Повторение курса 7 класса · урок 3 из 3

Множества и графы

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS8U-003

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 7 класса» (3 ч), урок 3/3, тип О (обобщение и систематизация). Фокус урока — последние единицы строки: R01.6 «Элементы теории множеств» и R01.7 «Элементы теории графов», плюс смешанные задачи: события как множества исходов (R01.4, R01.5). Уроки 1–2 строки (VIS8U-001, VIS8U-002) — данные, описательная статистика, случайная изменчивость, события и частоты.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (операции над множествами) 2,5 · 7 (граф, степени вершин) 3 · 9 (цепь, цикл, эйлеров путь) 3 · 12 (события как множества) 2. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам: сл. 5 — 2, сл. 6 — 2,5, сл. 8 — 2, сл. 10 — 2,5, сл. 11 — 2,5, сл. 13 — 2, сл. 14 — 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный уровень (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 14 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.6 · R01.7

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Операции над множествами

$A \cap B$ , $A \cup B$ , $A ∖ B$ , $\overline{A}$ — перечислять элементы и считать по кругам Эйлера (ПР-1)

Свойства графа

степени вершин, число рёбер, полный граф (ПР-4)

Обход и пути

эйлеров путь «одним росчерком», подсчёт путей в ориентированном графе

События — множества

находить вероятность через круги Эйлера (ПР-2, ПР-5, линия 10 ОГЭ)

1 мин · теория
ПР-1: «Оперировать понятиями множества, подмножества, выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, перечислять элементы множеств с использованием организованного перебора…». ПР-4: «Иметь представление о дереве, о вершинах и рёбрах…» — сегодня повторяем графы 7 класса как подготовку к деревьям (строка R05). ПР-2 и ПР-5 — вероятности событий, событие как множество элементарных событий, диаграммы Эйлера.
Из характеристики деятельности строки R01: «Решать задачи … на описание множеств и представление информации в виде графов».

повторение: 7 класс

Разминка · устно

Множества и графы за две минуты

$A = {1; 2; 3; 4}$ , $B = {3; 4; 5}$

$A \cap B$ ${3; 4}$
$A \cup B$ ${1; 2; 3; 4; 5}$
Сколько подмножеств у ${a; b}$ ? $4$
$\emptyset \subset A$ — верно? да

Графы и кубик

Степени вершин $1, 2, 2, 1$ . Рёбер? $3$
Рёбер в полном графе с $4$ вершинами $6$
Кубик: «чётное» как множество ${2; 4; 6}$
$P (выпало число из {1; 2})$ $\frac{1}{3}$

R01.6

Сводка · операции над множествами

Пересечение, объединение, разность, дополнение

B \subset A

— каждый элемент

B

лежит в

A

.

U

— всё множество, о котором идёт речь; закрашено новое множество.

2,5 мин · теория
Пересечение A ∩ B — элементы, которые принадлежат и A, и B («и»). Объединение A ∪ B — элементы хотя бы одного из множеств («или»), каждый элемент записываем один раз. Разность A \ B — элементы A, которых нет в B (A \ B и B \ A — разные множества!). Дополнение (не A) — элементы U вне A.
Спросить: A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5} из разминки — A \ B? ({1; 2}) B \ A? ({5}). При U = {1; …; 6}: дополнение A? ({5; 6}).
Если B ⊂ A, то A ∩ B = B и A ∪ B = A — на круге Эйлера B целиком внутри A.

R01.6

Образец → сам · операции над множествами

Разложите элементы по областям

Образец: $A$ — делители $12$ , $B$ — делители $18$ . Найдите $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A ∖ B$ .

$A \cap B = {1; 2; 3; 6}$ общие делители

$A \cup B$ : $4 + 2 + 2 = 8$ элементов три области

$A ∖ B = {4; 12}$ левая область

Сам: $A$ — делители $20$ , $B$ — делители $30$

$A \cap B$ ${1; 2; 5; 10}$
Число элементов $A \cup B$ $10$
$B ∖ A$ ${3; 6; 15; 30}$

R01.6

Образец → сам · подсчёт по кругам Эйлера

Заполняем круги изнутри наружу

Образец: в классе $30$ учеников; $18$ играют в футбол, $14$ — плавают, $5$ — ни то, ни другое. Сколько делают и то, и другое?

хотя бы одно: $30 - 5 = 25$ объединение

оба: $18 + 14 - 25 =$ $7$ общие посчитаны дважды

Сам

$40$ туристов: $25$ знают английский, $18$ — немецкий, $7$ — оба. Не знают ни одного? $4$
$35$ учеников: у $20$ кошка, у $12$ собака, у $8$ нет ни той, ни другой. У скольких оба? $5$
Там же: только кошка? $15$

R01.7

Сводка · граф и степени вершин

Сумма степеней = $2 \cdot$ число рёбер

Граф: вершины + рёбра. Степень — число рёбер из вершины

$2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 = 14 = 2 \cdot 7$ — каждое ребро считаем дважды

Следствие: вершин нечётной степени — чётное число (здесь $4$ )

Полный граф из $n$ вершин: $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ рёбер

3 мин · теория
Граф на чертеже: 6 вершин, 7 рёбер. Степени (по клику): A — 2, B — 3, C — 3, D — 3, E — 2, F — 1. Нечётные (розовые, пунктир) — B, C, D, F: их 4.
Почему сумма степеней чётна: у каждого ребра два конца, при подсчёте степеней оно учтено дважды. Значит, сумма нечётных степеней тоже чётна — нечётных слагаемых чётное число («лемма о рукопожатиях»).
Полный граф: каждая из n вершин соединена с остальными n − 1; произведение n(n − 1) считает каждое ребро дважды. Спросить: K4 — 6 рёбер (разминка, задание 6).

R01.7

Образец → сам · степени и число рёбер

Турнир «каждый с каждым» — полный граф

Образец: $6$ команд сыграли «каждая с каждой» по одному разу. Сколько было матчей?

степень каждой вершины $5$ соперники

$\frac{6 \cdot 5}{2} =$ $15$ ребро учтено дважды

Сам

$9$ команд «каждая с каждой». Матчей? $36$
Степени вершин $1, 2, 2, 3, 4$ . Рёбер? $6$
В классе $25$ человек. Может ли каждый дружить ровно с $5$ ? нет

R01.7

Сводка · цепь, цикл, эйлеров путь

Обойти все рёбра «одним росчерком»

Цепь — путь без повтора рёбер; цикл — замкнутая цепь; граф связный, если от любой вершины можно дойти до любой

$0$ нечётных вершин — обход замкнутый, начало любое

$2$ нечётные — начать в одной, закончить в другой

больше $2$ нечётных — нельзя

3 мин · теория
«Конверт» (домик): степени 1 — 3, 2 — 3, 3 — 4, 4 — 4, 5 — 2; нечётные вершины 1 и 2 (розовые). Обход по клику: 1 → 2 → 3 → 4 → 1 → 3 → 5 → 4 → 2 — все 8 рёбер по одному разу, начали в нечётной вершине 1, закончили в нечётной 2 (проверено кодом).
Почему так: каждый раз, проходя через вершину, мы «входим и выходим» — тратим 2 ребра. Нечётная степень возможна только у начала и конца пути. Условие — для связного графа.
Спросить: можно ли обвести конверт, начав в вершине 3? (Нет — вершина 3 чётная, в конце останется неиспользованное ребро.)

R01.7

Образец → сам · эйлеров путь

Сначала посчитайте нечётные вершины

Образец (мосты Кёнигсберга): можно ли пройти по каждому из $7$ мостов ровно один раз?

степени $3, 5, 3, 3$ все нечётные

$4 > 2$ нечётных — нельзя правило обхода

Сам: можно ли нарисовать одним росчерком?

1) да, из нечётной

2) нет

3) да, замкнуто

2,5 мин · практика
Образец: вершины — части города (A, C — берега, B — остров, D — второй остров), рёбра — мосты. Степени: A 3, B 5, C 3, D 3 — четыре нечётные вершины, обхода нет (задача Эйлера, 1736).
1) Квадрат с диагональю: степени 3, 2, 3, 2 — две нечётные (концы диагонали): можно, начиная в одной из них. 2) Треугольник с центром, соединённым со всеми вершинами (полный граф из 4 вершин): все степени 3 — четыре нечётные, нельзя. 3) «Бабочка»: степени 2, 2, 4, 2, 2 — нечётных нет, обход замкнутый, начало любое.

R01.7

Образец → сам · ориентированный граф

Сколько путей из $S$ в $F$ ?

Образец: двигаться можно только по стрелкам. Сколько путей из $S$ в $F$ ?

в вершине — сумма чисел входящих вершин

Сам

Тот же граф: путей из $S$ в $D$ $5$
Сколько путей из $S$ в $F$ проходят через $B$ ? $6$
По сеткеиз розовой точки в бирюзовую, только вправо и вверх $10$

R01.4 · R01.5 · R01.6

Сводка · события как множества

Кубик: $A$ — «чётное», $B$ — «простое»

$Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ ; событие — подмножество $Ω$

«и» — $A \cap B = {2}$ ; «или» — $A \cup B$ : $5$ исходов

«не» — $\overline{A} = {1; 3; 5}$

исходы равновозможны: $P (A) = \frac{3}{6}$ — доля элементов $Ω$ , лежащих в $A$

R01.5 · R01.6

Образец → сам · вероятность через круги Эйлера

Считаем элементы каждой области

Образец: из чисел $1$ – $24$ случайно выбирают одно. $A$ — «кратно $3$ », $B$ — «кратно $4$ ». $P (A \cup B)$ ?

$8 + 6 - 2 = 12$ кратных 12 — два

$P (A \cup B) = \frac{12}{24} =$ $0, 5$

Сам

Числа $1$ – $24$ : кратно $3$ , но не кратно $4$ $0, 25$
Числа $1$ – $24$ : не кратно ни $3$ , ни $4$ $0, 5$
Класс со сл. 6: случайный ученик только плавает $\frac{7}{30}$

R01.5 · R01.7

Образец → сам · задача из жизни

Курьер выбирает маршрут наудачу

Образец: улицы — граф сл. 11, все $8$ маршрутов из $S$ в $F$ равновозможны. $P (через D)$ ?

в $D$ ведут $5$ путей, из $D$ в $F$ — $1$ правило умножения

$P = \frac{5 \cdot 1}{8} =$ $0, 625$

Сам: тот же курьер

$P (через B)$ $0, 75$
$P (последняя улица C \to F)$ $0, 375$
$P (не через C)$ $0, 25$

R01.6 · R01.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«оба» в $A \cup B$ посчитали дважды	$18 + 14 = 32$ из $30$ — хотя бы одно?	$32 - 7 = 25$
рёбра = сумма степеней	степени $3, 3, 2, 2$ — рёбер $10$	$10 : 2 = 5$ рёбер
спутали $A ∖ B$ и $B ∖ A$	$A ∖ B = {9; 18}$ (сл. 5)	$A ∖ B = {4; 12}$

R01.5 · R01.6 · R01.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Степени вершин $1, 2, 2, 3, 3$ . Сколько рёбер?

$1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11$ , рёбер $11$

сумма степеней нечётна

такого графа нет

б) Числа $1$ – $30$ . $P (кратно 3 или 5)$

$\frac{10 + 6}{30} = \frac{8}{15}$

$15$ и $30$ посчитаны дважды

$\frac{10 + 6 - 2}{30} = \frac{7}{15}$

в) Сколько путей из $S$ в $F$ ?

в $F$ входят $2$ ребра — $2$ пути

$S : 1, A : 1, B : 2$

$F = 1 + 2 = 3$ пути

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Две ошибки: число рёбер — половина суммы степеней, а сумма 11 нечётна — такого графа не существует (лемма о рукопожатиях, сл. 7).
б) Кратные 15 (15 и 30) вошли и в «кратно 3», и в «кратно 5»: (10 + 6 − 2)/30 = 14/30 = 7/15 (проверено перебором).
в) Число входящих рёбер — не число путей. Пути: S → A → F, S → A → B → F, S → B → F — 3 (в B ведут 2 пути).

R01.5 · R01.6 · R01.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Множества

$U = {1; \dots; 10}$ , $A$ — нечётные. $\overline{A}$ ${2; 4; 6; 8; 10}$
$A = {2; 3; 5; 7}$ , $B = {1; 2; 3}$ . $A ∖ B$ ${5; 7}$
Сколько подмножеств у ${a; b; c}$ ? $8$
$50$ учеников: $30$ — кружок, $25$ — секция, $10$ — нигде. И там, и там? $15$

Графы и вероятность

$7$ команд «каждая с каждой». Матчей? $21$
$6$ вершин, степень каждой $3$ . Рёбер? $9$
Кубик: $P (чётное или \geq 5)$ $\frac{2}{3}$

R01.5 · R01.6 · R01.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $30$ учеников: математика — $19$ , физика — $17$ , химия — $11$ ; М и Ф — $12$ , М и Х — $7$ , Ф и Х — $5$ , все три — $3$ . Ни одного предмета? $4$
повыш.Может ли в графе быть ровно $3$ вершины нечётной степени? нет
повыш.Сетка $3 \times 3$ клетки: путей из левого нижнего угла в правый верхний, только вправо и вверх $20$
из жизниСлучайное двузначное число. $P (кратно 3 или 5)$ $\frac{7}{15}$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Три круга, заполняем изнутри: все три — 3; только М и Ф — 9, только М и Х — 4, только Ф и Х — 2; только М — 19 − 9 − 4 − 3 = 3, только Ф — 17 − 9 − 2 − 3 = 3, только Х — 11 − 4 − 2 − 3 = 2. Хотя бы один: 3 + 9 + 4 + 2 + 3 + 3 + 2 = 26; ни одного 30 − 26 = 4 (проверено кодом).
2) Нет: сумма степеней чётна, а сумма трёх нечётных чисел и любых чётных — нечётна. 3) Подписываем узлы сетки 4 × 4 суммами: последняя строка 1, 4, 10, 20 — 20 путей. 4) Двузначных 90; кратных 3 — 30, кратных 5 — 18, кратных 15 — 6: (30 + 18 − 6)/90 = 42/90 = 7/15.

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В классе $25$ учащихся: $12$ занимаются в кружке, $8$ — в секции, $3$ — и там, и там. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик нигде не занимается.

$0, 32$

2. Из натуральных чисел от $10$ до $19$ наудачу выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно делится на $3$ .

$0, 3$

3. Вероятность того, что ученик решит больше $11$ задач теста, равна $0, 67$ ; больше $10$ задач — $0, 74$ . Найдите вероятность того, что он решит ровно $11$ задач.

$0, 07$

R01.5 · R01.6 · R01.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A = {1; \dots; 6}$ , $B = {4; \dots; 8}$ . $A \cap B$ ${4; 5; 6}$
$20$ человек: $12$ пьют чай, $10$ — кофе, $4$ — оба. Ни то, ни другое? $2$
Степени вершин $1, 1, 2, 2, 4$ . Рёбер? $5$
Числа $1$ – $20$ : $P (кратно 4 или 5)$ $0, 4$

Вариант 2

$A = {2; 4; 6; 8; 10}$ , $B = {5; 6; 7; 8}$ . Число элементов $A \cup B$ $7$
$25$ человек: $15$ — шахматы, $9$ — шашки, $5$ — ни то, ни другое. Оба? $4$
Степени вершин $1, 1, 2, 2, 3, 3$ . Рёбер? $6$
Числа $1$ – $30$ : $P (кратно 5 или 6)$ $\frac{1}{3}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем $A ∖ B$ отличается от $B ∖ A$ ?
Почему сумма степеней чётна?
Когда граф рисуется одним росчерком?
Что такое событие на языке множеств?

Домашнее задание

Квадрат с двумя диагоналями — одним росчерком?
Числа $1$ – $60$ : $P (кратно 4 или 10)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_mnozhestva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-003 · Повторение: множества и графы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 7 класса», 3 ч · урок 3/3 · тип О
Единицы → слайды	R01.6 «Элементы теории множеств» → 3–6, 13, 15–17, 20 · R01.7 «Элементы теории графов» → 3, 7–11, 14–18, 20 · R01.4, R01.5 (события, вероятности) → 12–14, 17–20
Результаты	ПР-1 (множества, операции, перебор) → 3–6, 13 · ПР-4 (вершины и рёбра) → 7–11 · ПР-2, ПР-5 (вероятность, события как множества, диаграммы Эйлера) → 12–14, 19
Вне урока	данные, описательная статистика, случайная изменчивость, частоты — VIS8U-001, VIS8U-002; множества углублённо — VIS8U-004…; формула включения-исключения — VIS8U-006; деревья — строка R05
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Множества и графы

Сегодня вы повторите и научитесь

Операции над множествами

Свойства графа

Обход и пути

События — множества

Множества и графы за две минуты

A={1;2;3;4}, B={3;4;5}

Графы и кубик

Пересечение, объединение, разность, дополнение

Разложите элементы по областям

Образец: A — делители 12, B — делители 18. Найдите A∩B, A∪B, A∖B.

Сам: A — делители 20, B — делители 30

Заполняем круги изнутри наружу

Образец: в классе 30 учеников; 18 играют в футбол, 14 — плавают, 5 — ни то, ни другое. Сколько делают и то, и другое?

Сам

Сумма степеней = 2⋅ число рёбер

Турнир «каждый с каждым» — полный граф

Образец: 6 команд сыграли «каждая с каждой» по одному разу. Сколько было матчей?

Сам

Обойти все рёбра «одним росчерком»

Сначала посчитайте нечётные вершины

Образец (мосты Кёнигсберга): можно ли пройти по каждому из 7 мостов ровно один раз?

Сам: можно ли нарисовать одним росчерком?

Сколько путей из S в F?

Образец: двигаться можно только по стрелкам. Сколько путей из S в F?

Сам

Кубик: A — «чётное», B — «простое»

Считаем элементы каждой области

Образец: из чисел 1–24 случайно выбирают одно. A — «кратно 3», B — «кратно 4». P(A∪B)?

Сам

Курьер выбирает маршрут наудачу

Образец: улицы — граф сл. 11, все 8 маршрутов из S в F равновозможны. P(через D)?

Сам: тот же курьер

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Степени вершин 1,2,2,3,3. Сколько рёбер?

б) Числа 1–30. P(кратно 3 или 5)

в) Сколько путей из S в F?

Решите и проверьте

Множества

Графы и вероятность

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-003 · Повторение: множества и графы

$A = {1; 2; 3; 4}$ , $B = {3; 4; 5}$

Образец: $A$ — делители $12$ , $B$ — делители $18$ . Найдите $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A ∖ B$ .

Сам: $A$ — делители $20$ , $B$ — делители $30$

Образец: в классе $30$ учеников; $18$ играют в футбол, $14$ — плавают, $5$ — ни то, ни другое. Сколько делают и то, и другое?

Сумма степеней = $2 \cdot$ число рёбер

Образец: $6$ команд сыграли «каждая с каждой» по одному разу. Сколько было матчей?

Образец (мосты Кёнигсберга): можно ли пройти по каждому из $7$ мостов ровно один раз?

Сколько путей из $S$ в $F$ ?

Образец: двигаться можно только по стрелкам. Сколько путей из $S$ в $F$ ?

Кубик: $A$ — «чётное», $B$ — «простое»

Образец: из чисел $1$ – $24$ случайно выбирают одно. $A$ — «кратно $3$ », $B$ — «кратно $4$ ». $P (A \cup B)$ ?

Образец: улицы — граф сл. 11, все $8$ маршрутов из $S$ в $F$ равновозможны. $P (через D)$ ?

а) Степени вершин $1, 2, 2, 3, 3$ . Сколько рёбер?

б) Числа $1$ – $30$ . $P (кратно 3 или 5)$

в) Сколько путей из $S$ в $F$ ?