Вероятность случайного события ·
урок 4 из 6 · практическая работа

Опыты с равновозможными элементарными событиями

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8-016

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Вероятность случайного события» (6 ч), урок 4/6, единица R04.7 «Практическая работа „Опыты с равновозможными элементарными событиями“». Тип урока — И (практическая работа). Опора: элементарные и случайные события, благоприятствующие исходы, $P (A) = \frac{m}{n}$ , случайный выбор (VIS8-013 — VIS8-015).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (модели с равновозможными исходами) 2,5 · 6 (две монеты: почему не три исхода — учитель решает сам) 2,5 · 7 (частота и вероятность) 2 · 8 (инструкция к практической работе) 1,5 · 11 (опыт на компьютере: СЛУЧМЕЖДУ) 2.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 10, 13, 14) 2 + 2,5 + 2 + 2 · опыты (сл. 9, 12, 15) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 16) 1,5 · найди ошибку (сл. 17) 2 · самопроверка, база (сл. 18) 2,5 · повышенный уровень (сл. 19) 2 · ОГЭ (сл. 20) 2,5 · самостоятельная работа (сл. 21) 3 · итог (сл. 22) 1.
Оборудование: по 2 монеты на пару (разного достоинства — чтобы различать «первую» и «вторую»), компьютеры с электронной таблицей (Excel, «Р7-Офис», LibreOffice Calc, Google Таблицы) — по одному на пару. Без компьютеров опыт 2 показывает учитель на своём экране.
Если не успеваете: опыт 2 (сл. 12) делает учитель фронтально, задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проводить опыт

с монетами и костями, записывать исходы и находить частоты (ПР-3)

Перечислять исходы

двух монет, двух костей, случайного выбора — таблицей (ПР-4)

Считать вероятность

$P (A) = \frac{m}{n}$ в опытах с равновозможными исходами (ПР-4)

Сравнивать частоту и вероятность

в своём опыте, в сводке класса и на компьютере (ПР-3, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-3 (= REQ-5.3): «Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений». ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями».
Единица ФРП: R04.7. Из характеристики деятельности строки R04: «Проводить и изучать опыты с равновозможными элементарными событиями (с использованием монет, игральных костей, других моделей) в ходе практической работы»; «… в том числе с помощью компьютера».

повторение: VIS8-014, VIS8-015

Разминка · устно

Исходы и вероятности

Игральная кость, монета

Сколько исходов у броска монеты? $2$
Кость: $P (выпадет 5)$ $\frac{1}{6}$
Кость: $P (чётное число)$ $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Кость: $P (больше 4)$ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Выбор и частота

Из $25$ учеников наугад выбирают одного. $P (Петя)$ $0, 04$
В урне $3$ красных и $7$ синих шаров. $P (красный)$ $0, 3$
$50$ бросков, $9$ шестёрок. Частота шестёрки? $0, 18$
Может ли вероятность быть $1, 2$ ? нет: $0 \leq P \leq 1$

R04.5 · R04.7

Теория · сводка · модели с равновозможными исходами

Монета, кость и их пары

P (A) = \frac{m}{n}

$n$ — число всех равновозможных элементарных событий, $m$ — число благоприятствующих

A

.

2,5 мин · теория
Симметричная монета: 2 равновозможных исхода (О, Р). Правильная кость: 6 исходов. Две монеты: 2 · 2 = 4 пары — первая монета и вторая различаются (на рисунке разным цветом). Две кости: 6 · 6 = 36 пар; пары (1; 2) и (2; 1) — разные исходы.
Вопрос классу: почему у двух монет не 3 исхода «два орла, один орёл, ни одного»? (Ответ — на сл. 6.) Почему у двух костей не 11 исходов «сумма 2, 3, …, 12»?
Формула $P (A) = \frac{m}{n}$ верна только для равновозможных исходов. Опыты сегодня проверят её на практике.

R04.5 · R04.7

Образец → сам · две монеты

Перечислите пары — потом считайте

Образец: бросают две монеты. $P (ровно один орёл)$

$n = 2 \cdot 2 = 4$ пары равновозможны

$m = 2$ : ОР, РО ровно один орёл

$P = \frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Сам: найдите вероятность

Две монеты: два орла $\frac{1}{4}$
Две монеты: хотя бы один орёл $\frac{3}{4}$
Три монеты: ровно два орла $\frac{3}{8}$

R04.5

Теория · демонстрационный пример · сколько исходов у двух монет

Почему «два орла» — не $\frac{1}{3}$ ?

Монеты различимы: первая и вторая. Равновозможны пары, а не «число орлов»: «один орёл» — это две пары, ОР и РО.

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Ошибочное рассуждение (его в XVIII веке привёл математик Даламбер): «исходов три — два орла, один орёл, ни одного, поэтому вероятность каждого 1/3». Но эти три события не равновозможны. Если покрасить монеты (на рисунке — фиолетовая и бирюзовая), видно 4 равновозможные пары.
$P (два орла) = 1/4$ , $P (один орёл) = 2/4 = 1/2$ , $P (ни одного) = 1/4$ ; сумма 1. Опыт 1 сегодня проверит это: «один орёл» должен выпадать примерно вдвое чаще, чем «два орла».
Вопрос классу: изменится ли ответ, если монеты одинаковые? (Нет — монеты всё равно две разные, мы просто их не различаем глазами.)

R04.7 · ПР-3

Теория · частота и вероятность

Частота приближается к вероятности

частота

= \frac{k}{N}

$k$ — сколько раз произошло событие, $N$ — число опытов

При большом

N

частота обычно близка к вероятности.

Частота меняется от серии к серии, вероятность — одно число.

2 мин · теория
График — пример одной серии из 500 бросков (смоделирован на компьютере): после 5 бросков частота орла 1, после 50 — 0,62, после 100 — 0,5, после 500 — 0,47. Сначала частота сильно «скачет», потом колебания уменьшаются (бирюзовая полоса — от 0,45 до 0,55).
Это свойство называют статистической устойчивостью частот. Вероятность события в опыте с равновозможными исходами мы находим подсчётом, а частота — результат опыта; по частоте можно проверить, правильна ли модель.
Вопрос классу: если в 10 бросках 7 орлов, значит ли это, что монета неправильная? (Нет: при малом $N$ такие частоты бывают часто.)

R04.7

Практическая работа · инструкция

Три опыта — одна проверка

Опыт 1 «Две монеты»

$50$ бросков в паре.

Отмечайте: $2$ орла, $1$ орёл, $0$ орлов.

Опыт 2 «Две кости»

$1000$ бросков в таблице.

Частоты сумм $2 \dots 12$ .

Опыт 3 «Класс»

Сводим результаты всех пар.

Частота $\to$ вероятность?

В тетрадь: таблица результатов, частоты, вероятности и вывод одной фразой.

R04.7 · ПР-3

Исследование · опыт 1 · две монеты

$50$ бросков: частоты и вероятности

событие	$k$	$\frac{k}{50}$	$P$
$2$ орла	$13$	$0, 26$	$0, 25$
$1$ орёл	$24$	$0, 48$	$0, 5$
$0$ орлов	$13$	$0, 26$	$0, 25$

Сумма частот? $1$
Что выпадает чаще всего? $1$ орёл, примерно вдвое

2,5 мин · практика (опыт и запись)
На слайде — пример одной пары (13, 24, 13 из 50). Каждая пара заполняет такую же таблицу своими числами; столбцы вероятностей (бирюзовые) открываются после опыта.
1) Сумма частот всегда 1: 0,26 + 0,48 + 0,26 = 1 (каждый бросок попал ровно в одну строку). 2) «Один орёл» случается примерно в 2 раза чаще, чем «два орла» — это подтверждает модель из 4 равновозможных пар (сл. 6), а не модель «3 исхода по 1/3».
Если у пары частоты заметно отличаются (например, 0,36 вместо 0,25) — это нормально для 50 бросков; вернёмся к этому в опыте 3.

R04.5 · R04.7

Образец → сам · две кости: таблица исходов

$36$ клеток — $36$ равновозможных исходов

Образец: бросают две кости. $P (сумма 7)$

$n = 6 \cdot 6 = 36$ клетки таблицы

$m = 6$ диагональ суммы $7$

$P = \frac{6}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Сам: $P (сумма 10)$ $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
Сам: $P (дубль — одинаковые числа)$ $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
Сам: $P (сумма 8)$ $\frac{5}{36}$

R04.7

Теория · опыт на компьютере

Электронная таблица бросает кости

=СЛУЧМЕЖДУ(1;6) — целое от $1$ до $6$ , все равновозможны

Монета: =СЛУЧМЕЖДУ(0;1), $1$ — орёл

Сумма двух костей: =A2+B2, а не =СЛУЧМЕЖДУ(2;12)

=СЧЁТЕСЛИ(C2:C1001;7)/1000 — частота суммы

7

2 мин · теория
СЛУЧМЕЖДУ(1;6) (англ. RANDBETWEEN) выдаёт случайное целое от 1 до 6 включительно; все 6 значений равновозможны — это модель правильной кости. То же: =ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6)+1. Клавиша F9 пересчитывает лист — получается новая серия бросков.
Почему не СЛУЧМЕЖДУ(2;12): эта формула делает все 11 сумм равновозможными (по 1/11), а у двух костей сумма 7 выпадает в 6 раз чаще, чем 2 (сл. 10). Модель должна повторять настоящий опыт: две кости — две ячейки.
Числа в таблице — пример одного запуска; у каждой пары будут свои. Формулы протягивают до строки 1001.

R04.7 · ПР-3 · ПР-4

Исследование · опыт 2 · суммы двух костей

$1000$ бросков в таблице

Какая сумма выпадает чаще всего? $7$
Частота суммы $2$ — около… $\frac{1}{36} \approx 0, 03$
Частота суммы $7$ у вас и $\frac{1}{6}$ — близко? да, $\approx 0, 17$
Нажмите F9. Что изменилось? точки; столбики — нет

2,5 мин · практика (опыт в таблице)
В E2:E12 — суммы 2…12, в F2: =СЧЁТЕСЛИ(C$2:C$1001;E2)/1000, протянуть до F12. Столбики — вероятности (число клеток таблицы 6×6)/36: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 из 36. Розовые точки — пример одного запуска (по клику): 0,025; 0,053; 0,089; 0,098; 0,133; 0,179; 0,154; 0,106; 0,082; 0,058; 0,023.
1) Чаще всего — сумма 7 (6 клеток из 36). 2) 1/36 ≈ 0,028. 3) Вероятность 1/6 ≈ 0,167; при 1000 бросках частота обычно от 0,14 до 0,19. 4) При пересчёте меняются частоты (точки), вероятности (столбики) — нет.
Вопрос классу: какая форма у «облака» точек и почему она такая же, как у столбиков? (Потому что модель — 36 равновозможных пар — верна.)

R04.6

Образец → сам · случайный выбор карточек

Выписываем все исходы по порядку

Образец: из карточек $1, 2, 3$ наугад по очереди берут две и составляют число. $P (число > 20)$

$n = 6$ $12, 13, 21, 23, 31, 32$

$m = 4$ $21, 23, 31, 32$ $P = \frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Сам

Там же: $P (число чётное)$ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Там же: $P (в числе есть цифра 1)$ $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Карточки $1, 2, 3, 4$ : сколько исходов? $P (число > 30)$ $12$ ; $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

R04.6 · R04.7

Образец → сам · задача из жизни · честная жеребьёвка

Монета и кость выбирают одного из $12$

Образец: $P (орёл и чётное число)$

$n = 2 \cdot 6 = 12$ , $m = 3$ : О2, О4, О6

$P = \frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$

Сам

$P (решка и число больше 4)$ $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$P (орёл или шестёрка)$ $\frac{7}{12}$
У каждого из $12$ учеников — своя клетка. $P (дежурит Петя)$ $\frac{1}{12}$ — у всех поровну

2 мин · практика
Ситуация: в группе 12 человек, нужно честно выбрать дежурного. Бросаем монету и кость: 2 · 6 = 12 равновозможных пар; каждой паре — номер ученика (№ на клетке). Жеребьёвка честная: у каждого вероятность 1/12.
Образец: О2, О4, О6 — 3 из 12, $P = 1/4$ . 1) Р5, Р6 — 2/12 = 1/6. 2) О1…О6 и Р6 — 7 клеток, 7/12 (клетку О6 не считаем дважды). 3) 1/12. Проверено перебором.
Вопрос классу: почему для выбора из 12 нельзя бросить две кости и взять сумму? (Суммы 2…12 — только 11 значений, и они не равновозможны.)

R04.7 · ПР-3

Исследование · опыт 3 · сводка класса

«Ровно один орёл»: $12$ пар — $600$ бросков

Чья частота ближе к $0, 5$ : пары или класса? обычно класса
Сколько раз ожидаем «один орёл» в $600$ бросках? около $300$
Можно ли судить о вероятности по $10$ броскам? нет, $N$ мало

2,5 мин · практика (сводка на доске)
Каждая пара называет своё $k$ для «ровно один орёл» из опыта 1; учитель (или ученик у доски) записывает накопленную сумму и делит на 50, 100, 150, … Пример (смоделирован): частоты пар от 0,40 до 0,62, накопленная частота класса: 0,42; 0,41; 0,45; 0,46; 0,45; 0,46; 0,47; 0,49; 0,50; 0,51; 0,52; 0,52 — итог 314/600 ≈ 0,52.
1) Частоты отдельных пар разбросаны сильнее, частота по 600 броскам — ближе к 0,5 (так бывает обычно, но не обязательно всегда). 2) 600 · 1/2 = 300. 3) Нет: при 10 бросках частота может быть и 0,2, и 0,8.
Вывод в тетрадь: «Чем больше опытов, тем ближе (как правило) частота к вероятности; результаты опыта согласуются с моделью 4 равновозможных пар».

R04.5 · R04.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Две монеты: $3$ исхода, $P (два орла) = \frac{1}{3}$	исходы не равновозможны	$4$ пары: $\frac{1}{4}$
Две кости: $11$ сумм, $P (сумма 7) = \frac{1}{11}$	суммы не равновозможны	$36$ пар: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
$10$ бросков, $3$ орла $\Rightarrow$ $P (орёл) = 0, 3$	это частота, а не вероятность	$P = 0, 5$ , частота $0, 3$
$5$ решек подряд — теперь орёл вероятнее	монета «не помнит» прошлых бросков	по-прежнему $\frac{1}{2}$

R04.5 · R04.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Две кости. $P (сумма 4)$

исходы: $(1; 3)$ , $(2; 2)$ , значит $P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

пропущен исход $(3; 1)$

$P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

б) Модель суммы двух костей в таблице

=СЛУЧМЕЖДУ(2;12)

все $11$ сумм выйдут равновозможными

=СЛУЧМЕЖДУ(1;6)+СЛУЧМЕЖДУ(1;6)

в) Три монеты. $P (ровно два орла)$

исходов $2 \cdot 3 = 6$ ; благоприятные ООР, ОРО, РОО; $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

исходов $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$P = \frac{3}{8}$

R04.5 · R04.7

Задания с самопроверкой · база

Найдите вероятность или частоту

Кости и монеты

Кость: число, кратное $3$ $\frac{1}{3}$
Две монеты: две решки $0, 25$
Две кости: сумма $12$ $\frac{1}{36}$
Две кости: сумма $5$ $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Опыт и выбор

$200$ бросков, орёл $94$ раза. Частота орла $0, 47$
$4$ билета из $20$ — по вероятности. $P (достанется такой)$ $0, 2$
Две кости: на обеих чётное $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

R04.5 · R04.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Две кости: произведение очков чётно $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
повыш.Три монеты: хотя бы один орёл $\frac{7}{8}$
повыш.Две кости: числа отличаются ровно на $2$ $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$
из жизниВ $1000$ бросках двух костей сумма $7$ выпала $171$ раз. Частота? Согласуется ли с моделью? $0, 171$ ; да, $\frac{1}{6} \approx 0, 167$

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

$0, 5$

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

$0, 375$

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $6$ . Результат округлите до сотых.

$0, 14$

В бланк — только число:

0, 375

записывают как 0,375.

R04.5 · R04.7

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кость: $P (число меньше 3)$ $\frac{1}{3}$
Две кости: $P (сумма 9)$ $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
Две монеты: $P (хотя бы одна решка)$ $\frac{3}{4}$

Вариант 2

Кость: $P (число больше 2)$ $\frac{2}{3}$
Две кости: $P (сумма 4)$ $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
Три монеты: $P (все одинаковые)$ $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько исходов у двух монет? у двух костей?
Почему суммы двух костей не равновозможны?
Чем частота отличается от вероятности?
Когда частота близка к вероятности?

Домашнее задание

Бросьте кость $60$ раз: частота шестёрки и сравнение с $\frac{1}{6}$
Две кости: $P (сумма 11)$
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_elementarnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-016 · Вероятность случайного события: практическая работа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Вероятность случайного события», 6 ч · урок 4/6 · тип И
Единицы → слайды	R04.7 «Практическая работа „Опыты с равновозможными элементарными событиями“» → 2, 7–9, 11, 12, 15, 19 · повторение R04.1–R04.6 (элементарные события, благоприятствующие, вероятность, равновозможные исходы, случайный выбор) → 3–6, 10, 13, 14, 16–18, 20, 21
Результаты	ПР-3 / REQ-5.3 (частоты событий по результатам наблюдений) → 3, 7, 9, 12, 15, 18, 19 · ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности в опытах с равновозможными элементарными событиями) → 3–6, 10, 13, 14, 16–21
Вне урока	практикум «Элементарные события» — VIS8-017; дерево и правило умножения — строка R05; противоположное событие, сложение и умножение вероятностей — строка R06
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Опыты с равновозможными элементарными событиями

Сегодня вы научитесь

Проводить опыт

Перечислять исходы

Считать вероятность

Сравнивать частоту и вероятность

Исходы и вероятности

Игральная кость, монета

Выбор и частота

Монета, кость и их пары

Перечислите пары — потом считайте

Образец: бросают две монеты. P(ровно один орёл)

Сам: найдите вероятность

Почему «два орла» — не 31​?

Частота приближается к вероятности

Три опыта — одна проверка

Опыт 1 «Две монеты»

Опыт 2 «Две кости»

Опыт 3 «Класс»

50 бросков: частоты и вероятности

36 клеток — 36 равновозможных исходов

Образец: бросают две кости. P(сумма 7)

Электронная таблица бросает кости

1000 бросков в таблице

Выписываем все исходы по порядку

Образец: из карточек 1,2,3 наугад по очереди берут две и составляют число. P(число>20)

Сам

Монета и кость выбирают одного из 12

Образец: P(орёл и чётное число)

Сам

«Ровно один орёл»: 12 пар — 600 бросков

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Две кости. P(сумма 4)

б) Модель суммы двух костей в таблице

в) Три монеты. P(ровно два орла)

Найдите вероятность или частоту

Кости и монеты

Опыт и выбор

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-016 · Вероятность случайного события: практическая работа

Образец: бросают две монеты. $P (ровно один орёл)$

Почему «два орла» — не $\frac{1}{3}$ ?

$50$ бросков: частоты и вероятности

$36$ клеток — $36$ равновозможных исходов

Образец: бросают две кости. $P (сумма 7)$

$1000$ бросков в таблице

Образец: из карточек $1, 2, 3$ наугад по очереди берут две и составляют число. $P (число > 20)$

Монета и кость выбирают одного из $12$

Образец: $P (орёл и чётное число)$

«Ровно один орёл»: $12$ пар — $600$ бросков

а) Две кости. $P (сумма 4)$

в) Три монеты. $P (ровно два орла)$