Множества · урок 4 из 4 · практикум

Практикум: множество, подмножество, операции

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS8-012

1,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Множества» (4 ч), урок 4/4, единицы R03.1 «Множество, подмножество», R03.2 «Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение». Тип урока — П (практикум): теория — короткими сводками и одним демонстрационным примером, остальное время решают ученики. Опора — VIS8-009 (множества и операции), VIS8-010 (свойства операций), VIS8-011 (графическое представление).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2,5 · 4 (сводка: множество и подмножество) 3 · 6 (сводка: операции) 3 · 9 (демонстрационный пример: подсчёт по кругам Эйлера) 3,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 12) 1,5 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка, база (сл. 14) 4 · повышенный уровень (сл. 15) 3 · ОГЭ (сл. 16) 2,5 · самостоятельная работа (сл. 17) 4 · итог и ДЗ (сл. 18) 1.
Картинка на титуле — универсальное множество U (рамка), круги A и B, закрашено пересечение A ∩ B. Вопрос для начала урока: какую часть рисунка образуют элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств? (Оба круга целиком — объединение.)
Если не успеваете: слайд 11 (числовые множества) и задания 3–4 сл. 15 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R03.1 · R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Перечислять элементы

и все подмножества данного множества (ПР-6)

Выполнять операции

объединение, пересечение, дополнение (ПР-6)

Читать круги Эйлера

называть закрашенную область, считать элементы в частях (ПР-5, ПР-7)

Решать задачи из жизни

про кружки, опросы, покупки — и числовые множества на прямой (ПР-7)

повторение: VIS8-009 – VIS8-011

Разминка · устно

Элементы, подмножества, операции

$A = {2, 4, 6, 8}$

Верно ли, что $6 \in A$ ? да
Верно ли, что $5 \in A$ ? нет, $5 \in / A$
Сколько элементов в $A$ ? $4$
Верно ли, что ${2, 8} \subset A$ ? да

Найдите

Делители числа $12$ $1, 2, 3, 4, 6, 12$
${1, 2} \cup {2, 3}$ ${1, 2, 3}$
${1, 2} \cap {2, 3}$ ${2}$
Общие элементы чётных и нечётных чисел $\emptyset$

2,5 мин · практика
Ответы: 1) Да, 6 — элемент A. 2) Нет: 5 ∉ A. 3) Четыре элемента. 4) Да: оба элемента 2 и 8 лежат в A — значит, {2, 8} — подмножество A. 5) 1, 2, 3, 4, 6, 12 (шесть делителей; пригодятся на сл. 4). 6) В объединение — всё, что есть хотя бы в одном: {1, 2, 3}, общий элемент 2 пишем один раз. 7) В пересечение — только общее: {2}. 8) Пересечение пусто — пустое множество ∅.
Задания 4 и 6 — подготовка к ловушкам урока: элемент и подмножество; повторяющиеся элементы в объединении.

R03.1

Теория · сводка · множество и подмножество

$B \subset A$ : каждый элемент $B$ лежит в $A$

$A$ — делители $12$ : ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$

$B$ — делители $4$ : ${1, 2, 4}$ , $B \subset A$

$2 \in A$ — элемент; ${2} \subset A$ — подмножество

$\emptyset \subset A$ и $A \subset A$ — для любого $A$

A = B

, если

A \subset B

и

B \subset A

: порядок элементов не важен

3 мин · теория
Сводка урока VIS8-009. Множество задают перечислением ({1, 2, 3, 4, 6, 12}) или характеристическим свойством («делители числа 12»). На рисунке большой овал — A, внутри него овал B (делители 4: 1, 2, 4) — так на диаграмме Эйлера изображают подмножество. Каждый делитель 4 является делителем 12, поэтому B ⊂ A.
Знак ∈ — между элементом и множеством, знак ⊂ — между двумя множествами. Пустое множество и само множество — подмножества любого множества.
Вопрос классу: равны ли множества {1, 2, 3} и {3, 1, 2}? (Да — те же элементы.) А {1, 2} и {1, 2, 2}? (Да — повтор элемента ничего не добавляет.)

R03.1

Образец → сам · все подмножества

Каждый элемент: берём или не берём

Образец: выпишите все подмножества ${а, б, в}$

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ подмножеств для каждого элемента 2 выбора

в том числе $\emptyset$ и само ${а, б, в}$ крайние ветки

Сам

Все подмножества ${x, y}$ $\emptyset, {x}, {y}, {x, y}$
Верно ли, что ${2, 5} \subset {1, 2, 3, 4}$ ? нет: $5 \in /$
Сколько подмножеств у ${1, 2, 3, 4}$ ? $16$

2,5 мин · практика
Образец: дерево «берём/не берём» (бирюзовая ветка — берём элемент, серая — нет) — та же модель, что дерево случайного опыта в следующей теме. Листья открываются шагом: {а, б, в}, {а, б}, {а, в}, {а}, {б, в}, {б}, {в}, ∅ — 8 подмножеств: одно пустое, три из одного элемента, три из двух, одно из трёх (1 + 3 + 3 + 1 = 8).
1) ∅, {x}, {y}, {x, y} — 4 = 2 · 2. 2) Нет: 5 не элемент {1, 2, 3, 4}, достаточно одного «лишнего» элемента. 3) 2 · 2 · 2 · 2 = 16 (к каждому из 8 подмножеств {1, 2, 3} добавляем или не добавляем 4). Проверено перебором.

R03.2

Теория · сводка · операции над множествами

Объединение, пересечение, дополнение

$A \cup B$

элементы хотя бы одного из множеств — «или»

${1, 2, 3} \cup {3, 4} = {1, 2, 3, 4}$

$A \cap B$

общие элементы обоих множеств — «и»

${1, 2, 3} \cap {3, 4} = {3}$

$\overline{A}$

элементы $U$ , которые не лежат в $A$ — «не»

$U = {1, \dots, 5}$ , $A = {1, 2, 3}$ : $\overline{A} = {4, 5}$

3 мин · теория
Сводка уроков VIS8-009 и VIS8-011. Прямоугольник — универсальное множество U (все рассматриваемые элементы), круги — A и B. Закрашено: объединение — оба круга целиком; пересечение — общая часть («линза»); дополнение A — всё в U, кроме круга A.
Связь с речью: «или» → объединение, «и» → пересечение, «не» → дополнение. Это пригодится в теме «Случайные события» (VIS8-013): событие «A или B» — объединение, «A и B» — пересечение, противоположное событие — дополнение.
Вопрос классу: что такое $A \cap \overline{A}$ и $A \cup \overline{A}$ ? (∅ и U.)

R03.2

Образец → сам · операции перечислением

Сначала расставьте элементы по частям диаграммы

Образец: $U = {1, \dots, 10}$ , $A$ — чётные, $B$ — кратные $3$

$A \cup B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}$ оба круга

$A \cap B = {6}$ линза, $\overline{A} = {1, 3, 5, 7, 9}$ вне $A$

Сам: $U = {1, \dots, 8}$ , $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $B = {4, 5, 6, 7}$

$A \cup B$ ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$
$A \cap B$ ${4, 5}$
$\overline{B}$ ${1, 2, 3, 8}$

2,5 мин · практика
Образец: A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9}. Порядок: сначала общие элементы в линзу (6), затем остальные элементы A (2, 4, 8, 10), остальные B (3, 9), всё прочее — вне кругов (1, 5, 7). Ответы читаем с диаграммы: объединение — 7 элементов (6 записываем один раз), пересечение {6}, дополнение A — всё вне круга A: {1, 3, 5, 7, 9}.
Сам (диаграмма открывается по клику — сначала пусть ученики нарисуют свою): 1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 2) {4, 5}. 3) Вне B: {1, 2, 3, 8}. Проверено вычислением.

R03.2

Образец → сам · какая область закрашена

Область «в $A$ , но не в $B$ » — это $A \cap \overline{B}$

Образец: закрасьте $A \cap \overline{B}$

$A$ — фиолетовый, $\overline{B}$ — оранжевый по отдельности

$\cap$ — где закрашены оба → $A$ без линзы

Сам: запишите закрашенное множество

1)

\overline{A \cup B}

2)

B \cap \overline{A}

3)

\overline{A \cap B}

Проверка: возьмите точку в каждой части и спросите «в

A

? в

B

?»

2,5 мин · практика
Образец по шагам: 1) закрашиваем A (фиолетовым); 2) закрашиваем дополнение B — всё вне круга B (оранжевым); 3) пересечение — там, где оба цвета: это часть A вне линзы (розовая). Словами: «в A, но не в B».
1) Закрашено всё вне обоих кругов: не в A и не в B — это дополнение объединения, $\overline{A \cup B}$ (можно записать $\overline{A} \cap \overline{B}$ — то же самое). 2) Часть B без линзы: $B \cap \overline{A}$ . 3) Закрашено всё, кроме линзы: дополнение пересечения $\overline{A \cap B}$ (то же, что $\overline{A} \cup \overline{B}$ ).
Приём проверки: для каждой из 4 частей диаграммы ответить «в A? в B?» и сравнить с формулой.

R03.2 · R03.4

Теория · демонстрационный пример · подсчёт по кругам Эйлера

Заполняем диаграмму от центра к краям

В классе $30$ учеников: $18$ занимаются футболом (Ф), $14$ — плаванием (П), $6$ — и тем и другим.

$∣ Ф \cap П ∣ = 6$ в линзу — первым

только Ф: $18 - 6 = 12$ , только П: $14 - 6 = 8$

$∣ Ф \cup П ∣ = 12 + 6 + 8 = 26$

ни тем ни другим: $30 - 26 =$ $4$

18 + 14 = 32 > 30

: общих

6

посчитали дважды

3,5 мин · теория (учитель решает и комментирует)
Запись |A| — число элементов множества A. Главное правило: заполнять диаграмму с самой «внутренней» части — пересечения. Числа на диаграмме открываются вместе с шагами: 6 в линзе, 12 и 8 в «только» частях, 4 вне кругов.
Проверка: 12 + 6 + 8 + 4 = 30 ✓. Сумма 18 + 14 = 32 больше числа учеников — потому что 6 человек вошли и в 18, и в 14. Поэтому |Ф ∪ П| = 18 + 14 − 6 = 26.
Вопрос классу: сколько учеников занимаются ровно одним видом спорта? (12 + 8 = 20.)

R03.2 · R03.4

Образец → сам · обратная задача из жизни

Известно «ни одного» — найдите «оба»

Образец: из $40$ туристов $25$ знают английский (А), $18$ — немецкий (Н), $8$ — ни один из них. Сколько знают оба?

$∣ А \cup Н ∣ = 40 - 8 = 32$ хотя бы один язык

$25 + 18 - 32 =$ $11$ лишнее при сложении — общие

только А: $14$ , только Н: $7$ ; $14 + 11 + 7 + 8 = 40$ ✓

Сам: нарисуйте круги и решите

$25$ учеников: $15$ любят математику, $12$ — физику, $4$ — ни ту ни другую. Обе? $6$
$20$ ходят на рисование, $15$ — на музыку, $7$ — на оба. Сколько ходят хотя бы в один кружок? $28$
$35$ ребят видели фильм А или Б: $20$ — А, $17$ — Б. Сколько видели только А? $18$

R03.2 · R03.4

Образец → сам · числовые множества на прямой

Пересечение и объединение промежутков

Образец: $A$ : $- 2 \leq x \leq 4$ , $B$ : $1 < x \leq 6$

$A \cap B$ : $1 < x \leq 4$ где есть обе полоски

$A \cup B$ : $- 2 \leq x \leq 6$ хотя бы одна полоска

Сам: нарисуйте на прямой

$A$ : $x \geq 0$ , $B$ : $x < 5$ . $A \cap B$ $0 \leq x < 5$
$A$ : $x < - 1$ , $B$ : $x > 2$ . $A \cap B$ $\emptyset$
$A$ : $1 \leq x \leq 3$ , $B$ : $2 \leq x \leq 8$ . $A \cup B$ $1 \leq x \leq 8$
Целые числа в $A \cap B$ : $A$ : $- 3 < x \leq 2$ , $B$ : $x \geq 0$ $0, 1, 2$

2,5 мин · практика
Образец: закрашенный кружок — число входит в множество (знак ≤), пустой — не входит (знак <). Пересечение — где лежат обе полоски: от 1 (не включая) до 4 (включая). Объединение — от −2 до 6: промежутки перекрываются, разрыва нет.
1) 0 ≤ x < 5. 2) Полоски не перекрываются — пересечение пусто. 3) Промежутки перекрываются (от 2 до 3), объединение 1 ≤ x ≤ 8. 4) A ∩ B: 0 ≤ x ≤ 2, целые 0, 1, 2. Проверено перебором.
Связь с алгеброй: решение системы неравенств — пересечение множеств решений (формат ОГЭ на сл. 16).

R03.1 · R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
путают «и» и «или»	${1, 2, 3} \cap {3, 4} = {1, 2, 3, 4}$	${1, 2, 3} \cap {3, 4} = {3}$
складывают, забыв общие	$∣ Ф \cup П ∣ = 18 + 14 = 32$	$18 + 14 - 6 = 26$
элемент и подмножество	$2 \subset {1, 2, 3}$	$2 \in {1, 2, 3}$ , ${2} \subset {1, 2, 3}$
забывают пустое множество	у ${а, б}$ три подмножества	четыре: $\emptyset$ , ${а}$ , ${б}$ , ${а, б}$

R03.1 · R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A = {1, 3, 5, 7}$ , $B = {3, 4, 5, 6}$ . Найдите $A \cap B$

$A \cap B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}$

это объединение $A \cup B$

$A \cap B = {3, 5}$

б) $28$ учеников: $16$ рисуют, $15$ поют, $5$ — и то и другое. Сколько не рисуют и не поют?

$28 - 16 - 15 = - 3$ — «в условии ошибка»

$5$ вычли дважды

$16 + 15 - 5 = 26$ ; $28 - 26 = 2$

в) $U = {1, \dots, 6}$ , $A = {1, 2}$ , $B = {2, 3}$ . Найдите $\overline{A \cup B}$

$\overline{A} = {3, 4, 5, 6}$ , $\overline{B} = {1, 4, 5, 6}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B} = {1, 3, 4, 5, 6}$

$A \cup B = {1, 2, 3}$ — дополнение к нему

$\overline{A \cup B} = {4, 5, 6}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик записал все элементы обоих множеств — это объединение; общие только 3 и 5. б) Пять учеников, которые и рисуют, и поют, вычтены дважды (и в 16, и в 15). Хотя бы одно занятие: 16 + 15 − 5 = 26, ни одного: 28 − 26 = 2. в) Дополнения A и B найдены верно, но «дополнение объединения» — не объединение дополнений: верно $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = {4, 5, 6}$ (проверка по диаграмме: вне обоих кругов). Все ответы проверены вычислением.

R03.1 · R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Множества и подмножества

${к, о, т} = {т, о, к}$ ? да
Подмножества ${1, 2, 3}$ из двух элементов ${1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$
$U = {1, \dots, 6}$ , $A = {2, 3, 5}$ . $\overline{A}$ ${1, 4, 6}$

Операции и подсчёт

${a, b, c, d} \cap {c, d, e}$ ${c, d}$
${1, 3, 5} \cup {1, 2}$ ${1, 2, 3, 5}$
Общие делители $6$ и $9$ ${1, 3}$
$∣ A ∣ = 10$ , $∣ B ∣ = 7$ , $∣ A \cap B ∣ = 3$ . $∣ A \cup B ∣$ $14$

R03.1 · R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько подмножеств у множества из $5$ элементов? $32$
повыш. $A$ — двузначные числа, кратные $5$ ; $B$ — чётные двузначные. Сколько элементов в $A \cap B$ ? $9$
повыш.Известно, что $A \subset B$ . Чему равны $A \cup B$ и $A \cap B$ ? $B$ и $A$
из жизниИз $100$ покупателей $63$ купили хлеб, $45$ — молоко, $20$ — ни того ни другого. Сколько купили и хлеб, и молоко? $28$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Решение системы — пересечение множеств

1. Укажите решение системы ${x \geq - 1, x < 3.$

1)

2)

3)

4)

Ответ: $2$

2. Укажите решение системы ${x < 4, x > 6.$

$x < 4$
$4 < x < 6$
$x > 6$
нет решений

Ответ: $4$

2,5 мин · практика
Линия 13 ОГЭ — неравенства и системы неравенств; решение системы — пересечение множеств решений каждого неравенства. 1) x ≥ −1 — луч вправо от −1 (закрашенная точка), x < 3 — луч влево от 3 (пустая точка); общая часть −1 ≤ x < 3 — рисунок 2. Рисунок 1 — только первое неравенство, 3 — только второе, 4 — дополнение ответа. 2) Числа меньше 4 и одновременно больше 6 не существуют: пересечение пусто — ответ 4.
В бланк — номер варианта ответа: 2 и 4.

R03.1 · R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

${2, 4, 6, 8} \cap {4, 5, 6}$ ${4, 6}$
${2, 4, 6, 8} \cup {4, 5, 6}$ ${2, 4, 5, 6, 8}$
$U = {1, \dots, 8}$ , $A = {1, 2, 3}$ . $\overline{A}$ ${4, 5, 6, 7, 8}$
$30$ учеников: $17$ — шахматы, $12$ — теннис, $5$ — оба. Ни то ни другое? $6$

Вариант 2

${1, 3, 5, 7} \cap {3, 6, 7}$ ${3, 7}$
${1, 3, 5, 7} \cup {3, 6, 7}$ ${1, 3, 5, 6, 7}$
$U = {1, \dots, 8}$ , $A = {5, 6, 7, 8}$ . $\overline{A}$ ${1, 2, 3, 4}$
$25$ учеников: $14$ — хор, $11$ — танцы, $4$ — оба. Ни то ни другое? $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем $\in$ отличается от $\subset$ ?
Какая часть кругов — $A \cap B$ , а какая — $A \cup B$ ?
С какой части начинают заполнять диаграмму?

Домашнее задание

$U = {1, \dots, 12}$ , $A$ — чётные, $B$ — кратные $3$ : диаграмма, $A \cup B$ , $A \cap B$ , $\overline{A}$
$32$ ученика: $20$ смотрят футбол, $15$ — хоккей, $7$ — ни то ни другое. Сколько смотрят оба?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_mnozhestva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-012 · Практикум: Множество, подмножество

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R03 «Множества», 4 ч · урок 4/4 · тип П
Единицы → слайды	R03.1 «Множество, подмножество» → 2–5, 12–15, 17 · R03.2 «Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение» → 2, 3, 6–18
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (диаграммы Эйлера, числовая прямая) → 6–11, 16 · ПР-6 / REQ-5.6 (множество, подмножество, операции) → 3–8, 12–17 · ПР-7 / REQ-5.7 (графическое представление в задачах) → 9–11, 15, 17
Вне урока	свойства операций — VIS8-010 (здесь только $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ в разборе ошибки); формула включения-исключения как правило — углублённый курс, здесь подсчёт по частям диаграммы; события — VIS8-013
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: множество, подмножество, операции

Сегодня вы научитесь

Перечислять элементы

Выполнять операции

Читать круги Эйлера

Решать задачи из жизни

Элементы, подмножества, операции

A={2, 4, 6, 8}

Найдите

B⊂A: каждый элемент B лежит в A

Каждый элемент: берём или не берём

Образец: выпишите все подмножества {а, б, в}

Сам

Объединение, пересечение, дополнение

A∪B

A∩B

A

Сначала расставьте элементы по частям диаграммы

Образец: U={1,…,10}, A — чётные, B — кратные 3

Сам: U={1,…,8}, A={1,2,3,4,5}, B={4,5,6,7}

Область «в A, но не в B» — это A∩B

Образец: закрасьте A∩B

Сам: запишите закрашенное множество

Заполняем диаграмму от центра к краям

Известно «ни одного» — найдите «оба»

Образец: из 40 туристов 25 знают английский (А), 18 — немецкий (Н), 8 — ни один из них. Сколько знают оба?

Сам: нарисуйте круги и решите

Пересечение и объединение промежутков

Образец: A: −2≤x≤4, B: 1<x≤6

Сам: нарисуйте на прямой

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A={1,3,5,7}, B={3,4,5,6}. Найдите A∩B

б) 28 учеников: 16 рисуют, 15 поют, 5 — и то и другое. Сколько не рисуют и не поют?

в) U={1,…,6}, A={1,2}, B={2,3}. Найдите A∪B

Решите и проверьте

Множества и подмножества

Операции и подсчёт

Подумайте и решите

Решение системы — пересечение множеств

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-012 · Практикум: Множество, подмножество

$A = {2, 4, 6, 8}$

$B \subset A$ : каждый элемент $B$ лежит в $A$

Образец: выпишите все подмножества ${а, б, в}$

$A \cup B$

$A \cap B$

$\overline{A}$

Образец: $U = {1, \dots, 10}$ , $A$ — чётные, $B$ — кратные $3$

Сам: $U = {1, \dots, 8}$ , $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $B = {4, 5, 6, 7}$

Область «в $A$ , но не в $B$ » — это $A \cap \overline{B}$

Образец: закрасьте $A \cap \overline{B}$

Образец: из $40$ туристов $25$ знают английский (А), $18$ — немецкий (Н), $8$ — ни один из них. Сколько знают оба?

Образец: $A$ : $- 2 \leq x \leq 4$ , $B$ : $1 < x \leq 6$

а) $A = {1, 3, 5, 7}$ , $B = {3, 4, 5, 6}$ . Найдите $A \cap B$

б) $28$ учеников: $16$ рисуют, $15$ поют, $5$ — и то и другое. Сколько не рисуют и не поют?

в) $U = {1, \dots, 6}$ , $A = {1, 2}$ , $B = {2, 3}$ . Найдите $\overline{A \cup B}$