Случайные события · урок 7 из 8

Практикум: объединение и пересечение событий

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS8-029

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Случайные события» (8 ч), урок 7/8, единицы R06.3 «Объединение и пересечение событий» и R06.4 «Несовместные события». Тип урока — П (практикум): теория — только сводки и один пример учителя, основное время — задачи. Опора: VIS8-024 (объединение, пересечение, несовместные события — новый материал), VIS8-025 (формула сложения), VIS8-027 (дерево), VIS8-028 (практикум: противоположное событие). Следующий урок VIS8-030 — обобщение по всей теме «Случайные события».
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 1 · 4 (сводка: операции над событиями) 3 · 6 (пример учителя: таблица исходов двух кубиков) 2,5 · 8 (сводка: несовместные события и формула сложения) 2,5 · 12 (сводка: слова условия → операция) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14) 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный уровень (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 3,5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 14 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.3 · R06.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Находить $A \cup B$ и $A \cap B$

перечислением исходов, на диаграмме Эйлера и в таблице исходов (ПР-5, ПР-6)

Распознавать несовместные события

и складывать их вероятности, в том числе на числовой прямой (ПР-4)

Переводить слова в операции

«или», «и», «только», «ровно одно», «ни одного» (ПР-7)

Решать задачи ОГЭ

по формуле сложения, таблице 2×2 и дереву (линия 10)

1 мин · теория
ПР-4: «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий…». ПР-5: «Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая». ПР-6: операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение). ПР-7: графическое представление множеств для описания явлений.
Из характеристики деятельности строки R06: «Решать задачи… на определение вероятностей объединения и пересечения событий с помощью числовой прямой, диаграмм Эйлера, формулы сложения вероятностей».

повторение: R03, R06.1

Разминка · устно

Множества, исходы, противоположное событие

Множества и исходы

${2; 4; 6; 8} \cup {4; 5; 6}$ ${2; 4; 5; 6; 8}$
${2; 4; 6; 8} \cap {4; 5; 6}$ ${4; 6}$
Кубик, $A$ = «больше $4$ ». Исходы $\overline{A}$ ${1; 2; 3; 4}$
Сколько исходов у трёх бросков монеты? $8$

Вероятности

$P (A) = 0, 27$ . $P (\overline{A})$ $0, 73$
Кубик: «чётное» и «простое» могут наступить вместе? да, $2$
$0, 35 + 0, 4 - 0, 15$ $0, 6$
Кубик: выпало $1$ , $2$ или $3$ $\frac{1}{2}$

R06.3 · R06.4

Сводка · операции над событиями

Кубик: $A$ = «чётное», $B$ = «больше $3$ »

Событие — множество исходов. Объединение — все исходы обоих, пересечение — общие, несовместные — общих нет.

3 мин · теория (сводка, опрос класса)
В кругах — исходы броска кубика: A = {2; 4; 6}, B = {4; 5; 6}; вне кругов — 1 и 3. Объединение A ∪ B («A или B») — исходы, где наступило хотя бы одно событие: {2; 4; 5; 6}. Пересечение A ∩ B («A и B») — общие исходы {4; 6}. Ни одно не наступило — противоположное к объединению: {1; 3}.
Несовместные события: A и C = «выпало 1» — общих исходов нет, A ∩ C = ∅.
Вопросы классу: P(A ∪ B)? (4/6 = 2/3.) P(A ∩ B)? (2/6 = 1/3.) Почему P(A) + P(B) = 1 не равно P(A ∪ B)? (Исходы 4 и 6 посчитаны дважды.)

R06.3

Образец → сам · диаграмма Эйлера

Числа $1$ – $20$ : $A$ = «чётное», $B$ = «кратно $3$ »

Образец: случайно выбирают одно число. Найдите $P (A \cup B)$ и $P (A \cap B)$

$A \cup B$ : $7 + 3 + 3 = 13$ чисел оба круга

$P (A \cup B) = \frac{13}{20}$ = $0, 65$

$A \cap B = {6; 12; 18}$ : $0, 15$ общая часть

Сам: ни чётное, ни кратное $3$ $0, 35$
Сам: кратно $3$ , но нечётное $0, 15$
Сам: числа $1$ – $25$ , кратно $5$ или больше $20$ $0, 36$

R06.3

Теория · демонстрационный пример · два кубика

Объединение и пересечение в таблице исходов

$A$ = «сумма больше $8$ »: $10$ клеток

$B$ = «дубль»: $6$ клеток

$A \cap B = {(5; 5), (6; 6)}$ : $\frac{2}{36}$

$P (A \cup B) = \frac{10 + 6 - 2}{36} = \frac{14}{36}$ = $\frac{7}{18}$

Общие клетки считаем один раз.

R06.3

Образец → сам · таблица исходов

Два кубика: закрашиваем клетки

Образец: $A$ = «на 1-м кубике $6$ », $B$ = «сумма $8$ ». $P (A \cup B)$ ?

$A$ — $6$ клеток, $B$ — $5$ клеток

общая клетка $(6; 2)$ $A \cap B$

$\frac{6 + 5 - 1}{36} = \frac{10}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Сам: «сумма $4$ » $\cup$ «дубль» $\frac{2}{9}$
Сам: «на 2-м $1$ » $\cap$ «сумма нечётная» $\frac{1}{12}$
Сам: «оба больше $4$ » $\cup$ «сумма $12$ » $\frac{1}{9}$

R06.4 · R06.5

Сводка · несовместные события и формула сложения

Складываем — и проверяем, нет ли общей части

Несовместные: $A \cap B = \emptyset$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Любые:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Обратно:
$P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$

R06.4

Образец → сам · несовместны ли события

Монету бросают $3$ раза: $8$ исходов

Образец: $A$ = «ровно один орёл», $B$ = «ровно два орла». Несовместны? $P (A \cup B)$ ?

$A$ — $3$ листа, $B$ — $3$ листа по дереву

общих листьев нет $A \cap B = \emptyset$

$P (A \cup B) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8}$ = $0, 75$

Сам: «1-й — орёл» и «ровно один орёл» — несовместны? нет: ОРР
Сам: «все одинаковые» $\cup$ «ровно два орла» $\frac{5}{8}$
Сам: «1-й — орёл» $\cup$ «3-й — орёл» $0, 75$

R06.3 · R06.5

Образец → сам · формула сложения

Покупатель в магазине: хлеб — $0, 6$ , молоко — $0, 5$ , оба — $0, 3$

Образец: найдите $P (хотя бы одно)$ , $P (только хлеб)$ , $P (ни того, ни другого)$

$0, 6 + 0, 5 - 0, 3$ = $0, 8$ формула

только хлеб: $0, 6 - 0, 3$ = $0, 3$

ничего: $1 - 0, 8$ = $0, 2$ вне кругов

Сам: $P (A) = 0, 45$ , $P (B) = 0, 35$ , $P (A \cup B) = 0, 6$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$
Сам: $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 25$ . $P (только B)$ $0, 15$
Сам: $P (A \cup B) = 0, 9$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ , $P (A) = 0, 6$ . $P (B)$ $0, 5$

R06.4

Образец → сам · числовая прямая

Промежутки не перекрываются — события несовместны

Образец: температура завтра ниже $0^{\circ}$ с $p = 0, 2$ , от $0^{\circ}$ до $5^{\circ}$ — с $p = 0, 45$ . $P (не выше 5^{\circ})$ ? $P (выше 5^{\circ})$ ?

не выше $5^{\circ}$ : $0, 2 + 0, 45$ = $0, 65$

выше $5^{\circ}$ : $1 - 0, 65$ = $0, 35$ противоположное

Сам: пачка легче $495$ г с $p = 0, 04$ , тяжелее $505$ г — $0, 06$ . $P (от 495 до 505 г)$ $0, 9$
Сам: больше $15$ баллов — $0, 7$ , больше $20$ — $0, 3$ . $P (от 16 до 20)$ $0, 4$

R06.3

Сводка · слова условия → операция

Читаем условие — закрашиваем область

В условии	Событие	Как считать
« $A$ или $B$ », «хотя бы одно»	$A \cup B$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
« $A$ и $B$ », «оба», «одновременно»	$A \cap B$	общая часть
«только $A$ », « $A$ , но не $B$ »	$A \cap \overline{B}$	$P (A) - P (A \cap B)$
«ровно одно»	только $A$ $\cup$ только $B$	$P (A \cup B) - P (A \cap B)$
«ни одного», «ни $A$ , ни $B$ »	$\overline{A \cup B}$	$1 - P (A \cup B)$

R06.3

Образец → сам · задача из жизни · таблица 2×2

Опрос $40$ восьмиклассников: есть ли кошка, собака

Образец: выбрали случайного ученика. $P (есть кошка или собака)$ ?

клетки «или»: $6 + 10 + 9 = 25$ не $16 + 15$

$P = \frac{25}{40}$ = $0, 625$

проверка: $1 - \frac{15}{40} = 0, 625$ «ни одного»

Сам: есть и кошка, и собака $0, 15$
Сам: есть только собака $0, 225$
Сам: ровно одно из двух животных $0, 475$

R06.3 · R06.9

Образец → сам · дерево · «хотя бы один»

Аня и Боря стреляют по разу, независимо

Образец: Аня попадает с $p = 0, 7$ , Боря — с $p = 0, 6$ . $P (хотя бы один попал)$ ?

$P (A \cap B) = 0, 7 \cdot 0, 6 = 0, 42$ путь ПП

$0, 7 + 0, 6 - 0, 42$ = $0, 88$ сложение

проверка: $1 - 0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 88$ лист НН

Сам: попал ровно один $0, 46$
Сам: лампы работают с $p$ $0, 9$ и $0, 8$ независимо; хотя бы одна $0, 98$
Сам: $A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ $0, 7$

R06.3 · R06.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили совместные: числа $1$ – $20$ , кратно $2$ или $5$	$\frac{10}{20} + \frac{4}{20} = 0, 7$	$\frac{10 + 4 - 2}{20} = 0, 6$
«только хлеб» приняли за «хлеб» (сл. 10)	$P = 0, 6$	$0, 6 - 0, 3 = 0, 3$
«ни одного» без вычета общей части — вероятность меньше $0$	$1 - 0, 6 - 0, 5 = - 0, 1$	$1 - (0, 6 + 0, 5 - 0, 3) = 0, 2$

R06.3 · R06.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Два кубика. $P (сумма 6 или дубль)$

$\frac{5}{36} + \frac{6}{36} = \frac{11}{36}$

клетка $(3; 3)$ — в обоих событиях

$\frac{5 + 6 - 1}{36} = \frac{5}{18}$

б) $A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 3$ . $P (A \cap B)$

$0, 4 \cdot 0, 3 = 0, 12$

несовместны — общих исходов нет

$P (A \cap B) = 0$

в) $25$ учеников: $14$ — бассейн, $16$ — спортзал, каждый ходит хотя бы куда-то. $P (оба)$

$\frac{14}{25} \cdot \frac{16}{25} \approx 0, 36$

оба: $14 + 16 - 25 = 5$ человек

$P = \frac{5}{25} = 0, 2$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Сумма 6: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1); клетка (3; 3) — ещё и дубль. 10/36 = 5/18. Проверено перебором.
б) Умножение здесь ни при чём: у несовместных событий пересечение пустое, P = 0. Тогда P(A ∪ B) = 0,7.
в) Перемножать доли нельзя — нет оснований считать события независимыми, а количества даны. Объединение — все 25 человек: 14 + 16 − x = 25, x = 5. P = 0,2.

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Кубик: $A$ = «меньше $4$ », $B$ = «нечётное»

Исходы $A \cup B$ ${1; 2; 3; 5}$
Исходы $A \cap B$ ${1; 3}$
$P (A \cup B)$ $\frac{2}{3}$
$P (ни A, ни B)$ $\frac{1}{3}$

Вероятности

$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 45$ . $P (A \cup B)$ $0, 75$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 7$ , $P (A \cap B) = 0, 35$ . $P (A \cup B)$ $0, 85$
Числа $1$ – $30$ : кратно $5$ или $6$ $\frac{1}{3}$

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $P (A) = 0, 55$ , $P (B) = 0, 6$ . Какое наименьшее значение может иметь $P (A \cap B)$ ? $0, 15$
повыш.Два кубика: «сумма чётная» $\cup$ «произведение нечётное» $\frac{1}{2}$
повыш.Монету бросают $3$ раза: «хотя бы два орла» $\cap$ «1-й — решка» $\frac{1}{8}$
из жизниВ классе $28$ учеников: $20$ сдали зачёт по алгебре, $18$ — по геометрии, $3$ не сдали ни одного. $P (сдал оба)$ $\frac{13}{28}$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) P(A ∪ B) ≤ 1, поэтому P(A ∩ B) = 0,55 + 0,6 − P(A ∪ B) ≥ 1,15 − 1 = 0,15 (достигается, если A ∪ B — достоверное).
2) Произведение нечётно, только если оба нечётные — тогда сумма чётна: второе событие внутри первого, объединение = «сумма чётная» = 18/36 = 1/2.
3) Первая решка и два последних орла: только РОО — 1/8.
4) Сдали хотя бы один: 28 − 3 = 25; оба: 20 + 18 − 25 = 13; P = 13/28. Проверено кодом.

R06.3 · R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Вероятность того, что на тесте ученик верно решит больше $10$ задач, равна $0, 74$ , больше $11$ задач — $0, 67$ . Найдите вероятность того, что он верно решит ровно $11$ задач.

$0, 07$

2. В торговом центре два автомата продают кофе. Вероятность того, что к вечеру кофе закончится в автомате, равна $0, 3$ ; что закончится в обоих — $0, 12$ . Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих.

$0, 52$

3. На экзамене вопрос на тему «Вписанная окружность» попадается с вероятностью $0, 2$ , на тему «Параллелограмм» — $0, 15$ . Вопросов сразу на обе темы нет. Найдите вероятность вопроса по одной из этих тем.

$0, 35$

R06.3 · R06.4

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик, $A$ = «больше $2$ », $B$ = «чётное». Исходы $A \cap B$ ${4; 6}$
Для тех же событий $P (A \cup B)$ $\frac{5}{6}$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 25$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ $0, 65$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (ни A, ни B)$ $0, 2$

Вариант 2

Кубик, $A$ = «меньше $5$ », $B$ = «нечётное». Исходы $A \cap B$ ${1; 3}$
Для тех же событий $P (A \cup B)$ $\frac{5}{6}$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 35$ , $P (B) = 0, 45$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (ни A, ни B)$ $0, 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какая область — «только $A$ », а какая — «ровно одно»?
Когда вероятности просто складывают?
Как проверить ответ, если он вышел больше $1$ ?

Домашнее задание

Числа $1$ – $40$ : $P (кратно 4 или 10)$
$P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 9$ . Найдите $P (только A)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_protivopolozhnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-029 · Практикум: объединение и пересечение событий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R06 «Случайные события», 8 ч · урок 7/8 · тип П
Единицы → слайды	R06.3 «Объединение и пересечение событий» → 2, 4–7, 10, 12–18, 20 · R06.4 «Несовместные события» → 4, 8, 9, 11, 16, 19, 20 · опора R06.5, R06.9 → 8, 10, 14
Результаты	ПР-4, ПР-5, ПР-6, ПР-7 (REQ-5.4–5.7) → 3–20
Вне урока	противоположное событие — VIS8-028; условная вероятность и независимость — VIS8-026; обобщение темы — VIS8-030
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: объединение и пересечение событий

Сегодня вы научитесь уверенно

Находить A∪B и A∩B

Распознавать несовместные события

Переводить слова в операции

Решать задачи ОГЭ

Множества, исходы, противоположное событие

Множества и исходы

Вероятности

Кубик: A = «чётное», B = «больше 3»

Числа 1–20: A = «чётное», B = «кратно 3»

Образец: случайно выбирают одно число. Найдите P(A∪B) и P(A∩B)

Объединение и пересечение в таблице исходов

Два кубика: закрашиваем клетки

Образец: A = «на 1-м кубике 6», B = «сумма 8». P(A∪B)?

Складываем — и проверяем, нет ли общей части

Монету бросают 3 раза: 8 исходов

Образец: A = «ровно один орёл», B = «ровно два орла». Несовместны? P(A∪B)?

Покупатель в магазине: хлеб — 0,6, молоко — 0,5, оба — 0,3

Образец: найдите P(хотя бы одно), P(только хлеб), P(ни того, ни другого)

Промежутки не перекрываются — события несовместны

Образец: температура завтра ниже 0∘ с p=0,2, от 0∘ до 5∘ — с p=0,45. P(не выше 5∘)? P(выше 5∘)?

Читаем условие — закрашиваем область

Опрос 40 восьмиклассников: есть ли кошка, собака

Образец: выбрали случайного ученика. P(есть кошка или собака)?

Аня и Боря стреляют по разу, независимо

Образец: Аня попадает с p=0,7, Боря — с p=0,6. P(хотя бы один попал)?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Два кубика. P(сумма 6 или дубль)

б) A, B несовместны, P(A)=0,4, P(B)=0,3. P(A∩B)

в) 25 учеников: 14 — бассейн, 16 — спортзал, каждый ходит хотя бы куда-то. P(оба)

Решите и проверьте

Кубик: A = «меньше 4», B = «нечётное»

Вероятности

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-029 · Практикум: объединение и пересечение событий

Находить $A \cup B$ и $A \cap B$

Кубик: $A$ = «чётное», $B$ = «больше $3$ »

Числа $1$ – $20$ : $A$ = «чётное», $B$ = «кратно $3$ »

Образец: случайно выбирают одно число. Найдите $P (A \cup B)$ и $P (A \cap B)$

Образец: $A$ = «на 1-м кубике $6$ », $B$ = «сумма $8$ ». $P (A \cup B)$ ?

Монету бросают $3$ раза: $8$ исходов

Образец: $A$ = «ровно один орёл», $B$ = «ровно два орла». Несовместны? $P (A \cup B)$ ?

Покупатель в магазине: хлеб — $0, 6$ , молоко — $0, 5$ , оба — $0, 3$

Образец: найдите $P (хотя бы одно)$ , $P (только хлеб)$ , $P (ни того, ни другого)$

Образец: температура завтра ниже $0^{\circ}$ с $p = 0, 2$ , от $0^{\circ}$ до $5^{\circ}$ — с $p = 0, 45$ . $P (не выше 5^{\circ})$ ? $P (выше 5^{\circ})$ ?

Опрос $40$ восьмиклассников: есть ли кошка, собака

Образец: выбрали случайного ученика. $P (есть кошка или собака)$ ?

Образец: Аня попадает с $p = 0, 7$ , Боря — с $p = 0, 6$ . $P (хотя бы один попал)$ ?

а) Два кубика. $P (сумма 6 или дубль)$

б) $A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 3$ . $P (A \cap B)$

в) $25$ учеников: $14$ — бассейн, $16$ — спортзал, каждый ходит хотя бы куда-то. $P (оба)$

Кубик: $A$ = «меньше $4$ », $B$ = «нечётное»