Повторение курса 7 класса · урок 1 из 3

Таблицы частот, гистограммы и случайная изменчивость

Вероятность и статистика · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · VIS8U-001

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 7 класса» (3 ч), урок 1/3, тип О (обобщение и систематизация). Фокус урока — первая часть списка единиц: R01.1 «Представление данных в виде таблиц и диаграмм», R01.2 «Описательная статистика», R01.3 «Случайная изменчивость». R01.4–R01.5 (случайные события, вероятности и частоты) — урок VIS8U-002, R01.6–R01.7 (множества, графы) — VIS8U-003.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (таблица частот) 2,5 · 7 (группировка и гистограмма) 2,5 · 9 (как меняются характеристики) 2,5 · 11 (случайная изменчивость) 3. Урок обобщения: теория — только сводки, показывать целиком.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 12, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2 · повышенный уровень (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4,5 · итог (сл. 20) 1.
Углублённый уровень: по сравнению с базовым курсом — среднее и медиана по таблицам частот, оценка среднего по гистограмме, преобразования данных, обратные задачи с параметром, сравнение выборок по разбросу. Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ.

R01.1 · R01.2 · R01.3

Цели урока

Сегодня вы вспомните и научитесь

Таблица частот

строить, находить по ней среднее, медиану и моду (ПР-3)

Гистограмма

группировать данные, читать гистограмму и оценивать по ней среднее (ПР-3)

Преобразования данных

предсказывать, как меняются среднее, медиана и размах (ПР-3)

Изменчивость

сравнивать выборки по среднему и разбросу, связывать частоту с вероятностью (ПР-2, ПР-3)

повторение: 7 класс

Разминка · устно

Средние, доли, частоты

Характеристики ряда

Среднее: $4, 7, 10$ $7$
Медиана: $9, 2, 6, 5$ $5, 5$
Размах: $- 3, 4, 8$ $11$
Среднее $5$ чисел $6$ . Их сумма? $30$

Доли и частоты

$15$ из $60$ — какая доля? $0, 25$
Частота $0, 3$ в $40$ опытах — сколько раз? $12$
Сектор $25 %$ — сколько градусов? $9 0^{\circ}$
Среднее $5$ ; каждое число $+ 3$ . Новое среднее? $8$

R01.1 · R01.2

Сводка · таблица частот

Сколько книг прочитали летом $25$ учеников

Частота — сколько раз встретилось значение; сумма частот $= n$

Относительная частота $= \frac{частота}{n}$ , их сумма $= 1$

Среднее $= \frac{x _{1} m _{1} + \dots + x _{k} m _{k}}{n}$

Мода — значение с наибольшей частотой

2,5 мин · теория
Данные: 0 книг — 3 ученика, 1 — 6, 2 — 8, 3 — 5, 4 — 3; всего 3 + 6 + 8 + 5 + 3 = 25. Относительные частоты 0,12; 0,24; 0,32; 0,2; 0,12 — сумма 1. Высота столбика = частота.
Среднее: (0·3 + 1·6 + 2·8 + 3·5 + 4·3) : 25 = 49 : 25 = 1,96 книги. Мода 2 (самый высокий столбик). Медиана — 13-е значение: первые 3 — нули, 4–9 — единицы, 10–17 — двойки, значит Me = 2.
Вопрос: почему нельзя считать среднее как (0 + 1 + 2 + 3 + 4) : 5 = 2? (Значения встречаются разное число раз — каждое надо взять столько раз, какова его частота.)

R01.2

Образец → сам · среднее по таблице частот

Оценки за контрольную работу

Образец: средний балл

$n = 20$ сумма частот

$2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 4 = 75$ значение × частота

$\overline{x} = \frac{75}{20} =$ $3, 75$

$x$ : $1, 2, 3$ ; частоты $4, 3, 3$ . Среднее? $1, 9$
$x$ : $10, 20, 30$ ; отн. частоты $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . Среднее? $17$
$x$ : $0, 1, 2$ ; частоты $5, 3, k$ ; $\overline{x} = 1$ . Найдите $k$ $k = 5$

R01.2

Образец → сам · медиана по таблице частот

Те же $20$ оценок — выстроим по порядку

Образец: медиана и мода

$n = 20$ — чётное: середина между 10-м и 11-м

накопили $2, 7, 16$ : 8-е…16-е — четвёрки

$Me = \frac{4 + 4}{2} =$ $4$ , мода $4$

$x$ : $1, 2, 3, 4$ ; частоты $3, 4, 2, 1$ . Медиана? $2$
$x$ : $5, 6, 7$ ; частоты $2, 2, 4$ . Медиана? $6, 5$
$x$ : $0, 1, 2, 3$ ; частоты $6, 1, 1, 2$ . Среднее и медиана? $0, 9$ и $0$

2,5 мин · практика
Образец: накопленные частоты 2 (двойки — 1-е и 2-е), 7 (тройки — 3-е…7-е), 16 (четвёрки — 8-е…16-е), 20 (пятёрки — 17-е…20-е). 10-е и 11-е значения — четвёрки, медиана 4. Мода тоже 4 (частота 9). Среднее 3,75 меньше медианы: «тянут вниз» двойки.
Сам: 1) n = 10, нужны 5-е и 6-е; накопленные 3, 7 — оба двойки, Me = 2. 2) n = 8, нужны 4-е и 5-е; накопленные 2, 4, 8 — 4-е = 6, 5-е = 7, Me = 6,5. 3) Сумма 0 + 1 + 2 + 6 = 9, среднее 0,9; 5-е и 6-е — нули, Me = 0.
Ошибка: брать «среднюю строку таблицы» (значение посередине списка значений) — см. сл. 14.

R01.1

Сводка · группировка и гистограмма

Рост $30$ учеников: от $150$ до $175$ см

Группировка: интервалы равной ширины ( $5$ см), без пропусков; $[160; 165)$ — левый край входит

Гистограмма: столбики без промежутков, высота = частота интервала

Оценка среднего: каждое значение заменяем серединой интервала

\frac{152 , 5 \cdot 3 + \dots + 172 , 5 \cdot 3}{30} = 162, 5

см

2,5 мин · теория
Частоты интервалов [150; 155) — 3, [155; 160) — 6, [160; 165) — 12, [165; 170) — 6, [170; 175) — 3; всего 30. Ученик ростом ровно 160 см попадает в [160; 165).
Оценка среднего: середины 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5 (точки на оси). (152,5·3 + 157,5·6 + 162,5·12 + 167,5·6 + 172,5·3) : 30 = 4875 : 30 = 162,5 см. Это оценка: точных значений после группировки мы не знаем.
Вопросы: в каком интервале медиана? (15-е и 16-е значения: накопленные 3, 9, 21 — в [160; 165).) Почему у гистограммы нет промежутков между столбиками? (Интервалы примыкают друг к другу — ось непрерывная.)

R01.1 · R01.2

Образец → сам · гистограмма

Время на домашнее задание: $40$ учеников

Образец: какая доля тратит не меньше $90$ мин?

$8 + 4 = 12$ учеников интервалы от $90$

$\frac{12}{40} = 0, 3 =$ $30 %$ доля от всех

Сколько учеников тратят меньше $60$ мин? $14$
В каком интервале медиана? $[60; 90)$
Оцените среднее по серединам интервалов $73, 5$ мин

R01.2

Сводка · как меняются характеристики

Ряд $2, 4, 5, 9$ и тот же ряд « $+ 3$ »

	$\overline{x}$	$Me$	размах
$x$	$5$	$4, 5$	$7$
$x + c$	$+ c$	$+ c$	не меняется
$k \cdot x$ , $k > 0$	$\cdot k$	$\cdot k$	$\cdot k$

Добавили $a$ : $\overline{x}_{нов} = \frac{n x + a}{n + 1}$

2,5 мин · теория
Ряд 2, 4, 5, 9: сумма 20, среднее 5; медиана (4 + 5) : 2 = 4,5; размах 9 − 2 = 7. После «+3»: 5, 7, 8, 12 — среднее 8, медиана 7,5, размах 12 − 5 = 7. Картинка сдвинулась целиком, «ширина» не изменилась.
Умножение на k > 0: 4, 8, 10, 18 при k = 2 — среднее 10, медиана 9, размах 14: всё в 2 раза. Добавление значения: сумма становится n·x̄ + a, количество n + 1. Если a = x̄, среднее не меняется.
Вопрос: что будет с размахом при умножении на −1? (Размах тот же: наибольшее и наименьшее меняются местами.) Это — на заметку, в заданиях k > 0.

R01.2

Образец → сам · изменение набора

Через сумму: $сумма = \overline{x} \cdot n$

Образец: среднее $8$ чисел $15$ ; число $11$ заменили на $35$

$15 \cdot 8 = 120$ сумма до замены

$120 - 11 + 35 = 144$ убрали и добавили

$144 : 8 =$ $18$ $n$ не изменилось

Средний возраст $11$ игроков $24$ года; без одного — $23$ . Возраст ушедшего? $34$
$\overline{x} = 5$ , размах $4$ . Каждое число $\cdot 3$ и $+ 2$ . Новые $\overline{x}$ и размах? $17$ и $12$
$20$ учеников, средний рост $160$ ; пришли $5$ со средним $166$ . Новое среднее? $161, 2$

R01.3

Сводка · случайная изменчивость

Два автомата фасуют пачки по $1000$ г

Изменчивость: при одних условиях значения случайно различаются

Средние равны: $1000$ г, а разброс разный: $8$ и $30$ г

Среднее сообщают вместе с мерой разброса: размах, позже — дисперсия

3 мин · теория
А (10 пачек): 996, 1003, 1000, 998, 1004, 999, 1001, 997, 1002, 1000 — сумма 10 000, среднее 1000 г, размах 1004 − 996 = 8 г. Б: 990, 1012, 1000, 985, 1008, 1015, 995, 1005, 992, 998 — сумма 10 000, среднее 1000 г, размах 1015 − 985 = 30 г.
Обе выборки — случайная изменчивость (вибрация, плотность продукта); у автомата А она меньше, его настройка лучше. По одному среднему автоматы не различить.
Изменчивость есть и у частот: в разных сериях бросков монеты частота орла разная, но с ростом числа бросков колеблется всё меньше около 0,5 (сл. 12, задание 2). Мостик: точная мера разброса — дисперсия и стандартное отклонение, строка R04.

R01.3

Образец → сам · сравнение выборок

Стрельба: по $6$ выстрелов, очки

Образец: Аня $8, 9, 7, 8, 9, 7$ ; Боря $10, 5, 10, 6, 9, 8$

$\overline{x}_{А} = \frac{48}{6} = 8, \overline{x}_{Б} = \frac{48}{6} = 8$ средние равны

размахи $9 - 7 = 2$ и $10 - 5 = 5$ разброс

стабильнее Аня меньше разброс

Бег, с: $12, 4; 12, 6; 12, 5; 12, 5$ и $12, 0; 13, 1; 12, 2; 12, 7$ . Средние и размахи? $12, 5$ ; $0, 2$ и $1, 1$
$4$ серии по $50$ бросков: орлов $23, 27, 26, 24$ . Частота за все $200$ ? $0, 5$
Медиана выборки автомата Б (сл. 11) $999$ г

R01.2 · R01.3

Образец → сам · задача из жизни

«Средняя зарплата в фирме — $60$ тысяч»

Образец: $40$ тыс. — $6$ чел., $55$ — $3$ , $195$ — $1$

$\overline{x} = \frac{240 + 165 + 195}{10} = 60$ сумма : $n$

$Me = 40$ 5-е и 6-е — по $40$

типичная зарплата — медиана выброс $195$

Среднее без директора? $45$
Какую зарплату дать 11-му сотруднику, чтобы среднее стало $65$ ? $115$
Мода и медиана без директора? $40$ и $40$

R01.1 · R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
среднее по таблице без частот: $x$ $1, 2, 3$ ; частоты $5, 1, 4$	$\frac{1 + 2 + 3}{3} = 2$	$\frac{5 + 2 + 12}{10} = 1, 9$
медиана — «средняя строка»: $x$ $1, \dots, 5$ ; частоты $7, 1, 1, 1, 1$	$Me = 3$	6-е из $11$ : $Me = 1$
сдвиг меняет разброс: ряд $3, 7, 8$ , каждое $+ 5$	размах $5 + 5 = 10$	размах $5$ , как был
среднее двух групп разного размера: $20$ по $160$ и $5$ по $166$	$163$	$\frac{3200 + 830}{25} = 161, 2$

R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $x$ : $2, 4, 6$ ; отн. частоты $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . Среднее?

$\frac{2 + 4 + 6}{3} = 4$

значения берём с весами — отн. частотами

$2 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 3 + 6 \cdot 0, 2 = 3, 4$

б) Среднее $5$ чисел $6$ ; добавили $12$ . Новое среднее?

$\frac{6 + 12}{2} = 9$

у $6$ «вес» пять чисел: сумма $30$

$\frac{30 + 12}{6} = 7$

в) $\overline{x} = 4$ , размах $6$ . Каждое $\cdot 2$ , затем $- 1$

$\overline{x} = 7$ , размах $11$

$- 1$ размах не меняет

$\overline{x} = 7$ , размах $6 \cdot 2 = 12$

R01.1 · R01.2

Задания с самопроверкой · база

Таблица: $x$ — $1, 2, 3, 4$ ; частоты — $2, 3, 4, 1$

По таблице

Среднее $2, 4$
Медиана $2, 5$
Мода $3$
Относительная частота значения $3$ $0, 4$

Преобразования и гистограмма

Ряд $3, 7, 8$ ; каждое $+ 10$ . Размах? $5$
Среднее $4$ чисел $7$ ; добавили $12$ . Новое среднее? $8$
Гистограмма сл. 8: доля тех, кто тратит меньше $30$ мин $0, 1$

R01.2 · R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $x$ : $1, 2, 3$ ; частоты $a, 4, 2$ ; среднее равно $2$ . Найдите $a$ . $a = 2$
повыш.Среднее $10$ чисел $12$ . Убрали два числа — среднее остальных $11$ . Найдите сумму убранных. $32$
повыш.Придумайте ряд из $5$ натуральных чисел: среднее $6$ , медиана $7$ , единственная мода $8$ . например, $3, 4, 7, 8, 8$
из жизниОцените средний рост по гистограмме сл. 7, если в интервал $[170; 175)$ добавить ещё $10$ учеников. $165$ см

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) (a + 8 + 6) : (a + 6) = 2 ⇒ a + 14 = 2a + 12 ⇒ a = 2 (проверка: 8 значений, сумма 16).
2) 12·10 = 120, 11·8 = 88, 120 − 88 = 32.
3) Упорядоченно: третье число 7, мода 8 — два последних 8, 8; сумма 30 ⇒ два первых дают 7, различны и меньше 7 (иначе мода не единственна): 1 и 6, 2 и 5 или 3 и 4.
4) Сумма середин была 4875 (сл. 7), добавили 10·172,5 = 1725: (4875 + 1725) : 40 = 6600 : 40 = 165 см. Это оценка: точный рост внутри интервалов неизвестен.

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Доля в данных = вероятность случайного выбора

1. По таблице оценок (сл. 5) наугад выбирают одну из $20$ работ. Найдите вероятность того, что оценка не ниже «4».

$0, 65$

2. В среднем на $200$ качественных сумок приходится $8$ со скрытым дефектом. Найдите вероятность того, что купленная сумка качественная. Округлите до сотых.

$0, 96$

3. По гистограмме (сл. 8) наугад выбирают ученика. Найдите вероятность того, что он тратит на домашнее задание не меньше $120$ минут.

$0, 1$

P = \frac{благоприятные}{все}

— та же относительная частота. В бланк: 0,65.

R01.2

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $x$ : $1, 2, 3, 4$ ; частоты $4, 2, 3, 1$

Среднее $2, 1$
Медиана $2$
Каждое значение $+ 5$ . Новое среднее? $7, 1$
Среднее $6$ чисел $10$ ; убрали $20$ . Новое среднее? $8$

Вариант 2 · $x$ : $1, 2, 3, 4$ ; частоты $1, 3, 2, 4$

Среднее $2, 9$
Медиана $3$
Каждое значение $\cdot 2$ . Новое среднее? $5, 8$
Среднее $6$ чисел $9$ ; убрали $4$ . Новое среднее? $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти среднее по таблице частот?
Как найти медиану, если $n$ чётное?
Что не меняется при сдвиге всех данных?
Почему среднее сообщают вместе с разбросом?

Домашнее задание

$x$ : $0, 1, 2, 3$ ; частоты $2, 5, 8, 5$ — среднее, медиана, мода
Сгруппируйте рост $12$ знакомых по $5$ см, постройте гистограмму
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_analiz-dannyh.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8U-001 · Повторение: таблицы частот, гистограммы и случайная изменчивость

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 7 класса», 3 ч · урок 1/3 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Повторение курса 7 класса“»
Единицы → слайды	R01.1 «Представление данных в виде таблиц и диаграмм» → 4–8, 14, 16, 18 · R01.2 «Описательная статистика» → 3–6, 8–10, 12–17, 19–20 · R01.3 «Случайная изменчивость» → 11–13, 17 · R01.4–R01.5 → урок VIS8U-002 (мостик — сл. 18) · R01.6–R01.7 → VIS8U-003
Результаты	ПР-3 (средние и меры рассеивания) → 2–17, 19–20 · ПР-2 (случайный выбор, вероятность) → 12, 18
Вне урока	случайные события, вероятности и частоты — VIS8U-002; множества и графы — VIS8U-003; дисперсия и стандартное отклонение — строка R04
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Таблицы частот, гистограммы и случайная изменчивость

Сегодня вы вспомните и научитесь

Таблица частот

Гистограмма

Преобразования данных

Изменчивость

Средние, доли, частоты

Характеристики ряда

Доли и частоты

Сколько книг прочитали летом 25 учеников

Оценки за контрольную работу

Образец: средний балл

Те же 20 оценок — выстроим по порядку

Образец: медиана и мода

Рост 30 учеников: от 150 до 175 см

Время на домашнее задание: 40 учеников

Образец: какая доля тратит не меньше 90 мин?

Ряд 2, 4, 5, 9 и тот же ряд «+3»

Через сумму: сумма=x⋅n

Образец: среднее 8 чисел 15; число 11 заменили на 35

Два автомата фасуют пачки по 1000 г

Стрельба: по 6 выстрелов, очки

Образец: Аня 8,9,7,8,9,7; Боря 10,5,10,6,9,8

«Средняя зарплата в фирме — 60 тысяч»

Образец: 40 тыс. — 6 чел., 55 — 3, 195 — 1

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) x: 2,4,6; отн. частоты 0,5; 0,3; 0,2. Среднее?

б) Среднее 5 чисел 6; добавили 12. Новое среднее?

в) x=4, размах 6. Каждое ⋅2, затем −1

Таблица: x — 1,2,3,4; частоты — 2,3,4,1

По таблице

Преобразования и гистограмма

Подумайте и решите

Доля в данных = вероятность случайного выбора

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · x: 1,2,3,4; частоты 4,2,3,1

Вариант 2 · x: 1,2,3,4; частоты 1,3,2,4

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8U-001 · Повторение: таблицы частот, гистограммы и случайная изменчивость

Сколько книг прочитали летом $25$ учеников

Те же $20$ оценок — выстроим по порядку

Рост $30$ учеников: от $150$ до $175$ см

Время на домашнее задание: $40$ учеников

Образец: какая доля тратит не меньше $90$ мин?

Ряд $2, 4, 5, 9$ и тот же ряд « $+ 3$ »

Через сумму: $сумма = \overline{x} \cdot n$

Образец: среднее $8$ чисел $15$ ; число $11$ заменили на $35$

Два автомата фасуют пачки по $1000$ г

Стрельба: по $6$ выстрелов, очки

Образец: Аня $8, 9, 7, 8, 9, 7$ ; Боря $10, 5, 10, 6, 9, 8$

«Средняя зарплата в фирме — $60$ тысяч»

Образец: $40$ тыс. — $6$ чел., $55$ — $3$ , $195$ — $1$

а) $x$ : $2, 4, 6$ ; отн. частоты $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . Среднее?

б) Среднее $5$ чисел $6$ ; добавили $12$ . Новое среднее?

в) $\overline{x} = 4$ , размах $6$ . Каждое $\cdot 2$ , затем $- 1$

Таблица: $x$ — $1, 2, 3, 4$ ; частоты — $2, 3, 4, 1$

Вариант 1 · $x$ : $1, 2, 3, 4$ ; частоты $4, 2, 3, 1$

Вариант 2 · $x$ : $1, 2, 3, 4$ ; частоты $1, 3, 2, 4$