Случайные события · урок 5 из 8

Представление случайного эксперимента в виде дерева

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS8-027

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Случайные события» (8 ч), урок 5/8, единица R06.9 «Представление случайного эксперимента в виде дерева». Тип урока — Н. Опора — правило умножения вероятностей (VIS8-025), условная вероятность и независимые события (VIS8-026), деревья (VIS8-019–022).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (устройство дерева) 2 · 5 (путь и событие) 2 · 7 (без возвращения, условные вероятности на рёбрах) 2 · 9 (пример учителя: две фабрики) 2 · 11 (условная вероятность по дереву) 2 · 14 (сводка «4 шага») 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3 · повышенный (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2,5 · самостоятельная (сл. 20) 3,5 · итог (сл. 21) 1.
Картинка на титуле — дерево опыта «два шара из урны (3 красных, 2 синих) без возвращения»: вероятности на рёбрах, внизу — вероятности исходов, путь КК подсвечен. К концу урока каждый ученик должен уметь построить такое дерево сам.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и «сам» сл. 13 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить дерево опыта

шаги опыта — разветвления, на рёбрах — вероятности (ПР-5)

Считать вероятность пути

перемножать вероятности вдоль пути (ПР-4)

Складывать пути

находить вероятность события, которому ведут несколько путей (ПР-4)

Находить условную вероятность

по дереву: доля нужного пути среди путей события (ПР-4, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5 (REQ-5.5): «Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая». ПР-4 (REQ-5.4): «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий». Элемент содержания EL-5.10: «Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента».
Деятельность по ФРП (R06): «Решать задачи на поиск вероятностей, в том числе условных, с использованием дерева случайного опыта».

повторение: VIS8-025, VIS8-026

Разминка · устно

Умножение вероятностей и условная вероятность

События

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 2$
$P (A) = 0, 3$ . $P (\overline{A})$ ? $0, 7$
Две монеты: $P (два орла)$ $\frac{1}{4}$
3 красных и 2 синих шара; вынули красный. $P (второй красный)$ $\frac{1}{2}$

Вычислите

$P (A \cap B) = 0, 12$ , $P (A) = 0, 4$ . $P (B ∣ A)$ ? $0, 3$
$0, 7 \cdot 0, 3$ $0, 21$
$0, 8 \cdot 0, 9$ $0, 72$
$0, 6 \cdot 0, 5 + 0, 4 \cdot 0, 25$ $0, 4$

R06.9

Теория · дерево случайного опыта

Каждый шаг опыта — разветвление

Стрелок стреляет дважды; попадание П с вероятностью $0, 7$ , промах М — $0, 3$ .

Ребро — исход шага, на нём — его вероятность.

Путь от $S$ до листа — элементарный исход: ПП, ПМ, МП, ММ.

Из каждой вершины: сумма вероятностей на рёбрах

= 1

(

0, 7 + 0, 3 = 1

).

2 мин · теория
Дерево случайного опыта: начальная вершина S (опыт ещё не начался), из неё рёбра — возможные исходы первого шага; из каждой новой вершины — исходы второго шага. Листья — элементарные исходы всего опыта, каждому соответствует ровно один путь от S (единственность пути в дереве — VIS8-020).
Вопрос классу: почему из вершины сумма вероятностей равна 1? (Исходы шага несовместны и исчерпывают все варианты.) Сколько листьев будет, если стрелок стреляет трижды? (8 = 2·2·2 — правило умножения VIS8-021.)

R06.9

Теория · вероятность пути и события

Вдоль пути — умножаем, пути события — складываем

ПМ: $0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 21$ правило умножения

P (пути)

= произведение

«ровно одно попадание» = ПМ или МП

$P = 0, 21 + 0, 21 = 0, 42$ пути несовместны

Проверка:

0, 49 + 0, 21 + 0, 21 + 0, 09 = 1

2 мин · теория
Правило 1 (умножение): вероятность пути равна произведению вероятностей на его рёбрах. Для ПП: 0,7·0,7 = 0,49; ПМ и МП: 0,21; ММ: 0,09. Листья открываются по клику — пусть класс называет числа раньше.
Правило 2 (сложение): событию соответствует несколько листьев; разные пути — несовместные исходы, их вероятности складываются. «Ровно одно попадание»: 0,21 + 0,21 = 0,42.
Проверка: сумма по всем листьям равна 1. Вопрос классу: найдите «хотя бы одно попадание» двумя способами (0,49 + 0,21 + 0,21 = 0,91 и 1 − 0,09 = 0,91).

R06.9

Образец → сам · пути по дереву

Независимые шаги: вероятности на рёбрах не меняются

Образец

Баскетболист дважды бросает штрафной, $p = 0, 8$ . Найдите $P (ровно одно попадание)$ .

пути ПМ и МП: $0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 16$ умножаем

$0, 16 + 0, 16 =$ $0, 32$ складываем

Сам

Тот же баскетболист: $P (оба попадания)$ $0, 64$
Он же: $P (хотя бы одно попадание)$ $0, 96$
Монету бросают 3 раза. $P (ровно два орла)$ $\frac{3}{8}$

R06.9

Теория · зависимые шаги · выбор без возвращения

На втором шаге — условные вероятности

В урне 3 красных (К) и 2 синих (С) шара. Вынимают два, не возвращая.

первый К: $\frac{3}{5}$ ; осталось 2 К и 2 С

второй К, если первый К: $\frac{2}{4}$

P (КК) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

На ребре второго шага —

P (К_{2} ∣ К_{1})

.

R06.9

Образец → сам · выбор без возвращения

Состав меняется после каждого шага

Образец

В коробке 4 исправные (И) и 2 бракованные (Б) лампы. Берут две. Найдите $P (обе исправны)$ .

1-я И: $\frac{4}{6}$ ; 2-я И: $\frac{3}{5}$ осталось 3 из 5

$\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} =$ $\frac{2}{5}$ вдоль пути

Сам

Та же коробка: $P (обе бракованные)$ $\frac{1}{15}$
Она же: $P (одна исправная, одна бракованная)$ $\frac{8}{15}$
В урне 5 белых и 3 чёрных шара; вынимают два. $P (оба белые)$ $\frac{5}{14}$

R06.9

Теория · пример учителя · сумма путей

Лампы с двух фабрик

Ф1 делает $60 %$ ламп, из них брак $2 %$ ; Ф2 — $40 %$ , брак $5 %$ . Найдём $P (брак)$ .

Ф1 и Б: $0, 6 \cdot 0, 02 = 0, 012$

Ф2 и Б: $0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 02$

P (Б) = 0, 032

К событию «брак» ведут два пути — складываем.

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Первый шаг — с какой фабрики лампа (0,6 и 0,4); второй — брак Б или годная Г; на рёбрах второго уровня — условные вероятности брака для каждой фабрики (0,02 и 0,05). Проценты переводим в доли.
P(Б) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032 (3,2 % всех ламп). Проверка по листьям: 0,012 + 0,588 + 0,02 + 0,38 = 1 ✓.
Вопрос классу: почему нельзя просто взять среднее (2 % + 5 %)/2 = 3,5 %? (Фабрики дают разные доли продукции — нужны «веса» 0,6 и 0,4.)

R06.9

Образец → сам · событие из нескольких путей

Сначала разветвление по «условию», потом — событие

Образец

Ученик знает (З) ответы на $70 %$ вопросов, иначе угадывает (У) один из 4 вариантов. $P (верный ответ В)$ ?

$0, 7 \cdot 1 + 0, 3 \cdot \frac{1}{4} = 0, 7 + 0, 075$

Ответ: $0, 775$ два пути к В

Сам

Дождь — с вероятностью $0, 3$ . В дождь автобус опаздывает с вероятностью $0, 4$ , без дождя — $0, 1$ . $P (опоздает)$ $0, 19$
Монетой выбирают урну: в 1-й 2 белых и 3 чёрных шара, во 2-й — 4 белых и 1 чёрный. $P (белый)$ $0, 6$
$70 %$ товара — от А (брак $1 %$ ), $30 %$ — от Б (брак $3 %$ ). $P (брак)$ $0, 016$

R06.7 · R06.9

Теория · условная вероятность по дереву

Лампа бракованная. С какой она фабрики?

Известно: наступило Б. Остались только пути, ведущие к Б: $0, 012$ и $0, 02$ .

P (Ф 1 ∣ Б) = \frac{P ( Ф 1 \cap Б )}{P ( Б )}

$= \frac{0 , 012}{0 , 032} = \frac{3}{8} = 0, 375$

Условная вероятность — доля нужного пути среди путей события.

R06.7 · R06.9

Образец → сам · обратная задача · условная вероятность

Известен результат — ищем «причину»

Образец

Монетой выбирают урну: в 1-й 1 белый и 3 чёрных шара, во 2-й — 3 белых и 1 чёрный. Вынули белый (Б). $P (урна 2)$ ?

$P (Б) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$ два пути

$\frac{3}{8} : \frac{1}{2} =$ $\frac{3}{4}$ доля пути урны 2

Сам — задачи сл. 10

Автобус опоздал. $P (был дождь)$ $\frac{12}{19}$
Купленный товар бракованный. $P (он от Б)$ $\frac{9}{16}$
Вынули белый шар. $P (он из 1- й урны)$ $\frac{1}{3}$

R06.9

Образец → сам · задача из жизни · спортивный матч

Матч до двух побед: ветки разной длины

Образец

Команда А выигрывает партию с вероятностью $0, 6$ , ничьих нет. Играют до двух побед. $P (победит А)$ ?

$0, 36 + 0, 144 + 0, 144 =$ $0, 648$ пути АА, АБА, БАА

Сам

$P (победит Б)$ $0, 352$
$P (сыграют 3 партии)$ $0, 48$
При $p = 0, 5$ : $P (сыграют 3 партии)$ $0, 5$

R06.9

Теория · сводка · решаем по дереву

Четыре шага

Проверка: сумма по всем листьям

= 1

; ответ — число от

0

до

1

.

R06.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили вдоль пути: стрелок $p = 0, 7$ , путь ПМ	$0, 7 + 0, 3 = 1$	$0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 21$
без возвращения — как с возвращением: 3 К и 2 С, путь КК	$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$
забыли путь: «ровно одно попадание», $p = 0, 8$	$0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 16$	$0, 16 + 0, 16 = 0, 32$
путают $P (Ф 1 \cap Б)$ и $P (Ф 1 ∣ Б)$	$0, 012$	$\frac{0 , 012}{0 , 032} = 0, 375$

R06.9

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают дважды. $P (хотя бы один орёл)$ ?

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

сложены совместные события, пути не выписаны

ОО, ОР, РО: $3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

б) 2 белых и 3 чёрных шара, вынимают два. $P (оба белые)$ ?

$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

шар не возвращают: на 2-м ребре $\frac{1}{4}$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

в) Дождь $0, 3$ ; опоздание: в дождь $0, 4$ , без дождя $0, 1$ . $P (опоздает)$ ?

$0, 4 + 0, 1 = 0, 5$

забыли рёбра первого шага

$0, 3 \cdot 0, 4 + 0, 7 \cdot 0, 1 = 0, 19$

R06.9

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Монету бросают дважды. $P (два орла)$ $0, 25$
Стрелок, $p = 0, 9$ , два выстрела. $P (два промаха)$ $0, 01$
Тот же стрелок: $P (ровно одно попадание)$ $0, 18$
2 белых и 2 чёрных шара, вынимают два. $P (оба чёрные)$ $\frac{1}{6}$
Та же урна: $P (шары разного цвета)$ $\frac{2}{3}$

По дереву

$P (A \cap B)$ $0, 2$
$P (B)$ $0, 35$

R06.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В урне 3 белых и 2 чёрных шара; вынимают три шара. $P (все три белые)$ $\frac{1}{10}$
повыш.Стрелок, $p = 0, 6$ , три выстрела. $P (ровно два попадания)$ $0, 432$
повыш. $P (A) = 0, 4$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 38$ . Найдите $P (B ∣ \overline{A})$ . $0, 3$
из жизниБолеют $2 %$ людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0, 9$ , у здорового — $0, 1$ . Тест положителен. $P (человек болен)$ $\frac{9}{58} \approx 0, 16$

R06.9 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Биатлонист дважды стреляет по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0, 8$ . Найдите вероятность того, что первый раз он попал, а второй — промахнулся.

Ответ: $0, 16$

2. Первая фабрика выпускает $45 %$ стёкол для фар, вторая — $55 %$ . Брак у первой — $3 %$ , у второй — $1 %$ . Найдите вероятность того, что купленное стекло бракованное.

Ответ: $0, 019$

3. Из 10 ружей 4 пристреляны. Из пристрелянного стрелок попадает с вероятностью $0, 9$ , из непристрелянного — $0, 2$ . Он берёт ружьё наугад и стреляет. Найдите вероятность промаха.

Ответ: $0, 52$

Нарисуйте дерево на черновике; в бланк — десятичная дробь.

R06.9

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Монету бросают дважды: $P (ровно один орёл)$ $0, 5$
$p = 0, 6$ , два выстрела: $P (оба попадания)$ $0, 36$
3 белых и 1 чёрный шар, вынимают два: $P (оба белые)$ $0, 5$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B ∣ A) = 0, 4$ , $P (B ∣ \overline{A}) = 0, 2.$ Найдите $P (B)$ . $0, 3$

Вариант 2

Монету бросают дважды: $P (хотя бы один орёл)$ $0, 75$
$p = 0, 7$ , два выстрела: $P (оба промаха)$ $0, 09$
4 белых и 1 чёрный шар, вынимают два: $P (оба белые)$ $0, 6$
$P (A) = 0, 2$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ , $P (B ∣ \overline{A}) = 0, 25.$ Найдите $P (B)$ . $0, 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что пишут на рёбрах дерева?
Когда умножаем, а когда складываем?
Как по дереву найти условную вероятность?

Домашнее задание

5 белых и 3 чёрных шара, вынимают два: $P (разного цвета)$
Матч до двух побед, $p = 0, 7$ : $P (победит А)$
* Сл. 18, задача 4: $P (болен)$ , если тест положителен дважды
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_uslovnaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-027 · Представление случайного эксперимента в виде дерева

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R06 «Случайные события», 8 ч · урок 5/8 · тип Н
Единицы → слайды	R06.9 «Представление случайного эксперимента в виде дерева» → 2, 4–21 · опора на R06.6–R06.8 (правило умножения, условная вероятность, независимые события; VIS8-025, VIS8-026) → 3, 7, 11, 12
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (дерево случайного эксперимента) → 2, 4–14, 17 · ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности событий) → 5–20 · EL-5.10
Вне урока	противоположное событие, диаграмма Эйлера (практикум) — VIS8-028; формула полной вероятности и формула Байеса как названия — не вводятся (только счёт по дереву)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Представление случайного эксперимента в виде дерева

Сегодня вы научитесь

Строить дерево опыта

Считать вероятность пути

Складывать пути

Находить условную вероятность

Умножение вероятностей и условная вероятность

События

Вычислите

Каждый шаг опыта — разветвление

Вдоль пути — умножаем, пути события — складываем

Независимые шаги: вероятности на рёбрах не меняются

Образец

Сам

На втором шаге — условные вероятности

Состав меняется после каждого шага

Образец

Сам

Лампы с двух фабрик

Сначала разветвление по «условию», потом — событие

Образец

Сам

Лампа бракованная. С какой она фабрики?

Известен результат — ищем «причину»

Образец

Сам — задачи сл. 10

Матч до двух побед: ветки разной длины

Образец

Сам

Четыре шага

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают дважды. P(хотя бы один орёл)?

б) 2 белых и 3 чёрных шара, вынимают два. P(оба белые)?

в) Дождь 0,3; опоздание: в дождь 0,4, без дождя 0,1. P(опоздает)?

Решите и проверьте

По дереву

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-027 · Представление случайного эксперимента в виде дерева

а) Монету бросают дважды. $P (хотя бы один орёл)$ ?

б) 2 белых и 3 чёрных шара, вынимают два. $P (оба белые)$ ?

в) Дождь $0, 3$ ; опоздание: в дождь $0, 4$ , без дождя $0, 1$ . $P (опоздает)$ ?