Вероятность случайного события · урок 2 из 6

Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS8-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Вероятность случайного события» (6 ч), урок 2/6, тип Н (новый материал). Единицы: R04.3 «Благоприятствующие элементарные события», R04.4 «Вероятности событий». На прошлом уроке (VIS8-013) — элементарные и случайные события; сегодня — какие элементарные события благоприятствуют событию и как по их вероятностям найти вероятность события.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 (тема) 1 · 2 (цели) 0,5 · 4 (благоприятствующие события) 2,5 · 6 (вероятности элементарных событий) 2,5 · 7 (вероятность события — сумма) 3 · 10 (демонстрационный пример: колесо, учитель решает сам) 2,5 · 19 (итоговая сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 5) 2, (сл. 8, 9, 11) по 2,5, (сл. 12) 3 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 3 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 20) 1.
Опыты с равновозможными элементарными событиями ( $P = \frac{m}{n}$ ) — следующий урок (VIS8-015); здесь вероятности элементарных событий заданы таблицей, диаграммой или долей круга и могут быть разными.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теорию (сл. 4, 6, 7) не сокращать.

R04.3 · R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить благоприятствующие

выписывать элементарные события, при которых наступает событие $A$ (ПР-4)

Проверять распределение

вероятности всех элементарных событий в сумме дают $1$ (ПР-4)

Вычислять $P (A)$

как сумму вероятностей благоприятствующих элементарных событий (ПР-4)

Читать модели

таблицы, полоски, круговые диаграммы вероятностей (ПР-1, ПР-5)

0,5 мин · теория
ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями». ПР-1 (= REQ-5.1): извлекать информацию из таблиц и диаграмм. ПР-5 (= REQ-5.5): графические модели.
Деятельность по ФРП (R04): «Осваивать понятия: элементарное событие, случайное событие как совокупность благоприятствующих элементарных событий… Решать задачи на вычисление вероятностей событий по вероятностям элементарных событий случайного опыта».

повторение: элементарные события

Разминка · устно

Элементарные события и действия с дробями

Опыты

Сколько элементарных событий у броска кубика? $6$
Монету бросают дважды. Перечислите элементарные события ОО, ОР, РО, РР
Кубик: «выпало $7$ очков» — какое событие? невозможное
Кубик: «выпало меньше $7$ очков» — какое? достоверное

Сосчитайте

$0, 15 + 0, 35 + 0, 5$ $1$
$1 - 0, 37$ $0, 63$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$ $\frac{1}{2}$
$\frac{3}{8}$ десятичной дробью $0, 375$

R04.3

Теория · благоприятствующие элементарные события

Событие состоит из элементарных событий

Элементарное событие благоприятствует событию $A$ , если при нём $A$ наступает.

Событие $A$ — это набор благоприятствующих ему элементарных событий.

Невозможное — ни одного; достоверное — все.

2,5 мин · теория
Определение (учебник Высоцкого, Ященко): элементарные события, при которых событие $A$ наступает, называют благоприятствующими событию $A$ . Случайное событие удобно задавать списком (множеством) благоприятствующих ему элементарных событий.
Шаги: 1) подсвечиваем 2, 4, 6 — событие $A$ «выпало чётное число очков»; 2) пунктиром 5 и 6 — $B$ «выпало больше 4». Элементарное событие «6» благоприятствует и $A$ , и $B$ — одно элементарное событие может входить в разные события.
Вопрос классу: какие элементарные события благоприятствуют событию «выпало не меньше 5»? (5 и 6 — это то же событие $B$ : разные слова, одно событие.) Событию «выпало 0 очков»? (Никакие — невозможное.)

R04.3 · ПР-5

Образец → сам · выписываем благоприятствующие события

Двузначное число составляют из цифр $1$ , $2$ , $3$ (цифры могут повторяться)

Образец: событие $A$ «число чётное»

всего $3 \cdot 3 = 9$ элементарных событий клетки таблицы

чётное, если последняя цифра $2$ признак

$A = {12; 22; 32}$ — $3$ события

$B$ «цифры одинаковые» $11, 22, 33$
$C$ «число меньше $30$ » $6$ событий
$D$ «сумма цифр равна $5$ » $23, 32$

2 мин · практика
Образец: элементарные события — 9 чисел 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 (таблица: строка — первая цифра, столбец — вторая). Чётное число оканчивается чётной цифрой — только 2: 12, 22, 32 (подсвечен столбец).
Сам: 1) $B$ = {11; 22; 33} — диагональ. 2) $C$ = {11; 12; 13; 21; 22; 23} — первые две строки, 6 событий. 3) $D$ = {23; 32}: 2 + 3 = 3 + 2 = 5; 14 и 41 не подходят — цифры 4 нет.
Ученики показывают клетки на таблице у доски; обратить внимание, что 23 и 32 — разные элементарные события.

R04.4

Теория · вероятности элементарных событий

Несимметричная кость: у граней разные вероятности

Каждому элементарному событию сопоставлена вероятность $p$ , $0 \leq p \leq 1$

Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна $1$

2,5 мин · теория
Кость со смещённым центром тяжести (или кубик неправильной формы): частоты граней при многих бросках разные, поэтому разные и вероятности. Полоска длиной 1 — «вся вероятность» опыта; её делят между элементарными событиями: ширина куска = вероятность.
Свойство: элементарные события опыта не наступают одновременно и одно из них обязательно наступает, поэтому их вероятности в сумме дают 1 (вся полоска). Проверка шагом: 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,3 = 1.
Вопрос: может ли в таблице опыта быть 0,5; 0,4; 0,3? (Нет: сумма 1,2 > 1.) А 0,5; 0,3; 0,1? (Нет: 0,9 — какое-то элементарное событие пропущено.)

R04.4

Теория · вероятность случайного события

Как найти вероятность события

P (A) =

сумма вероятностей благоприятствующих

A

элементарных событий

невозможное: $P = 0$

достоверное: $P = 1$

любое: $0 \leq P (A) \leq 1$

3 мин · теория
Правило: чтобы найти вероятность события $A$ , выписываем благоприятствующие ему элементарные события и складываем их вероятности. На полоске — это суммарная ширина выделенных кусков.
Пример на той же кости (сл. 6): «чётное» = {2; 4; 6}, P = 0,2 + 0,2 + 0,3 = 0,7. Обратите внимание: 3/6 = 0,5 здесь неверно — грани неравновозможны (разбор на сл. 13).
Следствия: у невозможного события нет благоприятствующих — сумма 0; достоверному благоприятствуют все — сумма 1; значит, любая вероятность от 0 до 1. Вероятность того, что событие $A$ не наступит, — сумма по остальным элементарным событиям: P(1) + P(3) + P(5) = 0,3 = 1 − 0,7 (подробно — в теме «Противоположные события»).
Вопрос: P(«выпало больше 4») на этой кости? (0,1 + 0,3 = 0,4.)

R04.4 · ПР-1

Образец → сам · вероятность по диаграмме

Стрелок делает один выстрел: вероятности числа очков

Образец: $P (не менее 8 очков)$

благоприятствуют: $10$ , $9$ , $8$ «не менее» — $8$ тоже

$0, 15 + 0, 3 + 0, 25$ складываем

$P =$ $0, 7$

Выбьет $9$ или $10$ очков $0, 45$
Выбьет меньше $9$ очков $0, 55$
Выбьет не меньше $7$ очков $0, 85$

R04.4

Образец → сам · неизвестная вероятность

Найдите пропущенную вероятность, затем вероятность события

Образец: $P (L)$ и $P («M или L»)$

$P (L) = 1 - (0, 1 + 0, 3 + 0, 2) = 0, 4$ сумма $= 1$

$P (M или L) = 0, 3 + 0, 4 =$ $0, 7$

Сам

Кость: $P (1) = \dots = P (5) = 0, 16$ . Найдите $P (6)$ $0, 2$
Элементарные события $a, b, c, d$ : $P (a) = 0, 2$ , $P (b) = 0, 3$ , $P (c) = P (d)$ . Найдите $P (c)$ $0, 25$
$A = {a; b}$ , $P (A) = 0, 6$ , $P (a) = 0, 25$ . Найдите $P (b)$ $0, 35$

R04.4 · ПР-5

Теория · пример учителя: вероятность как доля круга

Колесо крутят один раз: вероятность сектора — его доля круга

сектор	К	С	З	Ж
угол	$14 4^{\circ}$	$10 8^{\circ}$	$7 2^{\circ}$	$3 6^{\circ}$
$p$	$0, 4$	$0, 3$	$0, 2$	$0, 1$

$P (К или З) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6$

$P (не синий) = 0, 4 + 0, 2 + 0, 1 = 0, 7$

Проверка:

0, 4 + 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 1

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Стрелка останавливается в любой точке окружности «одинаково возможно», поэтому вероятность сектора равна его доле круга: угол / 360°. К (красный) 144/360 = 0,4; С (синий) 108/360 = 0,3; З (зелёный) 72/360 = 0,2; Ж (жёлтый) 36/360 = 0,1. Сумма 1 — весь круг.
События: «красный или зелёный» = {К; З}: 0,4 + 0,2 = 0,6. «Не синий» = {К; З; Ж}: 0,7 (то же, что 1 − 0,3).
Здесь элементарные события — 4 сектора, и они не равновозможны; круговая диаграмма — наглядная модель распределения вероятностей (как полоска на сл. 6–7).

R04.3 · R04.4 · ПР-1

Образец → сам · таблица вероятностей двух дней

Прогноз погоды на выходные: С — сухо, Д — дождь

Образец: «хотя бы один день сухой»

благоприятствуют: СС, СД, ДС не подходит только ДД

$0, 45 + 0, 15 + 0, 15 =$ $0, 75$

Погода в оба дня одинаковая $0, 7$
В субботу будет дождь $0, 4$
Ровно один дождливый день $0, 3$

R04.4 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Сорт случайно выбранной детали с завода

Образец: деталь не бракованная

благоприятствуют: высший, первый, второй сорт

$0, 55 + 0, 3 + 0, 1 =$ $0, 95$ $= 1 - 0, 05$

Деталь высшего или первого сорта $0, 85$
Деталь не выше первого сорта $0, 45$
Примерно сколько бракованных среди $200$ деталей? $10$

R04.3 · R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
несимметричная кость (сл. 6): $P (чётное)$	$\frac{3}{6} = 0, 5$ — грани не равновозможны	$0, 2 + 0, 2 + 0, 3 = 0, 7$
стрелок: «не менее $8$ очков»	$0, 15 + 0, 3 = 0, 45$ — забыли $8$	$0, 15 + 0, 3 + 0, 25 = 0, 7$
две монеты: «хотя бы один орёл»	ОО, ОР — два события	ОО, ОР, РО — три
таблица: $0, 3; 0, 4; 0, 2; 0, 2$	считают по ней	сумма $1, 1 > 1$ — так не бывает

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Деление «число благоприятных на число всех» допустимо только для равновозможных элементарных событий (следующий урок). Если вероятности даны таблицей — складываем.
2) «Не менее 8» = 8, 9 или 10 — восьмёрка входит.
3) Монеты различимы: «орёл на первой, решка на второй» и «решка на первой, орёл на второй» — разные элементарные события.
4) Сумма вероятностей всех элементарных событий должна быть ровно 1: 0,3 + 0,4 + 0,2 + 0,2 = 1,1 — в таблице ошибка.

R04.3 · R04.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кость: $P (1) = 0, 1$ , $P (2) = P (3) = 0, 15$ , $P (4) = 0, 2$ , $P (5) = 0, 1$ , $P (6) = 0, 3$ . Выпало простое число

$P (1) + P (2) + P (3) + P (5) = 0, 5$

$1$ — не простое число

$0, 15 + 0, 15 + 0, 1 = 0, 4$

б) Опыт: $P (a) = 0, 3$ , $P (b) = 0, 25$ , других событий кроме $c$ нет. Найдите $P (c)$

$1 - 0, 3 - 0, 25 = 0, 55$

$0, 3 + 0, 25 = 0, 55$ — это не ответ

$P (c) = 1 - 0, 55 = 0, 45$

в) Погода (сл. 11): СС $0, 45$ , СД $0, 15$ , ДС $0, 15$ , ДД $0, 25$ . Хотя бы один дождливый день

только ДД: $0, 25$

подходят СД, ДС, ДД

$0, 15 + 0, 15 + 0, 25 = 0, 55$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Проверка распределения: 0,1 + 0,15 + 0,15 + 0,2 + 0,1 + 0,3 = 1. Простые числа на кости — 2, 3, 5; ученик включил 1. Верно 0,4.
б) Арифметическая ошибка: записал вычитание, а ответ взял от суммы. 1 − 0,3 − 0,25 = 0,45; проверка: 0,3 + 0,25 + 0,45 = 1.
в) «Хотя бы один дождливый» — один или два дня с дождём: {СД; ДС; ДД} = 0,55; ДД — «оба дождливые». Проверка: 1 − P(СС) = 1 − 0,45 = 0,55.

R04.3 · R04.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Как случайный ученик добирается до школы

пешком	автобус	метро	машина
$0, 45$	$0, 3$	$0, 15$	$0, 1$

Пешком или на автобусе $0, 75$
На транспорте (не пешком) $0, 55$
Не на метро $0, 85$

Кость со сл. 6

1	2	3	4	5	6
$0, 1$	$0, 2$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 1$	$0, 3$

Выпало больше $3$ $0, 6$
Выпало нечётное число $0, 3$
Выпало не больше $2$ $0, 3$

R04.3 · R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Элементарные события $a, b, c, d$ : $P (a) = 2 P (b)$ , $P (c) = P (d) = 0, 2$ . Найдите $P (a)$ $0, 4$
повыш.Несимметричную монету бросают дважды: $P (ОО) = 0, 36$ , $P (ОР) = P (РО) = 0, 24$ . Найдите $P (РР)$ и $P (выпали разные стороны)$ $0, 16$ ; $0, 48$
повыш.У кости вероятность грани $k$ равна $\frac{k}{21}$ . Найдите $P (чётное)$ $\frac{4}{7}$
из жизниБилет лотереи выигрывает $1000$ ₽ с вероятностью $0, 01$ , $100$ ₽ — $0, 05$ , $50$ ₽ — $0, 14$ , иначе ничего. Найдите $P (не меньше 100 ₽)$ и $P (без выигрыша)$ $0, 06$ ; $0, 8$

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Сумма вероятностей в задачах экзамена

1. Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна $0, 97$ , больше двух лет — $0, 89$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

$0, 08$

2. На экзамене достаётся один вопрос. Вероятность вопроса по теме «Вписанная окружность» — $0, 2$ , по теме «Параллелограмм» — $0, 15$ . Вопросов сразу по двум темам нет. Найдите вероятность вопроса по одной из этих тем.

$0, 35$

3. Вероятность того, что ученик верно решит больше $11$ задач теста, равна $0, 67$ , больше $10$ задач — $0, 74$ . Найдите вероятность того, что он решит ровно $11$ задач.

$0, 07$

В бланк — десятичная дробь:

0, 08

записывают как 0,08.

R04.3 · R04.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кость: $P (1) = P (2) = 0, 1$ , $P (3) = P (4) = 0, 2$ , $P (5) = 0, 15$

Найдите $P (6)$ $0, 25$
Выпало чётное число $0, 55$
Выпало больше $4$ $0, 4$
Две монеты: выпишите события, благоприятствующие «ровно одна решка» ОР, РО

Вариант 2

Кость: $P (1) = P (6) = 0, 2$ , $P (2) = P (4) = 0, 15$ , $P (3) = 0, 1$

Найдите $P (5)$ $0, 2$
Выпало нечётное число $0, 5$
Выпало меньше $3$ $0, 35$
Две монеты: выпишите события, благоприятствующие «хотя бы один орёл» ОО, ОР, РО

R04.3 · R04.4

Теория · итоговая сводка правил

Как найти вероятность события по вероятностям элементарных

1. Выписать

элементарные события, благоприятствующие событию $A$

2. Сложить

их вероятности: это $P (A)$

Проверка таблицы

сумма по всем элементарным событиям $= 1$

Проверка ответа

$0 \leq P (A) \leq 1$ ; невозможное — $0$ , достоверное — $1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое элементарное событие благоприятствует $A$ ?
Чему равна сумма вероятностей всех элементарных событий?
Как найти $P (A)$ по таблице?
Почему $\frac{3}{6}$ не годится для несимметричной кости?

Домашнее задание

Кость: $P (1) = 0, 05$ , $P (2) = 0, 1$ , $P (3) = 0, 15$ , $P (4) = P (5) = 0, 2$ . Найдите $P (6)$ и $P (больше 2)$
Числа из цифр $1, 2, 3$ (сл. 5): «сумма цифр равна $4$ »
Чайник: больше года — $0, 93$ , больше двух лет — $0, 81$ . От года до двух?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_elementarnye-sobytiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-014 · Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R04 «Вероятность случайного события», 6 ч · урок 2/6 · тип Н · «Благоприятствующие элементарные события; Вероятности событий»
Единицы → слайды	R04.3 «Благоприятствующие элементарные события» → 3–5, 11, 13–14, 18 · R04.4 «Вероятности событий» → 6–12, 15–19
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (вероятности событий по вероятностям элементарных) → 4–19 · ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы) → 8, 11, 15 · ПР-5 / REQ-5.5 (графические модели) → 5, 10, 12
Вне урока	опыты с равновозможными элементарными событиями и случайный выбор (R04.5, R04.6 — VIS8-015), противоположные события (R06)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий

Сегодня вы научитесь

Находить благоприятствующие

Проверять распределение

Вычислять P(A)

Читать модели

Элементарные события и действия с дробями

Опыты

Сосчитайте

Событие состоит из элементарных событий

Двузначное число составляют из цифр 1, 2, 3 (цифры могут повторяться)

Образец: событие A «число чётное»

Несимметричная кость: у граней разные вероятности

Как найти вероятность события

Стрелок делает один выстрел: вероятности числа очков

Образец: P(не менее 8 очков)

Найдите пропущенную вероятность, затем вероятность события

Образец: P(L) и P(«M или L»)

Сам

Колесо крутят один раз: вероятность сектора — его доля круга

Прогноз погоды на выходные: С — сухо, Д — дождь

Образец: «хотя бы один день сухой»

Сорт случайно выбранной детали с завода

Образец: деталь не бракованная

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кость: P(1)=0,1, P(2)=P(3)=0,15, P(4)=0,2, P(5)=0,1, P(6)=0,3. Выпало простое число

б) Опыт: P(a)=0,3, P(b)=0,25, других событий кроме c нет. Найдите P(c)

в) Погода (сл. 11): СС 0,45, СД 0,15, ДС 0,15, ДД 0,25. Хотя бы один дождливый день

Решите и проверьте

Как случайный ученик добирается до школы

Кость со сл. 6

Подумайте и решите

Сумма вероятностей в задачах экзамена

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Как найти вероятность события по вероятностям элементарных

1. Выписать

2. Сложить

Проверка таблицы

Проверка ответа

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-014 · Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий

Вычислять $P (A)$

Двузначное число составляют из цифр $1$ , $2$ , $3$ (цифры могут повторяться)

Образец: событие $A$ «число чётное»

Образец: $P (не менее 8 очков)$

Образец: $P (L)$ и $P («M или L»)$

а) Кость: $P (1) = 0, 1$ , $P (2) = P (3) = 0, 15$ , $P (4) = 0, 2$ , $P (5) = 0, 1$ , $P (6) = 0, 3$ . Выпало простое число

б) Опыт: $P (a) = 0, 3$ , $P (b) = 0, 25$ , других событий кроме $c$ нет. Найдите $P (c)$

в) Погода (сл. 11): СС $0, 45$ , СД $0, 15$ , ДС $0, 15$ , ДД $0, 25$ . Хотя бы один дождливый день