Случайные события · урок 1 из 8

Противоположное событие. Диаграмма Эйлера

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS8-023

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Случайные события» (8 ч), урок 1/8, единицы R06.1 «Противоположное событие», R06.2 «Диаграмма Эйлера». Тип урока — Н (новый материал). Предыдущий урок — VIS8-022, практикум «Дерево» (правило умножения); следующий — VIS8-024, объединение и пересечение событий, несовместные события.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (событие как множество, диаграмма Эйлера) 2 · 5 (противоположное событие) 2,5 · 6 (вывод формулы) 2 · 9 (два кубика — учитель решает сам) 2 · 12 (два события на диаграмме Эйлера) 2,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 7, 10, 11, 13, 14) по 2,5, сл. 8 — 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 14 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R06.1 · R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Изображать события

на диаграмме Эйлера: $Ω$ — прямоугольник, событие — круг (ПР-5)

Строить противоположное

событие $\overline{A}$ : словами и на диаграмме (ПР-6)

Применять формулу

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ (ПР-4)

Решать «хотя бы один»

через «ни одного» — по таблице и дереву (ОГЭ, линия 10)

1 мин · теория
ПР-4 (REQ-5.4): находить вероятности случайных событий, зная вероятности элементарных событий. ПР-5: использовать графические модели — дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая. ПР-6: оперировать понятиями «множество, подмножество, дополнение».
Из характеристики деятельности строки R06: «Осваивать понятия: взаимно противоположные события, операции над событиями, … диаграмма Эйлера (Эйлера—Венна)».

повторение: R03–R05

Разминка · устно

Вспоминаем исходы и множества

Кубик и монеты

Кубик: сколько исходов благоприятствуют «выпало чётное»? $3$
Кубик: $P (выпало больше 4)$ $\frac{1}{3}$
Монету бросают $2$ раза. Сколько исходов? $4$
Две монеты: $P (две решки)$ $\frac{1}{4}$

Множества и вычисления

$Ω = {1, \dots, 6}$ , $A = {2, 4, 6}$ . Дополнение $A$ ${1, 3, 5}$
В классе $25$ учеников, $7$ — отличники. Не отличников? $18$
$1 - 0, 27$ $0, 73$
$1 - \frac{5}{36}$ $\frac{31}{36}$

R06.2

Новый материал · событие и диаграмма Эйлера

Событие — это множество исходов

$Ω$ — все элементарные исходы опыта (прямоугольник)

Событие $A$ — часть $Ω$ : исходы, которые ему благоприятствуют (круг)

P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

— доля исходов внутри круга

2 мин · теория
Диаграмма Эйлера (Эйлера—Венна): все исходы опыта изображаем прямоугольником Ω, событие — кругом (овалом) внутри него. В круг попадают исходы, благоприятствующие событию. Это та же картинка, что для множеств в строке R03: событие — подмножество Ω.
Вопрос классу: где на диаграмме исход «выпало 5»? (Вне круга.) Как изобразить событие «выпало 7»? (Пустой круг — невозможное событие.) А достоверное событие? (Весь прямоугольник.)
Если исходы равновозможны, P(A) — доля исходов внутри круга: 3 из 6.

R06.1

Новый материал · противоположное событие

$\overline{A}$ — « $A$ не наступило»

Противоположное событию $A$ — событие $\overline{A}$ : все исходы $Ω$ , не благоприятствующие $A$

$A$	$\overline{A}$
попал	промахнулся
больше $4$	не больше $4$
хотя бы один орёл	ни одного орла

2,5 мин · теория
Определение: событие, противоположное событию A, состоит из всех элементарных исходов опыта, которые не благоприятствуют A. Обозначение — A с чертой, читается «не A». На диаграмме Эйлера — всё, что вне круга (дополнение множества A до Ω).
Важно: A и не A вместе покрывают весь прямоугольник и не имеют общих исходов. В любом опыте наступает ровно одно из них. Противоположность взаимная: событие, противоположное к не A, — снова A.
Таблица — по клику: спросить класс про каждую строку до показа. «Больше 4» = {5, 6}, противоположное — «не больше 4» = {1, 2, 3, 4}, а не «меньше 4». «Хотя бы один» ↔ «ни одного» — ключ к задачам урока.

R06.1

Новый материал · вероятность противоположного события

Почему $P (A) + P (\overline{A}) = 1$

$P (A) = \frac{k}{n}$ , $P (\overline{A}) = \frac{n - k}{n}$ доли полоски

$P (A) + P (\overline{A}) = \frac{k + n - k}{n} = 1$ вся полоска

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Верно для любого опыта: вероятности всех исходов в сумме дают

1

R06.1

Образец → сам · по формуле

Вероятность «не»

Образец: автобус опаздывает с вероятностью $0, 12$ . Найдите $P (не опоздает)$ .

$A$ = «опоздает», $P (A) = 0, 12$ условие

«не опоздает» $= \overline{A}$ противоположное

$P (\overline{A}) = 1 - 0, 12$ = $0, 88$

Сам

$P (лампочка неисправна) = 0, 04$ . Найдите $P (исправна)$ $0, 96$
$P (\overline{A}) = 0, 7$ . Найдите $P (A)$ $0, 3$
$P (A)$ на $0, 4$ больше $P (\overline{A})$ . Найдите $P (A)$ $0, 7$

R06.1

Образец → сам · формулируем $\overline{A}$

Сначала словами, потом — вероятность

Образец: кубик, $A$ = «выпало не меньше $3$ ». Найдите $\overline{A}$ и $P (A)$ .

$\overline{A}$ = «выпало меньше $3$ » $= {1, 2}$

$P (\overline{A}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P (A) = 1 - \frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

Сам: назовите $\overline{A}$

«Все три выстрела — попадания» хотя бы один промах
«Хотя бы одна пятёрка в четверти» ни одной пятёрки
Кубик: «выпало не больше $2$ ». Найдите $P (\overline{A})$ $\frac{2}{3}$

R06.1 · R06.2

Новый материал · пример учителя

Два кубика: «хотя бы на одном выпала $6$ »

всего исходов: $6 \cdot 6 = 36$ правило умножения

$\overline{A}$ = «шестёрки нет»: $5 \cdot 5 = 25$

$P (\overline{A}) = \frac{25}{36}$

$P (A)$ $= 1 - \frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$

Проверка: розовых клеток

6 + 6 - 1 = 11

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Столбец — очки первого кубика, строка — второго; 36 равновозможных исходов. Первым кликом закрашиваем противоположное событие «на обоих кубиках не 6»: квадрат 5 × 5 = 25 клеток (бирюзовые). Вторым — само событие A: последний столбец и последняя строка (розовые).
Проверка прямым счётом: 6 клеток в столбце + 6 в строке − 1 общая (6; 6) = 11. Ответ 11/36 проверен перебором всех 36 исходов.
Вывод для класса: «хотя бы один» — много случаев; «ни одного» — один прямоугольник, считается правилом умножения.

R06.1

Образец → сам · таблица исходов

Мало «плохих» клеток — считаем их

Образец: два кубика. $P (сумма больше 3)$ ?

$\overline{A}$ : сумма $\leq 3$ $(1; 1), (1; 2), (2; 1)$

$P (\overline{A}) = \frac{3}{36}$

$P (A) = \frac{33}{36}$ = $\frac{11}{12}$

Сам: два кубика

Сумма больше $2$ $\frac{35}{36}$
Хотя бы на одном — чётное $\frac{3}{4}$
Очки на кубиках различны $\frac{5}{6}$

R06.1 · R05

Образец → сам · дерево и «хотя бы один»

Монету бросают $3$ раза

Образец: $P (хотя бы один орёл)$ ?

$\overline{A}$ = «ни одного орла» = РРР: $\frac{1}{8}$ листьев $2^{3} = 8$

$P (A) = 1 - \frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Сам

Монету бросают $2$ раза: хотя бы одна решка $\frac{3}{4}$
Монету бросают $4$ раза: хотя бы один орёл $\frac{15}{16}$
$3$ броска: не все результаты одинаковы $\frac{3}{4}$

R06.2

Новый материал · два события на диаграмме Эйлера

Как могут располагаться два события

A

и

\overline{A}

— всегда третий случай, и вместе заполняют весь

Ω

2,5 мин · теория
Опыт — бросок кубика, A = «выпало чётное» = {2, 4, 6}. 1) B = {6} лежит внутри A: событие B влечёт A (каждый исход B благоприятствует A), поэтому P(B) = 1/6 ≤ P(A) = 1/2. 2) C = «больше 3» = {4, 5, 6}: круги пересекаются, общая часть {4, 6}. 3) D = {1, 3}: круги не пересекаются — общих исходов нет.
Следующий урок (VIS8-024) даст этим картинкам имена: пересечение, объединение, несовместные события. Сегодня — только читать диаграмму.
Вопрос: если B внутри A, где на диаграмме не A и не B? (Не A — вне большого круга, не B — вне малого; поэтому не A лежит внутри не B.)

R06.2

Образец → сам · диаграмма Эйлера

Числа от $1$ до $20$ : читаем диаграмму

Образец: $A$ = «кратно $2$ », $B$ = «кратно $4$ »

$B$ внутри $A$ ; $\overline{A}$ — $10$ нечётных: $P (\overline{A}) =$ $\frac{1}{2}$

$\overline{B}$ : $20 - 5 = 15$ чисел, $P (\overline{B}) =$ $\frac{3}{4}$

Сам: числа от $1$ до $30$ , $A$ = «кратно $3$ », $B$ = «кратно $9$ »

Где круг $B$ ? внутри $A$
$P (\overline{A})$ $\frac{2}{3}$
$P (\overline{B})$ $0, 9$
Кратно $3$ , но не кратно $9$ $\frac{7}{30}$

R06.1

Образец → сам · задача из жизни

Контроль качества и опросы

Образец: на складе $400$ фонариков, $6$ из них неисправны. Найдите $P (случайный исправен)$ .

$P (брак) = \frac{6}{400} = 0, 015$

$P (исправен) = 1 - 0, 015$ = $0, 985$

Сам

В лотерее $2000$ билетов, $50$ выигрышных. $P (не выиграть)$ $0, 975$
В классе $28$ учеников, $21$ ходит в кружки. $P (случайный не ходит)$ $0, 25$
Из $200$ опрошенных $46$ не пользуются метро. $P (пользуется)$ $0, 77$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$\overline{A}$ к «оба выстрела — попадания»	«оба — промахи»	«хотя бы один промах»
$P (A) = 0, 3$ — вероятность меньше $0$	$P (\overline{A}) = 0, 3 - 1 = - 0, 7$	$1 - 0, 3 = 0, 7$
$\overline{A}$ к «выпало больше $4$ »	«меньше $4$ » — потеряли $4$	«не больше $4$ »: ${1, 2, 3, 4}$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) «Оба промаха» — лишь один из трёх исходов ПН, НП, НН, не покрытых событием ПП; на диаграмме — не весь дополнительный прямоугольник. 2) Вероятность не бывает отрицательной — сигнал перепутанного порядка. 3) Отрицание «больше 4» — «меньше или равно 4»; «меньше 4» = {1, 2, 3} теряет исход 4, и P получится 1/2 вместо 2/3.
Проверка: A и не A вместе должны дать весь Ω — проверяйте перечислением исходов.

R06.1 · R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. $P (хотя бы одна 6)$

$P (\overline{A}) = \frac{5}{6}$ , $P (A) = \frac{1}{6}$

исходов $36$ ,
«ни одной $6$ » — $5 \cdot 5 = 25$

$P (A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

б) Кубик: $A$ = «чётное», $B$ = «выпало $1$ ». « $B = \overline{A}$ , $P (B) = \frac{1}{2}$ »

$\overline{A} = {1, 3, 5}$ ; $B$ — только его часть

$P (B) = \frac{1}{6}$

в) $3$ монеты. $\overline{A}$ к «ровно один орёл»: «ровно две решки»

это то же событие!

$\overline{A}$ = « $0$ , $2$ или $3$ орла»

$P (\overline{A}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Противоположное событие описано для одного броска: при двух бросках «ни одной шестёрки» — 25 исходов из 36 (сл. 9). Ответ 11/36.
б) B лежит внутри не A (диаграмма Эйлера, сл. 12), но не совпадает с ним: исходы 3 и 5 потеряны. P(B) = 1/6, P(не A) = 1/2.
в) При трёх бросках «ровно один орёл» и «ровно две решки» — одно и то же: {ОРР, РОР, РРО}, P = 3/8. Противоположное — все остальные 5 исходов: P = 1 − 3/8 = 5/8. Проверено перебором.

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По формуле

$P (A) = 0, 82$ . $P (\overline{A})$ $0, 18$
$P (\overline{A}) = 0, 4$ . $P (A)$ $0, 6$
Кубик: «выпало не $5$ » $\frac{5}{6}$
$12$ красных, $8$ синих, $5$ зелёных карандашей. $P (не красный)$ $0, 52$

Через противоположное

Две монеты: хотя бы один орёл $\frac{3}{4}$
Два кубика: сумма не равна $7$ $\frac{5}{6}$
Числа $1$ – $50$ : не кратно $5$ $0, 8$

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $P (A)$ в $1, 5$ раза больше $P (\overline{A})$ . Найдите $P (A)$ $0, 6$
повыш.Может ли $P (A) = P (\overline{A})$ ? Приведите пример да, $0, 5$ : «выпал орёл»
повыш.Кубик бросают $3$ раза: хотя бы одна шестёрка $\frac{91}{216} \approx 0, 42$
из жизниКод из $3$ цифр ( $0$ – $9$ ) выбран случайно. $P (хотя бы две цифры совпадают)$ $0, 28$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В среднем из $1500$ садовых насосов, поступивших в продажу, $30$ подтекают. Найдите вероятность того, что случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

$0, 98$

2. Фабрика выпускает сумки. В среднем $8$ сумок из $200$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

$0, 96$

3. В фирме такси $50$ машин: $27$ чёрных, $3$ жёлтых, остальные — зелёные. На вызов выехала случайная машина. Найдите вероятность того, что приедет не зелёное такси.

$0, 6$

Слова «не», «без» в вопросе — сигнал: считайте противоположное событие

R06.1 · R06.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P (A) = 0, 24$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 76$
Назовите $\overline{A}$ : «хотя бы один из двух насосов работает» оба не работают
Кубик, $A$ = «больше $2$ ». $P (\overline{A})$ $\frac{1}{3}$
Монету бросают $3$ раза: хотя бы одна решка $\frac{7}{8}$

Вариант 2

$P (A) = 0, 57$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 43$
Назовите $\overline{A}$ : «оба ученика сдали зачёт» хотя бы один не сдал
Кубик, $A$ = «не меньше $5$ ». $P (\overline{A})$ $\frac{2}{3}$
Два кубика: хотя бы на одном $1$ $\frac{11}{36}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое $\overline{A}$ на диаграмме Эйлера?
Чему равна $P (A) + P (\overline{A})$ ?
Какое событие противоположно «хотя бы один»?

Домашнее задание

Два кубика: $P (сумма больше 4)$
Монету бросают $5$ раз: $P (хотя бы один орёл)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_protivopolozhnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-023 · Противоположное событие. Диаграмма Эйлера

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R06 «Случайные события», 8 ч · урок 1/8 · тип Н
Единицы → слайды	R06.1 «Противоположное событие» → 2, 5–11, 14–21 · R06.2 «Диаграмма Эйлера» → 2, 4, 5, 12, 13, 16
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 6–11, 13, 14, 17–20 · ПР-5 (графические модели: дерево, диаграммы Эйлера) → 4, 5, 9, 11–13 · ПР-6 (дополнение множества) → 3, 5, 13
Вне урока	объединение и пересечение, несовместные события — VIS8-024; формула сложения — VIS8-025; условная вероятность — VIS8-026
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Противоположное событие. Диаграмма Эйлера

Сегодня вы научитесь

Изображать события

Строить противоположное

Применять формулу

Решать «хотя бы один»

Вспоминаем исходы и множества

Кубик и монеты

Множества и вычисления

Событие — это множество исходов

A — «A не наступило»

Почему P(A)+P(A)=1

Вероятность «не»

Образец: автобус опаздывает с вероятностью 0,12. Найдите P(не опоздает).

Сам

Сначала словами, потом — вероятность

Образец: кубик, A = «выпало не меньше 3». Найдите A и P(A).

Сам: назовите A

Два кубика: «хотя бы на одном выпала 6»

Мало «плохих» клеток — считаем их

Образец: два кубика. P(сумма больше 3)?

Сам: два кубика

Монету бросают 3 раза

Образец: P(хотя бы один орёл)?

Сам

Как могут располагаться два события

Числа от 1 до 20: читаем диаграмму

Образец: A = «кратно 2», B = «кратно 4»

Сам: числа от 1 до 30, A = «кратно 3», B = «кратно 9»

Контроль качества и опросы

Образец: на складе 400 фонариков, 6 из них неисправны. Найдите P(случайный исправен).

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. P(хотя бы одна 6)

б) Кубик: A = «чётное», B = «выпало 1». «B=A, P(B)=21​»

в) 3 монеты. A к «ровно один орёл»: «ровно две решки»

Решите и проверьте

По формуле

Через противоположное

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-023 · Противоположное событие. Диаграмма Эйлера

$\overline{A}$ — « $A$ не наступило»

Почему $P (A) + P (\overline{A}) = 1$

Образец: автобус опаздывает с вероятностью $0, 12$ . Найдите $P (не опоздает)$ .

Образец: кубик, $A$ = «выпало не меньше $3$ ». Найдите $\overline{A}$ и $P (A)$ .

Сам: назовите $\overline{A}$

Два кубика: «хотя бы на одном выпала $6$ »

Образец: два кубика. $P (сумма больше 3)$ ?

Монету бросают $3$ раза

Образец: $P (хотя бы один орёл)$ ?

Числа от $1$ до $20$ : читаем диаграмму

Образец: $A$ = «кратно $2$ », $B$ = «кратно $4$ »

Сам: числа от $1$ до $30$ , $A$ = «кратно $3$ », $B$ = «кратно $9$ »

Образец: на складе $400$ фонариков, $6$ из них неисправны. Найдите $P (случайный исправен)$ .

а) Кубик бросают дважды. $P (хотя бы одна 6)$

б) Кубик: $A$ = «чётное», $B$ = «выпало $1$ ». « $B = \overline{A}$ , $P (B) = \frac{1}{2}$ »

в) $3$ монеты. $\overline{A}$ к «ровно один орёл»: «ровно две решки»