Случайные события · урок 8 из 8

Обобщение: случайные события и их вероятности

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS8-030

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Случайные события» (8 ч), урок 8/8 — итоговый, все единицы R06.1–R06.9: противоположное событие, диаграмма Эйлера, объединение и пересечение, несовместные события, формула сложения, правило умножения, условная вероятность, независимые события, дерево случайного опыта. Тип урока — О. Опора: VIS8-023…029; сегодня — система правил и смешанные задачи, в конце самостоятельная.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: операции над событиями) 2 · 6 (сводка: формула сложения) 2 · 8 (сводка: умножение, условная вероятность, независимость) 2,5 · 11 (сводка: дерево случайного опыта) 2 · 20 (итоговая сводка правил) 1,5. Тип О — теория только сводками.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12) по 2,5 · задача из жизни (сл. 13) 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1 – R06.9

Цели урока

Сегодня вы закрепите

Операции над событиями

$\overline{A}$ , $A \cup B$ , $A \cap B$ на диаграмме Эйлера, несовместные события (ПР-5, ПР-6)

Формула сложения

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ (ПР-4)

Умножение вероятностей

условная вероятность $P (B ∣ A)$ и независимые события (ПР-4)

Дерево случайного опыта

вероятность пути — произведение, события — сумма путей (ПР-5, ПР-7)

1 мин · теория
ПР-4 (= REQ-5.4): находить вероятности случайных событий, зная вероятности элементарных событий. ПР-5 (= REQ-5.5): графические модели — дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая. ПР-6 (= REQ-5.6): операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение). ПР-7 (= REQ-5.7): графическое представление множеств при решении задач. Элементы EL-5.8, EL-5.9, EL-5.10.
Сказать классу: последний урок темы — в конце самостоятельная на 5 минут; на следующих уроках — итоговое повторение курса 8 класса (VIS8-031…034).

повторение: VIS8-023…029

Разминка · устно

События, исходы, вероятности

Кубик: $A = {1; 2; 3}$ , $B = {2; 4; 6}$

$A \cap B$ ${2}$
$A \cup B$ ${1; 2; 3; 4; 6}$
$\overline{A}$ ${4; 5; 6}$
Несовместны ли «чётное» и «нечётное»? да

Посчитайте

$P (A) = 0, 3$ ; $P (\overline{A})$ $0, 7$
$0, 4 \cdot 0, 5$ $0, 2$
$0, 3 + 0, 5 - 0, 1$ $0, 7$
Монету бросают $2$ раза: сколько путей в дереве? $4$

R06.1 · R06.2 · R06.3 · R06.4

Теория · сводка: операции над событиями

Диаграмма Эйлера: что закрашено — то и наступило

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

$A \cup B$ — наступило хотя бы одно из событий

$A \cap B$ — наступили оба события

несовместные — не могут наступить вместе: общих исходов нет

2 мин · теория
Четыре картинки — четыре понятия темы (VIS8-023, VIS8-024). Ω — все элементарные исходы опыта, круг — исходы, благоприятствующие событию. Ā — закрашено всё вне круга A; A ∪ B — оба круга целиком; A ∩ B — только общая часть; несовместные события — круги не пересекаются.
Слова-подсказки: «не», «ни одного» → Ā; «или», «хотя бы одно» → A ∪ B; «и», «оба», «одновременно» → A ∩ B.
Вопрос классу: события A и Ā — совместны? (Нет: несовместны, и вместе дают Ω, поэтому P(A) + P(Ā) = 1.)

R06.1 · R06.2

Образец → сам · противоположное событие и диаграмма Эйлера

Считаем исходы по областям

Образец: в классе $25$ учеников, $15$ занимаются спортом ( $С$ ), $8$ — музыкой ( $М$ ), $4$ — и тем и другим. $P (ни спорта, ни музыки)$ ?

$15 - 4 = 11$ , $8 - 4 = 4$ только С, только М

$11 + 4 + 4 = 19$ $∣ С \cup М ∣$

$25 - 19 = 6$ вне кругов

$P = \frac{6}{25}$ = $0, 24$

Сам

Только музыка $0, 16$
Ровно одно занятие $0, 6$
Не занимается спортом $0, 4$

R06.5

Теория · сводка: формула сложения вероятностей

Общую часть не считаем дважды

$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 2$

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$0, 5 + 0, 4 - 0, 2 = 0, 7$

несовместные: $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Проверка:

0, 3 + 0, 2 + 0, 2 = 0, 7

— сумма областей.

2 мин · теория
На диаграмме — вероятности областей: только A 0,5 − 0,2 = 0,3; общая часть 0,2; только B 0,4 − 0,2 = 0,2; вне кругов 1 − 0,7 = 0,3. Сумма всех областей 1.
Формула сложения (VIS8-025): в P(A) + P(B) общая часть посчитана дважды, поэтому один раз её вычитаем: 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7 (проверено fractions). Для несовместных событий P(A ∩ B) = 0 — формула превращается в правило сложения.
Числовая прямая: A — отрезок [0; 0,5], B — [0,3; 0,7], их перекрытие длины 0,2; объединение — отрезок [0; 0,7] длины 0,7. Вопрос: какова вероятность, что не наступит ни A, ни B? (0,3.)

R06.1 · R06.5

Образец → сам · формула сложения

Сначала «хотя бы один», потом противоположное

Образец: кофе в 1-м автомате к вечеру закончится с вероятностью $0, 3$ , во 2-м — $0, 3$ , в обоих — $0, 12$ . $P (кофе останется в обоих)$ ?

$P (1 \cup 2) = 0, 3 + 0, 3 - 0, 12$ хотя бы в одном закончится

$= 0, 48$ формула сложения

$1 - 0, 48$ = $0, 52$ противоположное событие

Сам

$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 8$ . $P (A \cap B)$ $0, 3$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 25$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ $0, 65$
Кубик: «чётное» или «больше $4$ » $\frac{2}{3}$

2,5 мин · практика
Образец: «кофе останется в обоих» противоположно событию «хотя бы в одном закончится» = 1 ∪ 2. По формуле сложения 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48; ответ 1 − 0,48 = 0,52 (проверено fractions: 13/25). На диаграмме закрашено по клику то, что вне кругов.
Сам: 1) Обратная задача: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3. 2) Несовместные — просто складываем: 0,65. 3) A = {2; 4; 6}, B = {5; 6}, A ∩ B = {6}: 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3 (перебор: {2; 4; 5; 6}).
Типичная ошибка в образце: ответ 1 − 0,3 − 0,3 = 0,4 — вычли общую часть дважды.

R06.6 · R06.7 · R06.8

Теория · сводка: умножение, условная вероятность, независимость

Условие сужает опыт до одной строки

$40$ учеников, выбирают одного наугад

	отличники $B$	не отличники	всего
девочки $A$	6	14	20
мальчики	4	16	20
всего	10	30	40

Если

A

наступило — исходов не

40

, а

20

(строка

A

).

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{6}{20} = 0, 3$

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0, 5 \cdot 0, 3 = 0, 15$

Независимые: $P (B ∣ A) = P (B)$ ,
то есть $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

$P (B) = \frac{10}{40} = 0, 25 \neq = 0, 3$ — зависимы

2,5 мин · теория
Таблица 2 × 2 — модель опыта «выбрать ученика»: 40 равновозможных исходов. A = «девочка» (строка, 20), B = «отличник» (столбец, 10), A ∩ B — клетка 6.
Условная вероятность (VIS8-026): знаем, что выбрана девочка, — опыт сузился до строки A: P(B | A) = 6/20 = 0,3. Формулой: P(A ∩ B)/P(A) = (6/40)/(20/40) = 0,3. Правило умножения — та же формула наоборот: P(A ∩ B) = 0,5 · 0,3 = 0,15 = 6/40 (проверено fractions).
Независимость: знание об A не меняет вероятность B. Здесь среди девочек отличников 30 %, а среди всех — 25 %, значит, A и B зависимы. Вопрос классу: сколько отличниц должно быть среди 20 девочек, чтобы при тех же 10 отличниках события стали независимыми? (5 отличниц и 5 отличников-мальчиков: P(B | A) = 5/20 = 0,25 = P(B).)

R06.7

Образец → сам · условная вероятность по таблице

Знаменатель — строка или столбец условия

Образец: $60$ зрителей кинотеатра. Выбрали ребёнка. Вероятность, что он купил попкорн?

	попкорн	без	всего
взрослые	15	25	40
дети	15	5	20
всего	30	30	60

условие «ребёнок»: $20$ исходовстрока «дети»

из них с попкорном $15$ клетка таблицы

$P = \frac{15}{20}$ = $0, 75$

Сам

Выбрали взрослого: купил попкорн $0, 375$
Выбрали зрителя с попкорном: это ребёнок $0, 5$
$P (A) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (B ∣ A)$ $0, 25$

2,5 мин · практика
Образец: условие «выбран ребёнок» сужает опыт до строки «дети» (20 исходов), благоприятных — 15: 15/20 = 0,75 (проверено fractions).
Сам: 1) Строка «взрослые»: 15/40 = 0,375. 2) Условие — столбец «попкорн» (30 исходов), из них детей 15: 15/30 = 0,5. Сравнить с образцом: P(попкорн | ребёнок) = 0,75 ≠ P(ребёнок | попкорн) = 0,5 — порядок в условной вероятности важен (к сл. 14). 3) По определению: 0,1 : 0,4 = 0,25.
Вопрос: независимы ли «ребёнок» и «попкорн»? (P(попкорн) = 30/60 = 0,5, а P(попкорн | ребёнок) = 0,75 — зависимы.)

R06.6 · R06.8

Образец → сам · независимые события

Независимые: вероятности перемножаем

Образец: два стрелка стреляют по мишени независимо, $p_{1} = 0, 8$ , $p_{2} = 0, 7$ . $P (хотя бы одно попадание)$ ?

$0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 06$ оба мимо: независимы

$1 - 0, 06$ = $0, 94$ противоположное событие

оба попали: $0, 8 \cdot 0, 7 = 0, 56$ розовый прямоугольник

Сам

Монета и кубик: орёл и «шестёрка» $\frac{1}{12}$
$p_{1} = 0, 9$ , $p_{2} = 0, 6$ : попал ровно один $0, 42$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . Независимы? да

2,5 мин · практика
Модель — единичный квадрат: по горизонтали первый стрелок (0,8 | 0,2), по вертикали второй (0,7 | 0,3). Для независимых событий вероятность пересечения — площадь прямоугольника: 0,8 · 0,7 = 0,56. Четыре площади: 0,56 + 0,14 + 0,24 + 0,06 = 1.
Образец: противоположное к «хотя бы одно попадание» — «оба мимо» (красный угол): 0,2 · 0,3 = 0,06; ответ 0,94 (проверено fractions: 47/50).
Сам: 1) 1/2 · 1/6 = 1/12. 2) «Ровно один» = П₁Н₂ или Н₁П₂ (несовместны): 0,9 · 0,4 + 0,1 · 0,6 = 0,36 + 0,06 = 0,42. 3) 0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B) — независимы.

R06.6 · R06.7 · R06.9

Теория · сводка: дерево случайного опыта

$3$ красных, $2$ синих: два шара без возвращения

на рёбрах 2-го шага — условные вероятности

путь: произведение по рёбрам
$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

событие: сумма его путей

разного цвета: $\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 0, 6$

2 мин · теория
Дерево (VIS8-027): первый шаг — цвет первого шара (К 3/5, С 2/5), второй — цвет второго. Шар не возвращают, поэтому на втором шаге вероятности условные: после красного осталось 2 К и 2 С (2/4 и 2/4), после синего — 3 К и 1 С (3/4 и 1/4). Из каждой вершины сумма вероятностей на рёбрах равна 1.
Вероятность пути — произведение (правило умножения): КК 3/5 · 2/4 = 3/10, КС 3/10, СК 2/5 · 3/4 = 3/10, СС 2/5 · 1/4 = 1/10. Сумма листьев 1 (проверено fractions).
Событие «шары разного цвета» — два розовых пути КС и СК, они несовместны, вероятности складываем: 6/10 = 0,6. Вопрос: как найти «хотя бы один синий»? (1 − P(КК) = 0,7.)

R06.6 · R06.9

Образец → сам · дерево случайного опыта

Два выстрела: точность зависит от первого

Образец: первый выстрел — попадание с вероятностью $0, 7$ ; после попадания второй точен с вероятностью $0, 9$ , после промаха — $0, 6$ . $P (ровно одно попадание)$ ?

ПМ: $0, 7 \cdot 0, 1 = 0, 07$ произведение по пути

МП: $0, 3 \cdot 0, 6 = 0, 18$

$0, 07 + 0, 18$ = $0, 25$ сумма путей

Сам

Два попадания $0, 63$
Два промаха $0, 12$
Второй выстрел — попадание $0, 81$

R06.6 · R06.7 · R06.9

Образец → сам · задача из жизни · контроль качества

Два станка — одна партия деталей

Образец: $60 %$ деталей делает 1-й станок (брак $2 %$ ), $40 %$ — 2-й (брак $5 %$ ). $P (случайная деталь — брак)$ ?

$0, 6 \cdot 0, 02 = 0, 012$ путь «1 → Б»

$0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 02$ путь «2 → Б»

$0, 012 + 0, 02$ = $0, 032$ сумма путей

Сам

Деталь с 1-го станка и годная $0, 588$
Деталь годная $0, 968$
Деталь бракованная. Вероятность, что она со 2-го станка $0, 625$

2 мин · практика
Образец: дерево «станок → качество» (Б — брак, Г — годная). Брак получается двумя путями, они несовместны: 0,012 + 0,02 = 0,032 (проверено fractions: 4/125). В процентах — 3,2 % брака во всей партии.
Сам: 1) 0,6 · 0,98 = 0,588. 2) Противоположное: 1 − 0,032 = 0,968 (или 0,588 + 0,4 · 0,95 = 0,588 + 0,38). 3) Условная вероятность по определению: P(2 ∩ Б)/P(Б) = 0,02 : 0,032 = 0,625 — повышенный уровень, при нехватке времени — в ДЗ.
Вопрос: почему 0,02 + 0,05 = 0,07 — неверный ответ? (Не учли, какую долю деталей делает каждый станок.)

R06.4 · R06.5 · R06.6 · R06.7 · R06.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили совместные: кубик, «чётное» или «больше $3$ »	$\frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1$	$\frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{2}{3}$
умножили как независимые: $3$ К и $2$ С, два красных без возвращения	$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$
перепутали $P (B ∣ A)$ и $P (A ∣ B)$ (сл. 9)	$P (реб . ∣ попк .) = 0, 75$	$\frac{15}{30} = 0, 5$
«несовместные — значит независимые»: $P (A) = P (B) = 0, 5$	$P (A \cap B) = 0, 25$	$P (A \cap B) = 0$ — зависимы

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Ответ 1 означал бы, что событие достоверно, но при выпадении 1 или 3 оно не наступает. Исходы 4 и 6 посчитаны дважды: {2; 4; 5; 6} — 4/6 = 2/3. 2) После первого красного в урне 2 К из 4 — вероятность изменилась, события зависимы: 3/5 · 2/4 = 3/10 = 0,3, а не 9/25 = 0,36 (проверено fractions).
3) P(ребёнок | попкорн): условие — «купил попкорн», знаменатель — столбец (30), а не строка «дети». 4) Несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы: если наступило A, то B уже не наступит (P(B | A) = 0 ≠ 0,5).

R06.1 · R06.5 · R06.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Чайник прослужит больше года с вероятностью $0, 93$ , больше двух лет — $0, 87$ . Больше года, но меньше двух?

$1 - 0, 87 = 0, 13$

это «меньше двух лет», сюда входит и «меньше года»

$0, 93 - 0, 87 = 0, 06$

б) Монету бросают $2$ раза. Хотя бы один орёл?

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

события «орёл в 1-м» и «орёл во 2-м» совместны

$1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

в) $P (A) = 0, 4$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ . Найдите $P (A \cap B)$

$\frac{0 , 5}{0 , 4} = 1, 25$

вероятность больше $1$ — ошибка; нужно умножать

$0, 4 \cdot 0, 5 = 0, 2$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) «Больше года» = «больше года, но меньше двух» или «больше двух лет» — несовместные события; значит, искомая вероятность 0,93 − 0,87 = 0,06 (на числовой прямой: отрезок между 1 и 2 годами). 1 − 0,87 = 0,13 — вероятность «меньше двух лет», вместе с поломкой в первый год.
б) Сумма 1 — сигнал ошибки: при РР орла нет. Противоположное — две решки: 1 − 1/4 = 3/4 = 0,75 (или по формуле сложения: 1/2 + 1/2 − 1/4). в) Правило умножения: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) = 0,2; деление даёт условную вероятность, а не пересечение.

R06.1 · R06.5 · R06.6 · R06.7 · R06.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Противоположное и сложение

$P (A) = 0, 15$ ; $P (\overline{A})$ $0, 85$
Кубик: не $1$ и не $6$ $\frac{2}{3}$
Несовместные: $P (A) = 0, 2$ , $P (B) = 0, 35$ . $P (A \cup B)$ $0, 55$
$P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$

Умножение и дерево

Независимые: $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 15$
$P (A) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (B ∣ A)$ $0, 4$
Монету бросают $3$ раза: хотя бы один орёл $\frac{7}{8}$

R06.2 · R06.6 · R06.8 · R06.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В классе $30$ учеников: $18$ изучают английский, $14$ — немецкий, каждый — хотя бы один язык. Выбрали ученика: он изучает оба языка? $\frac{1}{15}$
повыш.В урне $4$ белых и $2$ чёрных шара, берут два без возвращения. Хотя бы один белый? $\frac{14}{15}$
повыш.Два кубика: $A$ = «сумма $7$ », $B$ = «на первом $3$ ». Независимы ли $A$ и $B$ ? да
из жизниБолеют $1 %$ людей. Тест у больного положителен с вероятностью $0, 9$ , у здорового — $0, 05$ . $P (тест положителен)$ ? $0, 0585$

R06.1 · R06.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В таксопарке $40$ машин: $14$ белых, остальные жёлтые. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет не белая машина.

$0, 65$

2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0, 06$ . Покупатель берёт две батарейки из разных партий. Найдите вероятность того, что обе исправны.

$0, 8836$

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало чётное число очков.

$0, 75$

В бланк — число без единиц:

0, 65

записывают как 0,65.

R06.1 · R06.5 · R06.6 · R06.8

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P (A) = 0, 35$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 65$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 15$ . Найдите $P (A \cup B)$ $0, 75$
$A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ . Найдите $P (A \cap B)$ $0, 3$
В урне $3$ белых и $1$ чёрный шар, берут два без возвращения. Оба белые? $0, 5$

Вариант 2

$P (A) = 0, 72$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 28$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . Найдите $P (A \cup B)$ $0, 7$
$A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 8$ , $P (B) = 0, 5$ . Найдите $P (A \cap B)$ $0, 4$
В урне $2$ белых и $2$ чёрных шара, берут два без возвращения. Оба белые? $\frac{1}{6}$

R06.1 – R06.9

Теория · итоговая сводка правил

Случайные события на одном слайде

В задаче	Запись	Как считать
«не $A$ »	$\overline{A}$	$1 - P (A)$
« $A$ или $B$ »	$A \cup B$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
несовместные	$A \cap B = \emptyset$	$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
« $A$ и $B$ »	$A \cap B$	$P (A) \cdot P (B ∣ A)$
независимые	$P (B ∣ A) = P (B)$	$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$
« $B$ , если $A$ »	$P (B ∣ A)$	$\frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$
опыт по шагам	дерево	путь — произведение, событие — сумма путей

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем несовместные события отличаются от независимых?
Когда в формуле сложения нужно вычитать?
Что пишут на рёбрах дерева?
Как найти «хотя бы один»?

Домашнее задание

$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ , $P (A \cup B) = 0, 8$ . Найдите $P (A \cap B)$
В урне $5$ красных и $3$ синих шара, берут два без возвращения. Шары разного цвета?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_protivopolozhnye-sobytiya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: несовместные не наступают вместе (P(A ∩ B) = 0), независимые не влияют друг на друга (P(A ∩ B) = P(A) · P(B)); вычитать P(A ∩ B), если события совместны; на рёбрах — вероятности (на втором шаге условные); «хотя бы один» — через противоположное «ни одного».
Ответы ДЗ: 1) 0,5 + 0,6 − 0,8 = 0,3. 2) Дерево: 5/8 · 3/7 + 3/8 · 5/7 = 30/56 = 15/28 ≈ 0,54 (проверено fractions). Для условной вероятности — тренажёр reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_uslovnaya-veroyatnost.htm.
Следующие уроки — итоговое повторение курса 8 класса (VIS8-031…034, строка R07).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-030 · Обобщение по теме «Случайные события»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R06 «Случайные события», 8 ч · урок 8/8 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Противоположное событие» → 3–5, 7, 16, 18–19 · R06.2 «Диаграмма Эйлера» → 4–7, 17 · R06.3 «Объединение и пересечение событий» → 3–4, 6 · R06.4 «Несовместные события» → 4, 6, 14 · R06.5 «Формула сложения вероятностей» → 6–7, 14–16, 19 · R06.6 «Правило умножения вероятностей» → 8, 10–13, 15–16, 19 · R06.7 «Условная вероятность» → 8–9, 13–15 · R06.8 «Независимые события» → 8, 10, 14, 17–19 · R06.9 «Представление случайного эксперимента в виде дерева» → 11–13, 17
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности событий) → 3–19 · ПР-5 / REQ-5.5 (дерево, диаграммы Эйлера, числовая прямая) → 4–7, 11–13 · ПР-6 / REQ-5.6 (операции над множествами) → 3–5 · ПР-7 / REQ-5.7 (графическое представление множеств) → 5, 17, 20
Вне урока	итоговое повторение курса 8 класса — VIS8-031…034 (R07); формула включения-исключения для трёх событий — углублённый курс; сочетания и формула Бернулли — 9 класс (VIS9)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: случайные события и их вероятности

Сегодня вы закрепите

Операции над событиями

Формула сложения

Умножение вероятностей

Дерево случайного опыта

События, исходы, вероятности

Кубик: A={1;2;3}, B={2;4;6}

Посчитайте

Диаграмма Эйлера: что закрашено — то и наступило

Считаем исходы по областям

Образец: в классе 25 учеников, 15 занимаются спортом (С), 8 — музыкой (М), 4 — и тем и другим. P(ни спорта, ни музыки)?

Сам

Общую часть не считаем дважды

Сначала «хотя бы один», потом противоположное

Образец: кофе в 1-м автомате к вечеру закончится с вероятностью 0,3, во 2-м — 0,3, в обоих — 0,12. P(кофе останется в обоих)?

Сам

Условие сужает опыт до одной строки

Знаменатель — строка или столбец условия

Образец: 60 зрителей кинотеатра. Выбрали ребёнка. Вероятность, что он купил попкорн?

Сам

Независимые: вероятности перемножаем

Образец: два стрелка стреляют по мишени независимо, p1​=0,8, p2​=0,7. P(хотя бы одно попадание)?

Сам

3 красных, 2 синих: два шара без возвращения

Два выстрела: точность зависит от первого

Образец: первый выстрел — попадание с вероятностью 0,7; после попадания второй точен с вероятностью 0,9, после промаха — 0,6. P(ровно одно попадание)?

Сам

Два станка — одна партия деталей

Образец: 60% деталей делает 1-й станок (брак 2%), 40% — 2-й (брак 5%). P(случайная деталь — брак)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Чайник прослужит больше года с вероятностью 0,93, больше двух лет — 0,87. Больше года, но меньше двух?

б) Монету бросают 2 раза. Хотя бы один орёл?

в) P(A)=0,4, P(B∣A)=0,5. Найдите P(A∩B)

Решите и проверьте

Противоположное и сложение

Умножение и дерево

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Случайные события на одном слайде

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-030 · Обобщение по теме «Случайные события»

Кубик: $A = {1; 2; 3}$ , $B = {2; 4; 6}$

Образец: в классе $25$ учеников, $15$ занимаются спортом ( $С$ ), $8$ — музыкой ( $М$ ), $4$ — и тем и другим. $P (ни спорта, ни музыки)$ ?

Образец: кофе в 1-м автомате к вечеру закончится с вероятностью $0, 3$ , во 2-м — $0, 3$ , в обоих — $0, 12$ . $P (кофе останется в обоих)$ ?

Образец: $60$ зрителей кинотеатра. Выбрали ребёнка. Вероятность, что он купил попкорн?

Образец: два стрелка стреляют по мишени независимо, $p_{1} = 0, 8$ , $p_{2} = 0, 7$ . $P (хотя бы одно попадание)$ ?

$3$ красных, $2$ синих: два шара без возвращения

Образец: первый выстрел — попадание с вероятностью $0, 7$ ; после попадания второй точен с вероятностью $0, 9$ , после промаха — $0, 6$ . $P (ровно одно попадание)$ ?

Образец: $60 %$ деталей делает 1-й станок (брак $2 %$ ), $40 %$ — 2-й (брак $5 %$ ). $P (случайная деталь — брак)$ ?

а) Чайник прослужит больше года с вероятностью $0, 93$ , больше двух лет — $0, 87$ . Больше года, но меньше двух?

б) Монету бросают $2$ раза. Хотя бы один орёл?

в) $P (A) = 0, 4$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ . Найдите $P (A \cap B)$