Введение в теорию графов · урок 3 из 4

Правило умножения

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS8-021

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Введение в теорию графов» (4 ч), урок 3/4, единица R05.3 «Правило умножения». Тип урока — Н. Опора: дерево и его свойства (VIS8-019, VIS8-020), элементарные события и равновозможные исходы (R04).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (дерево вариантов, правило умножения) 2,5 · 6 (правило для нескольких шагов) 2 · 8 (двоичное дерево) 2 · 10 (место с ограничением, учитель решает сам) 2 · 12 (вероятность и правило умножения, учитель решает сам) 2. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 20) 4 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задача из жизни (сл. 19) — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить дерево вариантов

каждый путь от корня до листа — один вариант (ПР-5)

Считать по правилу умножения

$n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ — не рисуя всё дерево

Учитывать условия

с повторениями и без, «ноль не первым», двоичное дерево

Находить вероятности

$P (A) = \frac{m}{n}$ , где $n$ и $m$ — по правилу умножения (ПР-4)

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая». ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями». Единица ФРП R05.3 «Правило умножения»; элемент содержания EL-5.7 «Дерево. Свойства деревьев… Правило умножения. Решение задач с помощью графов».

повторение: VIS8-019, VIS8-020, R04

Разминка · устно

Деревья и исходы

Дерево

В дереве $9$ вершин. Рёбер? $8$
В дереве $12$ рёбер. Вершин? $13$
Сколько путей между двумя вершинами дерева? ровно $1$
$3 \cdot 4 \cdot 2$ $24$

Исходы и варианты

Монету бросили: сколько исходов? $2$
Кубик: $P (выпало чётное)$ $\frac{1}{2}$
Двузначные из цифр $1$ и $2$ (повтор можно) $11, 12, 21, 22$
$5$ яблок и $3$ груши: взять один фрукт $8$ способов

R05.3

Теория · дерево вариантов и правило умножения

2 рубашки, 3 галстука: $2 \cdot 3 = 6$

Если первый выбор можно сделать $a$ способами, а после него второй — $b$ способами, то пару выборов — $a \cdot b$ способами.

путь корень → лист = один вариант

листьев: $2 \cdot 3 = 6$ 2 ветви, из каждой по 3

Дерево помогает понять задачу; когда листьев много, их считают умножением.

2,5 мин · теория
Строим дерево по клику: из корня 2 ветви (рубашка Р1 или Р2), из каждой — 3 ветви (галстук). Каждый путь от корня до листа — один комплект (Р1Г1, …, Р2Г3). Листьев 6 = 2 · 3.
Связь с прошлым уроком: путь от корня до листа в дереве единственный — поэтому каждый лист даёт ровно один комплект, и никакой не посчитан дважды.
Вопрос классу: сколько комплектов, если рубашек 4, галстуков 6? (24.) Важно «после него»: число вариантов второго шага одинаково для любого первого выбора (в каждой ветви по 3).

R05.3

Образец → сам · выбор в два шага

Таблица вариантов = дерево

Образец: $4$ вида пиццы и $3$ напитка. Сколько обедов?

шаг 1 — пицца: $4$ столбцы

шаг 2 — напиток: $3$ к любой пицце

$4 \cdot 3$ = $12$ обедов клеток таблицы

Сам: сколько вариантов?

$5$ супов и $3$ вторых: обед из двух блюд $15$
Из A в B — $4$ дороги, из B в C — $3$ . Путей из A в C через B $12$
$6$ мальчиков и $5$ девочек: пара для танца $30$

R05.3

Теория · правило умножения для нескольких шагов

Каждый новый шаг — ещё один множитель

Обед: суп, второе, напиток

листьев: $2 \cdot 3 \cdot 2$ = $12$

N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}

n_{i}

— число ветвей из каждой вершины

i

-го яруса;

k

— число шагов (ярусов).

R05.3

Образец → сам · с повторениями и без

Заполняем места по очереди

Образец: трёхзначные числа из цифр $1, 2, 3, 4$ без повторений

сотни — $4$ , десятки — $3$ одна цифра занята

единицы — $2$ заняты две

$4 \cdot 3 \cdot 2$ = $24$ числа

Сам

То же, но цифры могут повторяться $64$
$8$ участников: кто займёт $1$ -е, $2$ -е и $3$ -е места $336$
Флаг из $3$ полос, цвета из $4$ ; соседние полосы — разного цвета $36$

R05.3

Теория · двоичное дерево

Из каждой вершины — две ветви

Двоичное дерево: на каждом шаге выбор из двух ( $0$ или $1$ , орёл или решка).

путь $1 \to 0 \to 1$ — «слово» $101$

$3$ шага: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ листьев

n

шагов —

n 2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{n}

листьев

R05.3

Образец → сам · двоичное дерево

Два варианта на каждом шаге

Образец: монету бросают $4$ раза. Сколько последовательностей О/Р?

каждый бросок — $2$ исхода О или Р

$4$ шага двоичного дерева $4$ яруса

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ = $16$

Сам

«Слова» из $0$ и $1$ длины $5$ $32$
Листьев у двоичного дерева с $6$ ярусами под корнем $64$
Рёбер у двоичного дерева с $4$ ярусами под корнем $30$

R05.3

Теория · место с ограничением

Двузначные числа из $0, 1, 2, 3$ без повторов

десятки: $3$ любая, кроме $0$

единицы: $3$ любая, кроме занятой (и $0$ можно)

$3 \cdot 3$ = $9$ чисел

Начинайте с места, на которое есть ограничение.

R05.3

Образец → сам · ограничения

Сначала — трудное место

Образец: трёхзначные чётные числа из $1, 2, 3, 4, 5$ без повторов

единицы: $2$ или $4$ — $2$ чётность

сотни — $4$ , десятки — $3$ без повторов

$2 \cdot 4 \cdot 3$ = $24$

Сам

Трёхзначные из $0, 1, 2, 3, 4$ без повторов $48$
Трёхзначные, все цифры нечётные (повтор можно) $125$
Двузначные числа с разными цифрами $81$

R05.3 · ПР-4

Теория · правило умножения и вероятность

Бросают монету и кубик

$n = 2 \cdot 6 = 12$ равновозможных исходов

$A$ = «орёл и чётное»: $m = 1 \cdot 3 = 3$

$P (A) = \frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4} = 0, 25$

n

— все исходы,

m

— благоприятные; оба считаем правилом умножения.

R05.3 · ПР-4

Образец → сам · вероятность

Считаем $n$ и $m$ умножением

Образец: кубик бросают дважды. $P (оба раза чётное)$ ?

$n = 6 \cdot 6 = 36$ , $m = 3 \cdot 3 = 9$

$P = \frac{9}{36}$ = $\frac{1}{4} = 0, 25$

Сам: найдите вероятность

Монету бросают $3$ раза: три орла $\frac{1}{8} = 0, 125$
Кубик дважды: сначала $6$ , потом не $6$ $\frac{5}{36}$
Код замка — $3$ цифры от $0$ до $9$ . Набрали наугад: открыли? $0, 001$

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
$4$ рубашки и $6$ галстуков: комплектов	$4 + 6 = 10$	$4 \cdot 6 = 24$ — пара выборов
$5$ супов, $2$ вторых: взять одно блюдо	$5 \cdot 2 = 10$	$5 + 2 = 7$ — «или», один выбор
трёхзначные из $1$ – $4$ без повторов	$4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$	$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$
двузначные из $0, 1, 2, 3$ без повторов	$4 \cdot 3 = 12$	$3 \cdot 3 = 9$ — ноль не первым

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трёхзначные числа из цифр $0, 2, 4, 6$ (повтор можно)

$4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

на первом месте $0$ нельзя: $3$ варианта

$3 \cdot 4 \cdot 4 = 48$

б) A→B: $3$ дороги, B→C: $2$ . Маршрутов A→C→A через B

$3 \cdot 2 = 6$

туда $6$ путей и обратно $6$

$6 \cdot 6 = 36$

в) Монету бросают $3$ раза. $P (ровно один орёл)$

исходов $2 + 2 + 2 = 6$ ,

$P = \frac{3}{6}$

исходов $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$P = \frac{3}{8} = 0, 375$

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Сколько вариантов?

$3$ рубашки и $5$ брюк: комплектов $15$
Обед: $3$ салата, $4$ супа, $2$ десерта $24$
Двузначные из $1, 3, 5, 7$ (повтор можно) $16$
…без повторов $12$

Исходы и числа

Монету бросают $5$ раз: исходов $32$
Кубик бросают дважды: исходов $36$
Двузначные числа, обе цифры чётные $20$
Двузначные из $0, 1, 2, 3$ (повтор можно) $12$

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько четырёхзначных чисел, у которых все цифры разные? $4536$
повыш.Сколько трёхзначных чисел с разными цифрами делятся на $5$ ? $136$
из жизниВ турнире $6$ команд, каждая играет с каждой дома и в гостях. Сколько матчей? $30$
из жизниPIN-код — $4$ цифры. Перебор: $1$ попытка в секунду. Хватит ли $3$ часов, чтобы перебрать все коды? да, $10000$ с $\approx 2$ ч $47$ мин

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Первая цифра — 9 (не 0), вторая — 9 (0 можно, одна занята), третья — 8, четвёртая — 7: 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 (проверено перебором).
2) Два случая — складываем: оканчивается на 0: 9 · 8 = 72; оканчивается на 5: сотни — 8 (не 0 и не 5), десятки — 8: 64. Итого 72 + 64 = 136 (проверено перебором). Здесь правило умножения не работает «в один заход»: на сотни то 9, то 8 вариантов.
3) Хозяин — 6, гость — 5 (любая другая): 6 · 5 = 30 (упорядоченная пара). 4) 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 кодов; 10 000 с = 2 ч 46 мин 40 с — меньше 3 часов. Поэтому телефон блокируется после нескольких неверных попыток.

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

$0, 375$

2. Симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что все четыре раза выпадет орёл.

$0, 0625$

3. В меню $4$ первых и $5$ вторых блюд, среди вторых — котлета. Петя выбирает первое и второе наугад. Найдите вероятность того, что он выберет котлету.

$0, 2$

В бланк — число без единиц:

0, 375

записывают как 0,375.

R05.3 · из жизни

Задача из жизни · номера автомобилей

Сколько номеров у одного региона?

буквы — $12$ вариантов: $1 2^{3} = 1728$

цифры $000$ не выдают: $1 0^{3} - 1 = 999$

$1728 \cdot 999$ = $1726272$

В регионе

2

млн машин — хватит? Нет: поэтому у Москвы коды

77, 97, 99, 177, \dots

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$5$ рубашек и $4$ галстука: комплектов $20$
Трёхзначные из цифр $1$ – $5$ , повтор можно $125$
Трёхзначные из цифр $1$ – $5$ без повторов $60$
Монету бросают $3$ раза. $P (три решки)$ $0, 125$

Вариант 2

$6$ супов и $3$ вторых: обедов $18$
Двузначные из цифр $0$ – $4$ , повтор можно $20$
Трёхзначные из цифр $1$ – $6$ без повторов $120$
Монету бросают $2$ раза. $P (два орла)$ $0, 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как связаны листья дерева и правило умножения?
Когда умножаем, а когда складываем?
С какого места начинать, если есть ограничение?
Сколько листьев у двоичного дерева из $n$ шагов?

Домашнее задание

Сколько трёхзначных чисел с разными цифрами?
Кубик и монета: $P (решка и 6)$ . Нарисуйте таблицу исходов
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_pravilo-umnozheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-021 · Правило умножения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R05 «Введение в теорию графов», 4 ч · урок 3/4 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Правило умножения» → 2, 4–21 · повторение (свойства дерева R05.2, равновозможные исходы R04) → 3
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (графические модели: дерево) → 4–11, 14–17, 19–20 · ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 12–13, 15, 18, 20
Вне урока	практикум «Дерево» — VIS8-022; правило умножения вероятностей и независимые события — R06/R07
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Правило умножения

Сегодня вы научитесь

Строить дерево вариантов

Считать по правилу умножения

Учитывать условия

Находить вероятности

Деревья и исходы

Дерево

Исходы и варианты

2 рубашки, 3 галстука: 2⋅3=6

Таблица вариантов = дерево

Образец: 4 вида пиццы и 3 напитка. Сколько обедов?

Сам: сколько вариантов?

Каждый новый шаг — ещё один множитель

Заполняем места по очереди

Образец: трёхзначные числа из цифр 1,2,3,4 без повторений

Сам

Из каждой вершины — две ветви

Два варианта на каждом шаге

Образец: монету бросают 4 раза. Сколько последовательностей О/Р?

Сам

Двузначные числа из 0,1,2,3 без повторов

Сначала — трудное место

Образец: трёхзначные чётные числа из 1,2,3,4,5 без повторов

Сам

Бросают монету и кубик

Считаем n и m умножением

Образец: кубик бросают дважды. P(оба раза чётное)?

Сам: найдите вероятность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Трёхзначные числа из цифр 0,2,4,6 (повтор можно)

б) A→B: 3 дороги, B→C: 2. Маршрутов A→C→A через B

в) Монету бросают 3 раза. P(ровно один орёл)

Решите и проверьте

Сколько вариантов?

Исходы и числа

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Сколько номеров у одного региона?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-021 · Правило умножения

2 рубашки, 3 галстука: $2 \cdot 3 = 6$

Образец: $4$ вида пиццы и $3$ напитка. Сколько обедов?

Образец: трёхзначные числа из цифр $1, 2, 3, 4$ без повторений

Образец: монету бросают $4$ раза. Сколько последовательностей О/Р?

Двузначные числа из $0, 1, 2, 3$ без повторов

Образец: трёхзначные чётные числа из $1, 2, 3, 4, 5$ без повторов

Считаем $n$ и $m$ умножением

Образец: кубик бросают дважды. $P (оба раза чётное)$ ?

а) Трёхзначные числа из цифр $0, 2, 4, 6$ (повтор можно)

б) A→B: $3$ дороги, B→C: $2$ . Маршрутов A→C→A через B

в) Монету бросают $3$ раза. $P (ровно один орёл)$