Множества · урок 2 из 4

Свойства операций над множествами

Вероятность и статистика · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS8-010

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Множества» (4 ч), урок 2/4, единица R03.3 «Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения». Тип урока — Н. Опора — VIS8-009 (множество, подмножество, объединение, пересечение, дополнение).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (переместительное и сочетательное) 3 · 6 (распределительное) 3,5 · 7 (проверка по областям) 2 · 9 (свойство включения) 2,5 · 13 (сводка свойств) 1.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 8, 10, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — закрашено $A \cap (B \cup C)$ : часть круга $A$ , которая попала в $B$ или в $C$ . К концу урока ученики запишут это множество двумя способами.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию (сл. 4, 6, 7, 9) не сокращать.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Менять порядок и скобки

переместительное и сочетательное свойства $\cup$ и $\cap$ (ПР-6)

Раскрывать скобки

распределительное свойство: $A \cap (B \cup C)$ (ПР-6)

Применять включение

если $A \subset B$ , то $A \cap B = A$ , $A \cup B = B$ (ПР-6)

Проверять на кругах Эйлера

равенство множеств — по областям диаграммы (ПР-5, ПР-7)

повторение: VIS8-009

Разминка · устно

$A = {1; 2; 3; 4}$ , $B = {3; 4; 5; 6}$ , $U = {1; 2; \dots; 8}$

Найдите

$A \cup B$ ${1; 2; 3; 4; 5; 6}$
$A \cap B$ ${3; 4}$
$\overline{A}$ ${5; 6; 7; 8}$
$A \cup A$ $A$

Ответьте

Верно ли, что ${1; 3} \subset A$ ? да
Сколько элементов в $A \cup B$ ? $6$
$B \cap \emptyset$ $\emptyset$
чётные $\cap$ нечётные $\emptyset$

R03.3

Теория · переместительное и сочетательное свойства

Порядок множеств и скобки не важны

Если операция одна (

\cup

или

\cap

), скобки можно не писать:

A \cup B \cup C

,

A \cap B \cap C

3 мин · теория
Переместительное (коммутативное): $A \cup B = B \cup A$ , $A \cap B = B \cap A$ — по определению: «элемент лежит в A или в B» то же, что «в B или в A»; «в A и в B» — то же, что «в B и в A». На диаграммах 1–2 закрашенная фигура симметрична — от перемены букв она не меняется.
Сочетательное (ассоциативное): $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ — в обоих случаях получаем элементы, которые лежат хотя бы в одном из трёх множеств (диаграмма 3: сначала $A \cup B$ , затем добавили $C$ — закрашены все три круга). $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ — элементы, которые лежат во всех трёх сразу (диаграмма 4: сначала общая часть A и B, затем её часть в C — центральная область).
Аналогия с числами: ∪ ведёт себя как сложение, ∩ — как умножение. Вопрос классу: верно ли $A \cup B \cap C = (A \cup B) \cap C$ ? (Нет! Когда операции разные, скобки важны — это следующий слайд.)

R03.3

Образец → сам · сочетательное свойство

Расставим скобки по-разному — ответ один

Образец: $A = {1; 2; 3; 4; 5}$ , $B = {2; 4; 6; 8}$ , $C = {4; 5; 6; 7}$ . Найдите $(A \cap B) \cap C$ и $A \cap (B \cap C)$

$A \cap B = {2; 4}$ общие $A$ и $B$

$(A \cap B) \cap C = {4}$ из них в $C$

$B \cap C = {4; 6}$ , $A \cap {4; 6} = {4}$

Равны: ${4}$ сочетательное свойство

Сам

${1; 3; 5; 7} \cup {3; 4; 5}$ и ${3; 4; 5} \cup {1; 3; 5; 7}$ оба ${1; 3; 4; 5; 7}$
Для $A$ , $B$ , $C$ образца: $A \cup B \cup C$ ${1; 2; \dots; 8}$
$({1; 2} \cap {2; 3}) \cap {3; 4}$ $\emptyset$

2,5 мин · практика
Образец: элементы разложены по областям диаграммы (1, 3 — только в A; 2 — в A и B; 4 — во всех трёх; 5 — в A и C; 6 — в B и C; 8 — только в B; 7 — только в C). A ∩ B = {2; 4} (сиреневая линза), из них в C лежит только 4 (центр). Другой порядок: B ∩ C = {4; 6}, из них в A — только 4. Ответ один и тот же — {4}.
1) Оба объединения равны {1; 3; 4; 5; 7} — переместительное свойство; 3 и 5 записываем один раз. 2) {1; 2; 3; 4; 5} ∪ {2; 4; 6; 8} ∪ {4; 5; 6; 7} = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, скобки не нужны. 3) {1; 2} ∩ {2; 3} = {2}, {2} ∩ {3; 4} = ∅; с другими скобками: {2; 3} ∩ {3; 4} = {3}, {1; 2} ∩ {3} = ∅ — тот же ответ. Все ответы проверены перебором (python).

R03.3

Теория · распределительное свойство

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Как у чисел: $a (b + c) = ab + a c$

Второе: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

3,5 мин · теория
Левая часть по шагам: сначала $B \cup C$ (бирюзовая фигура из двух кругов), потом оставляем ту её часть, что лежит в $A$ (розовое). Правая часть: $A \cap B$ (сиреневое) и $A \cap C$ (оранжевое) — две «линзы» внутри $A$ , их объединение — та же розовая фигура. Знак «=» открывается последним: фигуры совпали.
Словами: «лежит в A и (в B или в C)» = «(в A и в B) или (в A и в C)». Как у чисел: $a (b + c) = ab + a c$ — «раскрываем скобки», $A \cap$ «умножается» на каждое множество в скобке.
Второе распределительное свойство: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ . У чисел аналога нет: $2 + 3 \cdot 4 = 14$ , а $(2 + 3) (2 + 4) = 30$ . Для множеств оно верно — проверим по областям на следующем слайде.

R03.3

Теория · доказательство по областям

Три круга делят $U$ на $8$ областей

множество	области
$A$ / $B \cap C$	$1, 2, 4, 5$ / $5, 6$
$A \cup (B \cap C)$	$1, 2, 4, 5, 6$
$A \cup B$ / $A \cup C$	$1 - 6$ / $1, 2, 4, 5, 6, 7$
$(A \cup B) \cap (A \cup C)$	$1, 2, 4, 5, 6$

Области совпали — равенство верно всегда

2 мин · теория
Нумерация: 1 — только A, 2 — A и B (без C), 3 — только B, 4 — A и C (без B), 5 — все три, 6 — B и C (без A), 7 — только C, 8 — вне кругов. Любой элемент U попадает ровно в одну область, поэтому множество задаётся списком областей.
A = 1, 2, 4, 5; B = 2, 3, 5, 6; C = 4, 5, 6, 7. B ∩ C = 5, 6; A ∪ (B ∩ C) = 1, 2, 4, 5, 6. A ∪ B = 1, 2, 3, 4, 5, 6; A ∪ C = 1, 2, 4, 5, 6, 7; общие области — 1, 2, 4, 5, 6. Совпало — второе распределительное свойство доказано. Закрашенная (розовая) фигура открывается последним шагом: круг A и линза B ∩ C.
Этот способ — главный инструмент проверки любого равенства с тремя множествами: записать области левой и правой частей и сравнить. Проверка на одном примере с числами равенство не доказывает (а опровергнуть может).

R03.3

Образец → сам · распределительное свойство

Два пути к одному ответу

Образец: $A = {1; \dots; 6}$ , $B = {2; 4; 6; 8; 10}$ , $C = {3; 6; 9}$ . Найдите $A \cap (B \cup C)$ двумя способами

$B \cup C = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10}$

$A \cap (B \cup C) = {2; 3; 4; 6}$ из них в $A$

$A \cap B = {2; 4; 6}$ , $A \cap C = {3; 6}$

${2; 4; 6} \cup {3; 6} =$ ${2; 3; 4; 6}$ совпало

Сам: $A$ , $B$ , $C$ — из образца

$A \cup (B \cap C)$ ${1; \dots; 6} = A$
$(A \cup B) \cap (A \cup C)$ ${1; \dots; 6}$
Запишите иначе: $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ $A \cap (B \cup C)$

2,5 мин · практика
Образец: на диаграмме 1, 5 — только в A; 2, 4 — в A и B; 6 — во всех трёх; 3 — в A и C; 8, 10 — только в B; 9 — только в C. Первый путь: B ∪ C = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10}, в A из них 2, 3, 4, 6. Второй путь: A ∩ B = {2; 4; 6}, A ∩ C = {3; 6}, объединение {2; 3; 4; 6}. Розовая фигура — числа 2, 3, 4, 6.
1) B ∩ C = {6}, A ∪ {6} = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = A (6 уже лежит в A). 2) A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}, A ∪ C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}, общие — {1; …; 6}; совпало с заданием 1 — второе распределительное свойство. 3) «Выносим A за скобки»: A ∩ (B ∪ C). Ответы проверены перебором (python).

R03.3

Теория · свойство включения

Если $A \subset B$ , одна из операций «ничего не меняет»

$A \subset B$ $\Rightarrow$ $A \cap B = A$ , $A \cup B = B$

Всегда: $A \cap B \subset A \subset A \cup B$

$A \cup \emptyset = A$ , $A \cap \emptyset = \emptyset$
$A \cup \overline{A} = U$ , $A \cap \overline{A} = \emptyset$

2,5 мин · теория
Левая диаграмма: круг A целиком внутри B. Общая часть A и B — это сам A (розовое); объединение — весь B (сиреневое добавляется к розовому). Отсюда свойство включения: если A ⊂ B, то A ∩ B = A и A ∪ B = B. Верно и обратное: если A ∩ B = A (или A ∪ B = B), то A ⊂ B.
Правая диаграмма: для любых A и B пересечение (розовое) лежит в A (бирюзовое), а A — в объединении (сиреневое): A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B. Отсюда упрощения: (A ∩ B) ∪ A = A и (A ∪ B) ∩ A = A.
Пустое множество и U: ∅ ⊂ A ⊂ U, поэтому по свойству включения A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ U = U, A ∩ U = A. Множество и его дополнение не пересекаются и вместе дают U. Вопрос классу: на что похожи A ∪ ∅ = A и A ∩ U = A у чисел? (a + 0 = a, a · 1 = a.)

R03.3

Образец → сам · свойство включения

Сначала найдите, кто в ком лежит

Образец: $U = {1; \dots; 12}$ , $A$ — числа, кратные $4$ , $B$ — чётные. Найдите $A \cap B$ и $A \cup B$

$A = {4; 8; 12}$ , $B = {2; 4; \dots; 12}$ перечислили

$A \subset B$ кратное $4$ — чётное

$A \cap B = A = {4; 8; 12}$ , $A \cup B = B$ включение

Сам

$A$ — квадраты, $B$ — прямоугольники. $A \cap B$ , $A \cup B$ квадраты; прямоугольники
$A$ — числа, кратные $3$ , $B$ — кратные $9$ . $A \cup B$ , $A \cap B$ кратные $3$ ; кратные $9$
Известно: $A \cap B = A$ . Что можно сказать об $A$ и $B$ ? $A \subset B$

2,5 мин · практика
Образец: A = {4; 8; 12}, B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}; каждое число, кратное 4, чётно, поэтому A ⊂ B (на диаграмме круг A внутри B, нечётные — вне кругов). По свойству включения A ∩ B = A = {4; 8; 12} (розовое), A ∪ B = B = {2; 4; 6; 8; 10; 12} (розовое + сиреневое). Пересечение и объединение нашли, не перебирая элементы.
1) Каждый квадрат — прямоугольник, A ⊂ B: A ∩ B = A (квадраты), A ∪ B = B (прямоугольники). 2) Кратное 9 кратно 3: B ⊂ A; A ∪ B = A (кратные 3), A ∩ B = B (кратные 9) — включение «в другую сторону», это ловушка. 3) Если пересечение равно A, то каждый элемент A лежит в B: A ⊂ B (обратное свойство включения).

R03.3

Образец → сам · упрощение выражений

Свойства упрощают запись

Образец: упростите $(A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$

$= A \cap (B \cup \overline{B})$ распределительное

$= A \cap U$ $B \cup \overline{B} = U$

$=$ $A$ $A \subset U$ , включение

$A \cap B$ и $A \cap \overline{B}$ вместе дают весь $A$

Сам: упростите

$(A \cup B) \cap A$ $A$
$(A \cap B) \cup A$ $A$
$A \cap (B \cup \overline{A})$ $A \cap B$

2,5 мин · практика
Образец: «выносим» A за скобки по распределительному свойству; B вместе со своим дополнением даёт U; A ∩ U = A (A ⊂ U). На диаграмме сиреневая линза A ∩ B и бирюзовый «полумесяц» A ∩ B̄ вместе составляют круг A.
1) A ⊂ A ∪ B, по свойству включения (A ∪ B) ∩ A = A. 2) A ∩ B ⊂ A, по свойству включения (A ∩ B) ∪ A = A. 3) Распределительное: (A ∩ B) ∪ (A ∩ Ā) = (A ∩ B) ∪ ∅ = A ∩ B. Все три равенства проверены перебором всех 8 областей (python). Ученикам — проверить ответ по диаграмме: закрасить левую часть.

R03.3

Образец → сам · задача из жизни

Кружки 8 «Б»: шахматы, футбол, хор

Образец: кто ходит в шахматы и ещё хотя бы в один кружок?

Ищем $Ш \cap (Ф \cup Х)$ «и», «или»

$= (Ш \cap Ф) \cup (Ш \cap Х)$ распределительное

${Боря, Гена} \cup {Вика, Гена}$

$=$ Боря, Вика, Гена — $3$

Сам: по той же диаграмме

Кто ходит в футбол или в хор, но не в шахматы? Дима, Егор, Женя
Сколько учеников ходят хотя бы в один кружок? $7$
Найдите $Ф \cap Х$ ${Гена}$

2,5 мин · практика
Данные: Ш = {Аня, Боря, Вика, Гена}, Ф = {Боря, Дима, Гена, Егор}, Х = {Вика, Гена, Женя}. «И» — пересечение, «или» — объединение. Ш ∩ Ф = {Боря, Гена}, Ш ∩ Х = {Вика, Гена}; объединение — {Боря, Вика, Гена}: 3 человека (Гену считаем один раз). Розовая фигура на диаграмме — ответ.
1) (Ф ∪ Х) ∩ Ш̄ = {Дима, Егор, Женя}. 2) Ш ∪ Ф ∪ Х — 7 учеников (имена на диаграмме, каждое по одному разу), а не 4 + 4 + 3 = 11. 3) Ф ∩ Х = {Гена}. Ответы проверены перебором (python).

R03.3

Теория · итоговая сводка правил

Свойства операций — в одной таблице

свойство	для $\cup$	для $\cap$	у чисел
переместительное	$A \cup B = B \cup A$	$A \cap B = B \cap A$	$a + b = b + a$
сочетательное	$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$	$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$	$(ab) c = a (b c)$
распределительное	$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$	$a (b + c) =$ $ab + a c$
включения: $A \subset B$	$A \cup B = B$	$A \cap B = A$	—
$\emptyset$ и $U$	$A \cup \emptyset = A$ , $A \cup \overline{A} = U$	$A \cap U = A$ , $A \cap \overline{A} = \emptyset$	$a + 0 = a$ $a \cdot 1 = a$

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
раскрыли скобки только у $B$	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup C$	$(A \cap B) \cup (A \cap C)$
перепутали включение	$A \subset B \Rightarrow A \cup B = A$	$A \cup B = B$ , $A \cap B = A$
общие элементы считают дважды	${1; 2; 3} \cup {3; 4}$ — $5$ эл.	${1; 2; 3; 4}$ — $4$ эл.
спутали $\cup$ и $\cap$	${1; 2} \cup {2; 3} = {2}$	${1; 2; 3}$ ; ${2}$ — это $\cap$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A = {1; 2; 3; 4}$ , $B = {3; 4; 5}$ , $C = {4; 5; 6}$ . Найдите $A \cap (B \cup C)$

$= (A \cap B) \cup C$

$= {3; 4} \cup {4; 5; 6} = {3; 4; 5; 6}$

$C$ тоже надо пересечь с $A$

${3; 4} \cup {4} = {3; 4}$

б) $A$ — числа, кратные $6$ , $B$ — чётные. Найдите $A \cap B$

$B \subset A$ , значит, $A \cap B = B$ — чётные числа

наоборот: кратное $6$ — чётное, $A \subset B$

$A \cap B = A$ — кратные $6$

в) Упростите $(A \cup B) \cap A$

$= A \cup (B \cap A)$

$= A \cup B$

$B \cap A \subset A$ , поэтому $A \cup (B \cap A) = A$

Ответ: $A$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ошибка в раскрытии скобок. Проверка напрямую: B ∪ C = {3; 4; 5; 6}, в A из них 3, 4 — ответ {3; 4}. б) Ошибка в направлении включения: 6, 12, 18 … — чётные, но 2, 4 не кратны 6; A ⊂ B, A ∩ B = A. в) Первый шаг верен (второе распределительное свойство: A ∪ (B ∩ A) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A) = (A ∪ B) ∩ A), ошибка во втором: B ∩ A ⊂ A, и по свойству включения A ∪ (B ∩ A) = A. Ответы проверены перебором (python).

R03.3

Задания с самопроверкой · база

$A = {1; 2; 3; 4; 5}$ , $B = {2; 4; 6; 8}$ , $C = {1; 4; 8; 9}$

Найдите

$A \cap B$ и $B \cap A$ оба ${2; 4}$
$(A \cup B) \cup C$ ${1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9}$
$A \cap (B \cup C)$ ${1; 2; 4}$
$(A \cap B) \cup (A \cap C)$ ${1; 2; 4}$

Ответьте

Верно ли: $A \cap B \subset A$ ? да, всегда
$A \subset B$ , в $A$ — $5$ эл., в $B$ — $9$ . Сколько в $A \cup B$ ? $9$
$A \cap \overline{A}$ $\emptyset$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и обоснуйте

повыш.Докажите по областям (сл. 7): $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ обе части: $2, 4, 5$
повыш.Упростите $A \cup (A \cap B \cap C)$ $A$
повыш.Упростите $(A \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$ $A$
повыш.Известно: $A \cup B = A \cap B$ . Что можно сказать об $A$ и $B$ ? $A = B$

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Решение системы — пересечение множеств решений

1. Решите систему: $x > 2$ и $x \leq 5$ .

Ответ: $(2; 5]$

2. Решите систему: $x - 3 < 0$ и $2 x \geq - 4$ .

Ответ: $[- 2; 3)$

3. Решите систему: $x > 4$ и $x < 1$ .

Ответ: нет решений, $\emptyset$

2 мин · практика
Линия 13 ОГЭ — неравенства и их системы; решение системы — пересечение множеств решений неравенств (бирюзовый и оранжевый лучи, их общая часть — розовая). 1) (2; 5]: 2 не входит (строгое), 5 входит. 2) x < 3 и x ≥ −2 — промежуток [−2; 3). 3) Лучи не пересекаются: пересечение пусто, решений нет. Проверено подстановкой граничных и внутренних точек.
В ОГЭ ответ выбирают из четырёх рисунков на числовой прямой — на слайде рисунок строится по шагам: каждое неравенство — луч, ответ — общая часть.

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1: $A = {1; 2; 3; 4; 5}$ , $B = {1; 3; 5; 7}$ , $C = {2; 3; 7}$

$A \cap (B \cup C)$ ${1; 2; 3; 5}$
$(A \cap B) \cap C$ ${3}$
$A$ — кратные $10$ , $B$ — кратные $5$ . $A \cup B$ кратные $5$
Упростите $(A \cap B) \cup A$ $A$

Вариант 2: $A = {2; 4; 6; 8; 10}$ , $B = {1; 2; 3; 4}$ , $C = {4; 5; 6}$

$A \cap (B \cup C)$ ${2; 4; 6}$
$(A \cap B) \cap C$ ${4}$
$A$ — кратные $4$ , $B$ — кратные $8$ . $A \cap B$ кратные $8$
Упростите $(A \cup B) \cap B$ $B$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие свойства у $\cup$ и $\cap$ — как у чисел?
Как раскрыть $A \cap (B \cup C)$ ?
Чему равно $A \cup B$ , если $A \subset B$ ?

Домашнее задание

$A = {1; 2; 3}$ , $B = {2; 3; 4}$ , $C = {3; 4; 5}$ : проверьте $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
Упростите $(A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$
Ромбы $\cap$ прямоугольники — какие фигуры?
Тренажёр: reknow.ru/8/veroyatnost/8_veroyatnost_mnozhestva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS8-010 · Свойства операций над множествами

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 8 класс
Строка, урок	R03 «Множества», 4 ч · урок 2/4 · тип Н
Единицы → слайды	R03.3 «Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения» → 2, 4–20
Результаты	ПР-6 / REQ-5.6 (операции и свойства множеств) → 3–17, 19 · ПР-5 / REQ-5.5 (диаграммы Эйлера, числовая прямая) → 4–12, 18 · ПР-7 / REQ-5.7 (графическое представление в задачах) → 10, 12, 18
Вне урока	операции над множествами — VIS8-009 (разминка); графическое представление множеств в задачах — VIS8-011; формула включения-исключения — углублённый курс
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства операций над множествами

Сегодня вы научитесь

Менять порядок и скобки

Раскрывать скобки

Применять включение

Проверять на кругах Эйлера

A={1;2;3;4}, B={3;4;5;6}, U={1;2;…;8}

Найдите

Ответьте

Порядок множеств и скобки не важны

Расставим скобки по-разному — ответ один

Образец: A={1;2;3;4;5}, B={2;4;6;8}, C={4;5;6;7}. Найдите (A∩B)∩C и A∩(B∩C)

Сам

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

Три круга делят U на 8 областей

Два пути к одному ответу

Образец: A={1;…;6}, B={2;4;6;8;10}, C={3;6;9}. Найдите A∩(B∪C) двумя способами

Сам: A, B, C — из образца

Если A⊂B, одна из операций «ничего не меняет»

Сначала найдите, кто в ком лежит

Образец: U={1;…;12}, A — числа, кратные 4, B — чётные. Найдите A∩B и A∪B

Сам

Свойства упрощают запись

Образец: упростите (A∩B)∪(A∩B)

Сам: упростите

Кружки 8 «Б»: шахматы, футбол, хор

Образец: кто ходит в шахматы и ещё хотя бы в один кружок?

Сам: по той же диаграмме

Свойства операций — в одной таблице

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A={1;2;3;4}, B={3;4;5}, C={4;5;6}. Найдите A∩(B∪C)

б) A — числа, кратные 6, B — чётные. Найдите A∩B

в) Упростите (A∪B)∩A

A={1;2;3;4;5}, B={2;4;6;8}, C={1;4;8;9}

Найдите

Ответьте

Подумайте и обоснуйте

Решение системы — пересечение множеств решений

Два варианта — решите свой

Вариант 1: A={1;2;3;4;5}, B={1;3;5;7}, C={2;3;7}

Вариант 2: A={2;4;6;8;10}, B={1;2;3;4}, C={4;5;6}

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS8-010 · Свойства операций над множествами

$A = {1; 2; 3; 4}$ , $B = {3; 4; 5; 6}$ , $U = {1; 2; \dots; 8}$

Образец: $A = {1; 2; 3; 4; 5}$ , $B = {2; 4; 6; 8}$ , $C = {4; 5; 6; 7}$ . Найдите $(A \cap B) \cap C$ и $A \cap (B \cap C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Три круга делят $U$ на $8$ областей

Образец: $A = {1; \dots; 6}$ , $B = {2; 4; 6; 8; 10}$ , $C = {3; 6; 9}$ . Найдите $A \cap (B \cup C)$ двумя способами

Сам: $A$ , $B$ , $C$ — из образца

Если $A \subset B$ , одна из операций «ничего не меняет»

Образец: $U = {1; \dots; 12}$ , $A$ — числа, кратные $4$ , $B$ — чётные. Найдите $A \cap B$ и $A \cup B$

Образец: упростите $(A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$

а) $A = {1; 2; 3; 4}$ , $B = {3; 4; 5}$ , $C = {4; 5; 6}$ . Найдите $A \cap (B \cup C)$

б) $A$ — числа, кратные $6$ , $B$ — чётные. Найдите $A \cap B$

в) Упростите $(A \cup B) \cap A$

$A = {1; 2; 3; 4; 5}$ , $B = {2; 4; 6; 8}$ , $C = {1; 4; 8; 9}$

Вариант 1: $A = {1; 2; 3; 4; 5}$ , $B = {1; 3; 5; 7}$ , $C = {2; 3; 7}$

Вариант 2: $A = {2; 4; 6; 8; 10}$ , $B = {1; 2; 3; 4}$ , $C = {4; 5; 6}$