Вероятность случайного события · урок 1 из 4

Элементарные события. Вероятности случайных событий

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS8U-008

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Вероятность случайного события» (4 ч), урок 1/4, тип Н (новый материал). Единицы R03.1 «Элементарные события», R03.2 «Вероятности случайных событий». Предыдущий урок VIS8U-007 — практикум по множествам (разминка по нему). Следующий VIS8U-009 (тип И) — опыты с равновозможными элементарными событиями, случайный выбор.
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (опыт, элементарные события, Ω) 2,5 · 6 (событие — подмножество Ω) 2,5 · 8 (вероятности элементарных событий) 2,5 · 9 (вероятность события — сумма) 2,5 · 10 (доказательство: A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 13, 14) по 2,5, (сл. 11, 12) по 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Углублённый уровень: элементарные события сразу не равновозможные (вертушка, неправильный кубик, стрелок), вероятность события — сумма вероятностей благоприятствующих; свойство монотонности — с доказательством. Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.1 · R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Описывать опыт

выписывать все элементарные события — списком, деревом, таблицей (ПР-1, ПР-2)

Описывать событие

событие как подмножество $Ω$ , благоприятствующие исходы (ПР-5)

Находить $P (A)$

как сумму вероятностей благоприятствующих элементарных событий (ПР-2)

Обосновывать

свойства: $0 \leq P (A) \leq 1$ , если $A \subset B$ , то $P (A) \leq P (B)$ (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-2: «Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями». ПР-5: «Оперировать понятием события как множества элементарных событий случайного опыта… использовать диаграммы Эйлера». ПР-1: перечисление элементов множеств организованным перебором.
Связь со строкой R02 «Множества»: событие — подмножество Ω, операции над событиями — операции над множествами (подробно — строка R07).

повторение: R02 (VIS8U-004…007)

Разминка · устно

Множества и доли

$U = {1; 2; \dots; 6}, A = {2; 4; 6}, B = {4; 5; 6}$

$A \cap B$ ${4; 6}$
$A \cup B$ ${2; 4; 5; 6}$
$\overline{A}$ (дополнение до $U$ ) ${1; 3; 5}$
Сколько подмножеств у ${a; b; c}$ ? $8$

Счёт и перебор

$∣ A ∣ = 7, ∣ B ∣ = 5, ∣ A \cap B ∣ = 3$ . $∣ A \cup B ∣$ ? $9$
$0, 3 + 0, 25 + 0, 45$ $1$
$1 - 0, 15 - 0, 4$ $0, 45$
Сколько исходов у двух бросков монеты? $4$

R03.1

Теория · случайный опыт и элементарные события

В каждом опыте наступает ровно один исход

Элементарные события — исходы опыта: при каждом проведении наступает ровно одно из них

$Ω$ — множество всех элементарных событий

$Ω = {О; Р}$ монета

$Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ кубик

$Ω = {К; С; Ж; З}$ вертушка

Исходы не обязаны быть равновозможными: у вертушки красный — полкруга

2,5 мин · теория
Случайный опыт — опыт, результат которого нельзя предсказать заранее. Элементарные события (исходы) — такие результаты, что при каждом проведении опыта наступает одно и только одно из них (два сразу нельзя, ни одного — тоже нельзя). Ω (омега) — множество всех элементарных событий.
Монета — 2 исхода, кубик — 6, вертушка с 4 цветными секторами — 4 исхода, но они не равновозможны: красный сектор — половина круга, синий — четверть, жёлтый и зелёный — по восьмой части. На углублённом уровне сразу работаем и с такими опытами.
Вопрос классу: можно ли взять для кубика исходы «1», «2», «больше 2»? (Да, это тоже набор элементарных событий — ровно одно наступает, но тогда событие «чётное» не выразить. Принято брать самые «мелкие» исходы.) Вопрос: «чётное» и «больше 4» — элементарные события кубика? (Нет: они могут наступить одновременно — при 6.)

R03.1

Образец → сам · перечисляем исходы деревом

Две карточки из трёх по очереди

Образец: из карточек А, Б, В тянут две по очереди, не возвращая. Выпишите $Ω$

1-я карточка — любая из $3$ 3 ветки

2-я — из $2$ оставшихся по 2 ветки

$Ω = {АБ; АВ; БА; БВ; ВА; ВБ}$ — $6$

Сам: сколько элементарных событий?

Монету бросают $3$ раза $8$
Из карточек $1, 2, 3, 4$ тянут две по очереди без возвращения $12$
То же, но первую карточку возвращают $16$

Ветки дерева

\to

все исходы, без пропусков и повторов

2,5 мин · практика
Образец: дерево — у корня 3 ветки (первая карточка), от каждой 2 (вторая — из оставшихся); листья открываются шагом. АБ и БА — разные исходы: важен порядок. Всего 3 · 2 = 6.
Сам: 1) 2 · 2 · 2 = 8 (ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР). 2) 4 · 3 = 12 (12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43). 3) с возвращением вторая — любая из 4: 4 · 4 = 16 (добавились 11, 22, 33, 44). Проверено перебором (python, itertools).
Вопрос: почему в образце нет исхода «АА»? (Карточку не возвращают.)

R03.1 · R03.2

Теория · случайное событие — подмножество Ω

Событие — набор элементарных событий

Событие $A$ — подмножество $Ω$ . Его исходы — благоприятствующие $A$

$A$ — «чётное»: $A = {2; 4; 6}$

$B$ — «больше 4»: $B = {5; 6}$

выпала $6$ — наступили оба

$Ω$ — достоверное, $\emptyset$ — невозможное событие

2,5 мин · теория
Случайное событие — любое подмножество множества элементарных событий Ω. Элементарные события, входящие в A, называют благоприятствующими событию A: событие A наступает, если опыт закончился одним из них.
Диаграмма Эйлера: прямоугольник — Ω (6 граней), круг A — чётные грани, круг B — «больше 4». Грань 6 — в пересечении: при 6 наступают и A, и B. Грани 1 и 3 — вне обоих кругов: не благоприятствуют ни A, ни B.
Достоверное событие — Ω (наступает всегда, например «выпало не больше 6»), невозможное — ∅ (не содержит ни одного исхода, например «выпало 7»). Вопрос классу: сколько всего событий у кубика? (Столько, сколько подмножеств у 6-элементного множества: 2⁶ = 64, включая ∅ и Ω.)

R03.1 · R03.2

Образец → сам · событие в таблице исходов

Два кубика: 36 элементарных событий

Образец: сколько исходов благоприятствуют событию «сумма очков равна $8$ »?

клетка $(a; b)$ , ищем $a + b = 8$ диагональ

$(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)$ — $5$ из $36$

Сам: сколько благоприятствующих исходов?

«Сумма очков равна $10$ » $3$
«На первом кубике больше, чем на втором» $15$
«Произведение очков чётно» $27$

(3; 5)

и

(5; 3)

— разные клетки

R03.2

Теория · вероятности элементарных событий

Каждому исходу — своя вероятность

Каждому элементарному событию сопоставлено число $p_{i} \geq 0$ — его вероятность

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

исход	К	С	Ж	З
$p$	$0, 5$	$0, 25$	$0, 125$	$0, 125$

Откуда

p_{i}

: симметрия, доли фигуры, частоты в долгих сериях

2,5 мин · теория
Вероятность элементарного события — число от 0 до 1, показывающее, какую долю опытов в длинной серии занимает этот исход. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1 (какой-то исход наступает всегда).
Вертушка: красный сектор — 180° (половина круга), синий — 90° (четверть), жёлтый и зелёный — по 45° (восьмые). Проверка: 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,125 = 1. Доли открываются шагом.
Откуда берутся вероятности: из симметрии (монета, правильный кубик — по 1/2 и 1/6), из долей площадей (вертушка), из статистики (частоты в длинной серии — 7 класс, R01.5). Вопрос: какой исход вероятнее — красный или «синий, жёлтый или зелёный»? (Поровну: по 0,5.)

R03.2

Теория · вероятность случайного события

$P (A)$ — сумма вероятностей исходов из $A$

$P (A)$ — сумма вероятностей всех элементарных событий, благоприятствующих $A$

$A$ — «чётное»: $0, 1 + 0, 15 + 0, 3 = 0, 55$

$P (\emptyset) = 0, P (Ω) = 1$

Исходы равновозможны: $p_{i} = \frac{1}{n}$ , тогда $P (A) = \frac{m}{n}$

2,5 мин · теория
Определение: вероятность события A равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих A. Неправильный (несимметричный) кубик: вероятности граней 0,1; 0,1; 0,15; 0,15; 0,2; 0,3 (сумма 1). Событие «чётное» = {2; 4; 6}: 0,1 + 0,15 + 0,3 = 0,55 (столбики закрашиваются шагом).
Следствия: P(∅) = 0 (пустая сумма), P(Ω) = 1 (сумма всех p).
Частный случай — равновозможные исходы: каждый имеет вероятность 1/n, событие из m исходов — m слагаемых по 1/n, P(A) = m/n (классическая формула 7 класса). Подробно — следующий урок VIS8U-009.

R03.2

Теория · свойство вероятности с доказательством

Если $A \subset B$ , то $P (A) \leq P (B)$

$B$ — исходы из $A$ и из $B ∖ A$ разбиение

$P (B) = P (A) + B ∖ A \sum p_{i}$ по определению

$B ∖ A \sum p_{i} \geq 0$ все $p_{i} \geq 0$

$P (A) \leq P (B)$ $■$

Следствие:

\emptyset \subset A \subset Ω

, значит

0 \leq P (A) \leq 1

1,5 мин · теория
Доказательство (учитель ведёт, класс обосновывает каждый шаг): если A ⊂ B, то каждый исход из B лежит либо в A, либо в B \ A (закрашенная часть — шаг 1). По определению P(B) — сумма вероятностей исходов из B; разбиваем её на две: исходы из A дают P(A), исходы из B \ A — остальное. Вероятности неотрицательны, поэтому добавка ≥ 0, и P(B) ≥ P(A).
Следствие: ∅ ⊂ A ⊂ Ω, поэтому P(∅) ≤ P(A) ≤ P(Ω), т. е. 0 ≤ P(A) ≤ 1. Ответ «вероятность 1,2» — всегда ошибка.
Побочный результат: P(B \ A) = P(B) − P(A) при A ⊂ B — пригодится в задании ОГЭ 3 (сл. 19) про чайник.

R03.2

Образец → сам · вероятность события по диаграмме

Стрелок: вероятности числа очков

Образец: найдите вероятность события «не меньше $8$ очков»

«не меньше 8» $= {10; 9; 8}$ благоприятствующие

$P = 0, 15 + 0, 25 + 0, 3 = 0, 7$ сумма

Сам: по той же диаграмме

«Меньше $9$ очков» $0, 6$
«Стрелок попал» (не $0$ ) $0, 9$
«Нечётное число очков» $0, 45$

Проверка:

0, 15 + 0, 25 + 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 1

R03.2

Образец → сам · обратная задача: неизвестная вероятность

Неправильный кубик: найдите $x$

Образец: вероятности граней — на диаграмме. Найдите $x$ и $P (« больше 3»)$

$0, 3 + 2 x + 0, 3 = 1$ сумма всех $p_{i}$

$2 x = 0, 4, x = 0, 2$

$P = 0, 2 + 0, 2 + 0, 3 = 0, 7$ ${4; 5; 6}$

Сам

Вертушка: $p (К) = 0, 45$ , $p (С) = 0, 35$ , третий цвет — Ж. $p (Ж)$ ? $0, 2$
Четыре исхода: $p, 2 p, 3 p, 4 p$ . Найдите $p$ $0, 1$
$Ω = {a; b; c}$ , $p_{a} = 2 p_{b}$ , $P ({a; b}) = 0, 6$ . Найдите $p_{a}$ , $p_{c}$ $0, 4$ ; $0, 4$

R03.1 · R03.2

Образец → сам · исходы-пары с разными вероятностями

Погода в выходные

Образец: вероятности погоды в субботу и воскресенье — в таблице. Найдите $P (« хотя бы один день сухо »)$

$4$ исхода: СС, СД, ДС, ДД сумма $= 1$

благоприятствуют СС, СД, ДС все, кроме ДД

$P = 0, 4 + 0, 2 + 0, 1 = 0, 7$

Сам: по той же таблице

«Дождь ровно в один из дней» $0, 3$
«В воскресенье дождь» $0, 5$
«Погода в оба дня одинаковая» $0, 7$

Строка — суббота, столбец — воскресенье

R03.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Сорт случайно выбранной детали

Образец: деталь оказывается 1-го сорта с вероятностью $0, 62$ , 2-го — $0, 25$ , 3-го — $0, 1$ , бракованной — $0, 03$ . В продажу идут 1–3 сорта. Найдите вероятность, что деталь пойдёт в продажу

в продажу $= {1; 2; 3 сорт}$

$P = 0, 62 + 0, 25 + 0, 1 = 0, 97$ $= 1 - 0, 03$

Сам

Магазин берёт только 1-й и 2-й сорт. Вероятность, что деталь подойдёт? $0, 87$
Деталь не 1-го сорта $0, 38$
Примерно сколько бракованных в партии из $2000$ деталей? $\approx 60$

R03.1 · R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
вертушка: «4 цвета — значит, каждый по четверти»	$p (К) = 0, 25$	по доле круга: $0, 5$
таблица: $p = 0, 3; 0, 4; 0, 4$	считают по ней	сумма $1, 1 \neq = 1$ — таблица неверна
сложили: $P (A) = 1, 2$	«очень вероятно»	$0 \leq P \leq 1$ : ищите повтор исхода
погода: «сухо хотя бы раз — 3 исхода из 4»	$3 : 4 = 0, 75$	исходы не равновозможны: $0, 7$

R03.1 · R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик: $p_{1} = \dots = p_{5} = 0, 1$ . Найдите $p_{6}$

« $p_{6} = 1 - 0, 1 = 0, 9$ »

вычесть надо все пять: $5 \cdot 0, 1 = 0, 5$

$p_{6} = 1 - 0, 5 = 0, 5$

б) Стрелок (сл. 11): «не больше $8$ очков»

« ${8}$ , $P = 0, 3$ »

«не больше 8» $= {8; 7; 0}$

$0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 0, 6$

в) Погода (сл. 13): «дождь хотя бы в один день»

«ДС и ДД: $0, 1 + 0, 3 = 0, 4$ »

пропущен исход СД

$0, 2 + 0, 1 + 0, 3 = 0, 6$

R03.1 · R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте