Вероятность случайного события · урок 3 из 6 · исследование

Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8-015

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Вероятность случайного события» (6 ч), урок 3/6, тип И (урок-исследование). Единицы: R04.5 «Опыты с равновозможными элементарными событиями», R04.6 «Случайный выбор».
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 0,5 · 4 (равновозможные события, вывод $P = \frac{m}{n}$ ) 3,5 · 7 (две монеты, учитель решает сам) 2,5 · 9 (случайный выбор) 2,5 · 20 (итоговая сводка) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · исследование «равновозможны ли?» (сл. 5) 2 · образцы → сам (сл. 6) 2, (сл. 8, 10, 11) по 2,5 · исследование сумм двух кубиков (сл. 12) 2,5 · задача из жизни (сл. 13) 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 1,5 · ОГЭ (сл. 18) 2,5 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 21) 1.
Тип И: исследовательские слайды 5 и 12 — ученики выдвигают гипотезу, затем проверяют её подсчётом исходов. Следующий урок VIS8-016 — практическая работа: проверить опытом (монеты, кубики), что частоты близки к найденным сегодня вероятностям.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сл. 4, 7, 9 не сокращать.

R04.5 · R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

опыты с равновозможными элементарными событиями (ПР-4)

Вычислять

вероятность события по формуле $P (A) = \frac{m}{n}$ (ПР-4)

Считать исходы

перебором и таблицей, не теряя «перевёрнутых» пар (ПР-1, ПР-4)

Решать задачи

на случайный выбор: урна, билеты, числа, контроль качества (ПР-4)

0,5 мин · теория
ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями». ПР-1 (= REQ-5.1): извлекать информацию из таблиц и диаграмм (таблица исходов двух кубиков, диаграмма числа исходов на сл. 12). Элемент содержания EL-5.6: «Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор».
Деятельность по ФРП (R04): «Решать задачи на вычисление вероятностей событий в опытах с равновозможными элементарными событиями… Проводить и изучать опыты с равновозможными элементарными событиями».

повторение: VIS8-014

Разминка · устно

Исходы и вероятности

Элементарные события

Сколько исходов у броска кубика? $6$
Сколько исходов у броска двух монет? $4$
Кубик: сколько исходов благоприятствуют событию «больше $4$ »? $2$
$P (орёл)$ у симметричной монеты $0, 5$

Вероятности

$P (e_{1}) = 0, 2$ , $P (e_{2}) = 0, 3$ , $A = {e_{1}; e_{2}}$ . $P (A)$ ? $0, 5$
Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта $1$
$\frac{3}{12}$ — десятичной дробью $0, 25$
$\frac{7}{20}$ — десятичной дробью $0, 35$

R04.5 · ПР-4

Теория · равновозможные элементарные события

Если все исходы равновозможны

Элементарные события равновозможны, если ни одно не имеет преимущества: симметрия монеты, кубика, выбор наугад.

$n$ исходов, у каждого $\frac{1}{n}$ сумма всех $= 1$

$A$ — это $m$ исходов: $m \cdot \frac{1}{n}$ складываем

P (A) = \frac{m}{n}

3,5 мин · теория
Определение. Элементарные события опыта называют равновозможными, если у них одинаковые вероятности. Обычно это следует из симметрии (монета, правильный кубик, волчок) или из условия «наугад», «случайным образом», «жребием».
Вывод формулы (по шагам): 1) пусть $n$ равновозможных элементарных событий; их вероятности равны и в сумме дают 1 — значит, каждая равна $\frac{1}{n}$ . 2) Событие $A$ состоит из $m$ благоприятствующих элементарных событий; по правилу прошлого урока $P (A)$ — сумма их вероятностей: $m \cdot \frac{1}{n} = \frac{m}{n}$ .
Пример на рисунке: $A$ = «выпало чётное число»: $m = 3$ , $n = 6$ , $P (A) = \frac{1}{2}$ .
Важно: формула $\frac{m}{n}$ работает только для равновозможных исходов. Вопрос классу: можно ли так найти вероятность, что бутерброд упадёт маслом вниз? (Нет — исходы не симметричны, вероятность находят по частоте в опытах.)

R04.5 · ПР-4

Исследование · равновозможны ли исходы?

Где можно применять $P = \frac{m}{n}$ ?

Гипотеза → обоснование: есть ли симметрия или условие «наугад»?

2 мин · практика (исследование в парах)
Пары за 1 мин решают для каждого опыта: равновозможны ли его элементарные события, и обосновывают. Затем открываем ответы по одному.
Ответы: 1) да — монета симметрична. 2) да — правильный кубик симметричен. 3) нет — кнопка несимметрична; вероятности находят только опытом (частотой). 4) нет — сумма 2 получается одним способом (1; 1), а сумма 7 — шестью; к этому вернёмся на сл. 12. 5) да — «наугад» из одинаковых билетов. 6) нет — исход зависит от силы команд.
Вывод: формулу $P = \frac{m}{n}$ применяем только там, где ответ «да». В опытах 4 переходим к равновозможным исходам — парам чисел (таблица 6 × 6).

R04.5 · ПР-4

Образец → сам · бросок кубика

Правильный кубик бросают один раз

Образец: $P (число очков кратно 3)$

$n = 6$ кубик правильный — исходы равновозможны

$3$ и $6$ : $m = 2$ выделены

$P = \frac{2}{6} =$ $\frac{1}{3}$

Выпало меньше $3$ очков $\frac{1}{3}$
Выпало нечётное число $0, 5$
Выпало не меньше $2$ очков $\frac{5}{6}$

R04.5 · ПР-4

Теория · демонстрационный пример: две монеты

Две монеты: вероятность, что упадут по-разному

«Исходов три: ОО, РР, разные» $\Rightarrow P = \frac{1}{3}$ ✗

Исходы: ОО, ОР, РО, РР монеты различимы

У каждого $\frac{1}{4}$ симметрия

«Разные» $= {ОР; РО}$ , $m = 2$

$P (разные) = \frac{2}{4} =$ $\frac{1}{2}$

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Это ответ на вопрос из разминки. Исходы «два орла», «две решки», «разные» — не равновозможны: «разные» получаются двумя способами. Чтобы увидеть это, мысленно окрашиваем монеты в разные цвета (первая и вторая) — тогда ОР и РО явно разные исходы.
Решение: элементарные события — ОО, ОР, РО, РР; они равновозможны, у каждого вероятность $\frac{1}{4}$ . Событие «разные» = {ОР, РО}: $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . «Два орла» — $\frac{1}{4}$ , «две решки» — $\frac{1}{4}$ ; сумма $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$ .
Историческая справка (по желанию, 20 с): Даламбер считал, что вероятность «хотя бы один орёл» при двух бросках равна $\frac{2}{3}$ . Опыт показывает частоту около $\frac{3}{4}$ . Проверим это на практической работе (VIS8-016).

R04.5 · ПР-1 · ПР-4

Образец → сам · таблица исходов двух кубиков

Игральный кубик бросают дважды

Образец: $P (сумма 10)$ , до сотых

$n = 6 \cdot 6 = 36$ клетки — равновозможные пары

$(4; 6), (5; 5), (6; 4)$ : $m = 3$

$P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx$ $0, 08$

Сумма меньше $4$ (до сотых) $0, 08$
Произведение равно $12$ (до сотых) $0, 11$
На первом больше, чем на втором (до сотых) $0, 42$

R04.6 · ПР-4

Теория · случайный выбор

Из урны наугад вынимают один шар

Случайный выбор («наугад», «жребием»): у каждого предмета одинаковые шансы.

Исходы — предметы: $n = 10$ , каждый $\frac{1}{10}$

$A$ = «красный»: $m = 5$ , $P (A) = \frac{5}{10} = 0, 5$

синий: $0, 3$ ; зелёный: $0, 2$ сумма $1$

n

— все предметы, а не «остальные».

2,5 мин · теория
Случайный выбор — опыт, в котором один предмет из конечного набора выбирают так, что все предметы имеют равные шансы (перемешали и вынули не глядя; жребий; генератор случайных чисел). Это главный источник опытов с равновозможными элементарными событиями: элементарное событие — «выбран данный предмет».
На рисунке: в урне 10 шаров (5 красных, 3 синих, 2 зелёных). Вероятность вынуть каждый шар $\frac{1}{10}$ . Красный: $\frac{5}{10} = 0, 5$ ; синий: $\frac{3}{10} = 0, 3$ ; зелёный: $\frac{2}{10} = 0, 2$ ; сумма 1.
Примеры случайного выбора: билет на экзамене, ученик для ответа, номер в лотерее, деталь для проверки из партии, случайное число из промежутка.
Вопрос классу: шары одного цвета неразличимы — почему исходов 10, а не 3 (по цветам)? (Цвета не равновозможны: красных больше. Равновозможны именно шары.)

R04.6 · ПР-4

Образец → сам · обратная задача

Знаем вероятность — найдём число предметов

Образец: $4$ белых шара и несколько чёрных; $P (белый) = 0, 2$ . Сколько чёрных?

$\frac{4}{n} = 0, 2$ формула $P = \frac{m}{n}$

$n = 4 : 0, 2 = 20$ все шары

чёрных: $20 - 4 =$ $16$

Сам

В классе $12$ девочек. Вероятность, что к доске вызовут девочку, $0, 4$ . Сколько учеников в классе? $30$
$500$ лотерейных билетов, $P (выигрыш) = 0, 02$ . Сколько выигрышных? $10$
В вазе $6$ яблок и несколько груш; $P (груша) = 0, 6$ . Сколько груш? $9$

R04.6 · ПР-4

Образец → сам · случайный выбор числа

Наугад выбирают натуральное число от $1$ до $40$

Образец: $P (делится на 4)$

$n = 40$ выбор наугад

$4, 8, \dots, 40$ : $m = 40 : 4 = 10$

$P = \frac{10}{40} =$ $0, 25$

Число делится на $5$ $0, 2$
Число оканчивается цифрой $7$ $0, 1$
В записи числа есть цифра $3$ $0, 325$

R04.5 · ПР-1 · ПР-4

Исследование · суммы очков на двух кубиках

Почему $11$ сумм — это не $11$ равновозможных исходов

Гипотеза → проверка по таблице

Какая сумма вероятнее всего? С какой вероятностью? $7$ ; $\frac{1}{6}$
Что вероятнее: сумма $9$ или сумма $10$ ? $9$ : $\frac{4}{36} > \frac{3}{36}$
Петя выигрывает при сумме $7$ , Вася — при $2$ , $3$ или $12$ . Игра честная? нет: $\frac{6}{36}$ и $\frac{4}{36}$
Придумайте правила честной игры напр. $7$ против $2, 3, 11, 12$

2,5 мин · практика (исследование)
Ученики сначала высказывают гипотезы (часто: «все суммы одинаково вероятны» или «9 и 10 одинаково — у обеих по два разложения: 3 + 6, 4 + 5 и 4 + 6, 5 + 5»). Затем считают клетки в таблице 6 × 6 (сл. 8). Диаграмма — число клеток с каждой суммой; столбики открываются по клику.
Ответы: 1) сумма 7 — 6 клеток: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ . 2) сумма 9: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3) — 4 клетки; сумма 10: (4; 6), (5; 5), (6; 4) — 3 клетки; вероятнее 9. 3) Петя: $\frac{6}{36}$ ; Вася: суммы 2, 3, 12 — $1 + 2 + 1 = 4$ клетки, $\frac{4}{36}$ ; игра нечестная (Петя выигрывает чаще; в остальных случаях — переброс). 4) Например, 7 против {2, 3, 11, 12}: $1 + 2 + 2 + 1 = 6$ — по $\frac{6}{36}$ . Подходит любой ответ с равным числом клеток.
Историческая справка: вопрос «почему сумма 10 на трёх кубиках выпадает чаще суммы 9» задали Галилею итальянские игроки; он решил его тем же подсчётом исходов.

R04.6 · ПР-4

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Покупатель наугад выбирает один товар

Образец: $250$ аккумуляторов, $10$ неисправных. $P (исправный)$ ?

$n = 250$ , $m = 250 - 10 = 240$

$P = \frac{240}{250} =$ $0, 96$

Сам

Из $1000$ лампочек $15$ бракованных. Лампочка исправна? $0, 985$
Из $400$ насосов в среднем $8$ подтекают. Насос не подтекает? $0, 98$
На $120$ качественных сумок приходится $5$ с дефектом. Сумка качественная? $0, 96$

2 мин · практика
Образец (задача из жизни): покупатель берёт аккумулятор наугад — случайный выбор из 250. Исправных 240: $\frac{240}{250} = 0, 96$ . На рисунке каждая клетка — аккумулятор; красных клеток 10.
Сам: 1) $\frac{985}{1000} = 0, 985$ . 2) $\frac{392}{400} = 0, 98$ . 3) Внимание: «на 120 качественных — 5 с дефектом», значит, всего $120 + 5 = 125$ сумок: $\frac{120}{125} = 0, 96$ . Ошибка — $\frac{115}{120}$ или $\frac{120}{120}$ .
Обсуждение: контроль качества на заводе — это случайный выбор деталей для проверки; поэтому по доле брака в выборке судят о всей партии.

R04.5 · R04.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
две монеты: упали по-разному	$3$ исхода: $\frac{1}{3}$	ОР, РО из $4$ : $\frac{1}{2}$
два кубика: сумма $11$	сумм $11$ штук: $\frac{1}{11}$	$(5; 6), (6; 5)$ : $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
на $100$ исправных — $4$ брака: $P (брак)$	$\frac{4}{100}$	$n = 104$ : $\frac{4}{104} = \frac{1}{26}$
$20$ шаров, $5$ красных: $P (красный)$	$\frac{20}{5} = 4$ — больше $1$ !	$\frac{5}{20} = 0, 25$

R04.5 · R04.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. Найдите $P (сумма 4)$ .

$(1; 3), (2; 2)$ : $P = \frac{2}{36}$

потеряна пара $(3; 1)$

$P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

б) $14$ мальчиков и $11$ девочек. Наугад вызывают одного. $P (девочка)$ ?

$P = \frac{11}{14}$

$n$ — все ученики: $14 + 11 = 25$

$P = \frac{11}{25} = 0, 44$

в) Число от $1$ до $20$ наугад. $P (делится на 3)$ ?

«делится или нет» — $P = \frac{1}{2}$

исходы неравновозможны; исходы — $20$ чисел

$3, 6, \dots, 18$ : $\frac{6}{20} = 0, 3$

R04.5 · R04.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Кубики и монеты

Кубик: выпало больше $4$ очков $\frac{1}{3}$
Кубик: выпало не $6$ $\frac{5}{6}$
Две монеты: два орла $0, 25$
Два кубика: сумма $6$ (до сотых) $0, 14$

Случайный выбор

$30$ билетов, $6$ — по геометрии. Билет не по геометрии $0, 8$
Число от $1$ до $50$ : делится на $10$ $0, 1$
Урна: $3$ красных, $5$ синих, $2$ зелёных. Синий $0, 5$

R04.5 · R04.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Наугад выбирают двузначное число. Вероятность, что сумма его цифр равна $5$ (до сотых)? $0, 06$
повыш.В коробке красные и синие ручки, красных в $3$ раза больше. Наугад берут одну. $P (синяя)$ ? $0, 25$
повыш.Два кубика: хотя бы на одном выпала шестёрка (до сотых) $0, 31$
из жизниВ классе $25$ учеников: $8$ плавают, $10$ играют в футбол, $3$ — и то, и другое. Наугад выбран ученик. Он не занимается ни тем, ни другим? $0, 4$

1,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Двузначных чисел 90 (10…99); сумма цифр 5: 14, 23, 32, 41, 50 — 5 чисел; $\frac{5}{90} = \frac{1}{18} = 0, 0555 \dots \approx 0, 06$ .
2) Если синих $x$ , красных $3 x$ , всего $4 x$ : $\frac{x}{4 x} = 0, 25$ — ответ не зависит от числа ручек.
3) Строка 6 и столбец 6 таблицы: $6 + 6 - 1 = 11$ клеток; $\frac{11}{36} = 0, 305 \dots \approx 0, 31$ (или $1 - \frac{25}{36}$ ).
4) Связь с множествами (R03): занимаются хотя бы одним $8 + 10 - 3 = 15$ , ни тем ни другим $25 - 15 = 10$ ; $\frac{10}{25} = 0, 4$ . Нарисуйте круги Эйлера.

R04.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Случайный выбор в задачах ОГЭ

1. В фирме такси $50$ легковых автомобилей: $27$ чёрных, $3$ жёлтых, остальные зелёные. По вызову выехала случайная машина. Найдите вероятность того, что приедет зелёное такси.

$0, 4$

2. В среднем из $150$ карманных фонариков, поступивших в продажу, $3$ неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

$0, 98$

3. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на $51$ .

$0, 02$

В бланк — десятичная дробь:

0, 02

записывают как 0,02.

R04.5 · R04.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик: чётное число, большее $2$ $\frac{1}{3}$
$20$ билетов, $3$ выигрышных. Взяли один — не выиграл $0, 85$
Два кубика: сумма $5$ (до сотых) $0, 11$
$2$ белых и несколько чёрных шаров, $P (белый) = 0, 25$ . Сколько чёрных? $6$

Вариант 2

Кубик: нечётное число, меньшее $5$ $\frac{1}{3}$
$25$ билетов, $4$ выигрышных. Взяли один — не выиграл $0, 84$
Два кубика: сумма $8$ (до сотых) $0, 14$
$3$ белых и несколько чёрных шаров, $P (белый) = 0, 2$ . Сколько чёрных? $12$

R04.5 · R04.6

Теория · итоговая сводка правил

Как найти вероятность в опыте с равновозможными исходами

Равновозможные исходы

симметрия или «наугад»; у каждого из $n$ исходов вероятность $\frac{1}{n}$

Формула

$P (A) = \frac{m}{n}$ ,

где $m$ — благоприятствующие, $n$ — все исходы

Случайный выбор

исходы — предметы набора; $n$ — все предметы, а не «остальные»

Подсчёт исходов

перебор, таблица $6 \times 6$ ; пары $(1; 2)$ и $(2; 1)$ — разные

Проверка ответа:

0 \leq P \leq 1

; сумма вероятностей всех исходов равна

1

.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда можно применять $P = \frac{m}{n}$ ?
Почему у двух монет $4$ исхода, а не $3$ ?
Что такое случайный выбор?
Почему сумма $7$ вероятнее суммы $2$ ?

Домашнее задание

Два кубика: сумма очков чётная
Число от $1$ до $60$ наугад: делится и на $4$ , и на $6$ (до сотых)
Принесите монету и игральный кубик
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_sluchaynyy-vybor.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-015 · Опыты с равновозможными событиями. Случайный выбор

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Вероятность случайного события», 6 ч · урок 3/6 · тип И · «Вероятность случайного события»
Единицы → слайды	R04.5 «Опыты с равновозможными элементарными событиями» → 3–8, 12, 14–17, 19–20 · R04.6 «Случайный выбор» → 9–11, 13–20
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности в опытах с равновозможными элементарными событиями) → 3–21 · ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы) → 8, 12
Вне урока	практическая работа (R04.7) — VIS8-016; дерево и правило умножения — R05; противоположные события и формула сложения — R06
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Вычислять

Считать исходы

Решать задачи

Исходы и вероятности

Элементарные события

Вероятности

Если все исходы равновозможны

Где можно применять P=nm​?

Правильный кубик бросают один раз

Образец: P(число очков кратно 3)

Две монеты: вероятность, что упадут по-разному

Игральный кубик бросают дважды

Образец: P(сумма 10), до сотых

Из урны наугад вынимают один шар

Знаем вероятность — найдём число предметов

Образец: 4 белых шара и несколько чёрных; P(белый)=0,2. Сколько чёрных?

Сам

Наугад выбирают натуральное число от 1 до 40

Образец: P(делится на 4)

Почему 11 сумм — это не 11 равновозможных исходов

Гипотеза → проверка по таблице

Покупатель наугад выбирает один товар

Образец: 250 аккумуляторов, 10 неисправных. P(исправный)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. Найдите P(сумма 4).

б) 14 мальчиков и 11 девочек. Наугад вызывают одного. P(девочка)?

в) Число от 1 до 20 наугад. P(делится на 3)?

Решите и проверьте

Кубики и монеты

Случайный выбор

Подумайте и решите

Случайный выбор в задачах ОГЭ

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Как найти вероятность в опыте с равновозможными исходами

Равновозможные исходы

Формула

Случайный выбор

Подсчёт исходов

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-015 · Опыты с равновозможными событиями. Случайный выбор

Где можно применять $P = \frac{m}{n}$ ?

Образец: $P (число очков кратно 3)$

Образец: $P (сумма 10)$ , до сотых

Образец: $4$ белых шара и несколько чёрных; $P (белый) = 0, 2$ . Сколько чёрных?

Наугад выбирают натуральное число от $1$ до $40$

Образец: $P (делится на 4)$

Почему $11$ сумм — это не $11$ равновозможных исходов

Образец: $250$ аккумуляторов, $10$ неисправных. $P (исправный)$ ?

а) Кубик бросают дважды. Найдите $P (сумма 4)$ .

б) $14$ мальчиков и $11$ девочек. Наугад вызывают одного. $P (девочка)$ ?

в) Число от $1$ до $20$ наугад. $P (делится на 3)$ ?