Вероятность случайного события · урок 2 из 4 · исследование

Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS8U-009

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Вероятность случайного события» (4 ч), урок 2/4, тип И (урок-исследование). Единицы: R03.3 «Опыты с равновозможными элементарными событиями», R03.4 «Случайный выбор». Предыдущий урок VIS8U-008 — элементарные события и вероятности событий; следующий VIS8U-010 — практическая работа (R03.5).
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Теория (11,5 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 0,5 · 4 (равновозможные события, вывод $P = \frac{m}{n}$ ) 3 · 6 (три монеты, учитель решает сам) 2,5 · 9 (случайный выбор, пары как рёбра графа) 2,5 · 21 (итоговая сводка) 2.
Практика (33,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · исследование «равновозможны ли?» (сл. 5) 1,5 · образцы → сам: сл. 7 — 2, сл. 8 — 2, сл. 10 — 2,5, сл. 11 — 2, сл. 12 — 2,5 · исследование Галилея (сл. 13) 2,5 · задача из жизни (сл. 14) 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 22) 1.
Углублённый уровень: подсчёт $n$ и $m$ опирается на строку R02 — правило умножения и формулу включения-исключения (VIS8U-006); выбор пары — через рёбра полного графа (R01.7). Сочетаний в 8 классе нет — пары считаем перебором и таблицей.
Если не успеваете: сл. 14 и задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; сл. 4, 6, 9, 13 не сокращать.

R03.3 · R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

опыты с равновозможными элементарными событиями и обосновывать это (ПР-2)

Вычислять

вероятность по формуле $P (A) = \frac{m}{n}$ и решать обратную задачу (ПР-2)

Считать исходы

деревом, таблицей, правилом умножения и формулой включения-исключения (ПР-1, ПР-5)

Решать задачи

на случайный выбор одного объекта и пары объектов (ПР-2)

0,5 мин · теория
ПР-2: «Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, иметь понятие о случайном выборе». ПР-1: перечислять элементы множеств организованным перебором и правилом умножения. ПР-5: событие как множество элементарных событий, диаграммы Эйлера.
Деятельность по ФРП (R03): «Решать задачи на вычисление вероятностей событий в опытах с равновозможными элементарными событиями… Проводить и изучать опыты с равновозможными элементарными событиями».

повторение: VIS8U-006, VIS8U-008

Разминка · устно

Исходы, вероятности, подсчёт

Элементарные события

Сколько исходов у броска тетраэдра с гранями $1$ – $4$ ? $4$
$P (e_{1}) = 0, 5$ , $P (e_{2}) = 0, 3$ , других исходов один — $e_{3}$ . $P (e_{3})$ ? $0, 2$
$A = {e_{1}; e_{3}}$ . $P (A)$ ? $0, 7$
$\frac{6}{24}$ — десятичной дробью $0, 25$

Подсчёт

Двузначные числа из цифр $1, 2, 3$ (повторять можно) — сколько? $9$
Сколько чисел от $1$ до $20$ делятся на $3$ ? $6$
$∣ A ∣ = 12$ , $∣ B ∣ = 8$ , $∣ A \cap B ∣ = 5$ . $∣ A \cup B ∣$ ? $15$
$\frac{9}{12}$ — десятичной дробью $0, 75$

R03.3 · ПР-2

Теория · равновозможные элементарные события

Если все исходы равновозможны

Элементарные события равновозможны, если ни одно не имеет преимущества: симметрия монеты, кубика, волчка; выбор наугад.

$n$ исходов, у каждого $\frac{1}{n}$ сумма всех равна $1$

$A$ — это $m$ исходов: $m \cdot \frac{1}{n}$ складываем

P (A) = \frac{m}{n}

3 мин · теория
Определение. Элементарные события опыта называют равновозможными, если их вероятности равны. Обычно это следует из симметрии (монета, правильный кубик, волчок с равными секторами) или из условия «наугад», «случайным образом», «жребием».
Вывод (по шагам): 1) $n$ равновозможных элементарных событий, их вероятности равны и в сумме дают 1 — каждая равна $\frac{1}{n}$ . 2) Событию $A$ благоприятствуют $m$ элементарных событий; $P (A)$ — сумма их вероятностей: $m \cdot \frac{1}{n} = \frac{m}{n}$ .
На рисунке: $A$ = «стрелка остановилась на числе больше 5» = {6; 7; 8}: $m = 3$ , $n = 8$ , $P (A) = \frac{3}{8} = 0, 375$ .
Вопрос классу: можно ли так найти вероятность того, что кнопка упадёт остриём вверх? (Нет — исходы не симметричны; вероятность оценивают частотой — это VIS8U-010.)

R03.3 · ПР-2

Исследование · равновозможны ли исходы?

Где можно применять $P = \frac{m}{n}$ ?

Гипотеза → обоснование: есть ли симметрия или условие «наугад»?

1,5 мин · практика (исследование в парах)
Пары за 40 с решают для каждого опыта: равновозможны ли элементарные события, и обосновывают. Ответы открываем по одному.
1) да — секторы равны. 2) нет — вероятности $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{8}$ (пропорциональны углам). 3) нет — «0 орлов» получается одним способом, «1 орёл» — тремя (сл. 6). 4) да — цифры набраны наугад. 5) да — жребий. 6) нет — симметрии нет, исход зависит от погоды.
Вывод: где «нет», надо перейти к другим, равновозможным исходам (тройки О/Р вместо числа орлов) или оценивать вероятность частотой.

R03.3 · ПР-1 · ПР-2

Теория · демонстрационный пример: три монеты

Монету бросают трижды. $P (ровно два орла)$ ?

«Орлов $0, 1, 2$ или $3$ — исходов $4$ » $\Rightarrow P = \frac{1}{4}$ ✗

Исходы — тройки: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ правило умножения

Все $8$ равновозможны симметрия

ООР, ОРО, РОО: $m = 3$ пути на дереве

$P = \frac{3}{8} =$ $0, 375$

R03.3 · ПР-1 · ПР-2

Образец → сам · правило умножения

Двузначное число из цифр $1, 2, 3, 4$ (повторы можно) — наугад

Образец: $P (цифры разные)$

$n = 4 \cdot 4 = 16$ правило умножения

$m = 16 - 4 = 12$ 11, 22, 33, 44 — лишние

$P = \frac{12}{16} =$ $\frac{3}{4}$

Число чётное $0, 5$
Сумма цифр равна $5$ $0, 25$
Первая цифра больше второй $0, 375$

R03.3 · ПР-1 · ПР-2

Образец → сам · таблица исходов двух кубиков

Кубик бросают дважды и перемножают очки

Образец: $P (произведение чётно)$

$n = 6 \cdot 6 = 36$ пары $(a; b)$

нечётно ⇔ оба нечётные: $3 \cdot 3 = 9$

$m = 36 - 9 = 27$ остальные клетки

$P = \frac{27}{36} =$ $0, 75$

Наибольшее из чисел равно $4$ $\frac{7}{36}$
Очки отличаются на $2$ $\frac{2}{9}$
Сумма очков делится на $5$ $\frac{7}{36}$

2 мин · практика
Образец (через противоположное — удобнее посчитать «плохие» клетки): произведение нечётно, только если оба множителя нечётны: ${1, 3, 5} \times {1, 3, 5}$ — 9 клеток (красные). Благоприятных $36 - 9 = 27$ ; $P = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} = 0, 75$ .
Сам: 1) максимум 4 — «уголок»: строка 4 и столбец 4 до четвёрки: $4 + 4 - 1 = 7$ ; $\frac{7}{36}$ . 2) (1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6) и обратные — 8: $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ . 3) сумма 5 — 4 клетки, сумма 10 — 3 клетки: $\frac{7}{36}$ .
Типичная ошибка в 1): «строка 4 + столбец 4 = 12 клеток» — берут и клетки с 5, 6; и считают (4; 4) дважды.

R03.4 · ПР-2

Теория · случайный выбор

Выбор наугад: одного объекта и пары

Случайный выбор одного из $n$ объектов: каждый выбирают с вероятностью $\frac{1}{n}$ .

Выбор двух: исходы — пары без порядка и без повторов; все пары равновозможны.

$4$ ученика: пар $6$ рёбра полного графа

с учеником А: $3$ пары рёбра из вершины А

2,5 мин · теория
Случайный выбор — модель «наугад»: шар из урны, билет, ученик по жребию, число из списка. Одного из $n$ — элементарных событий $n$ , они равновозможны, $P (выбран данный объект) = \frac{1}{n}$ .
Выбор двух объектов одновременно (дежурные, делегаты): элементарное событие — пара; пара {А; Б} и {Б; А} — одна и та же. Связь с графами (R01.7): объекты — вершины, пары — рёбра полного графа. У 4 вершин $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ рёбер.
Пример: $P (среди двух выбранных есть А) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Проверка через противоположное: без А — пары из Б, В, Г: 3; $1 - \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

R03.4 · ПР-1 · ПР-2

Образец → сам · случайный выбор пары

Из пяти учеников А, Б, В, Г, Д жребием выбирают двух дежурных

Образец: $P (А дежурит)$

$n = \frac{5 \cdot 5 - 5}{2} = 10$ без диагонали и повторов

с А: АБ, АВ, АГ, АД — $m = 4$

$P = \frac{4}{10} =$ $0, 4$

Дежурят А и Б $0, 1$
Не дежурят ни А, ни Б $0, 3$
А и Б — девочки, остальные — мальчики. Дежурят мальчик и девочка $0, 6$

2,5 мин · практика
Образец: в таблице 5 × 5 диагональ (АА…) не подходит, клетки под диагональю повторяют пары над ней (БА = АБ). Пар $\frac{25 - 5}{2} = 10$ , все равновозможны. С А — первая строка: 4 пары; $\frac{4}{10} = 0, 4$ . Проверка: каждый из 5 учеников дежурит с одинаковой вероятностью, а дежурных двое: $\frac{2}{5} = 0, 4$ .
Сам: 1) пара АБ одна: $\frac{1}{10} = 0, 1$ . 2) пары из В, Г, Д: ВГ, ВД, ГД — $\frac{3}{10} = 0, 3$ . 3) девочка (2 способа) и мальчик (3 способа) — правило умножения: $2 \cdot 3 = 6$ ; $\frac{6}{10} = 0, 6$ . Проверка: две девочки — 1, два мальчика — 3, итого $1 + 3 + 6 = 10$ .

R03.4 · ПР-2

Образец → сам · обратная задача

Знаем вероятность — найдём число предметов

Образец: $5$ красных и несколько синих, $P (красный) = 0, 2$ . Синих?

$\frac{5}{n} = 0, 2$ формула вероятности

$n = 5 : 0, 2 = 25$ всего шаров

синих $25 - 5 =$ $20$

$300$ билетов, $P (выигрыш) = 0, 05$ . Выигрышных? $15$
$12$ белых шаров, $P (белый) = \frac{3}{8}$ . Остальных? $20$
$3$ белых, $7$ чёрных. Сколько белых добавить, чтобы $P (белый) = 0, 5$ ? $4$

R03.4 · ПР-1 · ПР-5

Образец → сам · случайное число и включение-исключение

Наугад выбирают натуральное число от $1$ до $100$

Образец: $P (делится на 2 или на 3)$

$∣ A ∣ = 50$ , $∣ B ∣ = 33$ , $∣ A \cap B ∣ = 16$ на $6$

$m = 50 + 33 - 16 = 67$

$P = \frac{67}{100} =$ $0, 67$

Делится на $3$ или на $5$ $0, 47$
Не делится ни на $2$ , ни на $5$ $0, 4$
Делится на $4$ или на $6$ $0, 33$

R03.3 · ПР-1 · ПР-2

Исследование · задача Галилея о трёх кубиках

Что вероятнее при броске трёх кубиков: сумма $9$ или $10$ ?

Гипотеза игроков: у обеих сумм по

6

разложений — значит, поровну?

$n = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$1 + 2 + 6$ — $6$ исходов, $3 + 3 + 3$ — один

$\frac{25}{216} < \frac{27}{216}$ сумма $10$

2,5 мин · практика (исследование в группах)
Исторический сюжет: игроки в кости заметили, что сумма 10 выпадает чаще суммы 9, хотя у обеих по 6 разложений на три слагаемых. Галилей объяснил это подсчётом равновозможных исходов — упорядоченных троек.
Группы выдвигают гипотезу (30 с), затем считают перестановки каждого разложения: три разных числа — 6 порядков, два одинаковых — 3, все одинаковые — 1. Сумма 9: $6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25$ ; сумма 10: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$ .
$P (9) = \frac{25}{216} \approx 0, 116$ , $P (10) = \frac{27}{216} = \frac{1}{8} = 0, 125$ . Вывод: разложения — не равновозможные исходы (как и «число орлов» на сл. 6). Проверить опытом — на практической работе VIS8U-010.

R03.4 · ПР-1 · ПР-2

Образец → сам · задача из жизни: забытая цифра

Таня забыла последнюю цифру номера, помнит лишь, что она нечётная

Образец: набирает наугад, не повторяясь. $P (дозвонится не более чем с 2 попыток)$

$n = 5 \cdot 4 = 20$ пары разных цифр

$m = 4 + 4 = 8$ верная (на рисунке 7) — 1-й или 2-й

$P = \frac{8}{20} =$ $0, 4$

Ничего не помнит. С первой попытки $0, 1$
Помнит, что цифра чётная. С первой попытки $0, 2$
Ничего не помнит. Не более чем с $3$ попыток $0, 3$

2 мин · практика
Модель: Таня заранее наугад выбирает порядок двух разных нечётных цифр — упорядоченные пары без повторов: $5 \cdot 4 = 20$ , равновозможны. Пусть верная цифра — 7 (в задаче она неизвестна, но любая даёт тот же счёт). Верная первой — строка 7: 4 клетки; верная второй — столбец 7: 4 клетки. $P = \frac{8}{20} = 0, 4$ . Короче: верная цифра равновозможно стоит на любом из 5 мест порядка набора, нужны места 1–2: $\frac{2}{5}$ .
Сам: 1) $\frac{1}{10} = 0, 1$ . 2) чётных цифр 5 (0, 2, 4, 6, 8): $\frac{1}{5} = 0, 2$ . 3) по тому же рассуждению — верная цифра на одном из первых трёх мест из 10: $\frac{3}{10} = 0, 3$ (перебором: $\frac{3 \cdot 9 \cdot 8}{10 \cdot 9 \cdot 8}$ ).

R03.3 · R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Три монеты, $P (два орла)$

«орлов $0, 1, 2, 3$ » ⇒ $\frac{1}{4}$ ✗

исходы «число орлов» не равновозможны

$8$ троек, $m = 3$ : $\frac{3}{8}$

$5$ красных, $P (красный) = 0, 2$ . Синих?

$5 : 0, 2 = 25$ синих ✗

$25$ — это все шары, красные входят

$25 - 5 = 20$

Число $1$ – $100$ делится на $2$ или $3$

$50 + 33 = 83$ ⇒ $0, 83$ ✗

кратные $6$ посчитаны дважды

$50 + 33 - 16 = 67$ : $0, 67$

R03.4 · ПР-2

Найди ошибку

Из $6$ учеников А, Б, В, Г, Д, Е наугад выбирают двоих. $P (выбран А)$ ?

Решение ученика

1) Всего пар: $6 \cdot 6 = 36$ .

2) Пар с А: АА, АБ, …, АЕ — $6$ .

3) $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

1) АА — не пара, АБ = БА: $\frac{36 - 6}{2} = 15$

2) с А: АБ, АВ, АГ, АД, АЕ — $5$

3) $P = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

R03.3 · R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Равновозможные исходы

Волчок: $10$ равных секторов $1$ – $10$ . Число делится на $4$ $0, 2$
Две монеты: хотя бы одна решка $0, 75$
Два кубика: сумма очков $9$ $\frac{1}{9}$

Случайный выбор

$4$ красных, $6$ синих, $10$ зелёных шаров. Шар не зелёный $0, 5$
Число от $1$ до $50$ делится на $7$ $0, 14$
Буква слова КУБИК наугад — это К $0, 4$

R03.3 · R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Монету бросают трижды. Орлов выпало больше, чем решек $0, 5$
повыш.Число от $1$ до $60$ наугад. Оно делится на $4$ или на $5$ $0, 4$
повыш.Из чисел $1, 2, 3, 4, 5$ наугад выбирают два разных. Их сумма чётна $0, 4$
повыш.Два кубика: на одном очков вдвое больше, чем на другом $\frac{1}{6}$

R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Случайный выбор в задачах ОГЭ

Участников турнира по бадминтону ( $26$ , из них $10$ из России, в том числе Руслан Орлов) разбивают на пары жребием. Найдите вероятность, что Орлов сыграет с россиянином.

$0, 36$

В фирме такси $40$ машин: $14$ жёлтых, остальные зелёные. На вызов выезжает случайная машина. Найдите вероятность, что приедет зелёное такси.

$0, 65$

На экзамене $25$ билетов, в $10$ из них есть вопрос по вероятности. Найдите вероятность, что в случайном билете такого вопроса нет.

$0, 6$

R03.3 · R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик: выпало больше $4$ очков $\frac{1}{3}$
Число от $1$ до $80$ делится на $5$ $0, 2$
Две монеты: два орла $0, 25$
Число от $1$ до $30$ делится на $2$ или на $5$ $0, 6$

Вариант 2

Кубик: выпало простое число $0, 5$
Число от $1$ до $90$ делится на $9$ $\frac{1}{9}$
Две монеты: орёл и решка $0, 5$
Число от $1$ до $40$ делится на $4$ или на $10$ $0, 3$

R03.3 · R03.4

Теория · итоговая сводка правил

Как найти вероятность в опыте с равновозможными исходами

2 мин · теория
Алгоритм: 1) проверить, что элементарные события равновозможны (симметрия, «наугад»); если нет — перейти к равновозможным (различимые монеты и кубики, упорядоченные тройки). 2) $n$ — перебором, таблицей, деревом, правилом умножения. 3) $m$ — перебором или формулой включения-исключения. 4) $P = \frac{m}{n}$ , проверить $0 \leq P \leq 1$ .
Случайный выбор одного из $n$ — по $\frac{1}{n}$ ; выбор пары — пары без порядка и повторов (рёбра полного графа). Обратная задача — $n = m : P$ .

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда можно применять $P = \frac{m}{n}$ ?
Почему у трёх монет $8$ исходов, а не $4$ ?
Сколько пар можно выбрать из $5$ человек?
Почему сумма $10$ у трёх кубиков вероятнее суммы $9$ ?

Домашнее задание

Три монеты: решек не меньше двух
Число от $1$ до $120$ : делится на $6$ или на $8$
Из $7$ учеников выбирают двоих: выбран Петя
Принесите монету и два кубика
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_sluchaynyy-vybor.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-009 · Опыты с равновозможными событиями. Случайный выбор

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R03 «Вероятность случайного события», 4 ч · урок 2/4 · тип И · «Вероятность случайного события»
Единицы → слайды	R03.3 «Опыты с равновозможными элементарными событиями» → 3–8, 13, 15, 17–18, 20–21 · R03.4 «Случайный выбор» → 9–12, 14–21
Результаты	ПР-2 (вероятности в опытах с равновозможными элементарными событиями, случайный выбор) → 3–22 · ПР-1 (перебор, правило умножения) → 6–8, 10, 14, 16 · ПР-5 (событие как множество, диаграммы Эйлера) → 12, 15
Вне урока	элементарные события, вероятности событий — VIS8U-008; практическая работа (R03.5) — VIS8U-010; дерево случайного опыта — R05; противоположное событие, сложение вероятностей — R07
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Вычислять

Считать исходы

Решать задачи

Исходы, вероятности, подсчёт

Элементарные события

Подсчёт

Если все исходы равновозможны

Где можно применять P=nm​?

Монету бросают трижды. P(ровно два орла)?

Двузначное число из цифр 1,2,3,4 (повторы можно) — наугад

Образец: P(цифры разные)

Кубик бросают дважды и перемножают очки

Образец: P(произведение чётно)

Выбор наугад: одного объекта и пары

Из пяти учеников А, Б, В, Г, Д жребием выбирают двух дежурных

Образец: P(А дежурит)

Знаем вероятность — найдём число предметов

Образец: 5 красных и несколько синих, P(красный)=0,2. Синих?

Наугад выбирают натуральное число от 1 до 100

Образец: P(делится на 2 или на 3)

Что вероятнее при броске трёх кубиков: сумма 9 или 10?

Таня забыла последнюю цифру номера, помнит лишь, что она нечётная

Образец: набирает наугад, не повторяясь. P(дозвонится не более чем с 2 попыток)

Неверно → почему → верно

Три монеты, P(два орла)

5 красных, P(красный)=0,2. Синих?

Число 1–100 делится на 2 или 3

Из 6 учеников А, Б, В, Г, Д, Е наугад выбирают двоих. P(выбран А)?

Решение ученика

Решите и проверьте

Равновозможные исходы

Случайный выбор

Подумайте и решите

Случайный выбор в задачах ОГЭ

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Как найти вероятность в опыте с равновозможными исходами

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-009 · Опыты с равновозможными событиями. Случайный выбор

Где можно применять $P = \frac{m}{n}$ ?

Монету бросают трижды. $P (ровно два орла)$ ?

Двузначное число из цифр $1, 2, 3, 4$ (повторы можно) — наугад

Образец: $P (цифры разные)$

Образец: $P (произведение чётно)$

Образец: $P (А дежурит)$

Образец: $5$ красных и несколько синих, $P (красный) = 0, 2$ . Синих?

Наугад выбирают натуральное число от $1$ до $100$

Образец: $P (делится на 2 или на 3)$

Что вероятнее при броске трёх кубиков: сумма $9$ или $10$ ?

Образец: набирает наугад, не повторяясь. $P (дозвонится не более чем с 2 попыток)$

Три монеты, $P (два орла)$

$5$ красных, $P (красный) = 0, 2$ . Синих?

Число $1$ – $100$ делится на $2$ или $3$

Из $6$ учеников А, Б, В, Г, Д, Е наугад выбирают двоих. $P (выбран А)$ ?