Множества · урок 3 из 4 · углублённый уровень

Перебор, правило умножения и формула включения-исключения

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS8U-006

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Множества» (4 ч), урок 3/4, единицы R02.7 «Перечисление элементов множеств с помощью организованного перебора и правила умножения», R02.8 «Формула включения-исключения». Тип урока — Н. Опора: множества, пересечение и объединение, диаграммы Эйлера (VIS8U-004, VIS8U-005), перебор вариантов (7 класс).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (организованный перебор, дерево) 2 · 6 (правило умножения, таблица пар) 2 · 8 (разбиение на случаи, учитель решает сам) 2 · 10 (формула включения-исключения) 2,5 · 13 (три множества) 2,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12, 14) по 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный уровень (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог и ДЗ (сл. 22) 1,5.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и сл. 20 (кроме п. а) — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.7 · R02.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Перебирать без пропусков

выписывать все элементы множества по правилу — деревом или таблицей (ПР-1)

Считать по правилу умножения

пары и тройки: $m \cdot n \cdot k$ ; разбивать на случаи (ПР-1)

Находить $∣ A \cup B ∣$

по формуле включения-исключения — и обратные задачи (ПР-1, ПР-5)

Работать с тремя множествами

диаграмма Эйлера, задачи о делимости и опросах

1 мин · теория
ПР-1: «Оперировать понятиями множества, подмножества, выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, перечислять элементы множеств с использованием организованного перебора и комбинаторного правила умножения». ПР-5 (частично): «…использовать при решении задач диаграммы Эйлера…». Единицы ФРП: R02.7, R02.8.
|A| — число элементов конечного множества A (мощность). Обозначение вводится сегодня, если не было на прошлом уроке.

повторение: VIS8U-004, VIS8U-005

Разминка · устно

Множества и варианты

$A = {1, 2, 3, 4}$ , $B = {3, 4, 5}$

$A \cap B$ ${3, 4}$
$A \cup B$ ${1, 2, 3, 4, 5}$
$∣ A ∣ + ∣ B ∣$ и $∣ A \cup B ∣$ $7$ и $5$
Подмножеств у ${a, b}$ $4$

Сколько вариантов?

$3$ супа, $4$ вторых: обедов $12$
Монету бросили $3$ раза: исходов $8$
Двузначные из цифр $1, 2$ $4$
Чисел от $1$ до $20$ , кратных $3$ $6$

R02.7

Теория · организованный перебор

Два дежурных из четырёх: А, Б, В, Г

Организованный перебор — выписываем элементы по правилу, чтобы не было ни пропусков, ни повторов.

Правило: второй — позже по алфавиту

АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ = $6$

Пара «АБ» = «БА»: порядок не важен. Если важен (дежурный и помощник) —

4 \cdot 3 = 12

.

R02.7

Образец → сам · организованный перебор

Перебор таблицей: от больших монет к мелким

Образец: набрать $7$ р. монетами $1$ , $2$ и $5$ р.

$5$ р.	$2$ р.	$1$ р.	обоснование
$1$	$1$	$0$	одна пятёрка, остаток $2$
$1$	$0$	$2$	одна пятёрка, остаток $2$
$0$	$3$	$1$	без пятёрок: двоек $3, 2, 1, 0$
$0$	$2$	$3$
$0$	$1$	$5$
$0$	$0$	$7$

Ответ: $6$ способов

Сам: выпишите и сосчитайте

Пары дежурных из $5$ человек $10$
Двузначные числа с суммой цифр $5$ $5$
Набрать $6$ р. монетами $1$ , $2$ и $5$ р. $5$

R02.7

Теория · комбинаторное правило умножения

Множество пар — таблица $m \times n$

Если первый элемент выбирают $m$ способами и при каждом из них второй — $n$ способами, то пару — $m \cdot n$ способами.

Двузначные: $3 \cdot 4 =$ $12$ строки × столбцы

$k$ шагов: $n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$

Это правило перебора без выписывания: число клеток таблицы, листьев дерева.

R02.7

Образец → сам · правило умножения

Заполняем разряды по очереди

Образец: трёхзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5$ (повторы можно)

сотни: $5$ $0$ первым нельзя

десятки, единицы: по $6$ любая цифра

$5 \cdot 6 \cdot 6$ = $180$ правило умножения

Сам

То же, но цифры не повторяются $100$
Номер: буква из $12$ и три цифры $12000$
углубл.Делителей у $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ $12$

R02.7

Теория · разбиение на случаи

Чётные трёхзначные с разными цифрами

Сначала — самое ограниченное место (единицы).

Число вариантов зависит от случая ( $0$ на конце или нет) → делим на случаи.

Случаи не пересекаются — числа складываем.

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Почему не просто 9 · 9 · 5: если на конце 0, то на первое место можно 9 цифр; если на конце 2, 4, 6 или 8 — на первое место только 8 (не 0 и не последняя). Количество на втором шаге зависит от первого — правило умножения «в лоб» не работает.
Случай 1: единицы — 0 (1 способ), сотни — любая из 1–9 (9), десятки — любая из оставшихся 8: 9 · 8 = 72. Случай 2: единицы — 4 способа, сотни — 8 (не 0, не цифра единиц), десятки — 8 (из 10 убрали две занятые): 4 · 8 · 8 = 256.
Итог 72 + 256 = 328 (проверено перебором всех трёхзначных). Правило сложения: |A ∪ B| = |A| + |B|, если A ∩ B = ∅ — частный случай формулы с сл. 10.

R02.7 · R02.8

Образец → сам · «хотя бы один» через дополнение

Проще посчитать тех, у кого нет

Образец: трёхзначные числа, в записи которых есть цифра $7$

без $7$ : $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ сотни: не $0$ , не $7$

$900 - 648$ = $252$ все минус «ни одной»

Сам

Двузначные, где есть цифра $5$ $18$
Коды из $3$ букв А–Д (повторы можно), где есть буква А $61$
Четырёхзначные, где есть цифра $0$ $2439$

R02.8

Теория · формула включения-исключения

Почему $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ больше, чем $∣ A \cup B ∣$

$∣ A ∣ = a + c$ , $∣ B ∣ = b + c$

$∣ A ∣ + ∣ B ∣ = a + b + 2 c$

$∣ A \cup B ∣ = a + b + c$

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

Если

A \cap B = \emptyset

:

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣

— правило сложения.

R02.8

Образец → сам · формула включения-исключения

Футбол и плавание: кто не занят?

Образец: в классе $30$ человек; футбол — $18$ , плавание — $14$ , оба — $7$ . Сколько не ходят никуда?

$∣ Ф \cup П ∣$

$= 18 + 14 - 7 = 25$

$30 - 25$ = $5$

вне обоих кругов

Сам: сколько чисел…

от $1$ до $100$ , кратных $2$ или $5$ $60$
от $1$ до $60$ , кратных $3$ или $4$ $30$
двузначных, кратных $3$ или $5$ $42$

2 мин · практика
Образец: на диаграмме заполняем от центра: оба — 7, только футбол 18 − 7 = 11, только плавание 14 − 7 = 7; 11 + 7 + 7 = 25, вне кругов 30 − 25 = 5.
1) Кратных 2 — 50, кратных 5 — 20, кратных 2 и 5 (то есть 10) — 10: 50 + 20 − 10 = 60. 2) 20 + 15 − 5 (кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60) = 30. 3) Двузначных кратных 3 — 30 (12…99), кратных 5 — 18 (10…95), кратных 15 — 6 (15…90): 30 + 18 − 6 = 42. Всё проверено перебором.
Ключ: «кратно 2 и 5» = «кратно 10» (НОК), а не 2 · 5 в общем случае — для 4 и 6 общее кратное 12, а не 24.

R02.8

Образец → сам · обратная задача

Найти пересечение по объединению

Образец: каждый из $25$ учеников изучает английский или немецкий; английский — $18$ , немецкий — $12$ . Сколько изучают оба?

$25 = 18 + 12 - x$

вне кругов — никого

$x =$ $5$

$13 + 5 + 7 = 25$ ✓

Сам

$∣ A \cup B ∣ = 20$ , $∣ A ∣ = 12$ , $∣ A \cap B ∣ = 4$ . Найдите $∣ B ∣$ $12$
$40$ решили задачу 1 или 2: первую — $28$ , вторую — $20$ . Обе? $8$
$32$ туриста: англ. — $20$ , франц. — $15$ , ни одного — $6$ . Оба? $9$

R02.8

Теория · включение-исключение для трёх множеств

Сколько раз посчитана каждая область

∣ A \cup B \cup C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣

- ∣ A \cap B ∣ - ∣ A \cap C ∣ - ∣ B \cap C ∣ + ∣ A \cap B \cap C ∣

область	сумма трёх	$-$ пары	$+$ тройка	итог
в одном	$1$	$0$	$0$	$1$
ровно в двух	$2$	$- 1$	$0$	$1$
во всех трёх	$3$	$- 3$	$+ 1$	$1$

Каждый элемент учтён ровно один раз — формула верна.

R02.8

Образец → сам · три множества

Числа от $1$ до $30$ , кратные $2$ , $3$ или $5$

$15 + 10 + 6$ кратные $2$ , $3$ , $5$

$- 5 - 3 - 2$ кратные $6$ , $10$ , $15$

$+ 1$ = $22$ кратное $30$

От $1$ до $60$ , кратных $2$ , $3$ или $5$ $44$
От $1$ до $100$ , не кратных ни $2$ , ни $3$ , ни $5$ $26$
$25$ учеников; химия $12$ , физика $10$ , биология $9$ ; Х+Ф $5$ , Х+Б $4$ , Ф+Б $3$ , все три $2$ . Ни одного кружка? $4$

R02.7 · R02.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили, не вычли пересечение	$18 + 14 = 32$ из $30$	$18 + 14 - 7 = 25$
ноль на первом месте	$6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$	$5 \cdot 6 \cdot 6 = 180$
забыли $+ ∣ A \cap B \cap C ∣$	$31 - 10 = 21$	$31 - 10 + 1 = 22$
порядок не важен, а умножили	пар дежурных $4 \cdot 3 = 12$	$12 : 2 = 6$

R02.7 · R02.8

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Числа от $1$ до $50$ , кратные $2$ или $3$

$25 + 16 = 41$

кратные $6$ ( $8$ штук) посчитаны дважды

$25 + 16 - 8 = 33$

б) Четырёхзначные числа с разными цифрами

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$

на первом месте $0$ нельзя: $9$ способов

$9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$

в) Двузначные, где есть цифра $3$

$3$ в десятках — $10$ , в единицах — $9$ : $19$

число $33$ посчитано дважды

$10 + 9 - 1 = 18$

R02.7 · R02.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Правило умножения

$4$ футболки, $3$ шорт: комплектов $12$
Трёхзначные из цифр $1, 3, 5, 7$ (повторы можно) $64$
То же без повторов $24$

Перебор и множества

Выпишите двузначные из цифр $0, 1, 2$ (повторы можно) $6$
$∣ A ∣ = 15$ , $∣ B ∣ = 11$ , $∣ A \cap B ∣ = 4$ : $∣ A \cup B ∣$ $22$
От $1$ до $40$ , кратных $4$ или $5$ $16$

R02.7 · R02.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько натуральных делителей у $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ ? $24$
повыш.Сколько чисел от $1$ до $1000$ не делятся ни на $2$ , ни на $5$ ? $400$
повыш.Сколько пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры? $62784$
исследованиеИз $100$ туристов английский знают $75$ , немецкий — $83$ . Каким наименьшим может быть число знающих оба языка? $58$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) 2^a · 3^b · 5^c: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24. 2) Делятся на 2 или 5: 500 + 200 − 100 = 600; не делятся: 1000 − 600 = 400.
3) Дополнение: все цифры разные — 9 · 9 · 8 · 7 · 6 = 27 216; 90 000 − 27 216 = 62 784 (проверено перебором).
4) |А ∩ Н| = 75 + 83 − |А ∪ Н| ≥ 158 − 100 = 58: объединение не больше 100. Достигается, если каждый знает хотя бы один язык. Наибольшее — 75 (все знающие английский знают и немецкий).

R02.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность = доля подходящих: $P = \frac{m}{n}$

1. Из чисел от $1$ до $50$ наугад выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно делится на $2$ или на $5$ .

$0, 6$

2. В классе $25$ учеников: $15$ ходят в бассейн, $12$ — в шахматный кружок, $6$ — и туда, и туда. Наугад выбирают ученика. Найдите вероятность того, что он никуда не ходит.

$0, 16$

3. Наугад выбирают двузначное число. Найдите вероятность того, что в его записи есть цифра $5$ .

$0, 2$

n

— все исходы,

m

— подходящие; считаем по правилам урока. В бланк: 0,6.

R02.8 · из жизни

Задача из жизни · опрос

Сериалы, игры, книги: заполняем от центра

Опрос $50$ восьмиклассников: С смотрят сериалы — $24$ , И играют — $20$ , Ч читают — $15$ ; С и И — $10$ , С и Ч — $7$ , И и Ч — $5$ , все три — $3$ .

Ни одного увлечения $10$
Ровно одно увлечение $24$
Ровно два увлечения $13$

R02.7 · R02.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Трёхзначные из цифр $1$ – $5$ (повторы можно) $125$
Двузначные с разными цифрами $81$
$∣ A ∣ = 20$ , $∣ B ∣ = 13$ , $∣ A \cap B ∣ = 6$ : $∣ A \cup B ∣$ $27$
От $1$ до $60$ , кратных $2$ или $3$ $40$

Вариант 2

Трёхзначные из цифр $2, 4, 6, 8$ (повторы можно) $64$
Трёхзначные с разными цифрами $648$
$∣ A \cup B ∣ = 30$ , $∣ A ∣ = 18$ , $∣ B ∣ = 17$ : $∣ A \cap B ∣$ $5$
От $1$ до $70$ , кратных $2$ или $5$ $42$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как перебирать без пропусков и повторов?
Когда числа вариантов перемножают, а когда складывают?
Почему в $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ вычитают $∣ A \cap B ∣$ ?
Что прибавляют для трёх множеств?

Домашнее задание

Четырёхзначные из цифр $0$ – $4$ без повторов
От $1$ до $200$ , кратных $3$ или $7$ ; от $1$ до $100$ — кратных $2$ , $3$ или $7$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_mnozhestva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-006 · Перебор, правило умножения, формула включения-исключения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R02 «Множества», 4 ч · урок 3/4 · тип Н
Единицы → слайды	R02.7 «Перечисление элементов множеств с помощью организованного перебора и правила умножения» → 2, 4–9, 15–18, 21 · R02.8 «Формула включения-исключения» → 2, 3, 10–16, 19–21 · повторение (операции над множествами) → 3
Результаты	ПР-1 (множества, операции, организованный перебор и правило умножения) → 3–18, 20–21 · ПР-5 (диаграммы Эйлера) → 10–14, 20 · ПР-2 (вероятность в опытах с равновозможными исходами, пропедевтика) → 19
Вне урока	практикум по множествам — VIS8U-007; элементарные события и вероятность — VIS8U-008 и далее
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Перебор, правило умножения и формула включения-исключения

Сегодня вы научитесь

Перебирать без пропусков

Считать по правилу умножения

Находить ∣A∪B∣

Работать с тремя множествами

Множества и варианты

A={1,2,3,4}, B={3,4,5}

Сколько вариантов?

Два дежурных из четырёх: А, Б, В, Г

Перебор таблицей: от больших монет к мелким

Образец: набрать 7 р. монетами 1, 2 и 5 р.

Сам: выпишите и сосчитайте

Множество пар — таблица m×n

Заполняем разряды по очереди

Образец: трёхзначные числа из цифр 0,1,2,3,4,5 (повторы можно)

Сам

Чётные трёхзначные с разными цифрами

Проще посчитать тех, у кого нет

Образец: трёхзначные числа, в записи которых есть цифра 7

Сам

Почему ∣A∣+∣B∣ больше, чем ∣A∪B∣

Футбол и плавание: кто не занят?

Образец: в классе 30 человек; футбол — 18, плавание — 14, оба — 7. Сколько не ходят никуда?

Сам: сколько чисел…

Найти пересечение по объединению

Образец: каждый из 25 учеников изучает английский или немецкий; английский — 18, немецкий — 12. Сколько изучают оба?

Сам

Сколько раз посчитана каждая область

Числа от 1 до 30, кратные 2, 3 или 5

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Числа от 1 до 50, кратные 2 или 3

б) Четырёхзначные числа с разными цифрами

в) Двузначные, где есть цифра 3

Решите и проверьте

Правило умножения

Перебор и множества

Подумайте и решите

Вероятность = доля подходящих: P=nm​

Сериалы, игры, книги: заполняем от центра

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-006 · Перебор, правило умножения, формула включения-исключения

Находить $∣ A \cup B ∣$

$A = {1, 2, 3, 4}$ , $B = {3, 4, 5}$

Образец: набрать $7$ р. монетами $1$ , $2$ и $5$ р.

Множество пар — таблица $m \times n$

Образец: трёхзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5$ (повторы можно)

Образец: трёхзначные числа, в записи которых есть цифра $7$

Почему $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ больше, чем $∣ A \cup B ∣$

Образец: в классе $30$ человек; футбол — $18$ , плавание — $14$ , оба — $7$ . Сколько не ходят никуда?

Образец: каждый из $25$ учеников изучает английский или немецкий; английский — $18$ , немецкий — $12$ . Сколько изучают оба?

Числа от $1$ до $30$ , кратные $2$ , $3$ или $5$

а) Числа от $1$ до $50$ , кратные $2$ или $3$

в) Двузначные, где есть цифра $3$

Вероятность = доля подходящих: $P = \frac{m}{n}$