Случайные события · урок 6 из 8 · практикум

Практикум: противоположное событие

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS8-028

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Случайные события» (8 ч), урок 6/8, единицы R06.1 «Противоположное событие», R06.2 «Диаграмма Эйлера». Тип урока — П (практикум): теория только сводками, решаем задачи. Предыдущий урок — VIS8-027 «Представление случайного эксперимента в виде дерева»; следующий — VIS8-029, практикум «Объединение и пересечение событий».
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: противоположное событие) 3 · 7 (сводка: диаграмма Эйлера) 2,5 · 8 (пример учителя: кружки) 2,5 · 11 (сводка: «хотя бы один» по дереву) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 9, 10, 12) по 2,5, сл. 13 — 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Задания не повторяют урок VIS8-023 (первое знакомство с темой): здесь новые сюжеты — вложенные события, подсчёт областей диаграммы Эйлера по числам, «хотя бы один» для событий с разными вероятностями.

R06.1 · R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Формулировать $\overline{A}$

для «все», «хотя бы один», «не меньше», «ровно» (ПР-6)

Читать диаграмму Эйлера

и считать исходы в каждой её области (ПР-5, ПР-7)

Применять формулу

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ — прямо и обратно (ПР-4)

Решать «хотя бы один»

через «ни одного» — по таблице и дереву (ОГЭ, линия 10)

повторение: R06.1, R06.9

Разминка · устно

Считаем в уме

Вычисления

$1 - 0, 35$ $0, 65$
$1 - \frac{7}{12}$ $\frac{5}{12}$
$0, 2 \cdot 0, 3$ $0, 06$
$1 - 0, 9^{2}$ $0, 19$

События

$\overline{A}$ к «выпал орёл» выпала решка
$\overline{A}$ к «хотя бы один пришёл» никто не пришёл
$Ω = {1, \dots, 10}$ , $A = {1, 2, 3}$ . Исходов в $\overline{A}$ ? $7$
Сколько путей в дереве трёх бросков монеты? $8$

R06.1 · R06.2

Теория · сводка · противоположное событие

$A$ и $\overline{A}$ делят $Ω$ без остатка

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

$A$	$\overline{A}$
все … попали	хотя бы один не попал
хотя бы один	ни одного
не меньше $3$	меньше $3$
ровно один	ни одного или два и больше

3 мин · теория
Сводка (повторение урока VIS8-023): противоположное событие состоит из всех исходов Ω, не благоприятствующих A. На диаграмме Эйлера — всё, что вне круга. A и не A не имеют общих исходов и вместе дают весь Ω, поэтому P(A) + P(не A) = 1.
Таблица открывается по строке: сначала спросить класс. «Не меньше 3» = {3, 4, 5, 6}, противоположное — «меньше 3» = {1, 2} (на рисунке). «Ровно один» — противоположное включает и «ни одного», и «два и больше»: это частая ловушка.
Вопрос: к какому событию противоположно не A? (К самому A.)

R06.1

Образец → сам · формулируем $\overline{A}$

Отрицание — без потерь исходов

Образец: два стрелка стреляют по разу; $A$ = «оба попали». Что такое $\overline{A}$ ?

$A = {ПП}$

$\overline{A}$ = {ПН, НП, НН} остальные

«хотя бы один промахнулся»

Сам: назовите $\overline{A}$

Из трёх деталей не более одной бракованной хотя бы две бракованные
Из трёх учеников хотя бы двое сдали зачёт сдал не более одного
Из двух стрелков попал ровно один оба попали или оба промахнулись

2,5 мин · практика
Образец: таблица 2 × 2 — все исходы двух выстрелов (П — попал, Н — промах). A — одна розовая клетка ПП; противоположное событие — три бирюзовые клетки. Словами: «хотя бы один промахнулся». Частая ошибка — «оба промахнулись» (только НН, теряются ПН и НП).
Сам: 1) «Не более одной» = 0 или 1, противоположное — 2 или 3, т. е. «хотя бы две бракованные». 2) «Хотя бы двое» = 2 или 3 сдали; противоположное — 0 или 1: «сдал не более одного». 3) «Ровно один» = {ПН, НП}; противоположное = {ПП, НН}: «оба попали или оба промахнулись» — проверьте по таблице слева.
Приём: перечислить, сколько «успехов» возможно (0, 1, 2, 3), отметить те, что в A, — остальные числа и есть не A.

R06.1

Образец → сам · таблица исходов

Два кубика: считаем меньшую часть

Образец: очки на двух кубиках различаются не больше чем на $4$

$\overline{A}$ : разность $5$ $(1; 6), (6; 1)$

$P (\overline{A}) = \frac{2}{36}$

$P (A) = \frac{34}{36}$ = $\frac{17}{18}$

Сам: два кубика

Сумма очков меньше $11$ $\frac{11}{12}$
Произведение очков не равно $6$ $\frac{8}{9}$
Хотя бы на одном — не больше $2$ $\frac{5}{9}$

2,5 мин · практика
Образец: столбец — первый кубик, строка — второй. Разность очков бывает от 0 до 5; противоположное событие «различаются на 5» — только две угловые клетки (1; 6) и (6; 1). 1 − 2/36 = 34/36 = 17/18. Прямой счёт: 34 клетки — долго.
1) Противоположное — сумма 11 или 12: (5; 6), (6; 5), (6; 6) — 3 клетки; 1 − 3/36 = 33/36 = 11/12. 2) Произведение 6: (1; 6), (6; 1), (2; 3), (3; 2) — 4 клетки; 1 − 4/36 = 8/9. 3) Противоположное — «на обоих больше 2»: квадрат 4 × 4 = 16 клеток; 1 − 16/36 = 20/36 = 5/9. Всё проверено перебором 36 исходов.
Задание 3 — ловушка формулировки: «хотя бы на одном не больше 2» ↔ «на обоих больше 2».

R06.2

Теория · сводка · диаграмма Эйлера

Четыре области — четыре вопроса

хотя бы одно: $n_{A} + n_{B} - n_{A B}$

ни одного: $N - (хотя бы одно)$

$B$ внутри $A$ : $P (A) - P (B)$

2,5 мин · теория
Левая диаграмма: два пересекающихся события делят Ω на 4 области — «только A», «и A, и B» (общая часть), «только B» и «ни A, ни B» (вне кругов). Последняя область — это противоположное событие к «хотя бы одно из A, B».
Подсчёт по числам: если n_A и n_B — число исходов (людей) в кругах, n_AB — в общей части, то в объединении n_A + n_B − n_AB (общую часть иначе посчитаем дважды). Вне кругов — всё остальное: N минус это число.
Правая диаграмма: B внутри A (каждый исход B благоприятствует A). Тогда вероятность кольца «A, но не B» равна P(A) − P(B). Пример — «чайник прослужит больше года» и «больше двух лет» (сл. 10).
Названия «объединение» и «пересечение» подробно — на практикуме VIS8-029; сегодня считаем области.

R06.1 · R06.2

Теория · демонстрационный пример

$30$ учеников: футбол и шахматы

$18$ — футбол, $12$ — шахматы, $5$ — и то и другое. $P (ни тем, ни другим)$ ?

общая часть: $5$ в середину

только футбол $18 - 5 = 13$

только шахматы $12 - 5 = 7$

ни тем, ни другим $30 - 25 = 5$

$P = \frac{5}{30}$ = $\frac{1}{6}$

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Заполняем диаграмму изнутри наружу: сначала общая часть (5), затем «только футбол» 18 − 5 = 13 и «только шахматы» 12 − 5 = 7. Хотя бы одним занимаются 13 + 5 + 7 = 25 = 18 + 12 − 5. Вне кругов — 30 − 25 = 5 учеников. P = 5/30 = 1/6.
Связь с темой: «ни тем, ни другим» — противоположное событие к «хотя бы одним из двух». P(хотя бы одним) = 25/30 = 5/6 = 1 − 1/6 ✓.
Вопрос классу: почему нельзя 30 − 18 − 12? (Получим 0: пятерых, кто в обоих кружках, вычли дважды.)

R06.2

Образец → сам · диаграмма Эйлера

Обратная задача: найти общую часть

Образец: $25$ туристов: $16$ были в Казани, $12$ — в Петербурге, $3$ — нигде. $P (был в обоих)$ ?

хотя бы в одном $25 - 3 = 22$ ,
в обоих $16 + 12 - 22 = 6$

$P = \frac{6}{25}$ = $0, 24$

Сам

$40$ школьников: $24$ учат английский, $15$ — немецкий, $7$ — оба. $P (ни одного)$ $0, 2$
$50$ покупателей: $30$ купили хлеб, $25$ — молоко, $10$ — и то и другое. $P (только хлеб)$ $0, 4$
$20$ учеников: $12$ любят алгебру, $10$ — физику, $2$ — ни то ни другое. $P (обе)$ $0, 2$

2,5 мин · практика
Образец: числа на диаграмме появляются по клику — сначала 3 вне кругов, затем 6 в общей части, потом «только Казань» 16 − 6 = 10 и «только Петербург» 12 − 6 = 6. Проверка: 10 + 6 + 6 + 3 = 25 ✓. P = 6/25 = 0,24.
1) Хотя бы один язык: 24 + 15 − 7 = 32; ни одного 40 − 32 = 8; 8/40 = 0,2. 2) Только хлеб: 30 − 10 = 20; 20/50 = 0,4. 3) Хотя бы один предмет: 20 − 2 = 18; обе 12 + 10 − 18 = 4; 4/20 = 0,2. Проверено кодом.
Совет: всегда рисовать диаграмму и проверять, что сумма четырёх областей равна N.

R06.2 · R06.1

Образец → сам · вложенные события

Одно событие внутри другого

Образец: $P (чайник прослужит больше года) = 0, 93$ , больше двух лет — $0, 87$ . $P (больше года, но меньше двух)$ ?

$B$ внутри $A$ : $0, 93 - 0, 87$ = $0, 06$

не больше года: $1 - 0, 93 = 0, 07$ $\overline{A}$

Сам

Решит больше $7$ задач — $0, 64$ , больше $8$ — $0, 58$ . $P (ровно 8)$ $0, 06$
Ждать автобус больше $10$ мин — $0, 3$ , больше $20$ — $0, 1$ . $P (от 10 до 20)$ $0, 2$
Батарейка: больше $100$ ч — $0, 8$ , больше $200$ ч — $0, 35$ . $P (не больше 200 ч)$ $0, 65$

2,5 мин · практика
Образец: A = «прослужит больше года», B = «больше двух лет». Если чайник прослужил больше двух лет, то и больше года — B внутри A. Кольцо (больше года, но не больше двух) — 0,93 − 0,87 = 0,06. Вне большого круга — противоположное к A: 1 − 0,93 = 0,07. Проверка: 0,87 + 0,06 + 0,07 = 1 ✓.
1) «Больше 8» внутри «больше 7»; ровно 8 задач — кольцо: 0,64 − 0,58 = 0,06. 2) 0,3 − 0,1 = 0,2. 3) Нужно противоположное к «больше 200 ч»: 1 − 0,35 = 0,65 (данное 0,8 — лишнее; ловушка).
Типичная ошибка — перемножать или складывать 0,93 и 0,87: см. сл. 14.

R06.1 · R06.9

Теория · сводка · «хотя бы один» по дереву

«Ни одного» — один путь дерева

$q = 1 - p$ — вероятность, что событие не наступит

$P (ни одного) = q_{1} q_{2}$ путь «не — не»

P (хотя бы одно) = 1 - q_{1} q_{2}

Для независимых событий; три события —

1 - q_{1} q_{2} q_{3}

2 мин · теория
Сводка по уроку VIS8-027: дерево двух независимых опытов (например, два выстрела). На рёбрах — вероятности: p — событие наступило, q = 1 − p — не наступило. Вероятность пути — произведение вероятностей на его рёбрах.
Событие «хотя бы одно наступило» — это три пути из четырёх; противоположное «ни одного» — один путь «не — не» (подсвечен), его вероятность q1 · q2. Поэтому P(хотя бы одно) = 1 − q1 · q2.
Важно: правило умножения — только для независимых событий (стрелки стреляют независимо, автоматы ломаются независимо). Для трёх событий — путь из трёх «не».

R06.1 · R06.9

Образец → сам · дерево и «хотя бы один»

Разные вероятности — тот же приём

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ , стреляет $3$ раза. $P (хотя бы одно попадание)$ ?

ННН: $0, 3 \cdot 0, 3 \cdot 0, 3 = 0, 027$ один путь

$P = 1 - 0, 027$ = $0, 973$

Сам

Каждая из $2$ ламп перегорает за год с вероятностью $0, 2$ . $P (хотя бы одна работает)$ $0, 96$
Каждый из $2$ автоматов неисправен с вероятностью $0, 05$ . $P (хотя бы один исправен)$ $0, 9975$
Баскетболист попадает с вероятностью $0, 8$ , бросает $2$ раза. $P (хотя бы один промах)$ $0, 36$

2,5 мин · практика
Образец: на верхнем ребре каждой развилки — П (0,7), на нижнем — Н (0,3). Из 8 путей только ННН не содержит попадания; его вероятность 0,3³ = 0,027. Ответ 1 − 0,027 = 0,973. Прямой путь — сложить 7 произведений — долго.
1) Ни одна не работает: 0,2 · 0,2 = 0,04; 1 − 0,04 = 0,96. 2) Оба неисправны: 0,05² = 0,0025; 1 − 0,0025 = 0,9975. 3) Противоположное к «хотя бы один промах» — «оба попадания»: 0,8² = 0,64; 1 − 0,64 = 0,36. Проверено кодом.
Задание 3 — «перевёртыш»: здесь «ни одного промаха» = «все попадания».

R06.1

Образец → сам · задача из жизни

Призы, коды и гирлянды

Образец: приз — в каждой десятой шоколадке. Купили $3$ шоколадки. $P (хотя бы один приз)$ ?

ни одного приза: $0, 9^{3} = 0, 729$ независимо

$P = 1 - 0, 729$ = $0, 271$

Сам

Код из $4$ цифр выбран случайно. $P (хотя бы одна цифра 0)$ $0, 3439$
Дождь в субботу — $0, 4$ , в воскресенье — $0, 5$ (независимо). $P (хотя бы день без дождя)$ $0, 8$
Гирлянда горит, если исправны все $3$ лампы; каждая исправна с вероятностью $0, 9$ . $P (не горит)$ $0, 271$

2 мин · практика
Образец: для каждой шоколадки приз — 0,1, без приза — 0,9 (полоски). «Ни одного приза» — все три без приза: 0,9³ = 0,729; хотя бы один приз — 0,271. Модель: шоколадки независимы (считаем, что партия большая).
1) Каждая цифра не 0 с вероятностью 0,9: ни одного нуля 0,9⁴ = 0,6561; ответ 0,3439 (проверено перебором 10 000 кодов: 3439 кодов с нулём). 2) Противоположное — дождь в оба дня: 0,4 · 0,5 = 0,2; 1 − 0,2 = 0,8. 3) Горит — все исправны: 0,9³ = 0,729; не горит 1 − 0,729 = 0,271 (тот же расчёт, что в образце, в другом сюжете).
Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.

R06.1 · R06.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
Стрелки: $0, 8$ и $0, 7$ . Хотя бы один попал	$0, 8 + 0, 7 = 1, 5 > 1$	$1 - 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 94$
$30$ учеников: $18$ и $12$ , оба — $5$ . Ни один кружок	$30 - 18 - 12 = 0$	$30 - (18 + 12 - 5) = 5$
Чайник: $0, 93$ и $0, 87$ . От года до двух	$0, 93 \cdot 0, 87$	$0, 93 - 0, 87 = 0, 06$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Складывать вероятности можно только для событий без общих исходов; здесь оба могут попасть. Сигнал ошибки — ответ больше 1. Верно — через противоположное «оба промахнулись»: 0,2 · 0,3 = 0,06; 1 − 0,06 = 0,94.
2) Пятерых, кто в обоих кружках, вычли дважды. Сначала «хотя бы в одном» = 18 + 12 − 5 = 25, потом 30 − 25 = 5 (сл. 8).
3) События вложены (больше двух лет ⇒ больше года), а не независимы — перемножать нельзя. Кольцо на диаграмме Эйлера — разность (сл. 10).

R06.1 · R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Каждый из $2$ автоматов неисправен с вероятностью $0, 1$ . $P (хотя бы один исправен)$

$1 - 0, 1 = 0, 9$

$\overline{A}$ = «оба неисправны»: $0, 1 \cdot 0, 1 = 0, 01$

$P = 1 - 0, 01 = 0, 99$

б) $40$ человек: $25$ смотрят футбол, $20$ — хоккей, $10$ — и то и другое. $P (только хоккей)$

$\frac{20}{40} = 0, 5$

только хоккей: $20 - 10 = 10$

$P = \frac{10}{40} = 0, 25$

в) Из $3$ билетов не меньше двух выигрышных. $\overline{A}$ : «меньше двух невыигрышных»

это то же событие $A$ !

$\overline{A}$ : выигрышных $0$ или $1$ — «не больше одного выигрышного»

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик нашёл вероятность, что исправен один конкретный автомат. Противоположное к «хотя бы один исправен» — «оба неисправны»: 0,01; ответ 0,99.
б) 20 — все, кто смотрит хоккей, включая 10 болельщиков обоих видов. «Только хоккей» — кольцо круга: 20 − 10 = 10; 10/40 = 0,25. Проверка областей: 15 + 10 + 10 + 5 = 40 ✓.
в) «Меньше двух невыигрышных» = 0 или 1 невыигрышный = 3 или 2 выигрышных — это и есть A. Противоположное: выигрышных 0 или 1. Приём со сл. 5: перечислить возможные числа 0, 1, 2, 3.

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Формула и слова

$P (A) = 0, 37$ . $P (\overline{A})$ $0, 63$
$\overline{A}$ к «хотя бы одна из двух дверей открыта» обе закрыты
Числа $1$ – $40$ : не делится на $4$ $0, 75$
Два кубика: не две шестёрки $\frac{35}{36}$

Диаграмма и дерево

$30$ человек: $20$ пьют чай, $15$ — кофе, $8$ — оба. $P (ни то ни другое)$ $0, 1$
Тест: больше $60$ баллов — $0, 7$ , больше $80$ — $0, 25$ . $P (от 60 до 80)$ $0, 45$
Стрелки: $0, 6$ и $0, 5$ . Хотя бы один попал $0, 8$

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько раз нужно бросить монету, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 95$ ? Наименьшее число $5$
повыш. $100$ опрошенных: $60$ читают новости в мессенджере, $50$ — на сайтах, $15$ — нигде. $P (только в мессенджере)$ $0, 35$
повыш. $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ . Могут ли $A$ и $B$ не иметь общих исходов? нет: $0, 6 + 0, 5 > 1$
из жизниКод из $3$ цифр выбран случайно. $P (хотя бы одна цифра чётная)$ $0, 875$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Ни одного орла за n бросков: 0,5ⁿ; нужно 0,5ⁿ < 0,05. 0,5⁴ = 0,0625 — мало, 0,5⁵ = 0,03125 — подходит. Ответ 5 (P = 31/32 ≈ 0,969).
2) Хотя бы где-то: 100 − 15 = 85; оба 60 + 50 − 85 = 25; только мессенджер 60 − 25 = 35; 0,35.
3) Нет. Если бы общих исходов не было, круги лежали бы отдельно и заняли бы 0,6 + 0,5 = 1,1 > 1 всей площади Ω. Общая часть не меньше 0,1.
4) Противоположное — все три цифры нечётные: 5 · 5 · 5 = 125 кодов из 1000, 0,125; ответ 0,875. Проверено перебором.

R06.1 · R06.2

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна $0, 96$ . Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0, 81$ . Найдите вероятность того, что пылесос прослужит меньше двух лет, но больше года.

$0, 15$

2. На экзамене школьнику достаётся один случайный вопрос. Вероятность того, что это вопрос по теме «Треугольники», равна $0, 35$ . Найдите вероятность того, что вопрос будет не по этой теме.

$0, 65$

3. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 9$ . Он стреляет $2$ раза, выстрелы независимы. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз он промахнётся.

$0, 19$

«Не», «хотя бы», «меньше …, но больше …» — сигналы: противоположное событие или вложенные

R06.1 · R06.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P (A) = 0, 14$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 86$
Назовите $\overline{A}$ : «все три лампы горят» хотя бы одна не горит
$30$ учеников: $16$ ходят в бассейн, $12$ — на танцы, $4$ — туда и туда. $P (никуда)$ $0, 2$
Стрелки: $0, 9$ и $0, 8$ . Хотя бы один попал $0, 98$

Вариант 2

$P (A) = 0, 61$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 39$
Назовите $\overline{A}$ : «хотя бы один из двух поездов опоздал» оба пришли вовремя
$25$ учеников: $15$ поют в хоре, $11$ — в театре, $4$ — и там и там. $P (нигде)$ $0, 12$
Стрелки: $0, 7$ и $0, 6$ . Хотя бы один попал $0, 88$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое событие противоположно «ровно один»?
Как найти «ни одного» по диаграмме Эйлера?
Почему «хотя бы один» удобнее через $1 - q_{1} q_{2}$ ?

Домашнее задание

$40$ человек: $22$ и $18$ , оба — $6$ . $P (ни одного)$
Стрелок: $0, 6$ , три выстрела. $P (хотя бы одно попадание)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_protivopolozhnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-028 · Практикум: противоположное событие

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R06 «Случайные события», 8 ч · урок 6/8 · тип П
Единицы → слайды	R06.1 «Противоположное событие» → 2–6, 10–20 · R06.2 «Диаграмма Эйлера» → 2, 4, 7–10, 14–19
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности случайных событий) → 4–6, 10–13, 16–19 · ПР-5 (дерево, диаграммы Эйлера) → 7–12 · ПР-6 (дополнение) → 4, 5, 15 · ПР-7 (графическое представление множеств в задачах) → 8, 9, 14
Вне урока	обозначения объединения и пересечения, несовместные события — VIS8-029; обобщение по теме — VIS8-030
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: противоположное событие

Сегодня вы научитесь

Формулировать A

Читать диаграмму Эйлера

Применять формулу

Решать «хотя бы один»

Считаем в уме

Вычисления

События

A и A делят Ω без остатка

Отрицание — без потерь исходов

Образец: два стрелка стреляют по разу; A = «оба попали». Что такое A?

Сам: назовите A

Два кубика: считаем меньшую часть

Образец: очки на двух кубиках различаются не больше чем на 4

Сам: два кубика

Четыре области — четыре вопроса

30 учеников: футбол и шахматы

Обратная задача: найти общую часть

Образец: 25 туристов: 16 были в Казани, 12 — в Петербурге, 3 — нигде. P(был в обоих)?

Сам

Одно событие внутри другого

Образец: P(чайник прослужит больше года)=0,93, больше двух лет — 0,87. P(больше года, но меньше двух)?

Сам

«Ни одного» — один путь дерева

Разные вероятности — тот же приём

Образец: стрелок попадает с вероятностью 0,7, стреляет 3 раза. P(хотя бы одно попадание)?

Сам

Призы, коды и гирлянды

Образец: приз — в каждой десятой шоколадке. Купили 3 шоколадки. P(хотя бы один приз)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Каждый из 2 автоматов неисправен с вероятностью 0,1. P(хотя бы один исправен)

б) 40 человек: 25 смотрят футбол, 20 — хоккей, 10 — и то и другое. P(только хоккей)

в) Из 3 билетов не меньше двух выигрышных. A: «меньше двух невыигрышных»

Решите и проверьте

Формула и слова

Диаграмма и дерево

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-028 · Практикум: противоположное событие

Формулировать $\overline{A}$

$A$ и $\overline{A}$ делят $Ω$ без остатка

Образец: два стрелка стреляют по разу; $A$ = «оба попали». Что такое $\overline{A}$ ?

Сам: назовите $\overline{A}$

Образец: очки на двух кубиках различаются не больше чем на $4$

$30$ учеников: футбол и шахматы

Образец: $25$ туристов: $16$ были в Казани, $12$ — в Петербурге, $3$ — нигде. $P (был в обоих)$ ?

Образец: $P (чайник прослужит больше года) = 0, 93$ , больше двух лет — $0, 87$ . $P (больше года, но меньше двух)$ ?

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ , стреляет $3$ раза. $P (хотя бы одно попадание)$ ?

Образец: приз — в каждой десятой шоколадке. Купили $3$ шоколадки. $P (хотя бы один приз)$ ?

а) Каждый из $2$ автоматов неисправен с вероятностью $0, 1$ . $P (хотя бы один исправен)$

б) $40$ человек: $25$ смотрят футбол, $20$ — хоккей, $10$ — и то и другое. $P (только хоккей)$

в) Из $3$ билетов не меньше двух выигрышных. $\overline{A}$ : «меньше двух невыигрышных»