 1}{12} = 1$ проверка

«не синий»: $1 - \frac{1}{2} =$ $\frac{1}{2}$

«жёлтый или красный»: $\frac{1}{4} + \frac{1}{12} =$ $\frac{1}{3}$

Исходы — не равновозможные, но их можно разбить на

12

равных секторов по

3 0^{\circ}

:

\frac{3 + 1}{12}

.

3 мин · теория (учитель решает сам)
Спиннер: синий 180°, жёлтый 90°, зелёный 60°, красный 30°. Элементарные события — 4 цвета; вероятности пропорциональны углам: 1/2, 1/4, 1/6, 1/12 (появляются по клику).
Проверка суммы: 6/12 + 3/12 + 2/12 + 1/12 = 1. «Не синий» — через противоположное: 1/2. «Жёлтый или красный» = {жёлтый; красный}: 1/4 + 1/12 = 4/12 = 1/3.
Главная мысль: те же ответы получаются, если разбить круг на 12 равных секторов по 30° — тогда исходы равновозможны и работает m/n. Неравновозможные исходы часто «склеены» из равновозможных.

R03.1 · R03.2

Образец → сам · неравновозможные исходы

Число орлов при двух бросаниях

Образец: исходы « $0$ , $1$ , $2$ орла» — их вероятности?

ОО, ОР, РО, РР — по $\frac{1}{4}$ ; $P (0) = P (2) = \frac{1}{4}$ РР; ОО

$P (1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} =$ $\frac{1}{2}$ ОР и РО

Сам: монету бросают $3$ раза

$P (0 орлов)$ $\frac{1}{8}$
$P (ровно 1 орёл)$ $\frac{3}{8}$
$P (не меньше 2 орлов)$ $\frac{1}{2}$

R03.1 · R03.2

Теория · один опыт — разные пространства исходов

Два кубика: пары или суммы?

Пары $(a; b)$ : $36$ исходов, равновозможны, по $\frac{1}{36}$ .

Суммы $2, \dots, 12$ : $11$ исходов, не равновозможны.

$P (7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ , $P (2) = \frac{1}{36}$

Для

\frac{m}{n}

берём

Ω

из равновозможных исходов — пары, а не суммы.

R03.1 · R03.2

Образец → сам · таблица двух кубиков

Событие — клетки таблицы $6 \times 6$

Образец: $P (« сумма равна 9 »)$

$(3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3)$ диагональ

$P = \frac{4}{36} =$ $\frac{1}{9}$ пары равновозможны

Сам: два кубика

$P (« сумма 8 »)$ $\frac{5}{36}$
$P (« сумма не больше 4 »)$ $\frac{1}{6}$
$P (« произведение чётно »)$ $\frac{3}{4}$

R03.1 · R03.2

Образец → сам · операции над событиями

$A \cap B$ и $A \cup B$ — из элементарных событий

Образец: нечестный кубик со сл. 5; $P (A \cup B)$

$A \cap B = {4, 6}$ : $0, 15 + 0, 3 = 0, 45$ общие

$A \cup B = {2, 4, 5, 6}$ : $0, 7$ сумма четырёх

$0, 6 + 0, 55 - 0, 45 = 0, 7$ проверка формулой

Сам: $C$ — «простое число»

$P (A \cap C)$ $0, 15$
$P (A \cup C)$ $0, 9$
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ $0, 3$

2,5 мин · практика
Кубик: P(1) = 0,1; P(2) = 0,15; P(3) = 0,2; P(4) = 0,15; P(5) = 0,1; P(6) = 0,3. A = «чётное» = {2; 4; 6}, P(A) = 0,6; B = «больше 3» = {4; 5; 6}, P(B) = 0,55. На диаграмме Эйлера каждое элементарное событие стоит в своей области с вероятностью.
A ∩ B = {4; 6} = 0,45; A ∪ B = {2; 4; 5; 6} = 0,15 + 0,15 + 0,1 + 0,3 = 0,7. Формула сложения P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) даёт то же — связь с формулой включения-исключения (VIS8U-006).
Сам: C = {2; 3; 5}. 1) A ∩ C = {2} — 0,15. 2) A ∪ C = {2; 3; 4; 5; 6} — 1 − P(1) = 0,9. 3) Ā ∩ B̄ — нечётное и не больше 3 = {1; 3} — 0,1 + 0,2 = 0,3 (это и вне обоих кругов). Проверено кодом.

R03.1 · R03.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: прогноз погоды

Выходные: дождь или сухо?

Образец: $P (« хотя бы один день с дождём »)$

ДД, ДС, СД: $0, 1 + 0, 2 + 0, 15 =$ $0, 45$ три клетки

$1 - P (СС) = 1 - 0, 55 = 0, 45$ через противоположное

Сам: та же таблица

$P (« во 2- й день дождь »)$ $0, 25$
$P (« погода в дни разная »)$ $0, 35$
$P (« в 1- й день сухо »)$ $0, 7$

R03.1 · R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
суммы двух кубиков сочли равновозможными	$P (сумма 12) = \frac{1}{11}$	$\frac{1}{36}$ — одна пара из $36$
« $0$ , $1$ , $2$ орла» — равновозможны?	$P (1 орёл) = \frac{1}{3}$	ОР, РО: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
сложили пересекающиеся события	$P (A \cup B) = 0, 6 + 0, 55 = 1, 15$	$> 1$ — нельзя; $0, 7$
не проверили условие	$P (1) = \dots = P (5) = 0, 25$	$5 \cdot 0, 25 > 1$ — так не бывает

R03.1 · R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают до первого орла, но не больше $3$ раз. $P (О)$ ?

Исходы О, РО, РРО, РРР — $4$ ; $P (О) = \frac{1}{4}$

исходы не равновозможны: РО — $\frac{1}{4}$ , РРО и РРР — по $\frac{1}{8}$

$P (О) = \frac{1}{2}$ , а не $\frac{1}{4}$

б) Кубик: $P (1) = \dots = P (5) = 0, 15$ . Найдите $P (6)$

$P (6) = 1 - 0, 15 = 0, 85$

вычли одну грань вместо пяти

$1 - 5 \cdot 0, 15 = 0, 25$

в) Два кубика: $P (« сумма 5 »)$

$(1; 4)$ , $(2; 3)$ : $P = \frac{2}{36}$

потеряны $(4; 1)$ и $(3; 2)$ — порядок различаем

$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

R03.1 · R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Таблица вероятностей

$Ω = {a, b, c}$ , $P (a) = 0, 2$ , $P (b) = 0, 5$ . $P (c)$ $0, 3$
Кубик: $P (1) = \dots = P (5) = 0, 1$ . $P (6)$ $0, 5$
Тот же кубик: $P (« чётное »)$ $0, 7$

Равновозможные исходы

Два кубика: $P (« сумма 10 »)$ $\frac{1}{12}$
$3$ монеты: $P (« ровно 2 орла »)$ $\frac{3}{8}$
Спиннер: сектор $12 0^{\circ}$ из $36 0^{\circ}$ $\frac{1}{3}$

R03.1 · R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $Ω = {a, b, c, d}$ , $P (a) = P (b) = P (c)$ , $P (d) = 0, 4$ . Найдите $P (a)$ . $0, 2$
повыш.Вероятность грани кубика пропорциональна числу очков на ней. Найдите $P (« чётное »)$ . $\frac{4}{7}$
повыш.Бросают два кубика. Найдите вероятность, что наибольшее из выпавших чисел равно $4$ . $\frac{7}{36}$
исследованиеМонету бросают до первого орла, но не более $4$ раз. Найдите вероятность, что бросков было чётное число. $\frac{3}{8}$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность = доля подходящих: $P = \frac{m}{n}$

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до сотых.

$0, 14$

2. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна $0, 19$ . Покупатель выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что она пишет хорошо.

$0, 81$

3. На экзамене $40$ билетов, Оскар не выучил $6$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

$0, 85$

Ответ — десятичной дробью; «округлите до сотых»:

\frac{5}{36} \approx 0, 14

. В бланк: 0,14.

R03.1 · R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$Ω = {a, b, c, d}$ : $P (a) = 0, 1$ , $P (b) = 0, 3$ , $P (c) = 0, 4$ . $P (d)$ $0, 2$
Там же: $P ({a, c})$ $0, 5$
Два кубика: $P (« сумма 4 »)$ $\frac{1}{12}$
$3$ монеты: $P (« все три одинаковы »)$ $\frac{1}{4}$

Вариант 2

$Ω = {a, b, c, d}$ : $P (a) = 0, 25$ , $P (b) = 0, 15$ , $P (c) = 0, 35$ . $P (d)$ $0, 25$
Там же: $P ({b, d})$ $0, 4$
Два кубика: $P (« сумма 11 »)$ $\frac{1}{18}$
$3$ монеты: $P (« хотя бы одна решка »)$ $\frac{7}{8}$

R03.1 · R03.2

Теория · итоговая сводка: алгоритм решения

Как найти вероятность события

Таблица, дерево или список — чтобы выписать $Ω$ без пропусков.

Неравновозможные исходы часто склеены из равновозможных: суммы — из пар.

Ответ

> 1

или

< 0

— ищите ошибку.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равна сумма вероятностей всех элементарных событий?
Как найти $P (A)$ , если исходы не равновозможны?
Когда можно считать $\frac{m}{n}$ ?
Почему суммы двух кубиков — не равновозможные исходы?

Домашнее задание

Кубик со сл. 16 (вероятность $\sim$ очкам): $P (« больше 4 »)$
Два кубика: $P (« модуль разности равен 2 »)$ ; до первого орла, не больше $3$ бросков: $P (« было 3 броска »)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_elementarnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-011 · Практикум: элементарные события

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R03 «Вероятность случайного события», 4 ч · урок 4/4 · тип П
Единицы → слайды	R03.1 «Элементарные события» → 2–4, 6, 8–10, 13–14, 18–19 · R03.2 «Вероятности случайных событий» → 2, 4–8, 10–20 · опыты с равновозможными исходами (повторение R03.3) → 9–10, 15, 17
Результаты	ПР-2 (вероятности событий по вероятностям элементарных событий, равновозможные исходы) → 3–20 · ПР-5 (событие как множество элементарных событий, операции над событиями, диаграммы Эйлера) → 4, 11, 13
Вне урока	рассеивание данных — VIS8U-012; сложение и умножение вероятностей, деревья — строки R05, R07–R08
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: элементарные события и их вероятности

Сегодня вы научитесь

Описывать опыт

Находить P(A) по сумме

Отличать равновозможные

Работать с событиями

Исходы и дроби

Сколько элементарных событий?

Посчитайте

Вероятность события — сумма вероятностей его исходов

Нечестный кубик: таблица вероятностей

Образец: найдите P(6) и P(«чётное»)

Сам: тот же кубик

Неизвестные вероятности — через уравнение

Образец: спиннер; синий вдвое, зелёный втрое вероятнее красного

Сам

Вероятность сектора — его доля круга

Число орлов при двух бросаниях

Образец: исходы «0, 1, 2 орла» — их вероятности?

Сам: монету бросают 3 раза

Два кубика: пары или суммы?

Событие — клетки таблицы 6×6

Образец: P(«сумма равна 9»)

Сам: два кубика

A∩B и A∪B — из элементарных событий

Образец: нечестный кубик со сл. 5; P(A∪B)

Сам: C — «простое число»

Выходные: дождь или сухо?

Образец: P(«хотя бы один день с дождём»)

Сам: та же таблица

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают до первого орла, но не больше 3 раз. P(О)?

б) Кубик: P(1)=…=P(5)=0,15. Найдите P(6)

в) Два кубика: P(«сумма 5»)

Решите и проверьте

Таблица вероятностей

Равновозможные исходы

Подумайте и решите

Вероятность = доля подходящих: P=nm​

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Как найти вероятность события

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-011 · Практикум: элементарные события

Находить $P (A)$ по сумме

Образец: найдите $P (6)$ и $P (« чётное »)$

Образец: исходы « $0$ , $1$ , $2$ орла» — их вероятности?

Сам: монету бросают $3$ раза

Событие — клетки таблицы $6 \times 6$

Образец: $P (« сумма равна 9 »)$

$A \cap B$ и $A \cup B$ — из элементарных событий

Образец: нечестный кубик со сл. 5; $P (A \cup B)$

Сам: $C$ — «простое число»

Образец: $P (« хотя бы один день с дождём »)$

а) Монету бросают до первого орла, но не больше $3$ раз. $P (О)$ ?

б) Кубик: $P (1) = \dots = P (5) = 0, 15$ . Найдите $P (6)$

в) Два кубика: $P (« сумма 5 »)$

Вероятность = доля подходящих: $P = \frac{m}{n}$