Обобщение, систематизация знаний · урок 3 из 4

Графы: степени, обходы, деревья и перебор вариантов

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS8-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Обобщение, систематизация знаний» (4 ч), урок 3/4, тип О. Фокус урока — третья единица строки R07.3 «Графы» на материале курсов 7–8 классов (степень вершины и число рёбер, путь и цикл, связность, обход графа одним росчерком, дерево и его свойства, дерево вариантов и правило умножения) плюс смешанные задачи: дерево случайного опыта (R06, мостик к R07.4) и статистика степеней вершин (R07.2). R07.1 и R07.2 — уроки VIS8-031…032, R07.4 «Комбинаторика и вероятности, треугольник Паскаля» — VIS8-034.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 1,5 · 4 (сводка: степени и рёбра) 3 · 6 (сводка: путь, цикл, связность, обход) 3 · 8 (сводка: дерево) 2,5 · 19 (итоговая сводка правил) 2. Урок обобщения: теория — только сводки, их показывать целиком.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11, 12) — 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 = 14 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2,5 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 20) 1.
Отличие от VIS8-022 (практикум по деревьям): здесь деревья — только часть системы; добавлены степени и рукопожатия, обход одним росчерком (7 класс), таблица смежности со статистикой степеней и дерево опыта с вероятностями на рёбрах.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R07.3

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать рёбра по степеням

сумма степеней, рукопожатия, турниры (ПР-5, ПР-7)

Обходить граф

путь, цикл, связность; рисунок одним росчерком (ПР-5)

Работать с деревом

$n$ вершин — $n - 1$ ребро; дерево вариантов и правило умножения (ПР-5)

Соединять темы

дерево опыта, таблица смежности и статистика степеней (ПР-1, ПР-2, ПР-4)

1,5 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая» — граф и дерево как модели. ПР-7 (= REQ-5.7): графическое представление связей для описания процессов и явлений (дороги, рейсы, турниры, знакомства). ПР-4 (= REQ-5.4): вероятности по дереву опыта. ПР-1, ПР-2 (= REQ-5.1, 5.2): таблица смежности, среднее и медиана степеней.
Деятельность по ФРП (R07): «Решать задачи с применением графов… Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том числе независимых, с использованием графических представлений и дерева случайного опыта».

повторение: R07.2 · R05

Разминка · устно

Статистика и графы

Описательная статистика (VIS8-032)

Среднее чисел $2, 4, 9$ $5$
Медиана ряда $7, 1, 4, 9, 3$ $4$
Размах ряда $12, 5, 9$ $7$
$P (A) = 0, 35$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 65$

Графы и деревья

Сумма степеней вершин $14$ . Сколько рёбер? $7$
Дерево с $6$ вершинами — сколько рёбер? $5$
$3$ супа и $2$ вторых — сколько обедов? $6$
Длина пути $A B C D E$ ? $4$

R07.3

Теория · сводка: степень вершины

Каждое ребро считаем дважды

Степень вершины — число рёбер, выходящих из неё: $de g A = 2$ , $de g D = 4$ .

$2 + 3 + 3 + 4 + 2 + 2 = 16 = 2 \cdot 8$

сумма степеней = 2 \cdot (число рёбер)

Следствие: вершин нечётной степени — чётное число (здесь

B

и

C

).

3 мин · теория
Граф: вершины A–F, рёбра AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, DF (8 рёбер). Степени по клику: A 2, B 3, C 3, D 4, E 2, F 2 (сумма 16).
Почему сумма степеней вдвое больше числа рёбер: у ребра два конца, каждое ребро добавляет по 1 к степени каждого конца, т. е. 2 к сумме. Отсюда сумма степеней всегда чётна, а значит, нечётных слагаемых (вершин нечётной степени) — чётное число.
Вопрос классу: может ли в графе быть ровно 3 вершины нечётной степени? (Нет: сумма степеней была бы нечётной.) Где это используют: рукопожатия, знакомства, турниры (сл. 5).

R07.3 · ПР-7

Образец → сам · степени и число рёбер

Турнир: $6$ команд, каждая играет с каждой один раз

Образец: сколько всего игр?

команда = вершина, игра = ребро

$de g = 5$ у каждой соперников $6 - 1$

$\frac{6 \cdot 5}{2}$ = $15$ игр каждое ребро — дважды

$8$ человек, каждый пожал руку ровно троим. Сколько рукопожатий? $12$
Может ли каждый из $5$ человек дружить ровно с тремя из них? нет
Степени вершин: $3, 3, 3, 3, 1, 1$ . Сколько рёбер? $7$

R07.3

Теория · сводка: путь, цикл, обход графа

Можно ли обойти все рёбра по одному разу?

Путь — по рёбрам без повторов вершин; длина — число рёбер

Цикл — путь, вернувшийся в начало

Связный граф — из любой вершины есть путь в любую

Обход одним росчерком (связный граф): нечётных вершин $0$ — замкнутый, $2$ — от одной к другой, больше — нельзя

3 мин · теория
По клику: путь A–B–D–E (3 ребра, длина 3); цикл B–C–D–B; затем обвести нечётные вершины.
Обход (эйлеров путь, 7 класс): пройти каждое ребро ровно один раз. Почему нужны условия: в каждую промежуточную вершину входим и выходим — рёбра у неё расходуются парами, поэтому её степень чётна. Нечётными могут быть только начало и конец пути. Если нечётных нет — путь замкнутый (начинаем где угодно и туда же возвращаемся).
Для этого графа: нечётные только B и C, граф связный — обход есть, начинаем в B и заканчиваем в C, например B–A–C–B–D–E–F–D–C (8 рёбер, каждое по разу).
Вопрос классу: несвязный граф (два отдельных треугольника) — все степени 2, но можно ли обойти его одним росчерком? (Нет: условие о связности обязательно.)

R07.3

Образец → сам · рисунок одним росчерком

«Домик с конвертом»: откуда начать?

Образец: можно ли нарисовать, не отрывая карандаша?

степени $3, 3, 4, 4, 2$ нечётные — $1$ и $2$

нечётных две → можно, от $1$ к $2$ путь — на рисунке

Сам: какой граф можно обойти одним росчерком?

а) степени $3, 3, 3, 3$ нет: $4$ нечётные
б) степени $2, 2, 4, 2, 2$ да, замкнутый
в) степени $2, 2, 3, 1$ да: от степени $3$ к висячей

2,5 мин · практика
Вершины: 1, 2 — низ, 3, 4 — верх стен, 5 — конёк; рёбра: 4 стены (12, 23, 34, 41), 2 диагонали (13, 24), 2 ската крыши (45, 35). Степени: 1 и 2 — по 3, 3 и 4 — по 4, 5 — 2.
Образец: нечётных вершин две — обход есть, начинаем в одной нечётной (1), заканчиваем в другой (2). По кликам рисуется путь 1–2–3–4–1–3–5–4–2: рёбра 1…8, каждое ровно по разу (проверено перебором). Начать с 3, 4 или 5 нельзя — проверить на доске.
Сам: а) квадрат с двумя диагоналями — все 4 вершины степени 3, нечётных 4 → нельзя. б) «бабочка» — два треугольника с общей вершиной: степени 2, 2, 4, 2, 2, нечётных нет → можно, путь замкнутый, начать в любой вершине. в) треугольник с «хвостом»: степени 2, 2, 3, 1 → две нечётные, можно: от вершины степени 3 до висячей.

R07.3 · R05

Теория · сводка: дерево и его свойства

Дерево — связный граф без циклов

путь $4 \to 7$ — единственный длина $5$

висячие $4, 5, 7, 8$ в дереве их не меньше двух

n

вершин

\Rightarrow

n - 1

ребро

$8$ вершин, $7$ рёбер; сумма степеней $14$

Связный граф:

n

вершин,

r

рёбер. Чтобы получить дерево, удаляют

r - (n - 1)

рёбер — по одному из каждого цикла.

2,5 мин · теория
Свойства дерева (R05, VIS8-019…020): любые две вершины соединены ровно одним путём (второй путь дал бы цикл); если вершин не меньше двух, есть хотя бы две висячие вершины (степени 1); вершин на одну больше, чем рёбер.
На рисунке: путь 4–2–1–3–6–7 (5 рёбер) подсвечен; висячие 4, 5, 7, 8 обведены. Степени: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 2, 6 → 3, висячие по 1; сумма 2 + 3 + 2 + 3 + 4 · 1 = 14 = 2 · 7.
Последний клик — мостик к сл. 9: у связного графа с лишними рёбрами есть циклы; удаляя по ребру из цикла, сохраняем связность, пока не останется n − 1 ребро.

R07.3

Образец → сам · от графа к дереву

Дороги между $7$ посёлками: какие можно закрыть?

Образец: сколько дорог можно закрыть, чтобы из любого посёлка можно было доехать до любого?

$n = 7$ , $r = 10$ , граф связный

в дереве $7 - 1 = 6$ рёбер меньше нельзя

$10 - 6$ = $4$ дороги по одной из каждого цикла

Связный граф: $12$ вершин, $15$ рёбер. Сколько рёбер удалить до дерева? $4$
Дерево с $10$ вершинами: сумма степеней? $18$
В дереве одна вершина степени $4$ , две — степени $3$ , остальные висячие. Сколько висячих? $6$

2,5 мин · практика
Граф: посёлки A–G, 10 дорог (AB, AC, BC, BD, CD, CE, DE, DF, EG, FG), граф связный. По клику: красным — закрываем BC, CD, DE, FG; зелёным — остаётся дерево AB, AC, BD, CE, DF, EG (6 рёбер, связно, циклов нет — проверено).
Образец: дерево на 7 вершинах имеет 6 рёбер, поэтому оставить меньше 6 дорог нельзя (граф распадётся), а оставить можно ровно 6 без циклов: закрыть 10 − 6 = 4. Какие именно — вариантов несколько, число всегда 4.
Сам: 1) 15 − (12 − 1) = 4. 2) Рёбер 9, сумма степеней 2 · 9 = 18. 3) Пусть висячих x; вершин 3 + x, рёбер 2 + x; сумма степеней 4 + 3 + 3 + x = 2(2 + x), 10 + x = 4 + 2x, x = 6 (проверка: 9 вершин, 8 рёбер, сумма 16 = 4 + 6 + 6).

R07.3 · R05

Образец → сам · дерево вариантов и правило умножения

Дом → школа: $3$ дороги, школа → бассейн: $2$ дороги

Образец: сколько маршрутов из дома в бассейн через школу?

шаг 1: $3$ варианта, шаг 2: $2$ ветви дерева

$3 \cdot 2$ = $6$ маршрутов правило умножения

Из бассейна в парк ещё $4$ дороги. Маршрутов дом → школа → бассейн → парк? $24$
Дом → бассейн → дом через школу, ни одну дорогу не проходить дважды. Маршрутов? $12$
Есть ещё $1$ прямая дорога дом → бассейн. Всего маршрутов в бассейн? $7$

2,5 мин · практика
Сверху — граф дорог (кратные рёбра a, b, c и 1, 2), по клику — дерево вариантов: корень → дорога до школы (3 ветви) → дорога до бассейна (2 ветви из каждой). Листья a1, a2, b1, b2, c1, c2 — 6 маршрутов.
Образец: каждый маршрут — путь от корня к листу; число листьев 3 · 2 = 6.
Сам: 1) 3 · 2 · 4 = 24. 2) Туда: 3 · 2 = 6 способов; обратно до школы — любая дорога, кроме той, по которой ехали (1 вариант из 2), до дома — любая, кроме пройденной (2 из 3): 3 · 2 · 1 · 2 = 12. 3) Через школу 6 маршрутов или напрямую 1 — это разные случаи, их складывают: 6 + 1 = 7.

R07.3 · R06 · ПР-4

Образец → сам · дерево случайного опыта

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ и стреляет дважды

Образец: $P (ровно одно попадание)$

пути ПМ и МП по рёбрам — умножаем

$0, 8 \cdot 0, 2 + 0, 2 \cdot 0, 8$ = $0, 32$ пути — складываем

$P (оба промаха)$ ? $0, 04$
$P (хотя бы одно попадание)$ ? $0, 96$
Выстрелов три. $P (три попадания)$ ? $0, 512$

2 мин · практика
Дерево опыта (R06, VIS8-027): на рёбрах — вероятности, выстрелы независимы, поэтому на втором уровне те же 0,8 и 0,2. Вероятность пути — произведение вероятностей на его рёбрах: ПП 0,64, ПМ 0,16, МП 0,16, ММ 0,04; сумма 1 (проверка).
Образец: «ровно одно» — два пути (подсвечены по клику), исходы несовместны — складываем: 0,16 + 0,16 = 0,32.
Сам: 1) 0,2 · 0,2 = 0,04. 2) Противоположное событие — оба промаха: 1 − 0,04 = 0,96 (или 0,64 + 0,16 + 0,16). 3) 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512 (путь из трёх рёбер).
Мостик к VIS8-034: в следующем уроке такие задачи — с перебором комбинаций и треугольником Паскаля.

R07.3 · R07.1 · R07.2

Образец → сам · таблица, граф и статистика

Прямые рейсы между $5$ городами: $1$ — есть рейс

	A	B	C	D	E
A	—	$1$	$1$	$1$	$0$
B	$1$	—	$1$	$0$	$0$
C	$1$	$1$	—	$1$	$1$
D	$1$	$0$	$1$	—	$0$
E	$0$	$0$	$1$	$0$	—

Образец: граф и число рейсов

город — вершина, « $1$ » — ребро

степень = сумма строки: $3, 2, 4, 2, 1$

$\frac{12}{2}$ = $6$ рейсов

Среднее степеней вершин $2, 4$
Медиана степеней $2$
Наугад выбран город. $P (из него не меньше 3 рейсов)$ ? $0, 4$

2 мин · практика
Таблица смежности симметрична (рейс A–B — это и B–A), на диагонали прочерк. По клику строим граф: рёбра AB, AC, AD, BC, CD, CE; затем степени (сумма единиц в строке).
Образец: сумма степеней 3 + 2 + 4 + 2 + 1 = 12; каждое ребро записано в таблице дважды (в двух строках), поэтому рейсов 12 : 2 = 6.
Сам (мостик к R07.2 и R07.4): 1) 12 : 5 = 2,4. 2) Упорядочим: 1, 2, 2, 3, 4 — медиана 2. 3) Не меньше 3 рейсов у A (3) и C (4): 2 из 5 — 0,4.
Вопрос: какой город — «пересадочный узел»? (C — наибольшая степень.) Можно ли облететь все рейсы по одному разу? (Нечётные A и E — да, из A в E.)

R07.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
длина пути $A B C D$	$4$	$3$ — считаем рёбра
$7$ вершин, у каждой степень $4$ : рёбер?	$7 \cdot 4 = 28$	$\frac{28}{2} = 14$
дерево с $12$ вершинами: рёбер?	$12$	$12 - 1 = 11$
нечётных вершин $4$ : «начну с нечётной — обойду»	«можно»	нельзя: нужно $0$ или $2$

R07.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $7$ команд, каждая играет с каждой один раз. Сколько игр?

$7 \cdot 6 = 42$

каждая игра посчитана дважды — за обе команды

$\frac{42}{2} = 21$

б) Связный граф: $9$ вершин, $12$ рёбер. Сколько рёбер удалить до дерева?

$12 - 9 = 3$

в дереве $9 - 1 = 8$ рёбер, а не $9$

$12 - 8 = 4$

в) Стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ , два выстрела. $P (ровно одно попадание)$

$0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 21$

путей два: ПМ и МП

$0, 21 + 0, 21 = 0, 42$

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Степени и обход

Степени вершин $1, 2, 2, 3, 4$ . Сколько рёбер? $6$
В графе $10$ рёбер. Сумма степеней? $20$
Есть ли граф со степенями $3, 3, 2, 1$ ? нет
Связный граф, степени $2, 2, 4, 4, 2$ . Обход одним росчерком? да, замкнутый

Деревья и варианты

Дерево с $15$ вершинами — рёбер? $14$
В дереве $20$ рёбер — вершин? $21$
$4$ футболки и $3$ пары шорт — комплектов? $12$

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В посёлке $9$ домов и $13$ дорожек, от любого дома можно дойти до любого. Какое наибольшее число дорожек можно закрыть, чтобы это сохранилось? $5$
повыш.В дереве три вершины степени $3$ , одна — степени $2$ , остальные висячие. Сколько висячих вершин? $5$
из жизниВ классе $25$ человек. Может ли у каждого быть ровно $5$ друзей среди одноклассников? нет
из жизниНа каждом из двух перекрёстков зелёный свет горит с вероятностью $0, 4$ независимо. $P (хотя бы один зелёный)$ ? $0, 64$

R07.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Нарисуйте дерево — ответ десятичной дробью

1. Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

$0, 375$

2. Биатлонист стреляет по мишеням два раза, вероятность попадания при каждом выстреле $0, 9$ . Найдите вероятность того, что первый раз он попадёт, а второй — промахнётся.

$0, 09$

3. В коробке $3$ белых и $2$ чёрных шара. Наугад достают два шара (без возвращения). Найдите вероятность того, что оба шара белые.

$0, 3$

Вероятность пути — произведение на рёбрах; подходящие пути складывают.

R07.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Степени вершин $2, 3, 3, 4, 4$ . Рёбер? $8$
Дерево с $13$ вершинами — рёбер? $12$
$5$ команд, каждая с каждой — игр? $10$
Стрелок: $0, 6$ , два выстрела. $P (оба попадания)$ ? $0, 36$

Вариант 2

Степени вершин $1, 2, 3, 3, 3$ . Рёбер? $6$
В дереве $17$ рёбер — вершин? $18$
$8$ команд, каждая с каждой — игр? $28$
Стрелок: $0, 7$ , два выстрела. $P (оба промаха)$ ? $0, 09$

R07.3

Теория · итоговая сводка правил

Четыре правила работы с графами

Степени

сумма степеней $= 2 \cdot (число рёбер)$ ; нечётных вершин — чётное число

Обход одним росчерком

граф связный и нечётных вершин $0$ (замкнутый) или $2$ (от одной к другой)

Дерево

$n$ вершин — $n - 1$ ребро; путь между вершинами единственный; висячих не меньше двух

Дерево вариантов и опыта

вариант — путь от корня к листу: число вариантов — произведение; вероятности на пути умножают, пути складывают

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему сумма степеней всегда чётна?
Когда граф нельзя обойти одним росчерком?
Сколько рёбер у дерева с $n$ вершинами?
Когда вероятности умножают, а когда складывают?

Домашнее задание

Степени вершин $1, 1, 2, 2, 3, 3$ : сколько рёбер? Можно ли обойти одним росчерком?
Связный граф: $10$ вершин, $14$ рёбер. Сколько рёбер удалить до дерева?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_derevya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-033 · Обобщение: графы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R07 «Обобщение, систематизация знаний», 4 ч · урок 3/4 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Обобщение, систематизация знаний“»
Единицы → слайды	R07.3 «Графы» → 2–20 · R07.2 «Описательная статистика» → разминка, сл. 12 · R07.1 «Представление данных» → сл. 12 (таблица смежности) · R07.4 → дерево опыта (сл. 11, 14, 16–18), урок VIS8-034
Результаты	ПР-5, ПР-7 / REQ-5.5, 5.7 (графические модели, связи) → 4–10, 13–16, 18–19 · ПР-4 / REQ-5.4 (вероятность) → 3, 11–12, 14, 16–18 · ПР-1, ПР-2 / REQ-5.1, 5.2 → 3, 12
Вне урока	комбинаторика, треугольник Паскаля — VIS8-034; представление данных и описательная статистика — VIS8-031…032
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

	A	B	C	D	E
A	—	$1$	$1$	$1$	$0$
B	$1$	—	$1$	$0$	$0$
C	$1$	$1$	—	$1$	$1$
D	$1$	$0$	$1$	—	$0$
E	$0$	$0$	$1$	$0$	—

	A	B	C	D	E
A	—	$1$	$1$	$1$	$0$
B	$1$	—	$1$	$0$	$0$
C	$1$	$1$	—	$1$	$1$
D	$1$	$0$	$1$	—	$0$
E	$0$	$0$	$1$	$0$	—

Графы: степени, обходы, деревья и перебор вариантов

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать рёбра по степеням

Обходить граф

Работать с деревом

Соединять темы

Статистика и графы

Описательная статистика (VIS8-032)

Графы и деревья

Каждое ребро считаем дважды

Турнир: 6 команд, каждая играет с каждой один раз

Образец: сколько всего игр?

Можно ли обойти все рёбра по одному разу?

«Домик с конвертом»: откуда начать?

Образец: можно ли нарисовать, не отрывая карандаша?

Сам: какой граф можно обойти одним росчерком?

Дерево — связный граф без циклов

Дороги между 7 посёлками: какие можно закрыть?

Образец: сколько дорог можно закрыть, чтобы из любого посёлка можно было доехать до любого?

Дом → школа: 3 дороги, школа → бассейн: 2 дороги

Образец: сколько маршрутов из дома в бассейн через школу?

Стрелок попадает с вероятностью 0,8 и стреляет дважды

Образец: P(ровно одно попадание)

Прямые рейсы между 5 городами: 1 — есть рейс

Образец: граф и число рейсов

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 7 команд, каждая играет с каждой один раз. Сколько игр?

б) Связный граф: 9 вершин, 12 рёбер. Сколько рёбер удалить до дерева?

в) Стрелок попадает с вероятностью 0,7, два выстрела. P(ровно одно попадание)

Решите и проверьте

Степени и обход

Деревья и варианты

Подумайте и решите

Нарисуйте дерево — ответ десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Четыре правила работы с графами

Степени

Обход одним росчерком

Дерево

Дерево вариантов и опыта

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-033 · Обобщение: графы

Турнир: $6$ команд, каждая играет с каждой один раз

Дороги между $7$ посёлками: какие можно закрыть?

Дом → школа: $3$ дороги, школа → бассейн: $2$ дороги

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ и стреляет дважды

Образец: $P (ровно одно попадание)$

Прямые рейсы между $5$ городами: $1$ — есть рейс

а) $7$ команд, каждая играет с каждой один раз. Сколько игр?

б) Связный граф: $9$ вершин, $12$ рёбер. Сколько рёбер удалить до дерева?

в) Стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ , два выстрела. $P (ровно одно попадание)$

	A	B	C	D	E
A	—	$1$	$1$	$1$	$0$
B	$1$	—	$1$	$0$	$0$
C	$1$	$1$	—	$1$	$1$
D	$1$	$0$	$1$	—	$0$
E	$0$	$0$	$1$	$0$	—