Случайные события · урок 4 из 8

Условная вероятность. Независимые события

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS8-026

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Случайные события» (8 ч), урок 4/8, единицы R06.7 «Условная вероятность» и R06.8 «Независимые события». Тип урока — Н. Опора: пересечение событий, таблица исходов двух кубиков (VIS8-024), формула сложения и правило умножения (VIS8-025), дерево и правило умножения в комбинаторике (VIS8-021). Следующий урок (VIS8-027) — представление случайного эксперимента в виде дерева: сегодня дерево только двухуровневое, с подписью «на ветках — условные вероятности».
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 1 · сл. 2 (цели) 1 · 4 (что такое условная вероятность) 2,5 · 5 (формула и правило умножения) 2 · 7 (таблица 2×2, учитель решает сам) 2 · 9 (условные вероятности на ветках дерева) 1,5 · 11 (независимые события) 2 · 15 (итоговая сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 13, 14) 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 · типичные ошибки (сл. 16) 1,5 · найди ошибку (сл. 17) 2 · самопроверка, база (сл. 18) 3 · повышенный уровень (сл. 19) 2,5 · ОГЭ (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 3,5 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задание 3 сл. 14 и задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.
Титул: дерево с условной вероятностью на ветке второго уровня (как на сл. 9).

R06.7 · R06.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить $P (B ∣ A)$

вероятность $B$ , если известно, что $A$ произошло, — сужая множество исходов (ПР-4)

Считать по таблице и формуле

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , таблица $2 \times 2$ (ПР-1, ПР-4)

Читать дерево

на ветках второго уровня — условные вероятности (ПР-5)

Распознавать независимые события

и умножать их вероятности (ОГЭ, линия 10)

1 мин · теория
ПР-1: «Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков». ПР-4: «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями». ПР-5: «Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая».
Из характеристики деятельности строки R06: «Осваивать понятия: правило умножения вероятностей, условная вероятность, независимые события…»; «Изучать свойства (определения) независимых событий. Решать задачи на определение и использование независимых событий».

повторение: VIS8-024, VIS8-025

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

$P (A) = 0, 35$ . $P (\overline{A})$ ? $0, 65$
$0, 3 : 0, 6$ $0, 5$
$0, 8 \cdot 0, 5$ $0, 4$
$\frac{2}{10} : \frac{5}{10}$ $0, 4$

Кубик: сколько исходов у «чётное»? $3$
Из них больше $3$ — сколько? $2$
Две монеты: сколько исходов? $4$
Путь дерева: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$

R06.7

Теория · условная вероятность

Бросили кубик. Нам сказали: выпало больше $3$

$P (чётное) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ без условия

известно $A$ : осталось $3$ исхода $4, 5, 6$

чётных среди них $2$ : $P (чётное ∣ A) = \frac{2}{3}$

Условная вероятность $P (B ∣ A)$ — вероятность $B$ при условии, что $A$ произошло

Условие сужает исходы:

A

— новое

Ω

.

2,5 мин · теория
Без дополнительной информации все 6 исходов равновозможны, чётных 3: P = 1/2. Учитель «подсматривает» и сообщает: выпало больше 3. Исходы 1, 2, 3 больше невозможны (по клику бледнеют), остаются 4, 5, 6 — они по-прежнему равновозможны. Чётных среди них два (4 и 6): вероятность выросла до 2/3.
Запись P(B | A) читается «вероятность B при условии A». Вертикальная черта — не деление!
Вопрос классу: а если бы сказали «выпало меньше 3»? (Остались 1, 2; чётное — 2; P = 1/2.) А «выпало нечётное»? (P(чётное | нечётное) = 0 — события несовместны.)

R06.7 · R06.6

Теория · формула условной вероятности

Какую долю от $A$ занимает $A \cap B$

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , $P (A) > 0$

равновозможные исходы: $\frac{N ( A \cap B )}{N ( A )}$

кубик: $\frac{2/6}{3/6} = \frac{2}{3}$ как на сл. 4

Правило умножения:
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

2 мин · теория
Условие A делает A новым множеством всех исходов (по клику всё вне A бледнеет). Из событий B остаётся только то, что лежит в A, — пересечение A ∩ B. Значит, условная вероятность — доля пересечения в A: P(B | A) = P(A ∩ B) : P(A). Для равновозможных исходов — отношение чисел исходов N(A ∩ B) : N(A).
Проверка на кубике: A = «больше 3» (3 исхода), A ∩ B = {4; 6}: (2/6) : (3/6) = 2/3 — совпадает со сл. 4.
Из формулы — правило умножения из прошлого урока (VIS8-025) в общем виде: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). Именно его применяем вдоль пути дерева (сл. 9). Условие P(A) > 0: на невозможное событие делить нельзя.

R06.7

Образец → сам · сужаем множество исходов

Условие — новое множество исходов

Образец: выбрали число от $1$ до $20$ . Известно, что оно чётное. Найдите вероятность, что оно делится на $3$ .

чётных $10$ новое $Ω$

из них на $3$ : $6, 12, 18$ $3$ исхода

$P = \frac{3}{10} = 0, 3$ $\frac{N ( A \cap B )}{N ( A )}$

Сам: кубик; известно, что выпало нечётное. Больше $2$ ? $\frac{2}{3}$
Сам: число $1$ – $30$ делится на $5$ . Оно чётное? $0, 5$
Сам: две монеты, хотя бы один орёл. Оба орла? $\frac{1}{3}$

2,5 мин · практика
Образец: по клику нечётные бледнеют, чётные обведены (10 чисел — новое множество исходов), затем закрашены 6, 12, 18. Без условия было бы 6/20 = 0,3 — здесь совпало случайно: доля кратных 3 среди чётных та же. Это намёк на независимость (сл. 11).
1) Нечётные {1; 3; 5}, больше 2 — {3; 5}: 2/3. 2) Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30 — шесть, чётные 10, 20, 30 — три: 3/6 = 0,5. 3) Исходы ОО, ОР, РО, РР; условие «хотя бы один орёл» убирает РР — остаются 3 равновозможных, ОО — один: 1/3 (частая ошибка — ответ 1/2). Проверено перебором.

R06.7

Теория · демонстрационный пример · таблица 2×2

В классе $30$ учеников: кто занимается спортом

$P (спорт) = \frac{17}{30}$ без условия

выбран мальчик — строка: $P (С ∣ М) = \frac{10}{16} = 0, 625$

выбран спортсмен — столбец: $P (М ∣ С) = \frac{10}{17}$

P (С ∣ М) \neq = P (М ∣ С)

: в знаменателе — то, что известно.

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Учеников выбирают наугад. С — «занимается спортом», М — «мальчик». Из 16 мальчиков спортом занимаются 10, из 14 девочек — 7; всего спортсменов 17.
Известно, что выбран мальчик: новое множество исходов — строка «мальчики» (16 человек), спортсменов в ней 10: P(С | М) = 10/16 = 5/8 = 0,625. Известно, что выбран спортсмен: столбец «спорт» (17 человек), мальчиков 10: P(М | С) = 10/17 ≈ 0,59. Числитель одинаковый (10 — пересечение), знаменатели разные.
Через формулу: P(М ∩ С) = 10/30, P(М) = 16/30: (10/30) : (16/30) = 10/16 ✓.
Вопрос: P(С | Д)? (7/14 = 0,5 — у девочек доля спортсменов меньше; значит, «спорт» зависит от пола в этом классе.)

R06.7

Образец → сам · по формуле

$P (B ∣ A) = P (A \cap B) : P (A)$

Образец: дождь идёт с вероятностью $0, 4$ , дождь с ветром — $0, 1$ . Сегодня дождь. Найдите вероятность ветра.

$P (Д) = 0, 4$ , $P (Д \cap В) = 0, 1$

$P (В ∣ Д) = \frac{0 , 1}{0 , 4} = 0, 25$ формула

Сам: $P (A) = 0, 8$ , $P (A \cap B) = 0, 6$ . $P (B ∣ A)$ ? $0, 75$
Сам: $P (A) = 0, 4$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 2$
Сам: таблица сл. 7. Выбрана девочка: не спортсменка? $0, 5$

2,5 мин · практика
Образец: верхняя полоса — все дни (длина 1), фиолетовая часть — дождливые дни (0,4), розовая — дождь с ветром (0,1). По клику фиолетовую часть растягиваем на всю полосу: она — новое множество исходов, розовая занимает её четверть. P(В | Д) = 0,1 : 0,4 = 0,25.
1) 0,6 : 0,8 = 0,75. 2) Обратная задача — правило умножения: P(A ∩ B) = 0,4 · 0,5 = 0,2. 3) Строка «девочки»: 7 не занимаются из 14 — 0,5. Вопрос: может ли P(A ∩ B) быть больше P(A)? (Нет — пересечение лежит внутри A, поэтому P(B | A) ≤ 1.)

R06.7 · R06.6

Теория · условные вероятности на дереве

$4$ шоколадные (Ш) и $2$ карамели (К): берут две

Ветки 2-го уровня — условные вероятности: $P (Ш_{2} ∣ Ш_{1}) = \frac{3}{5}$

путь: $\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = 0, 4$ $P (A) \cdot P (B ∣ A)$

$P (Ш_{2} ∣ Ш_{1}) = \frac{3}{5}$ , $P (Ш_{2} ∣ К_{1}) = \frac{4}{5}$

Зависит от первой конфеты — события зависимы.

1,5 мин · теория
Коробка: 6 конфет, 4 Ш и 2 К, берут наугад одну за другой (без возвращения). Ветки из корня — обычные вероятности: 4/6 и 2/6. Если первая — Ш, осталось 3 Ш и 2 К: ветки 3/5 и 2/5 — это вероятности при условии «первая Ш». Если первая — К: осталось 4 Ш и 1 К: 4/5 и 1/5.
Листья (по клику): ШШ 12/30, ШК 8/30, КШ 8/30, КК 2/30, сумма 30/30 = 1. Подсвечен путь ШШ: 4/6 · 3/5 = 0,4 — правило умножения P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A).
Ветки 3/5 и 4/5 (обведены) — вероятность того же события «2-я — Ш» при разных условиях. Раз они разные, результат первого опыта влияет на второй — события зависимы. Сумма веток из одной вершины всегда 1.

R06.7

Образец → сам · дерево без возвращения

$10$ билетов, $2$ выигрышных: Маша, потом Петя

Образец: Маша выиграла. Найдите вероятность, что выиграет и Петя; что выиграют оба.

$P (П ∣ М) = \frac{1}{9}$ остался $1$ из $9$

оба: $\frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{45}$ вдоль пути

Сам: Маша не выиграла. Выиграет Петя? $\frac{2}{9}$
Сам: оба без выигрыша $\frac{28}{45}$
Сам: выиграет Петя (без условий) $0, 2$

2,5 мин · практика
В — выигрышный билет, Н — пустой. Маша тянет первой: 2/10 и 8/10. Если Маша вытянула выигрыш, осталось 9 билетов, из них 1 выигрышный — ветка 1/9; если пустой — выигрышных осталось 2 из 9.
Образец: P(П | М) = 1/9 читаем на ветке; P(оба) = 2/10 · 1/9 = 2/90 = 1/45.
1) Ветка 2/9. 2) Путь НН: 8/10 · 7/9 = 56/90 = 28/45. 3) Два пути, где Петя выиграл: ВВ + НВ = 2/90 + 16/90 = 18/90 = 0,2 — столько же, сколько у Маши! Очерёдность в жеребьёвке шансов не меняет. Проверено (python, fractions).

R06.8

Теория · независимые события

$A$ — «на 1-м чётное», $B$ — «на 2-м шестёрка»

$A$ : $18$ клеток; $P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

$P (B ∣ A) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ $A$ не меняет шансы $B$

$A$ и $B$ независимы, если $P (B ∣ A) = P (B)$ , то есть
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

проверка: $\frac{3}{36} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ ✓

2 мин · теория
Таблица 6×6: строка — очки на 1-м кубике, столбец — на 2-м. По клику: A — строки 2, 4, 6 (фиолетовые, 18 клеток); B — 6-й столбец (бирюзовый, 6 клеток); A ∩ B — 3 клетки (2; 6), (4; 6), (6; 6).
Без условия P(B) = 1/6. При условии A: внутри 18 клеток A шестёрка на втором — 3 клетки: 3/18 = 1/6. Знание об A не изменило вероятность B — это и есть независимость.
Подставим P(B | A) = P(B) в правило умножения: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Это равенство удобно для проверки (обе части считаются без условий) и симметрично: тогда и P(A | B) = P(A).
Вопрос: какие события в жизни обычно независимы? (Броски разных монет и кубиков, выстрелы разных стрелков, работа разных приборов — если они не влияют друг на друга.)

R06.8

Образец → сам · проверяем независимость

Сравниваем $P (A \cap B)$ и $P (A) \cdot P (B)$

Образец: кубик. $A$ — «чётное», $B$ — «выпало $1$ или $2$ ». Независимы ли $A$ и $B$ ?

$P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{1}{3}$

$A \cap B = {2}$ : $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ равны

независимы хотя исход общий

Сам: кубик, «чётное» и «больше $3$ » зависимы
Сам: две монеты, «1-я — орёл» и «монеты одинаковые» независимы
Сам: $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ независимы

2,5 мин · практика
Образец: по клику A = {2; 4; 6} (фиолетовые), B = {1; 2} (обведены), A ∩ B = {2}. P(A ∩ B) = 1/6 и P(A) · P(B) = 1/6 — равны, события независимы. Проверка через условие: P(A | B) = 1/2 (из {1; 2} чётное одно) = P(A) ✓. Неожиданно: события на одном кубике, но знание «выпало 1 или 2» не меняет шанс чётного.
1) A ∩ B = {4; 6}: 1/3, а P(A)·P(B) = 1/2 · 1/2 = 1/4 — не равны, зависимы (сл. 4: 2/3 ≠ 1/2). 2) ОО, ОР, РО, РР: P(1-я О) = 1/2, P(одинаковые) = 1/2 (ОО, РР), пересечение {ОО} = 1/4 = 1/2 · 1/2 — независимы. 3) 0,4 · 0,5 = 0,2 = P(A ∩ B) — независимы.

R06.8

Образец → сам · умножение для независимых

Два стрелка стреляют по разу, независимо

Образец: попадания $0, 8$ и $0, 7$ . Найдите вероятность, что попал ровно один.

ветки 2-го уровня одинаковые независимы

$0, 8 \cdot 0, 3 + 0, 2 \cdot 0, 7$ два пути

$= 0, 24 + 0, 14 = 0, 38$

Сам: оба попали $0, 56$
Сам: оба промахнулись $0, 06$
Сам: хотя бы один попал $0, 94$

R06.7

Образец → сам · задача из жизни · контроль качества

Детали с двух станков: $60 %$ и $40 %$

Образец: брак у 1-го станка $5 %$ , у 2-го — $10 %$ . Найдите вероятность, что случайная деталь — брак.

$0, 6 \cdot 0, 05 = 0, 03$ , $0, 4 \cdot 0, 1 = 0, 04$

$P (Б) = 0, 03 + 0, 04 = 0, 07$ два пути

Сам: $P (Б ∣ 1- й станок)$ $0, 05$
Сам: деталь исправна $0, 93$
Сам: деталь — брак. Она со 2-го станка? $\frac{4}{7}$

2,5 мин · практика
Б — брак, И — исправна. Ветки 2-го уровня — условные вероятности: P(Б | 1) = 0,05, P(Б | 2) = 0,1. Листья: 0,03; 0,57; 0,04; 0,36 — сумма 1. Брак — два пути (подсвечены): 0,07, то есть 7 % деталей.
1) Читаем на ветке: 0,05 (не 0,03 — это «с 1-го станка и брак»). 2) 1 − 0,07 = 0,93 (или 0,57 + 0,36). 3) Условие «брак» — новое множество: из 0,07 на 2-й станок приходится 0,04: P(2 | Б) = 0,04 : 0,07 = 4/7 ≈ 0,57. Хотя второй станок делает меньше деталей, бракованная деталь скорее с него — ОТК начнёт проверку со 2-го станка.
Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R06.7 · R06.8

Теория · итоговая сводка

Условная вероятность и независимость

В условии	Как считать	Модель
«известно, что $A$ »	$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{N ( A \cap B )}{N ( A )}$	$A$ — новое $Ω$ ; строка таблицы
« $A$ и $B$ », любые	$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$	путь дерева
независимые	$P (B ∣ A) = P (B)$ ; $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$	ветки 2-го уровня одинаковые
«независимы ли?»	сравнить $P (A \cap B)$ и $P (A) \cdot P (B)$	таблица исходов

Несовместные (

A \cap B = \emptyset

) и независимые — разные понятия.

R06.7 · R06.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
Кубик; известно, что чётное. $P (выпало 6)$ ?	$\frac{1}{6}$ — делили на все $6$	$\frac{1}{3}$ — делим на $N (A) = 3$
Таблица сл. 7: выбран спортсмен. Мальчик?	$\frac{10}{16}$ — это $P (С ∣ М)$	$\frac{10}{17}$
$4$ Ш и $2$ К без возвращения: обе Ш	$\frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6}$ — как независимые	$\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = 0, 4$
Несовместные, $0, 3$ и $0, 4$ : $P (A \cap B)$ ?	$0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 12$	$0$ — общих исходов нет

R06.7 · R06.8

Найди ошибку

$20$ учеников: $12$ девочек ( $5$ в очках), $8$ мальчиков ( $3$ в очках)

Выбрали ученика в очках. Найдите вероятность, что это девочка. Независимы ли события «девочка» и «очки»?

1) $P (очки) = \frac{8}{20} = 0, 4$

2) $P (Д \cap О) = \frac{5}{20} = 0, 25$

3) $P (Д ∣ О) = \frac{5}{12}$

4) $0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 24 \approx 0, 25$ — независимы

Исправление

3) известны очки: $\frac{5}{8} = 0, 625$

4) $0, 24 \neq = 0, 25$ — зависимы

проверка: $P (О ∣ Д) = \frac{5}{12} \neq = 0, 4$

2 мин · практика
Шаги 1–2 верны: в очках 5 + 3 = 8 из 20; девочек в очках 5. Ошибка в шаге 3: 5/12 — это P(О | Д) (доля очкариков среди девочек), а известно, что выбранный в очках, — делим на 8: P(Д | О) = 5/8 = 0,625 (или 0,25 : 0,4).
Ошибка в шаге 4: равенство P(A ∩ B) = P(A) · P(B) должно выполняться точно; 0,24 ≠ 0,25 — события зависимы (хоть и «почти» независимы). P(Д) = 12/20 = 0,6. Проверка через условие: P(О | Д) = 5/12 ≈ 0,417, а P(О) = 0,4 — не равны.
Сначала 1 минута поиска в парах, затем открыть исправление по клику.

R06.7 · R06.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Условная вероятность

Кубик, известно — чётное. Выпало $6$ ? $\frac{1}{3}$
$P (A) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 15$ . $P (B ∣ A)$ $0, 3$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B ∣ A) = 0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 3$
$15$ девочек, $6$ из них в хоре. Выбрали девочку: поёт в хоре? $0, 4$

Независимые события

Независимы, $0, 3$ и $0, 4$ : $P (A \cap B)$ $0, 12$
Монета и кубик: орёл и шестёрка $\frac{1}{12}$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ : независимы? да
Независимы, $0, 9$ и $0, 8$ : не произошло ни одно $0, 02$

R06.7 · R06.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

Бросили два кубика. Известно, что сумма равна $8$ . Найдите вероятность дубля $0, 2$
В семье двое детей; известно, что хотя бы один — мальчик. Найдите вероятность, что оба мальчики $\frac{1}{3}$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 8$ . Независимы ли $A$ и $B$ ? да
В урне $2$ красных и $3$ синих шара, вынимают два по очереди. Найдите вероятность, что второй — красный $0, 4$

R06.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичная дробь

1. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. $0, 9975$

2. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0, 8$ . Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал, а последние два промахнулся. $0, 02048$

3. Перед началом матча судья бросает монету, чтобы определить, какая команда начнёт игру. Команда «Физик» играет два матча. Найдите вероятность того, что в обоих матчах начнёт игру «Физик». $0, 25$

Независимые — умножаем; «хотя бы один» — через

1 - P (ни одного)

.

R06.7 · R06.8

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик; известно, что выпало больше $2$ . Чётное? $0, 5$
$P (A) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 3$ . $P (B ∣ A)$ $0, 75$
Независимы, $0, 7$ и $0, 6$ : оба произошли $0, 42$
$5$ белых и $1$ чёрный шар, берут два: оба белые $\frac{2}{3}$

Вариант 2

Кубик; известно, что выпало меньше $5$ . Нечётное? $0, 5$
$P (A) = 0, 8$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (B ∣ A)$ $0, 25$
Независимы, $0, 9$ и $0, 3$ : оба произошли $0, 27$
$4$ белых и $1$ чёрный шар, берут два: оба белые $0, 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что меняет условие «известно, что $A$ »?
Что написано на ветках 2-го уровня дерева?
Как проверить, что события независимы?

Домашнее задание

$10$ билетов, $6$ выучены; берут два. Первый выучен — второй тоже?
Два кубика, сумма $7$ . На первом $1$ ? Независимы ли события?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_uslovnaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-026 · Условная вероятность. Независимые события

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R06 «Случайные события», 8 ч · урок 4/8 · тип Н
Единицы → слайды	R06.7 «Условная вероятность» → 2–10, 14–19, 21 · R06.8 «Независимые события» → 2, 11–13, 15–22
Результаты	ПР-1 (таблицы) → 7, 8, 16, 17 · ПР-4 (вероятности случайных событий) → 3–22 · ПР-5 (дерево, диаграммы Эйлера, числовая прямая) → 5, 8–10, 13, 14, 19
Вне урока	формула сложения, правило умножения — VIS8-025; дерево случайного эксперимента — VIS8-027
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Условная вероятность. Независимые события

Сегодня вы научитесь

Находить P(B∣A)

Считать по таблице и формуле

Читать дерево

Распознавать независимые события

Восемь быстрых вопросов

Бросили кубик. Нам сказали: выпало больше 3

Какую долю от A занимает A∩B

Условие — новое множество исходов

Образец: выбрали число от 1 до 20. Известно, что оно чётное. Найдите вероятность, что оно делится на 3.

В классе 30 учеников: кто занимается спортом

P(B∣A)=P(A∩B):P(A)

Образец: дождь идёт с вероятностью 0,4, дождь с ветром — 0,1. Сегодня дождь. Найдите вероятность ветра.

4 шоколадные (Ш) и 2 карамели (К): берут две

10 билетов, 2 выигрышных: Маша, потом Петя

Образец: Маша выиграла. Найдите вероятность, что выиграет и Петя; что выиграют оба.

A — «на 1-м чётное», B — «на 2-м шестёрка»

Сравниваем P(A∩B) и P(A)⋅P(B)

Образец: кубик. A — «чётное», B — «выпало 1 или 2». Независимы ли A и B?

Два стрелка стреляют по разу, независимо

Образец: попадания 0,8 и 0,7. Найдите вероятность, что попал ровно один.

Детали с двух станков: 60% и 40%

Образец: брак у 1-го станка 5%, у 2-го — 10%. Найдите вероятность, что случайная деталь — брак.

Условная вероятность и независимость

Неверно → почему → верно

20 учеников: 12 девочек (5 в очках), 8 мальчиков (3 в очках)

Исправление

Решите и проверьте

Условная вероятность

Независимые события

Подумайте и решите

Ответ — десятичная дробь

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-026 · Условная вероятность. Независимые события

Находить $P (B ∣ A)$

Бросили кубик. Нам сказали: выпало больше $3$

Какую долю от $A$ занимает $A \cap B$

Образец: выбрали число от $1$ до $20$ . Известно, что оно чётное. Найдите вероятность, что оно делится на $3$ .

В классе $30$ учеников: кто занимается спортом

$P (B ∣ A) = P (A \cap B) : P (A)$

Образец: дождь идёт с вероятностью $0, 4$ , дождь с ветром — $0, 1$ . Сегодня дождь. Найдите вероятность ветра.

$4$ шоколадные (Ш) и $2$ карамели (К): берут две

$10$ билетов, $2$ выигрышных: Маша, потом Петя

$A$ — «на 1-м чётное», $B$ — «на 2-м шестёрка»

Сравниваем $P (A \cap B)$ и $P (A) \cdot P (B)$

Образец: кубик. $A$ — «чётное», $B$ — «выпало $1$ или $2$ ». Независимы ли $A$ и $B$ ?

Образец: попадания $0, 8$ и $0, 7$ . Найдите вероятность, что попал ровно один.

Детали с двух станков: $60 %$ и $40 %$

Образец: брак у 1-го станка $5 %$ , у 2-го — $10 %$ . Найдите вероятность, что случайная деталь — брак.

$20$ учеников: $12$ девочек ( $5$ в очках), $8$ мальчиков ( $3$ в очках)