Вероятность случайного события · урок 6 из 6

Обобщение: элементарные события и вероятность

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8-018

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Вероятность случайного события» (6 ч), урок 6/6 — итоговый, тип О. Единицы R04.1–R04.7: элементарные события, случайные события, благоприятствующие элементарные события, вероятности событий, опыты с равновозможными элементарными событиями, случайный выбор, практическая работа. Опора: VIS8-013…017; сегодня — система правил и смешанные задачи.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 1 · 4 (сводка: элементарные и случайные события) 2 · 6 (сводка: вероятность через элементарные события) 2 · 8 (сводка: равновозможные исходы, $P = \frac{m}{n}$ ) 2 · 12 (сводка: частота и вероятность) 2 · 20 (итоговая сводка правил) 2. Тип О — теория только сводками.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 19) 5 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сводки и самостоятельную не сокращать.

R04.1 · R04.2 · R04.3 · R04.4 · R04.5 · R04.6 · R04.7

Цели урока

Сегодня вы закрепите

Элементарные и случайные события

событие как множество $A \subset Ω$ (ПР-4, ПР-6)

Вероятность события

сумма вероятностей благоприятствующих исходов (ПР-4)

Равновозможные исходы

$P (A) = \frac{m}{n}$ , случайный выбор, таблица и дерево (ПР-4, ПР-5)

Частота и вероятность

оценка вероятности по результатам опыта (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-4 (= REQ-5.4): находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями. ПР-6 (= REQ-5.6): множество, подмножество. ПР-5 (= REQ-5.5): графические модели — дерево. ПР-3 (= REQ-5.3): частоты событий по результатам наблюдений. Элемент EL-5.6 «Элементарные события случайного опыта. Случайные события. Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор».
Сказать классу: последний урок темы, в конце — самостоятельная; со следующего урока — графы и деревья (VIS8-019), дерево уже пригодится сегодня на сл. 11.

повторение: VIS8-013…017

Разминка · устно

Исходы, события, дроби

События

Кубик: сколько исходов в событии «выпало простое число»? $3$
Две монеты: сколько исходов в «упали одинаково»? $2$
Исходов три: $P (a) = 0, 35$ , $P (b) = 0, 4$ . $P (c)$ ? $0, 25$
Может ли быть $P (A) = \frac{7}{5}$ ? нет

Вероятность и частота

$28$ учеников, $7$ отличников; наугад один — отличник $0, 25$
Число от $1$ до $10$ наугад — чётное $0, 5$
Сократите $\frac{9}{36}$ $\frac{1}{4}$
$40$ бросков, $22$ орла: частота орла $0, 55$

R04.1 · R04.2 · R04.3

Теория · сводка: элементарные и случайные события

Событие — множество элементарных событий

Элементарное событие — один исход опыта; в опыте наступает ровно одно из них

Случайное событие $A$ — множество благоприятствующих ему элементарных событий: $A \subset Ω$

достоверное: $A = Ω$
невозможное: $A = \emptyset$

2 мин · теория
Опыт — бросок кубика. Множество всех элементарных событий Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n = 6. В опыте наступает ровно одно элементарное событие.
Событие A «выпало больше 4» наступает, если выпало 5 или 6: A = {5; 6}, это подмножество Ω, m = 2 благоприятствующих элементарных события (R04.3).
Крайние случаи: «выпало 7» — ни одного благоприятствующего исхода, ∅, невозможное событие; «выпало меньше 7» — все шесть, Ω, достоверное.
Вопрос классу: назовите событие, которому благоприятствуют {1; 3; 5}. («Выпало нечётное число».)

R04.1 · R04.3

Образец → сам · элементарные события и благоприятствующие

Из Ани, Бори, Веры и Гоши выбирают двух дежурных

Образец: сколько исходов благоприятствуют событию «дежурят мальчик и девочка»?

$Ω$ : АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ $n = 6$ рёбер

девочки — А, В; мальчики — Б, Г

АБ, АГ, БВ, ВГ: $m = 4$ рёбра «девочка — мальчик»

Сам: сколько исходов?

«Аня дежурит» $3$
«Дежурят две девочки» $1$
«Гоша не дежурит» $3$

2,5 мин · практика
Образец: элементарное событие — пара дежурных (порядок не важен). На схеме каждая пара — отрезок между двумя ребятами; отрезков 6: АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ (проверено перебором itertools). Событию «мальчик и девочка» благоприятствуют 4 отрезка (розовые). Если выбор наугад, P = 4/6 = 2/3.
1) АБ, АВ, АГ — 3. 2) Только АВ — 1. 3) Пары без Г: АБ, АВ, БВ — 3.
Типичная ошибка: считают АБ и БА разными исходами — тогда исходов 12, но дежурные не различаются по ролям.

R04.3 · R04.4

Теория · сводка: вероятность события

Складываем вероятности благоприятствующих исходов

сумма вероятностей всех элементарных событий $= 1$

$P (A)$ — сумма вероятностей элементарных событий, благоприятствующих $A$

$P (\emptyset) = 0$ , $P (Ω) = 1$ , $0 \leq P (A) \leq 1$

R04.4

Образец → сам · вероятности неравновозможных исходов

Как покупатель оплачивает покупку

Образец: найдите $P (телефон)$ и $P (не наличными)$

$1 - 0, 12 - 0, 53 - 0, 10 = 0, 25$ сумма всех $= 1$

$0, 53 + 0, 25 + 0, 10$ = $0, 88$ карта, телефон, QR

проверка: $1 - 0, 12 = 0, 88$

Сам

По образцу: «картой или QR-кодом» $0, 63$
Автобус: раньше — $0, 1$ , вовремя — $0, 6$ , опоздает до $5$ мин — $0, 2$ . Опоздает больше чем на $5$ мин? $0, 1$
Там же: автобус опоздает $0, 3$

R04.5 · R04.6

Теория · сводка: равновозможные исходы и случайный выбор

Если все исходы равновозможны: $P (A) = \frac{m}{n}$

Равновозможные: ни у одного исхода нет преимущества (симметрия)

каждый исход $\frac{1}{n}$ , событие из $m$ исходов: $P (A) = \frac{m}{n}$

Случайный выбор («наугад») — все предметы выбираются равновозможно

R04.5

Образец → сам · таблица исходов двух кубиков

Кубик бросают дважды: $n = 36$

Образец: $P (сумма очков — простое число)$ ?

простые суммы: $2, 3, 5, 7, 11$

$m = 15$ клеток: $1 + 2 + 4 + 6 + 2$

$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ $\approx 0, 42$

Сам

Наибольшее из двух чисел равно $4$ $\frac{7}{36}$
На кубиках разные числа $\frac{5}{6}$
Хотя бы на одном кубике $6$ $\frac{11}{36}$

R04.6

Образец → сам · случайный выбор и обратная задача

Шары в урне: $4$ красных, $5$ синих, $3$ зелёных

Образец: наугад вынимают один шар. $P (шар не синий)$ ?

$n = 4 + 5 + 3 = 12$ каждый шар — исход

$m = 4 + 3 = 7$ красные и зелёные

$P = \frac{7}{12}$ $\approx 0, 58$

Сам

Та же урна: $P (зелёный)$ $0, 25$
$20$ карандашей, $P (красный) = 0, 35$ . Сколько красных? $7$
$8$ белых и несколько чёрных шаров, $P (чёрный) = 0, 6$ . Сколько чёрных? $12$

R04.5 · задача из жизни

Образец → сам · дерево исходов · задача из жизни

В семье трое детей: М — мальчик, Д — девочка

Образец: $P (в семье есть и мальчики, и девочки)$ ? Исходы равновозможны.

$n = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ листья

кроме МММ и ДДД: $m = 6$

$\frac{6}{8}$ = $0, 75$

Сам

Старший ребёнок — девочка $0, 5$
Девочек больше, чем мальчиков $0, 5$
Ровно один мальчик $0, 375$

2,5 мин · практика
Образец: дерево — по уровню на каждого ребёнка (по старшинству), из каждой вершины две ветви. 8 листьев — 8 равновозможных исходов (считаем, что рождение мальчика и девочки равновозможны). Не годятся только МММ и ДДД: m = 6, P = 6/8 = 0,75 (проверено перебором).
1) Первая буква Д: 4 из 8 = 0,5. 2) Две или три девочки: ДДМ, ДМД, МДД, ДДД — 4/8 = 0,5. 3) МДД, ДМД, ДДМ — 3/8 = 0,375.
Мостик к VIS8-019: дерево — граф без циклов; число листьев = произведение числа ветвей на каждом уровне.

R04.7

Теория · сводка: частота и вероятность

Практическая работа: $200$ бросков монеты

Частота события в $N$ опытах: $\frac{k}{N}$ , где $k$ — сколько раз оно наступило

чем больше опытов, тем ближе частота к вероятности

в таблице — монета (1 = орёл):

A1=СЛУЧМЕЖДУ(0;1)

B1=СЧЁТЕСЛИ(A1:A200;1)/200

2 мин · теория
График построен по 200 бросанием монеты (моделирование, как в практической работе VIS8-016): после каждого броска считаем частоту орла. В начале частота скачет (первые броски — орлы, частота 1; к 7-му броску 0,86; к 20-му 0,6), к 200 броскам — 102 орла, частота 0,51, линия держится около 0,5.
Частота — результат опыта, она меняется от серии к серии; вероятность — число, которое не меняется. По частоте при большом N оценивают вероятность, особенно когда исходы неравновозможны (кнопка, бутерброд).
В электронной таблице: СЛУЧМЕЖДУ(0;1) — монета (1 — орёл), протянуть на 200 строк; СЧЁТЕСЛИ считает единицы. Клавиша F9 — новая серия.

R04.7

Образец → сам · практическая работа: частоты в опыте

Кубик бросили $60$ раз: сколько раз выпала каждая грань

Образец: частота события «чётное число» и его вероятность

$k = 11 + 8 + 10 = 29$ грани $2, 4, 6$

частота $\frac{29}{60} \approx 0, 48$ ; вероятность $\frac{3}{6} = 0, 5$

Сам: по диаграмме

Частота «шестёрки» (до сотых) $0, 17$
Частота «больше $4$ » и вероятность $\approx 0, 37$ и $\frac{1}{3}$
Частота нечётного числа $\approx 0, 52$

R04.4 · R04.5 · R04.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
два кубика: сумма $7$ , «сумм всего $11$ »	$\frac{1}{11}$	$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
$4$ красных и $5$ синих шаров: «цвета два»	$P (красный) = \frac{1}{2}$	$\frac{4}{9}$
$12$ шаров, $5$ красных: перепутали $m$ и $n$	$\frac{12}{5}$	$\frac{5}{12}$ , всегда $P \leq 1$
$10$ бросков монеты, $7$ орлов	$P (орёл) = 0, 7$	частота $0, 7$ ; $P = 0, 5$

R04.3 · R04.5 · R04.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. $P (сумма очков равна 6)$

исходы $(1; 5)$ , $(2; 4)$ , $(3; 3)$ : $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

забыты $(5; 1)$ и $(4; 2)$ — порядок кубиков важен

$m = 5$ : $\frac{5}{36} \approx 0, 14$

б) Из $10$ карточек слова МАТЕМАТИКА берут одну. $P (« А »)$

разных букв $6$ : М, А, Т, Е, И, К — $\frac{1}{6}$

исходы — карточки, а не буквы: $n = 10$

«А» на $3$ карточках: $\frac{3}{10} = 0, 3$

в) Кнопку бросили $50$ раз, $30$ раз она упала остриём вверх. Оцените $P$

исходов два — значит $\frac{1}{2}$

исходы неравновозможны, $\frac{m}{n}$ нельзя

оценка по частоте: $\frac{30}{50} = 0, 6$

R04.3 · R04.4 · R04.5 · R04.6 · R04.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Равновозможные исходы

Кубик: выпал делитель числа $6$ $\frac{2}{3}$
Число от $1$ до $40$ наугад: делится на $8$ $0, 125$
Карточка из слова ПАРАБОЛА: буква «А» $0, 375$
Два кубика: на первом $6$ , а сумма больше $9$ $\frac{1}{12}$

Вероятности и частоты

Исходы: $0, 15$ ; $0, 45$ ; $x$ . Найдите $x$ $0, 4$
$400$ билетов, $12$ выигрышных. $P (выигрыш)$ $0, 03$
$250$ бросков кнопки, $140$ раз остриём вверх: частота $0, 56$

R04.3 · R04.5 · R04.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Два кубика. Найдите вероятность того, что на одном выпало число вдвое больше, чем на другом $\frac{1}{6}$
повыш.Наугад выбирают двузначное число. Найдите вероятность того, что сумма его цифр равна $5$ $\frac{1}{18}$
повыш.В урне красные и синие шары, красных на $4$ больше. $P (красный) = 0, 6$ . Сколько шаров в урне? $20$
из жизниКод замка — две цифры от $0$ до $9$ , набран наугад. Найдите вероятность, что цифры одинаковые $0, 1$

R04.5 · R04.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В сборнике $25$ билетов по биологии, в $11$ из них есть вопрос о грибах. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете вопроса о грибах не будет.

$0, 56$

2. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон и Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать будет девочка.

$0, 5$

3. В гонке $13$ лыжников из России, $2$ из Норвегии и $5$ из Швеции. Порядок старта — по жребию. Найдите вероятность того, что первым стартует спортсмен не из России.

$0, 35$

Сначала

n

— все исходы, потом

m

— благоприятствующие; в бланк — 0,35.

R04.4 · R04.5 · R04.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик: выпало число меньше $5$ $\frac{2}{3}$
Из $30$ вопросов Таня знает $24$ . Ей достанется известный вопрос $0, 8$
Два кубика: сумма очков равна $3$ $\frac{1}{18}$
Исходы $a, b, c$ : $P (a) = 0, 3$ , $P (b) = 0, 45$ . Найдите $P (c)$ и $P (« b или c »)$ $0, 25$ ; $0, 7$

Вариант 2

Кубик: выпало число больше $1$ $\frac{5}{6}$
Из $40$ вопросов Олег знает $34$ . Ему достанется известный вопрос $0, 85$
Два кубика: сумма очков равна $11$ $\frac{1}{18}$
Исходы $a, b, c$ : $P (a) = 0, 25$ , $P (b) = 0, 4$ . Найдите $P (c)$ и $P (« a или c »)$ $0, 35$ ; $0, 6$

R04.1–R04.7

Теория · итоговая сводка правил

Вероятность случайного события на одном слайде

События

элементарное — один исход
событие $A \subset Ω$
$Ω$ — достоверное, $\emptyset$ — невозможное

Вероятность

сумма всех $P (e) = 1$
$P (A)$ — сумма по благоприятствующим
$0 \leq P (A) \leq 1$

Равновозможные

$P (A) = \frac{m}{n}$
таблица, дерево, перебор
частота $\frac{k}{N} \approx P$ при большом $N$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое случайное событие на языке множеств?
Когда можно применять $P = \frac{m}{n}$ ?
Чем частота отличается от вероятности?

Домашнее задание

Два кубика: числа отличаются на $1$
$7$ белых и $13$ чёрных шаров: $P (белый)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_elementarnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-018 · Обобщение по теме «Вероятность случайного события»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Вероятность случайного события», 6 ч · урок 6/6 · тип О
Единицы → слайды	R04.1 «Элементарные события» → 3–5 · R04.2 «Случайные события» → 4, 20 · R04.3 «Благоприятствующие элементарные события» → 4–7, 15 · R04.4 «Вероятности событий» → 6–7, 14, 16, 19 · R04.5 «Опыты с равновозможными элементарными событиями» → 8–11, 14–19 · R04.6 «Случайный выбор» → 8, 10, 16–18 · R04.7 «Практическая работа» → 12–13, 15
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности по элементарным событиям, равновозможные исходы) → 3–19 · ПР-6 / REQ-5.6 (множества) → 4–5 · ПР-5 / REQ-5.5 (дерево) → 11 · ПР-3 / REQ-5.3 (частоты) → 12–13, 16
Вне урока	дерево и его свойства — VIS8-019, VIS8-020; правило умножения; противоположные события и формула сложения — строка R06
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: элементарные события и вероятность

Сегодня вы закрепите

Элементарные и случайные события

Вероятность события

Равновозможные исходы

Частота и вероятность

Исходы, события, дроби

События

Вероятность и частота

Событие — множество элементарных событий

Из Ани, Бори, Веры и Гоши выбирают двух дежурных

Образец: сколько исходов благоприятствуют событию «дежурят мальчик и девочка»?

Сам: сколько исходов?

Складываем вероятности благоприятствующих исходов

Как покупатель оплачивает покупку

Образец: найдите P(телефон) и P(не наличными)

Сам

Если все исходы равновозможны: P(A)=nm​

Кубик бросают дважды: n=36

Образец: P(сумма очков — простое число)?

Сам

Шары в урне: 4 красных, 5 синих, 3 зелёных

Образец: наугад вынимают один шар. P(шар не синий)?

Сам

В семье трое детей: М — мальчик, Д — девочка

Образец: P(в семье есть и мальчики, и девочки)? Исходы равновозможны.

Сам

Практическая работа: 200 бросков монеты

Кубик бросили 60 раз: сколько раз выпала каждая грань

Образец: частота события «чётное число» и его вероятность

Сам: по диаграмме

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. P(сумма очков равна 6)

б) Из 10 карточек слова МАТЕМАТИКА берут одну. P(«А»)

в) Кнопку бросили 50 раз, 30 раз она упала остриём вверх. Оцените P

Решите и проверьте

Равновозможные исходы

Вероятности и частоты

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Вероятность случайного события на одном слайде

События

Вероятность

Равновозможные

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-018 · Обобщение по теме «Вероятность случайного события»

Образец: найдите $P (телефон)$ и $P (не наличными)$

Если все исходы равновозможны: $P (A) = \frac{m}{n}$

Кубик бросают дважды: $n = 36$

Образец: $P (сумма очков — простое число)$ ?

Шары в урне: $4$ красных, $5$ синих, $3$ зелёных

Образец: наугад вынимают один шар. $P (шар не синий)$ ?

Образец: $P (в семье есть и мальчики, и девочки)$ ? Исходы равновозможны.

Практическая работа: $200$ бросков монеты

Кубик бросили $60$ раз: сколько раз выпала каждая грань

а) Кубик бросают дважды. $P (сумма очков равна 6)$

б) Из $10$ карточек слова МАТЕМАТИКА берут одну. $P (« А »)$

в) Кнопку бросили $50$ раз, $30$ раз она упала остриём вверх. Оцените $P$