Обобщение, систематизация знаний · урок 4 из 4

Считаем исходы — находим вероятность: перебор, дерево, треугольник Паскаля

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS8-034

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Обобщение, систематизация знаний» (4 ч), урок 4/4, тип О — последний урок курса 8 класса. Фокус — четвёртая единица строки R07.4 «Элементы комбинаторики на нахождение вероятностей событий, в том числе с использованием треугольника Паскаля» плюс смешанные задачи на весь курс (данные, графы, события). R07.1–R07.3 — уроки VIS8-031…033.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 1,5 · 4 (сводка: как считать исходы) 3,5 · 7 (треугольник Паскаля, учитель выводит сам) 4 · 18 (итоговая сводка курса) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 10, 11) по 2,5 = 15 · типичные ошибки (сл. 12) 1,5 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка, база (сл. 14) 2,5 · повышенный уровень (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2,5 · самостоятельная (сл. 17) 4 · итог (сл. 19) 1.
В 8 классе формулы числа сочетаний ещё нет: все подсчёты — перебором, деревом, правилом умножения и треугольником Паскаля как «таблицей числа цепочек». Обозначение $C_{n}^{k}$ — только в 9 классе.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 15 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R07.4

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать исходы

перебором, таблицей и по правилу умножения (ПР-4)

Читать треугольник Паскаля

как число цепочек бросков с данным числом орлов (ПР-4)

Строить дерево опыта

вероятности на рёбрах, произведение вдоль пути (ПР-5)

Решать смешанные задачи

«хотя бы один», жеребьёвка, данные и графы (ПР-1, ПР-4, ПР-7)

1,5 мин · теория
ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями». ПР-5 (= REQ-5.5): графические модели — дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера. ПР-1 (= REQ-5.1): данные в таблицах (таблица исходов 6×6). ПР-7 (= REQ-5.7): графическое представление связей (граф жеребьёвки, турнир).
Элементы содержания: EL-5.6 (равновозможные исходы, случайный выбор), EL-5.7 (дерево, правило умножения, решение задач с помощью графов), EL-5.8 (противоположные события), EL-5.9 (правило умножения, независимые события), EL-5.10 (дерево случайного эксперимента).
Деятельность по ФРП (R07): «Решать задачи на нахождение вероятности случайного события по вероятностям элементарных событий… с использованием графических представлений и дерева случайного опыта. Решать задачи на перечисление комбинаций».

повторение: R04–R06 · R07.3

Разминка · устно

Исходы и вероятности — за минуту

Сколько вариантов?

$3$ футболки и $4$ шорт. Комплектов? $12$
Сколькими способами сесть троим в ряд? $6$
Монету бросают $3$ раза. Сколько исходов? $8$
Двузначные числа из цифр $1, 2, 3$ (повторять можно) $9$

Вероятность

Кубик: $P (чётное)$ ? $0, 5$
$P (A) = 0, 15$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 85$
Независимые $0, 5$ и $0, 6$ : $P (A \cap B)$ ? $0, 3$
На пути дерева рёбра $0, 3$ и $0, 4$ . Вероятность пути? $0, 12$

R07.4 · R05

Теория · сводка: как считать исходы

Обед: $3$ супа и $2$ напитка — дерево выбора

Перебор — список или таблица по порядку, чтобы ничего не пропустить

Правило умножения: $a$ способов, затем $b$ способов — всего $a \cdot b$

Без повторений: $4$ человека в ряд — $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Вероятность: $P (A) = \frac{m}{N}$ , если все $N$ исходов равновозможны

3,5 мин · теория
Сводка R04–R05 и R07.4: дерево выбора = граф-дерево (VIS8-033): от корня к каждому листу ровно один путь, поэтому число листьев = число вариантов. На каждом из 3 супов — 2 напитка: 3 · 2 = 6. По клику подсвечен путь «С2 + сок».
Без повторений: на первое место 4 кандидата, на второе — 3 оставшихся, затем 2 и 1; 4 · 3 · 2 · 1 = 24. (В 9 классе это обозначат $4!$ и назовут числом перестановок.)
Вопрос классу: почему при бросании двух кубиков исходов 36, а не 11 (сумм от 2 до 12)? — Суммы не равновозможны; равновозможны пары (первый; второй): 6 · 6 = 36.

R07.4

Образец → сам · перебор деревом

Из карточек $1, 2, 3$ наугад складывают трёхзначное число

Образец: $P (число чётное)$

$N = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ листья дерева

чётные — на конце $2$ : $132, 312$ ; $m = 2$

$P = \frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ все порядки равновозможны

$P (число больше 200)$ ? $\frac{2}{3}$
$P (начинается с 3 и оканчивается 1)$ ? $\frac{1}{6}$
Сколько чисел из карточек $1, 2, 3, 4$ ? $24$

R07.4 · R04

Образец → сам · таблица исходов

Два кубика: $36$ равновозможных пар, в клетке — сумма

Образец: $P (сумма равна 7)$

$N = 6 \cdot 6 = 36$ клетки таблицы

сумма $7$ — диагональ: $m = 6$

$P = \frac{6}{36}$ = $\frac{1}{6}$

$P (сумма равна 10)$ ? $\frac{1}{12}$
$P (на первом больше, чем на втором)$ ? $\frac{5}{12}$
$P (произведение чётное)$ ? $0, 75$

R07.4

Теория · сводка: треугольник Паскаля

Сколько цепочек бросков с данным числом орлов?

Каждое число — сумма двух над ним; строка

n

: всего

2^{n}

цепочек, число в ней — сколько из них с данным числом орлов.

4 мин · теория (учитель выводит сам)
Слева — дерево трёх бросков монеты: 8 листьев-цепочек. Группируем по числу орлов: 3 орла — 1 (ООО), 2 — 3 (ООР, ОРО, РОО), 1 — 3, 0 — 1. Получили строку 1, 3, 3, 1.
Почему каждое число — сумма двух над ним: цепочка из 3 бросков с 2 орлами кончается либо на О (тогда первые 2 броска дают 1 орла — таких 2), либо на Р (первые 2 броска дают 2 орла — таких 1): 2 + 1 = 3. По клику — строка 3 и стрелки 1 + 2 → 3.
Строки: 0 бросков — 1; 1 — 1 1; 2 — 1 2 1; 3 — 1 3 3 1; 4 — 1 4 6 4 1; 5 — 1 5 10 10 5 1. Сумма строки n равна 2ⁿ (1, 2, 4, 8, 16, 32) — число всех исходов.
Те же числа дают число способов выбрать k предметов из n (порядок не важен) — это тема 9 класса (число сочетаний).

R07.4

Образец → сам · по строке треугольника Паскаля

Монету бросают несколько раз: ровно $k$ орлов

Образец: $4$ броска, $P (ровно 2 орла)$

строка $4$ : $1, 4, 6, 4, 1$ ; $N = 2^{4} = 16$

$2$ орла — третье число: $m = 6$ $0, 1, 2$ орла

$P = \frac{6}{16}$ = $0, 375$

$4$ броска: $P (ровно 1 орёл)$ ? $0, 25$
$5$ бросков: $P (ровно 3 орла)$ ? $0, 3125$
$5$ бросков: $P (хотя бы один орёл)$ ? $\frac{31}{32}$

R07.4 · R06

Образец → сам · дерево опыта без возвращения

В коробке $3$ красных и $2$ синих шара; берут $2$ подряд

Образец: $P (оба красные)$

1-й красный: $\frac{3}{5}$ $3$ из $5$

2-й красный: $\frac{2}{4}$ осталось $2$ из $4$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$ = $0, 3$ вдоль пути

$P (оба синие)$ ? $0, 1$
$P (шары разного цвета)$ ? $0, 6$
$P (хотя бы один красный)$ ? $0, 9$

R07.4 · R06

Образец → сам · «хотя бы один» через противоположное

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ ; три выстрела

Образец: $P (хотя бы одно попадание)$

$\overline{A}$ — три промаха (МММ) один путь

$P (\overline{A}) = 0, 2^{3} = 0, 008$ независимы

$P (A) = 1 - 0, 008$ = $0, 992$

Монету бросают $3$ раза. $P (хотя бы одна решка)$ ? $0, 875$
Две лампы, каждая перегорает с вер. $0, 1$ независимо. $P (хотя бы одна горит)$ ? $0, 99$
Кубик бросают дважды. $P (хотя бы одна шестёрка)$ ? $\frac{11}{36}$

R07.4 · R07.3

Образец → сам · задача из жизни · жеребьёвка турнира

$4$ команды $A, B, C, D$ случайно делят на $2$ пары

Ребро графа — матч. Перебор: соперник команды

A

—

B

,

C

или

D

.

Образец: $P (A играет с B)$

разбиений $N = 3$ соперник $A$ : $B$ , $C$ , $D$

подходит одно: $A B ∣ C D$

$P$ = $\frac{1}{3}$

$P (C играет не с D)$ ? $\frac{2}{3}$
Порядок выступления $3$ команд — по жребию. $P (A выступает раньше B)$ ? $\frac{1}{2}$
Если каждая из $4$ команд сыграет с каждой — сколько матчей? $6$

R07.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$4$ человека в ряд	$4 + 3 + 2 + 1 = 10$	$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$
два кубика, сумма $7$	сумм $11$ : $P = \frac{1}{11}$	пар $36$ : $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
$3$ броска, хотя бы один орёл	$0, 5 + 0, 5 + 0, 5 = 1, 5$	$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ ; вероятность $\leq 1$
$3$ К и $2$ С, без возвращения, оба К	$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0, 3$

R07.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают $4$ раза. $P (ровно 2 орла)$

« $2$ из $4$ , значит $\frac{2}{4} = 0, 5$ »

исходов $2^{4} = 16$ , с двумя орлами — $6$ (строка $1, 4, 6, 4, 1$ )

$\frac{6}{16} = 0, 375$

б) $3$ К и $2$ С, берут $2$ без возвращения. $P (разного цвета)$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0, 3$

учтён только путь КС; есть ещё СК: $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 0, 3$

$0, 3 + 0, 3 = 0, 6$

в) Сколькими способами выстроить $4$ учеников в ряд?

$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$

один ученик не стоит на двух местах — выбор уменьшается

$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

R07.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Считаем варианты

$3$ супа, $4$ вторых, $2$ напитка. Обедов? $24$
Коды из $2$ букв А, Б, В (повторять можно) $9$
Сумма чисел строки $5$ треугольника Паскаля $32$
Буквы К, О, Т кладут в ряд наугад. $P (« КОТ »)$ ? $\frac{1}{6}$

Вероятность

Кубик дважды. $P (две шестёрки)$ ? $\frac{1}{36}$
Монета $3$ раза. $P (ровно 2 орла)$ ? $0, 375$
$A$ , $B$ независимы, $0, 7$ и $0, 6$ . $P (не наступит ни одно)$ ? $0, 12$

R07.1–R07.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Смешанные задачи за весь курс

повыш.Достройте треугольник Паскаля до строки $6$ . Монету бросают $6$ раз. $P (ровно 2 орла)$ ? $\frac{15}{64}$
повыш.В турнире $5$ команд, каждая играет с каждой один раз. Сколько матчей? Какова вероятность, что случайно выбранный матч — с участием команды $A$ ? $10$ ; $0, 4$
повыш.Из набора $2, 4, 4, 6, 9$ наугад выбирают одно число. $P (оно больше среднего арифметического)$ ? $0, 4$
из жизниПервый станок делает $60 %$ деталей, брак у него $2 %$ ; второй — $40 %$ , брак $5 %$ . $P (случайная деталь бракованная)$ ? $0, 032$

R07.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Монеты, кубики и вероятность «между»

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза.

$0, 25$

2. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $8$ . Результат округлите до сотых.

$0, 14$

3. Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна $0, 97$ , больше двух лет — $0, 89$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

$0, 08$

В бланк — десятичная дробь; если она бесконечная — округляют, как сказано в условии.

R07.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$4$ рубашки и $3$ брюк. Комплектов? $12$
Монета $3$ раза. $P (три орла)$ ? $0, 125$
Кубик дважды. $P (сумма 4)$ ? $\frac{1}{12}$
Попадание $0, 7$ , два выстрела. $P (хотя бы одно)$ ? $0, 91$

Вариант 2

$5$ рубашек и $2$ брюк. Комплектов? $10$
Монета $4$ раза. $P (четыре орла)$ ? $0, 0625$
Кубик дважды. $P (сумма 11)$ ? $\frac{1}{18}$
Попадание $0, 6$ , два выстрела. $P (хотя бы одно)$ ? $0, 84$

R07.1–R07.4

Теория · итоговая сводка правил

Курс 8 класса — на одном слайде

Данные

$\overline{x}$ , медиана, размах; дисперсия $D$ — средний квадрат отклонений, $σ = D$

Множества и события

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

Графы и деревья

дерево: $n$ вершин — $n - 1$ ребро; вдоль пути вероятности умножают

Комбинаторика

правило умножения $a \cdot b$ ; строка $n$ Паскаля — цепочки, всего $2^{n}$

Главное:

P (A) = \frac{m}{N}

— только для равновозможных исходов; «хотя бы один» — через

1 - P (\overline{A})

.

2 мин · теория
Четыре блока курса и строки ФРП: данные — R01–R02 (VIS8-031, 032), множества и события — R03, R06, графы и деревья — R05 (VIS8-033), комбинаторика и вероятности — R04, R07.4 (сегодня). Ученики по очереди называют задачу урока к каждому блоку.
Дисперсия — среднее квадратов отклонений от среднего; σ — корень из дисперсии. Для несовместных событий $P (A \cap B) = 0$ , и формула сложения превращается в сумму.
Мостик к 9 классу: числа треугольника Паскаля станут числами сочетаний $C_{n}^{k}$ , а серии бросков — испытаниями Бернулли.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда исходы складывают, а когда перемножают?
Почему у двух кубиков $36$ исходов, а не $11$ ?
Как получить следующую строку треугольника Паскаля?
Когда удобно «хотя бы один» через противоположное?

Домашнее задание

Монету бросают $5$ раз. $P (ровно 4 орла)$ — по треугольнику Паскаля
$3$ красных и $1$ синий шар, берут $2$ без возвращения. Дерево; $P (оба красные)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_pravilo-umnozheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) Строка 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1; 4 орла — 5 цепочек из 32: 5/32 = 0,15625. 2) 3/4 · 2/3 = 1/2 = 0,5.
Рефлексия: складывают несовместные варианты (разные пути дерева), перемножают последовательные шаги (вдоль пути). Тренажёр по всему курсу — reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_index.htm.
Это последний урок курса 8 класса; в 9 классе — комбинаторика (сочетания, треугольник Паскаля), геометрическая вероятность, испытания Бернулли, случайная величина.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-034 · Обобщение: комбинаторика и вероятности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R07 «Обобщение, систематизация знаний», 4 ч · урок 4/4 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Обобщение, систематизация знаний“»
Единицы → слайды	R07.4 «Элементы комбинаторики… с использованием треугольника Паскаля» → 2–17, 19 · R07.3 «Графы» → 4, 11, 15, 18 · R07.2 «Описательная статистика» → 15, 18 · R07.1 «Представление данных» → 6 (таблица исходов), 18
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 3, 5–11, 13–17 · ПР-5 / REQ-5.5 (дерево опыта) → 4, 7, 9, 10, 15 · ПР-1 / REQ-5.1 (таблица) → 6, 15 · ПР-7 / REQ-5.7 (граф связей) → 11, 15 · ПР-2 / REQ-5.2 → 15, 18
Вне урока	число сочетаний $C_{n}^{k}$ , формула Бернулли, геометрическая вероятность — 9 класс (курс VIS9)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Считаем исходы — находим вероятность: перебор, дерево, треугольник Паскаля

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать исходы

Читать треугольник Паскаля

Строить дерево опыта

Решать смешанные задачи

Исходы и вероятности — за минуту

Сколько вариантов?

Вероятность

Обед: 3 супа и 2 напитка — дерево выбора

Из карточек 1,2,3 наугад складывают трёхзначное число

Образец: P(число чётное)

Два кубика: 36 равновозможных пар, в клетке — сумма

Образец: P(сумма равна 7)

Сколько цепочек бросков с данным числом орлов?

Монету бросают несколько раз: ровно k орлов

Образец: 4 броска, P(ровно 2 орла)

В коробке 3 красных и 2 синих шара; берут 2 подряд

Образец: P(оба красные)

Стрелок попадает с вероятностью 0,8; три выстрела

Образец: P(хотя бы одно попадание)

4 команды A,B,C,D случайно делят на 2 пары

Образец: P(A играет с B)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают 4 раза. P(ровно 2 орла)

б) 3К и 2С, берут 2 без возвращения. P(разного цвета)

в) Сколькими способами выстроить 4 учеников в ряд?

Решите и проверьте

Считаем варианты

Вероятность

Смешанные задачи за весь курс

Монеты, кубики и вероятность «между»

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Курс 8 класса — на одном слайде

Данные

Множества и события

Графы и деревья

Комбинаторика

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-034 · Обобщение: комбинаторика и вероятности

Обед: $3$ супа и $2$ напитка — дерево выбора

Из карточек $1, 2, 3$ наугад складывают трёхзначное число

Образец: $P (число чётное)$

Два кубика: $36$ равновозможных пар, в клетке — сумма

Образец: $P (сумма равна 7)$

Монету бросают несколько раз: ровно $k$ орлов

Образец: $4$ броска, $P (ровно 2 орла)$

В коробке $3$ красных и $2$ синих шара; берут $2$ подряд

Образец: $P (оба красные)$

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ ; три выстрела

Образец: $P (хотя бы одно попадание)$

$4$ команды $A, B, C, D$ случайно делят на $2$ пары

Образец: $P (A играет с B)$

а) Монету бросают $4$ раза. $P (ровно 2 орла)$

б) $3$ К и $2$ С, берут $2$ без возвращения. $P (разного цвета)$

в) Сколькими способами выстроить $4$ учеников в ряд?