Обобщение, систематизация знаний · урок 1 из 4

Представление данных: от таблицы до диаграммы рассеивания

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS8-031

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Обобщение, систематизация знаний» (4 ч), урок 1/4, тип О. Фокус урока — первая единица строки R07.1 «Представление данных» на материале всего курса 8 класса (таблицы, диаграммы, графики, диаграммы рассеивания из R02, круги Эйлера из R03, вероятность по данным из R04/R06) плюс смешанные задачи. R07.2 «Описательная статистика», R07.3 «Графы», R07.4 «Комбинаторика и вероятности» — уроки VIS8-032…034.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 1,5 · 4 (сводка: какую форму выбрать) 4 · 8 (сводка: диаграмма рассеивания, учитель разбирает сам) 3,5 · 18 (итоговая сводка правил) 2. Урок обобщения: теория — только сводки, их показывать целиком.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 7, 9, 10, 11) по 2,5 = 15 · типичные ошибки (сл. 12) 1,5 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка, база (сл. 14) 2,5 · повышенный уровень (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2,5 · самостоятельная (сл. 17) 4 · итог (сл. 19) 1.
Отличие от VIS8-001 (повторение 7 класса в начале года): здесь добавлены формы 8 класса — диаграмма рассеивания и круги Эйлера по данным, таблица с двумя признаками и вероятность «среди …» (условная доля).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 15 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать таблицы и диаграммы

итоги, доли, проценты, углы секторов (ПР-1)

Видеть изменения

по линейному графику: на сколько и на сколько процентов (ПР-1, ПР-3)

Описывать связь

двух величин по диаграмме рассеивания (ПР-1, ПР-2)

Считать по данным

круги Эйлера и вероятность случайного выбора по таблице (ПР-4, ПР-5, ПР-7)

1,5 мин · теория
ПР-1 (= REQ-5.1): «Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков». ПР-2 (= REQ-5.2): описывать данные статистическими показателями (здесь — характер разброса и связи на диаграмме рассеивания). ПР-3 (= REQ-5.3): частоты значений и событий. ПР-4 (= REQ-5.4): вероятности в опытах с равновозможными исходами (случайный выбор). ПР-5 (= REQ-5.5): графические модели — диаграммы Эйлера. ПР-7 (= REQ-5.7): графическое представление множеств для описания реальных явлений.
Элементы содержания: EL-5.1 (представление данных), EL-5.4 (графическое представление множеств), EL-5.5 (диаграмма рассеивания), EL-5.6 (случайный выбор).
Деятельность по ФРП (R07): «Повторять изученное и выстраивать систему знаний. Решать задачи на представление и описание данных с помощью изученных характеристик».

повторение: R06 · доли

Разминка · устно

Случайные события и доли

Случайные события (R06)

$P (A) = 0, 3$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 7$
$A$ , $B$ несовместны: $0, 2$ и $0, 5$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 7$
$A$ , $B$ независимы: $0, 5$ и $0, 4$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 2$
Монету бросают дважды. $P (два орла)$ ? $0, 25$

Доли, проценты, градусы

$9$ из $36$ — сколько процентов? $25 %$
Доля $0, 4$ — угол сектора? $14 4^{\circ}$
Сектор $7 2^{\circ}$ — какая доля? $0, 2$
Было $25$ , стало $30$ . Рост в процентах? $20 %$

R07.1

Теория · сводка: формы представления данных

Какой вопрос — такая форма

Таблица — точные числа и итоги

Столбики — сравнить величины

Круговая — части одного целого

График — изменение во времени

Рассеивание — связь двух величин

Круги Эйлера — пересекающиеся группы

4 мин · теория
Сводка всего курса 7–8 классов: шесть форм. Каждую назвать (по клику) и спросить, на какой вопрос она отвечает лучше всего.
Вопросы классу: «Сколько учеников 8 «А» и 8 «Б» в каждом кружке» — таблица с итогами или столбиковая с двумя рядами. «Как ученики добираются до школы» — круговая (каждый учтён ровно один раз). «Продажи по месяцам» — линейный график. «Связаны ли рост и масса учеников» — диаграмма рассеивания: каждый ученик — точка (рост; масса). «Сколько занимаются и спортом, и музыкой» — круги Эйлера.
Когда круговая не подходит: один объект попадает в несколько групп (сумма долей больше 100 %) — тогда круги Эйлера.

R07.1

Образец → сам · таблица и столбиковая диаграмма

Кружки: $25$ учеников 8 «А» и $25$ учеников 8 «Б»

	робот.	шахм.	хор	спорт	итого
8 «А»	$8$	$4$	$3$	$10$	$25$
8 «Б»	$6$	$6$	$7$	$6$	$25$
итого	$14$	$10$	$10$	$16$	$50$

Образец: какой процент учеников 8 «А» — в спорте?

$10$ клетка «8 «А» × спорт»

$\frac{10}{25} = 0, 4$ = $40 %$ делим на итог строки

В каких кружках из 8 «Б» больше, чем из 8 «А»? шахм., хор
Какая доля всех $50$ — в хоре? $0, 2$
Среди спортсменов — какая доля из 8 «А»? $0, 625$

2,5 мин · практика
Таблица и диаграмма — одни и те же данные; по клику на диаграмме обведён столбик «8 «А», спорт». Проверка итогов: 8 + 4 + 3 + 10 = 25, 6 + 6 + 7 + 6 = 25; 14 + 10 + 10 + 16 = 50.
Образец: «процент учеников 8 «А»» — целое = итог строки 25: 10/25 = 0,4 = 40 %.
Сам: 1) Сравниваем пары столбиков: шахматы 6 > 4, хор 7 > 3 (робототехника 6 < 8, спорт 6 < 10). 2) Итог столбца «хор» 10, целое — все 50: 10/50 = 0,2. 3) «Среди спортсменов» — целое = итог столбца 16: 10/16 = 0,625.
Главный вопрос урока: от какого итога считаем долю — строки, столбца или общего.

R07.1

Образец → сам · круговая диаграмма: от угла к числу

Как $200$ учеников школы добираются до школы

Образец: сколько учеников ездят на автобусе?

$\frac{10 8 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = 0, 3$ доля сектора

$0, 3 \cdot 200$ = $60$ учеников доля · целое

Какой процент учеников ходит пешком? $45 %$
Сколько учеников ездят на самокате? $20$
Через год пешком будут ходить $100$ из $200$ . Угол сектора? $18 0^{\circ}$

R07.1 · ПР-3

Образец → сам · два линейных графика

Кафе у парка: продажи в день, май – октябрь

Образец: когда мороженое выросло сильнее всего в процентах?

май → июнь: $\frac{70 - 40}{40} = 75 %$

июнь → июль: $\frac{20}{70} \approx 29 %$ дальше спад

Ответ: в июне, на $75 %$

В каком месяце чая продали больше, чем мороженого? октябрь
На сколько процентов упали продажи мороженого с августа по сентябрь? $37, 5 %$
Средние продажи чая за $6$ месяцев $30$

2,5 мин · практика
Значения: мороженое 40, 70, 90, 80, 50, 20; чай 30, 20, 10, 20, 40, 60 (порций в день, шаг сетки 20). Отрезок май → июнь подсвечен по клику.
Образец: рост бывает только май → июнь (+30 от 40 = 75 %) и июнь → июль (+20 от 70 ≈ 28,6 %); дальше спад. Самый большой абсолютный рост (+30) и в процентах здесь совпали — так бывает не всегда.
Сам: 1) Линия чая выше линии мороженого только в октябре (60 > 20); в сентябре 40 < 50. Линии пересекаются между сентябрем и октябрем. 2) (80 − 50)/80 = 30/80 = 0,375 = 37,5 % (база — август). 3) 30 + 20 + 10 + 20 + 40 + 60 = 180; 180 : 6 = 30.

R07.1 · R02

Теория · сводка: диаграмма рассеивания

Подготовка к контрольной и балл: $10$ учеников

точка = один ученик: $(x; y)$

$(3; 16)$ : готовился $3$ ч — $16$ баллов

облако идёт вверх: больше часов — в среднем выше балл

Связь — это тенденция, а не закон и не доказательство причины.

3,5 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Данные (ч; балл): (1; 8), (1,5; 11), (2; 10), (2; 13), (2,5; 14), (3; 16), (3,5; 15), (4; 19), (4,5; 20), (5; 22). Каждый ученик — одна точка с двумя измерениями; у двоих по 2 ч, но баллы разные (10 и 13) — разброс.
По клику: точка (3; 16) с проекциями на оси; затем направление облака (зелёная линия — «на глаз», не по формуле). Три типа: точки поднимаются — величины растут вместе; опускаются — одна растёт, другая убывает; облако без формы — связи не видно.
Вопросы: кто готовился 3,5 ч и получил меньше, чем ученик с 3 ч? (15 < 16 — тенденция не выполняется для каждой пары.) Можно ли сказать, что 6 ч подготовки дадут 25 баллов? (Нет: это прогноз за пределами данных.) Почему «мороженое и солнечные ожоги» растут вместе? (Обе величины зависят от жары — связь без причины.)

R07.1 · R02

Образец → сам · чтение диаграммы рассеивания

Ларёк на пляже: температура и продажи воды, $10$ дней

Образец: в какую долю дней продали больше $70$ бутылок?

точки выше линии $70$ : $5$ $75, 80, 95, 100, 120$

$\frac{5}{10}$ = $0, 5$ из $10$ дней

Сколько дней было не холоднее $2 5^{\circ}$ ? $5$
Связь положительная, отрицательная или её нет? положит.
Какая точка «выбивается» из облака? $(30; 60)$

R07.1 · ПР-5 · ПР-7

Образец → сам · круги Эйлера по данным опроса

В классе $25$ человек: спорт — $14$ , музыка — $10$ , оба — $4$

Образец: сколько не занимается ни тем, ни другим?

только спорт $14 - 4 = 10$ , только музыка $10 - 4 = 6$

$10 + 4 + 6 = 20$ $= 14 + 10 - 4$

$25 - 20$ = $5$ вне кругов

Наугад выбран ученик. $P (ровно одно)$ ? $0, 64$
$P (ни одного)$ ? $0, 2$
$P (спорт \cup музыка)$ ? $0, 8$

R07.1 · ПР-4

Образец → сам · вероятность по таблице

Опрос $200$ покупателей магазина: заказывали ли доставку

	доставка	без неё	итого
до $30$ лет	$60$	$20$	$80$
$30$ и старше	$40$	$80$	$120$
итого	$100$	$100$	$200$

Образец: наугад выбран покупатель

$P (до 30 и доставка) = \frac{60}{200} = 0, 3$

среди тех, кто до $30$ : $\frac{60}{80}$ = $0, 75$ итог строки

$P (заказывал доставку)$ ? $0, 5$
Среди заказавших доставку — доля « $30$ и старше» $0, 4$
Среди тех, кто до $30$ , — доля «без доставки» $0, 25$

R07.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сектор: $12$ из $40$ учеников	$12 \cdot 3, 6^{\circ} = 43, 2^{\circ}$	$\frac{12}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}$
круги Эйлера: спорт $14$ , музыка $10$ , оба $4$	занимаются $24$	$14 + 10 - 4 = 20$
рассеивание: точки идут вверх	« $x$ — причина $y$ »	тенденция; причина может быть общей
ось не с нуля: столбики $98$ и $99$ , один «вдвое выше»	«в $2$ раза больше»	$\frac{99}{98} \approx 1, 01$ — почти равны

R07.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Таблица сл. 11: среди покупателей до $30$ лет — доля заказавших доставку

$\frac{60}{200} = 0, 3$

«среди до $30$ » — целое $80$ , а не $200$

$\frac{60}{80} = 0, 75$

б) Мороженое: август $80$ , сентябрь $50$ . На сколько процентов спад?

$\frac{30}{50} = 60 %$

делил на «стало», а база — «было»

$\frac{30}{80} = 37, 5 %$

в) Круги сл. 10: сколько занимаются только спортом?

« $14$ человек»

в $14$ входят и те $4$ , кто в обоих кругах

$14 - 4 = 10$

R07.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Диаграммы и графики

$10$ из $40$ учеников — угол сектора? $9 0^{\circ}$
Опрошено $80$ человек, сектор $12 6^{\circ}$ . Сколько человек? $28$
Было $120$ , стало $90$ . Спад в процентах? $25 %$
Столбики $30$ и $45$ . На сколько процентов второй больше? $50 %$

Круги Эйлера и вероятность

$∣ A ∣ = 15$ , $∣ B ∣ = 9$ , $∣ A \cap B ∣ = 4$ . $∣ A \cup B ∣$ ? $20$
В классе $25$ человек, в $A \cup B$ — $20$ . Сколько вне кругов? $5$
Отличников $12$ из $48$ . Вероятность выбрать отличника? $0, 25$

R07.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Круговая диаграмма опроса: секторы $9 0^{\circ}$ , $15 0^{\circ}$ и третий. Третий ответ дали $36$ человек. Сколько всего опрошено? $108$
повыш.Из $40$ туристов английский знают $25$ , немецкий — $18$ , ни одного — $5$ . Сколько знают оба языка? $8$
из жизниПродажи $500$ шт. выросли на $20 %$ , затем упали на $20 %$ . Сколько стало? $480$
из жизниВ школе $400$ учеников, $160$ — начальная школа. Проездной у $220$ , из них $40$ — в начальной. Наугад выбран ученик не из начальной школы. $P (есть проездной)$ ? $0, 75$

R07.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность по данным: $P = \frac{m}{N}$

1. В фирме такси $40$ легковых автомобилей: $14$ жёлтых, $16$ зелёных, остальные белые. По вызову выехала случайная машина. Найдите вероятность того, что к заказчику приедет белое такси.

$0, 25$

2. По таблице сл. 11 ( $200$ покупателей) наугад выбирают одного. Найдите вероятность того, что ему $30$ лет или больше и он не заказывал доставку.

$0, 4$

3. По диаграмме рассеивания сл. 9 наугад выбирают один из $10$ дней. Найдите вероятность того, что в этот день продали меньше $60$ бутылок.

$0, 3$

В бланк — десятичная дробь:

0, 25

записывают как 0,25.

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$30$ из $120$ — сколько процентов? $25 %$
Доля $0, 15$ — угол сектора? $5 4^{\circ}$
$∣ A ∣ = 12$ , $∣ B ∣ = 8$ , $∣ A \cap B ∣ = 3$ . $∣ A \cup B ∣$ ? $17$
Из $50$ деталей $2$ с браком. $P (годная)$ ? $0, 96$

Вариант 2

$18$ из $60$ — сколько процентов? $30 %$
Доля $0, 35$ — угол сектора? $12 6^{\circ}$
$∣ A ∣ = 15$ , $∣ B ∣ = 11$ , $∣ A \cap B ∣ = 6$ . $∣ A \cup B ∣$ ? $20$
Из $80$ деталей $4$ с браком. $P (годная)$ ? $0, 95$

R07.1

Теория · итоговая сводка правил

Четыре правила работы с данными

Доля и процент

$доля = \frac{часть}{целое}$ ; сначала выбрать целое: итог строки, столбца или общий

Круговая и график

угол $= доля \cdot 36 0^{\circ}$
изменение $= \frac{стало - было}{было}$

Диаграмма рассеивания

точка $(x; y)$ — один объект; облако показывает связь, но не причину

Круги Эйлера

$∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ ; заполнять изнутри наружу

Случайный выбор по данным:

P = \frac{m}{N}

; «среди …» —

N

= итог этой группы.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда нужна круговая диаграмма, а когда — круги Эйлера?
От чего считают процент изменения?
Что показывает облако точек?
Что меняется в вероятности со словом «среди»?

Домашнее задание

$50$ опрошенных: чай — $20$ , кофе — $15$ , сок — $15$ . Углы секторов, круговая диаграмма
$30$ учеников: английский — $20$ , французский — $8$ , оба — $3$ . Круги Эйлера; сколько не учат ни одного?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_analiz-dannyh.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-031 · Обобщение: представление данных

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R07 «Обобщение, систематизация знаний», 4 ч · урок 1/4 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Обобщение, систематизация знаний“»
Единицы → слайды	R07.1 «Представление данных» → 2–19 · R07.2 «Описательная статистика» → мостик (сл. 7, 18), урок VIS8-032 · R07.3 «Графы», R07.4 «Комбинаторика и вероятности» → уроки VIS8-033…034
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы, графики) → 3–9, 12–14, 17–18 · ПР-2 / REQ-5.2 → 8–9 · ПР-3 / REQ-5.3 (частоты) → 7, 9, 16 · ПР-4 / REQ-5.4 (вероятность) → 3, 10–11, 15–17 · ПР-5, ПР-7 / REQ-5.5, 5.7 (круги Эйлера) → 10, 12–14, 17
Вне урока	описательная статистика (средние, дисперсия) — VIS8-032; графы, комбинаторика и треугольник Паскаля — VIS8-033…034
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Представление данных: от таблицы до диаграммы рассеивания

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать таблицы и диаграммы

Видеть изменения

Описывать связь

Считать по данным

Случайные события и доли

Случайные события (R06)

Доли, проценты, градусы

Какой вопрос — такая форма

Кружки: 25 учеников 8 «А» и 25 учеников 8 «Б»

Образец: какой процент учеников 8 «А» — в спорте?

Как 200 учеников школы добираются до школы

Образец: сколько учеников ездят на автобусе?

Кафе у парка: продажи в день, май – октябрь

Образец: когда мороженое выросло сильнее всего в процентах?

Подготовка к контрольной и балл: 10 учеников

Ларёк на пляже: температура и продажи воды, 10 дней

Образец: в какую долю дней продали больше 70 бутылок?

В классе 25 человек: спорт — 14, музыка — 10, оба — 4

Образец: сколько не занимается ни тем, ни другим?

Опрос 200 покупателей магазина: заказывали ли доставку

Образец: наугад выбран покупатель

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Таблица сл. 11: среди покупателей до 30 лет — доля заказавших доставку

б) Мороженое: август 80, сентябрь 50. На сколько процентов спад?

в) Круги сл. 10: сколько занимаются только спортом?

Решите и проверьте

Диаграммы и графики

Круги Эйлера и вероятность

Подумайте и решите

Вероятность по данным: P=Nm​

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Четыре правила работы с данными

Доля и процент

Круговая и график

Диаграмма рассеивания

Круги Эйлера

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-031 · Обобщение: представление данных

Кружки: $25$ учеников 8 «А» и $25$ учеников 8 «Б»

Как $200$ учеников школы добираются до школы

Подготовка к контрольной и балл: $10$ учеников

Ларёк на пляже: температура и продажи воды, $10$ дней

Образец: в какую долю дней продали больше $70$ бутылок?

В классе $25$ человек: спорт — $14$ , музыка — $10$ , оба — $4$

Опрос $200$ покупателей магазина: заказывали ли доставку

а) Таблица сл. 11: среди покупателей до $30$ лет — доля заказавших доставку

б) Мороженое: август $80$ , сентябрь $50$ . На сколько процентов спад?

Вероятность по данным: $P = \frac{m}{N}$