Повторение курса 7 класса · урок 2 из 3

Изменчивость, случайные события и частоты

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS8U-002

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 7 класса» (3 ч), урок 2/3, тип О (обобщение и систематизация). Фокус урока — единицы R01.3 «Случайная изменчивость», R01.4 «Случайные события», R01.5 «Вероятности и частоты» плюс смешанные задачи; урок 1 (VIS8U-001) — таблицы, диаграммы и описательная статистика; урок 3 (VIS8U-003) — множества и графы.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (изменчивость и гистограмма) 2,5 · 6 (событие как множество исходов) 3 · 7 (таблица и дерево, правило умножения) 2,5 · 11 (частота и вероятность) 2,5.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 1,5 · образцы → сам (сл. 5, 8, 9, 12, 13) по 2,5, сл. 10 — 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Углублённый уровень: больше перебора (таблица 6 × 6, дерево на 8 исходов), противоположное событие, сравнение вероятностей, обратные задачи с изменением состава урны. Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R01.3 · R01.4 · R01.5

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Описывать изменчивость

группировать данные, строить и читать гистограмму (ПР-3)

Перечислять исходы

таблицей и деревом; событие — множество исходов (ПР-4, ПР-5)

Находить вероятность

в опытах с равновозможными исходами: $P (A) = \frac{m}{n}$ (ПР-2)

Оценивать по частоте

делать прогноз и решать задачи ОГЭ (линия 10)

1 мин · теория
ПР-2: «Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, иметь понятие о случайном выборе». ПР-3: описывать данные (здесь — группировка и гистограмма). ПР-4: дерево для решения задач теории вероятностей. ПР-5: событие как множество элементарных событий, противоположное событие.
Из характеристики деятельности строки R01: «Решать задачи на представление группированных данных и описание случайной изменчивости. Решать задачи на определение частоты случайных событий, обсуждение примеров случайных событий».

повторение: урок 1

Разминка · устно

Характеристики ряда и доли

Описательная статистика

Среднее чисел $3$ , $7$ , $8$ $6$
Медиана: $9$ , $2$ , $7$ , $4$ $5, 5$
Размах: $15$ , $8$ , $23$ , $11$ $15$
Мода: $3$ , $5$ , $3$ , $8$ , $5$ , $3$ $3$

Доли и исходы

Какая часть: $9$ из $36$ ? $0, 25$
$\frac{3}{8}$ — десятичной дробью $0, 375$
$0, 35$ от $60$ $21$
Исходов у броска двух монет? $4$

R01.3

Сводка · случайная изменчивость

Значения разные, а распределение устойчиво

Масса $40$ яблок одного сорта, интервалы по $10$ г

масса, г	число	частота
$140$ – $150$	$4$	$0, 1$
$150$ – $160$	$9$	$0, 225$
$160$ – $170$	$14$	$0, 35$
$170$ – $180$	$9$	$0, 225$
$180$ – $190$	$4$	$0, 1$

Случайная изменчивость: каждое значение не предсказать, но большинство — около среднего.

2,5 мин · теория
Случайная изменчивость — различие значений величины при повторных измерениях или наблюдениях (масса яблок, время дороги, рост) из-за множества мелких неучтённых причин. Предсказать одно значение нельзя, но распределение большого набора данных устойчиво: повторное взвешивание другой партии того же сорта даст похожую гистограмму.
Группировка: интервал включает левый конец и не включает правый — яблоко 150 г попадает в 150–160. Высота столбика — число значений в интервале (или частота). Частота интервала = число / 40: 4/40 = 0,1; 9/40 = 0,225; 14/40 = 0,35. Сумма частот 1.
Среднее по серединам интервалов: (145·4 + 155·9 + 165·14 + 175·9 + 185·4)/40 = 165 г (распределение симметрично). Вопрос: какая доля яблок тяжелее 170 г? (13/40 = 0,325 — пригодится на сл. 16.)

R01.3

Образец → сам · группировка и гистограмма

Время дороги до школы

Образец: время (мин) у $20$ учеников. Сгруппируйте по интервалам $5$ мин.

$12$ , $18$ , $7$ , $15$ , $22$ , $9$ , $14$ , $17$ , $11$ , $23$ , $13$ , $16$ , $8$ , $19$ , $14$ , $21$ , $10$ , $15$ , $12$ , $16$

проверка: $3 + 7 + 7 + 3 = 20$ все значения учтены

Сам: по гистограмме

Доля учеников с временем меньше $15$ мин $0, 5$
Частота интервала $15$ – $20$ мин $0, 35$
Доля учеников с временем не меньше $20$ мин $0, 15$

R01.4

Сводка · случайные события

Событие — множество исходов опыта

Элементарные события — исходы опыта. Событие $A$ — множество исходов, которые ему благоприятствуют.

$A = {2; 4; 6}$ , $P (A) = \frac{3}{6} = 0, 5$

$P (\overline{A}) = 1 - P (A) = 0, 5$

0 \leq P (A) \leq 1

: невозможное —

0

, достоверное —

1

. Вероятности всех исходов в сумме дают

1

.

3 мин · теория
Опыт — бросок игральной кости; элементарные события — 1, 2, …, 6, они равновозможны (кость симметрична), вероятность каждого 1/6. Событие «выпало чётное» наступает, если выпал один из исходов 2, 4, 6 — это множество исходов. Вероятность события = сумма вероятностей его исходов: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 0,5 (в равновозможном случае — m/n).
Противоположное событие $\overline{A}$ — «не A»: все остальные исходы {1; 3; 5}. P(A) + P(Ā) = 1. Вопросы: P(выпало больше 4)? (2/6 = 1/3.) Противоположное к нему? («не больше 4», 4/6 = 2/3.) P(выпало 7)? (0 — невозможное: пустое множество.) P(выпало не больше 6)? (1 — все исходы.)
Углублённо: событие можно задать словами или перечислением исходов; разные слова — одно и то же множество («чётное» = «делится на 2»).

R01.4 · R01.5

Сводка · таблица и дерево исходов

Опыт из двух шагов: $n = n_{1} \cdot n_{2}$

Монета и кубик: таблица $2 \times 6$

$n = 2 \cdot 6 = 12$ , $P (О и чётное) = \frac{3}{12} = 0, 25$

Две монеты: дерево

ОР и РО — разные исходы: $P = \frac{2}{4} = 0, 5$

Каждая клетка таблицы и каждый лист дерева — один равновозможный исход.

2,5 мин · теория (учитель показывает оба способа сам)
Таблица удобна, когда шагов два: строки — исходы первого шага, столбцы — второго; каждая клетка — один равновозможный исход. Монета (2 исхода) и кубик (6 исходов): 2 · 6 = 12 клеток. Событие «орёл и чётное» — клетки О2, О4, О6: 3/12 = 0,25.
Дерево удобно при любом числе шагов: из корня — ветви первого шага, из каждого конца — ветви второго. Листья — исходы: ОО, ОР, РО, РР. «Орёл и решка» — два листа (подсвечены), 2/4 = 0,5. Типичная ошибка — считать исходы «два орла, две решки, орёл и решка» равновозможными (1/3).
Правило умножения: если на первом шаге $n_{1}$ вариантов, на втором $n_{2}$ , то всего $n_{1} \cdot n_{2}$ исходов; для трёх монет 2 · 2 · 2 = 8, для двух кубиков 6 · 6 = 36 (следующие слайды).

R01.4 · R01.5

Образец → сам · таблица двух кубиков

Два броска кости — $36$ исходов

Образец: кость бросают дважды. $P (сумма равна 8)$ ?

$n = 6 \cdot 6 = 36$ в клетке — сумма

$m = 5$ : $(2; 6)$ , $(3; 5)$ , $(4; 4)$ , $(5; 3)$ , $(6; 2)$

$P = \frac{5}{36}$ $\approx 0, 14$

Сам: та же таблица

сумма равна $4$ $\frac{1}{12}$
выпал дубль $\frac{1}{6}$
произведение чётно $0, 75$

R01.4 · R01.5

Образец → сам · дерево исходов

Монету бросают трижды — $8$ исходов

Образец: $P (орёл выпадет ровно два раза)$ ?

$n = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$m = 3$ : ООР, ОРО, РОО

$P = \frac{3}{8}$ = $0, 375$

Сам: по дереву

хотя бы один орёл $0, 875$
орлов больше, чем решек $0, 5$
все три броска одинаковы $0, 25$

R01.4 · R01.5

Образец → сам · какое событие вероятнее

Сравниваем по числу клеток

Образец: два броска кости. Что вероятнее: «сумма $7$ » или «наибольшее число $6$ »?

сумма $7$ : $m = 6$ , $P = \frac{6}{36}$

наиб. $6$ : $m = 11$ , $P = \frac{11}{36}$

вероятнее «наибольшее $6$ »

Сам: что вероятнее?

сумма $9$ или сумма $10$ сумма $9$
числа отличаются на $1$ или дубль на $1$
сумма чётна или нечётна поровну

R01.5

Сводка · частота и вероятность

При большом $N$ частота близка к вероятности

Частота события $= \frac{m}{N}$ : $m$ — сколько раз наступило, $N$ — число опытов

опыт	$N$	орлов	частота
Бюффон	$4040$	$2048$	$0, 507$
Пирсон	$12000$	$6019$	$0, 502$
Пирсон	$24000$	$12012$	$0, 5005$

P \approx

частота. Прогноз: в

N

опытах событие наступит примерно

N \cdot P

раз.

2,5 мин · теория
График — компьютерное моделирование 1000 бросков монеты (точка — после каждых 10 бросков): после 10 бросков частота 0,8, после 100 — 0,58, после 1000 — 0,502. При малом N частота «прыгает», при большом — держится в узкой полосе около 0,5 (подсвечена). Это проявление закона больших чисел (подробно — в 9 классе).
Исторические опыты: Ж. Бюффон (XVIII в.) — 4040 бросков, 2048 орлов; К. Пирсон — 12 000 и 24 000 бросков. Частоты 0,5069; 0,5016; 0,5005 — всё ближе к 0,5.
Когда исходы не равновозможны (кнопка падает остриём вверх или на бок, всхожесть семян, брак), вероятность по формуле m/n не найти — её оценивают частотой большой серии. Частота — характеристика серии (у каждой серии своя), вероятность — характеристика опыта.

R01.5

Образец → сам · частота и прогноз

Опрос: как вы добираетесь до школы?

Образец: частота «на автобусе»? Сколько таких учеников ожидать в школе на $1200$ человек?

частота $= \frac{54}{200} = 0, 27$ $m = 54$ , $N = 200$

прогноз: $1200 \cdot 0, 27 \approx$ $324$ $N \cdot P$

Сам: по диаграмме

Частота «не пешком» $0, 54$
Сколько из $1200$ ходят пешком? $\approx 552$
Частота «на велосипеде» в процентах $9 %$

2,5 мин · практика
Образец: 54/200 = 0,27 — частота в выборке; считаем её оценкой вероятности для случайного ученика этой школы и умножаем на число учеников: 1200 · 0,27 = 324 (примерно — выборка случайна).
1) 54 + 36 + 18 = 108; 108/200 = 0,54 (или 1 − 92/200). 2) 92/200 = 0,46; 1200 · 0,46 = 552. 3) 18/200 = 0,09 = 9 %. Проверено кодом.
Вопрос классу: можно ли так оценить число велосипедистов зимой? (Нет — опрос проведён в другое время: выборка должна соответствовать условиям прогноза.)

R01.5

Образец → сам · обратная задача

Знаем вероятность — находим состав урны

Образец: в коробке $6$ красных и несколько синих шаров. $P (красный) = 0, 3$ . Сколько синих?

$\frac{6}{n} = 0, 3 \Rightarrow n = 6 : 0, 3 = 20$ всего шаров

синих: $20 - 6 =$ $14$ проверка: $6 : 20 = 0, 3$

Сам

$8$ белых и несколько чёрных, $P (чёрный) = 0, 6$ . Чёрных? $12$
$5$ белых и $15$ чёрных. Сколько белых добавить, чтобы $P (белый) = 0, 5$ ? $10$
$P (красный) = 0, 25$ , $P (синий) = 0, 4$ , остальные $14$ — зелёные. Всего шаров? $40$

R01.4 · R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
два кубика: «сумм от $2$ до $12$ — $11$ исходов»	$P (сумма 7) = \frac{1}{11}$	пар $36$ : $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
две монеты: «исходы ОО, ОР, РР»	$P (орёл и решка) = \frac{1}{3}$	ОР и РО — разные: $\frac{2}{4} = 0, 5$
после $5$ орлов подряд «теперь решка вероятнее»	$P (решка) > 0, 5$	монета «не помнит»: $0, 5$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Суммы 2, 3, …, 12 не равновозможны: сумма 2 — одна клетка (1;1), сумма 7 — шесть клеток (сл. 8, 10). Формулой m/n пользуются только для равновозможных исходов. 2) Дерево (сл. 7): ОР и РО — разные листья; «один орёл и одна решка» встречается вдвое чаще, чем ОО. 3) Броски независимы: вероятность решки в каждом броске 0,5; закон больших чисел говорит о частоте длинной серии, а не о «возмещении» в следующем броске.

R01.4 · R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кость бросают дважды. $P (сумма меньше 4)$

исходы $(1; 1)$ , $(1; 2)$ : $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

пропущен исход $(2; 1)$

$P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

б) Кнопку бросили $80$ раз, остриём вверх — $52$ раза. Частота «на бок»?

$\frac{52}{80} = 0, 65$

это частота «остриём вверх»; на бок — $28$ раз

$\frac{28}{80} = 0, 35$

в) Монету бросают трижды. $P (ровно один орёл)$

орлов $0$ , $1$ , $2$ или $3$ — $4$ исхода: $\frac{1}{4}$

исходов $8$ , они равновозможны; нужны ОРР, РОР, РРО

$P = \frac{3}{8} = 0, 375$

R01.3 · R01.4 · R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Исходы и вероятность

Кость: выпало число, большее $4$ $\frac{1}{3}$
Два броска кости: сумма $11$ $\frac{1}{18}$
Две монеты: две решки $0, 25$

Частоты и данные

Из $250$ семян взошло $215$ . Частота всхожести $0, 86$
Частота попадания $0, 72$ . Попаданий из $50$ бросков? $\approx 36$
Яблоки (сл. 4): доля массой не меньше $170$ г $0, 325$

R01.4 · R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Кость бросают дважды. $P (второе число больше первого)$ $\frac{5}{12}$
повыш.Кость бросают дважды. $P (произведение делится на 3)$ $\frac{5}{9}$
повыш. $P (красный) = 0, 4$ . Добавили $5$ красных шаров — стало $0, 5$ . Сколько шаров было? $25$
из жизниАвтобус приходит вовремя с частотой $0, 85$ . Сколько опозданий ждать за $20$ учебных дней? $\approx 3$

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее $3$ .

$0, 25$

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

$0, 125$

3. В среднем из $1500$ аккумуляторов, поступивших в продажу, $30$ неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор исправен.

$0, 98$

Проверка ответа: вероятность — всегда от

0

до

1

.

R01.3 · R01.5

Задача из жизни · контроль качества

Фасовка сахара: норма от $990$ до $1010$ г

Взвесили $100$ пачек

Частота «пачка вне нормы» $0, 07$
Сколько таких пачек ожидать в партии $6000$ ? $\approx 420$
Частота «легче $1000$ г» $0, 48$
Будет ли в другой сотне ровно $7$ пачек вне нормы? не обязательно

2 мин · практика
Гистограмма: число пачек по интервалам 985–990: 3, 990–995: 12, 995–1000: 33, 1000–1005: 34, 1005–1010: 14, 1010–1015: 4 (всего 100). Полоса нормы подсвечена, красные столбики — вне нормы.
1) (3 + 4)/100 = 0,07. 2) 6000 · 0,07 = 420. 3) (3 + 12 + 33)/100 = 0,48. 4) Нет: масса пачек подвержена случайной изменчивости, в другой сотне может оказаться 5 или 9 таких пачек; 0,07 — оценка вероятности, прогноз «около 7 на сотню».
Вывод для производства: если частота брака растёт — настраивают фасовочный автомат (так работает статистический контроль качества).

R01.4 · R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кость бросают дважды. $P (сумма 5)$ $\frac{1}{9}$
Монету бросают трижды. $P (ровно одна решка)$ $0, 375$
Из $400$ бросков кнопка $248$ раз упала остриём вверх. Частота $0, 62$
$9$ красных и несколько синих шаров, $P (красный) = 0, 36$ . Синих? $16$

Вариант 2

Кость бросают дважды. $P (сумма 10)$ $\frac{1}{12}$
Монету бросают трижды. $P (хотя бы одна решка)$ $0, 875$
Из $500$ изделий $15$ с браком. Частота годных $0, 97$
$6$ белых и несколько чёрных шаров, $P (белый) = 0, 24$ . Чёрных? $19$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое случайная изменчивость?
Почему у двух кубиков $36$ исходов, а не $11$ ?
Когда частоту можно принять за вероятность?

Домашнее задание

Два броска кости: $P (сумма 6 или 8)$
Из $300$ бросков кнопка $186$ раз упала остриём вверх. Сколько раз из $1000$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_elementarnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-002 · Изменчивость, случайные события и частоты

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 7 класса», 3 ч · урок 2/3 · тип О
Единицы → слайды	R01.3 «Случайная изменчивость» → 4, 5, 16, 19 · R01.4 «Случайные события» → 6–10, 14–18, 20 · R01.5 «Вероятности и частоты» → 11–13, 16–21 · R01.2 (разминка) → 3
Результаты	ПР-2 → 6–10, 13, 16–18, 20 · ПР-3 → 4, 5, 19 · ПР-4 → 7, 9 · ПР-5 → 6, 8, 10 · ПР-1 (правило умножения при переборе) → 7
Вне урока	таблицы, диаграммы, описательная статистика — VIS8U-001; множества и графы — VIS8U-003
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Изменчивость, случайные события и частоты

Сегодня вы повторите и научитесь

Описывать изменчивость

Перечислять исходы

Находить вероятность

Оценивать по частоте

Характеристики ряда и доли

Описательная статистика

Доли и исходы

Значения разные, а распределение устойчиво

Время дороги до школы

Образец: время (мин) у 20 учеников. Сгруппируйте по интервалам 5 мин.

Сам: по гистограмме

Событие — множество исходов опыта

Опыт из двух шагов: n=n1​⋅n2​

Монета и кубик: таблица 2×6

Две монеты: дерево

Два броска кости — 36 исходов

Образец: кость бросают дважды. P(сумма равна 8)?

Сам: та же таблица

Монету бросают трижды — 8 исходов

Образец: P(орёл выпадет ровно два раза)?

Сам: по дереву

Сравниваем по числу клеток

Образец: два броска кости. Что вероятнее: «сумма 7» или «наибольшее число 6»?

Сам: что вероятнее?

При большом N частота близка к вероятности

Опрос: как вы добираетесь до школы?

Образец: частота «на автобусе»? Сколько таких учеников ожидать в школе на 1200 человек?

Сам: по диаграмме

Знаем вероятность — находим состав урны

Образец: в коробке 6 красных и несколько синих шаров. P(красный)=0,3. Сколько синих?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кость бросают дважды. P(сумма меньше 4)

б) Кнопку бросили 80 раз, остриём вверх — 52 раза. Частота «на бок»?

в) Монету бросают трижды. P(ровно один орёл)

Решите и проверьте

Исходы и вероятность

Частоты и данные

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Фасовка сахара: норма от 990 до 1010 г

Взвесили 100 пачек

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-002 · Изменчивость, случайные события и частоты

Образец: время (мин) у $20$ учеников. Сгруппируйте по интервалам $5$ мин.

Опыт из двух шагов: $n = n_{1} \cdot n_{2}$

Монета и кубик: таблица $2 \times 6$

Два броска кости — $36$ исходов

Образец: кость бросают дважды. $P (сумма равна 8)$ ?

Монету бросают трижды — $8$ исходов

Образец: $P (орёл выпадет ровно два раза)$ ?

Образец: два броска кости. Что вероятнее: «сумма $7$ » или «наибольшее число $6$ »?

При большом $N$ частота близка к вероятности

Образец: частота «на автобусе»? Сколько таких учеников ожидать в школе на $1200$ человек?

Образец: в коробке $6$ красных и несколько синих шаров. $P (красный) = 0, 3$ . Сколько синих?

а) Кость бросают дважды. $P (сумма меньше 4)$

б) Кнопку бросили $80$ раз, остриём вверх — $52$ раза. Частота «на бок»?

в) Монету бросают трижды. $P (ровно один орёл)$

Фасовка сахара: норма от $990$ до $1010$ г

Взвесили $100$ пачек